解的存在性与唯一性 由于 AbE Ran(AT)=Ran(AT A), 因此正规方程ATAx=ATb是相容(consistent)的，即最小二乘解总是存在的， http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 4/20解的存在性与唯一性 由于 A ⊺ b ∈ Ran(A ⊺ ) = Ran(A ⊺ A), 因此正规方程 A ⊺Ax = A ⊺ b 是相容 (consistent) 的, 即 最小二乘解总是存在的. 定理 设 A ∈ R m×n (m ≥ n), 则 A ⊺A 对称正定当且仅当 A 是列满秩的, 即 rank(A) = n. 此时, 线性最小二乘问题的解是唯一的, 其表达式为 x∗ = (A ⊺ A) −1A ⊺ b. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/20