闭口薄壁杆件自由扭转问题的网络理论解法* 国凤林钱智炜 上海交通大学工程力学系，上海200240 摘要 本文以普朗特应力函数解法为基础，通过与电路问题比拟，提出了求解复杂截面闭口薄壁杆件 扭转问题的“回路单元法”。本文提出的方法对解决复杂截面闭口薄壁杆件扭转的工程问题有一定的 应用价值。在教学上，可以起到开拓学生思路的作用。 关键词：薄壁杆件，扭转刚度，电学比拟 ABSTRACT Based on the Prandtl Solution,a method for solving torsion of thin-walled rods with complex cross section was proposed,which was termed as "loop element"method.The method presented in this paper is applicable for engineering problems of torsion of thin-walled rods with complex cross section.This method is also of pedagogic significance,which can broaden students'horizon and enable them to gain knowledge of interdisciplinary interaction. KEY WORDS:thin-walled rod,torsional stiffness,electrical analogy 1前言 在弹性理论中，自由扭转问题有两类解法，即采用圣维南扭转函数的位移解法和采用普朗特应 力函数的应力解法，由于位移解法的边界条件比较复杂，故一般在解析求解时多用普朗特应力函数 解法山。对于闭口薄壁杆件的自由扭转，由于杆壁很薄，可以近似地认为应力函数沿厚度方向线性 变化。沿每个孔应用剪力环量公式，形成联立方程租，解此方程租就可求出杆的扭转刚度和截面上 每一段上的剪力的大小和方向。原则上，任何截面的闭口薄壁杆件的自由扭转都可以这样来求解， 但是当截面比较复杂时，比如飞机的机翼结构和船体结构的截面，直接按此方法计算非常繁琐，不 便于用计算机求解，故需要发展适合计算机编程的算法。 事实上，上述解法中根据剪力环量公式列出的方程恰好可与电路理论中有源电路的方程（即基尔 霍夫电压定律)相比拟。剪力对应于电流，长度对应于电阻，剪力环量公式相当于回路电压公式，由 于存在这样的对应关系就为借鉴电路理论中的有关方法来解决复杂截面闭口薄壁杆件自由扭转问题 提供了可能。 在电路分析中，对于比较简单的电路，可以直接应用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律求 解。然而，对于网络结构比较复杂的电路，直接应用基尔霍夫定律就显得很繁琐和不便，特别是如 何便于在计算机上自动地把输入数据转化为所需要的网络方程，这时就需要利用一些网络图论和矩 阵代数的概念来完成这项任务。类似地，对于截面比较复杂的闭口薄壁杆件，存在同样的问题。 在电路分析理论中，网络理论可以很好地解决上述问题。网络理论解法主要包括节点电流法和回路 电压法。对于实际电路，采用节点电流法比较方便，而对于闭口薄壁杆件，采用类似于回路电压法 本文得到上海交通大学PRP项目的资助 -1-- 1 - 闭口薄壁杆件自由扭转问题的网络理论解法∗ 国凤林 钱智炜 上海交通大学工程力学系，上海 200240 摘要 本文以普朗特应力函数解法为基础，通过与电路问题比拟，提出了求解复杂截面闭口薄壁杆件 扭转问题的“回路单元法”。本文提出的方法对解决复杂截面闭口薄壁杆件扭转的工程问题有一定的 应用价值。在教学上，可以起到开拓学生思路的作用。 关键词：薄壁杆件，扭转刚度，电学比拟 ABSTRACT Based on the Prandtl Solution, a method for solving torsion of thin-walled rods with complex cross section was proposed, which was termed as “loop element” method. The method presented in this paper is applicable for engineering problems of torsion of thin-walled rods with complex cross section. This method is also of pedagogic significance, which can broaden students’ horizon and enable them to gain knowledge of interdisciplinary interaction. KEY WORDS: thin-walled rod, torsional stiffness, electrical analogy 1 前言 在弹性理论中，自由扭转问题有两类解法，即采用圣维南扭转函数的位移解法和采用普朗特应 力函数的应力解法，由于位移解法的边界条件比较复杂，故一般在解析求解时多用普朗特应力函数 解法[1]。对于闭口薄壁杆件的自由扭转，由于杆壁很薄，可以近似地认为应力函数沿厚度方向线性 变化。沿每个孔应用剪力环量公式，形成联立方程租，解此方程租就可求出杆的扭转刚度和截面上 每一段上的剪力的大小和方向。原则上，任何截面的闭口薄壁杆件的自由扭转都可以这样来求解， 但是当截面比较复杂时，比如飞机的机翼结构和船体结构的截面，直接按此方法计算非常繁琐，不 便于用计算机求解，故需要发展适合计算机编程的算法[2]。 事实上，上述解法中根据剪力环量公式列出的方程恰好可与电路理论中有源电路的方程(即基尔 霍夫电压定律)相比拟。剪力对应于电流，长度对应于电阻，剪力环量公式相当于回路电压公式，由 于存在这样的对应关系就为借鉴电路理论中的有关方法来解决复杂截面闭口薄壁杆件自由扭转问题 提供了可能[2]。 在电路分析中，对于比较简单的电路，可以直接应用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律求 解。然而，对于网络结构比较复杂的电路，直接应用基尔霍夫定律就显得很繁琐和不便，特别是如 何便于在计算机上自动地把输入数据转化为所需要的网络方程，这时就需要利用一些网络图论和矩 阵代数的概念来完成这项任务[3]。类似地，对于截面比较复杂的闭口薄壁杆件，存在同样的问题。 在电路分析理论中，网络理论可以很好地解决上述问题。网络理论解法主要包括节点电流法和回路 电压法。对于实际电路，采用节点电流法比较方便，而对于闭口薄壁杆件，采用类似于回路电压法 ∗ 本文得到上海交通大学 PRP 项目的资助