第11期 梁辉等：基于减法聚类的带钢厚度数据驱动建模 ·1341· 日zya-9 (8) 分别如下： K= 式中，q=0,1,…,1]Ixw,Z=[p(x）T,p(x2)T,…, 「k(xx) k(x1,x2) k(x1xx） p(x)]T,Y=y1,y2,…,yx]T,a=[a1'a2,, a]',I为单位矩阵 k(xxx)k(x飞，x2)…k(xxxx） 用最小二乘求出和b,得到支持向量输出： HN, y(x)=>ao(x)'o(x)+b. (9) k(1x,)+ k(x1x2） k(x1,xx） 为了找到非线性映射函数p(x),引进核函数代 替非线性映射，即用K(x,x)=p(x)'p(x)代替 p(x),则支持向量机模型预测输出为 k(xxx) k(xx)…k(x)+ y y(x）=∑aK(x,x)+b. (11) (10) 将线性方程组(8)写为如下表达式： 式中，核函数K(x,x:)为满足Mercer条件的任意对 Axav =YN, (12) 称函数，取不同的核函数就生成不同的支持向量基. 0 91 「b1 目前常用的核函数主要有多项式核函数K(x,x)= (13) x,x)+1]、径向基核函数K（x,x）= 即{和s核画数K红，) 式中，9=0,1，…，1]1xY=y2…y%],a= [a1,2,…,ay]T,I为单位矩阵. 当新数据加入到原数据集时，首先采用减法聚 tanh(x,x)+c]等. 2.2最小二乘支持向量机在线模型参数自学习 类的在线算法更新多模型结构参数n,聚类中心c:, 判断新增数据属于哪一个子集，或者是新增加的子 对于历史离线数据进行输入空间数据划分，得 到不同工况下的c个子集，对各子集数据建立起最 集.由于聚类结果发生变化，则需对各相应的新子 集模型参数(b,α)进行在线调整，没有发生变化的 小二乘支持向量机回归模型.假设第i个子集(i= 子集模型，则直接采用离线子模型进行训练 1,2,…,c)由N,对输入输出数据构成的训练集 {x(k),y(k)},组成，其中x4∈R,yk∈R,此时支 假定第k次采集到的新数据{xx,+1yx+1}属于 子集i,其中i=1,2,…,c,则其支持向量机的核函数 持向量机的核函数矩阵Kx,为一个维数为N,×N KM+变成一个(N1+1)×(N,+1)的方阵： 的方阵，令HN=KN+yI,则Kx和Hy的表达式 k(x,x) k(x1,x2) k(x1,xx,） k(x1,xN+i） KN1+1= (14) k(xxx） k(xx2） …k(x,xx） k() k(x+1x)k(x+12)…k(xN+1xX）k(xw+1x+i) 同理可得H,+1=K1+yL,这里I为单位 矩阵，其维数为(N,+1)维，则当前N+1组数据的 (17) 最小二乘支持向量机模型系数Ax+1表达式为 式中，中=y+K(x+1,xx+）,a=1,K(x AN,+1= q Hx (15) )K()]. 由分块矩阵运算定理及矩阵A为非奇异，可 通过比较矩阵AM+1和Ax,则当前新的最小二 以推导出Aw,+1的逆矩阵如下所示： 乘支持向量机模型与原模型之间的关系可以为 A+1= Ax1+1+1=YN1+1: (16) Ax.-6aa"]--As'a [-a'Ay'a]- AN a] -aAx[6-a Av a]- [6-aAv a]- bJ +1= +1 (18)第 11 期 梁 辉等: 基于减法聚类的带钢厚度数据驱动建模 0 qT q ZZT + γ [ ] － 1 I b [ ] α = 0 [ ] Y ． ( 8) 式中，q =［1，1，…，1］T 1 × N，Z =［φ( x1 ) T ，φ( x2 ) T ，…， φ( xN) T ］T ，Y = ［y1，y2，…，yN］T ，α = ［α1，α2，…， αN］T ，I 为单位矩阵． 用最小二乘求出 α 和 b，得到支持向量输出: y( x) = ∑ N k = 1 αkφ( x) T φ( xk ) + b． ( 9) 为了找到非线性映射函数 φ( x) ，引进核函数代 替非线性映射，即用 K( x，xk ) = φ( x) T φ( xk ) 代替 φ( x) ，则支持向量机模型预测输出为 y( x) = ∑ N k = 1 αkK( x，xk ) + b． ( 10) 式中，核函数 K( x，xk ) 为满足 Mercer 条件的任意对 称函数，取不同的核函数就生成不同的支持向量基． 目前常用的核函数主要有多项式核函数 K( x，xk ) = ［( x，xk ) + 1］q 、径 向 基 核 函 数 K ( x，xk ) = exp { － ‖x － xk‖2 2σ2 } 和 Sigmod 核函数 K( x，xk ) = tanh［v( x，xk ) + c］等． 2. 2 最小二乘支持向量机在线模型参数自学习 对于历史离线数据进行输入空间数据划分，得 到不同工况下的 c 个子集，对各子集数据建立起最 小二乘支持向量机回归模型． 假设第 i 个子集( i = 1，2，…，c) 由 N1 对输入输出数据构成的训练集 { x( k) ，y( k) } N1 k = 1组成，其中 xk∈Rn1，yk∈R，此时支 持向量机的核函数矩阵 KN1 为一个维数为 N1 × N1 的方阵，令 HN1 = KN1 + γ － 1 I，则 KN1和 HN1的表达式 分别如下: KN1 = k( x1，x1 ) k( x1，x2 ) … k( x1，xN1 )     k( xN1 ，x1 ) k( xN1 ，x2 ) … k( xN1 ，xN1           ) ， HN1 = k( x1，x1 ) + 1 γ k( x1，x2 ) … k( x1，xN1 )     k( xN1 ，x1 ) k( xN1 ，x2 ) … k( xN1 ，xN1 ) + 1              γ  ． ( 11) 将线性方程组( 8) 写为如下表达式: AN1α' N1 = YN1 ， ( 12) AN1 = 0 qT q HN [ ] 1 ，α' N1 = b [ ] α ，YN1 = 0 [ ] Y ． ( 13) 式中，q =［1，1，…，1］T 1 × N1 ，Y =［y1，y2，…，yN1 ］T ，α = ［α1，α2，…，αN1 ］T ，I 为单位矩阵． 当新数据加入到原数据集时，首先采用减法聚 类的在线算法更新多模型结构参数 n，聚类中心 ci， 判断新增数据属于哪一个子集，或者是新增加的子 集． 由于聚类结果发生变化，则需对各相应的新子 集模型参数( b，α) 进行在线调整，没有发生变化的 子集模型，则直接采用离线子模型进行训练． 假定第 k 次采集到的新数据{ xN1 + 1，yN1 + 1 } 属于 子集 i，其中 i = 1，2，…，c，则其支持向量机的核函数 KN1 + 1变成一个( N1 + 1) × ( N1 + 1) 的方阵: KN1 + 1 = k( x1，x1 ) k( x1，x2 ) … k( x1，xN1 ) k( x1，xN1 + 1 )      k( xN1 ，x1 ) k( xN1 ，x2 ) … k( xN1 ，xN1 ) k( xN1 ，xN1 + 1 ) k( xN1 + 1，x1 ) k( xN1 + 1，x2 ) … k( xN1 + 1，xN1 ) k( xN1 + 1，xN1 + 1               ) ． ( 14) 同理可得 HN1 + 1 = KN1 + 1 + γ － 1 I，这里 I 为单位 矩阵，其维数为( N1 + 1) 维，则当前 N1 + 1 组数据的 最小二乘支持向量机模型系数 AN1 + 1表达式为 AN1 + 1 = 0 qT q HN1 [ ] + 1 ． ( 15) 通过比较矩阵 AN1 + 1和 AN1 ，则当前新的最小二 乘支持向量机模型与原模型之间的关系可以为 AN1 + 1α' N1 + 1 = YN1 + 1 ; ( 16) AN1 + 1 = AN1 a a [ ] T  ，α' N1 + 1 = α' N1 αN1 [ ] + 1 ， YN1 + 1 = YN1 yN1 [ ] + 1 ． ( 17) 式中， = γ － 1 + K ( xN1 + 1，xN1 + 1 ) ，a = ［1，K ( x1， xN1 + 1 ) ，…，K( xN1 ，xN1 + 1) ］T ． 由分块矩阵运算定理及矩阵 AN1 为非奇异，可 以推导出 AN1 + 1的逆矩阵如下所示: A－1 N1 +1 = ［AN1 － －1 aaT ］－1 － A－1 N1 a［ － aT A－1 N1 a］－1 － aT A－1 N1 ［ － aT A－1 N1 a］－1 ［ － aT A－1 N1 [ ] a］－1 ． ( 18) ·1341·