卢延荣等：离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 ·245· 问题就转化为系统(11)在性能指标函数(12)下的 左乘[zl-2⊙]得到 最优调节问题.实际上，根据线性二次型最优控制 「(z-l)lw H⑧C -G810 0 0 理论[]，将所求得的△u(k)代入系统(10)，其闭 0 dnv-(l⑧A) 0 0…0 I⑧B 环系统为渐近稳定的，于是由(11)知e(k)在k→o w -Iw 0 时渐近稳定到0，即系统(1)实现了对领导者的协 w 调预见跟踪.通过应用文献[34]的结果，立即得到 下面的定理 -Iw 定理1若(2，O)可镇定，(Q,2)可检测， 0 0 2Lv0 则系统(10)的使性能指标函数(12)极小的最优控 由于初等变换不改变矩阵的秩，因此上述矩阵与 制输入为： [l-2O]具有相同的秩.又由于1z≥1，所以上 △u(k)=-(R+OP⊙)-1⊙P2Xo(k)(13) 述矩阵中以z山八为对角元的上三角矩阵块可逆，根 其中，P.是一个[N(l+n+lM.)]×[N(l+n+ 据矩阵秩的性质知 M.)]的半正定矩阵，满足如下的离散代数Riccati rank[2I-INMg rank(V) 方程 其中： H⑧C 07 P,=Q+2P2-2P⊙(R+⊙P⊙)-1⊙P2 0 (14) -(1,8A)1,®BK16) 3.2控制器的存在性 于是，只需证明下述命题即可：在假设A4下， 为了保证定理1中控制器的存在性，需要验证 当z∈C且IzI≥1时，V行满秩的充要条件是 原系统在满足何条件时，(2，⊙)是可镇定的以及 「I-AB [2I-A 均行满秩 (Q2,2)是可检测的 B C 0 引理3在假设A4下，(2，⊙)可镇定的充要 必要性.即证明在假设A4下，当1z1≥1时， 条件是假设A2成立 若V行满秩，则[l-A B]与-AB购行 证明：由Popov-Belevitch-Hautus(PBH)秩判 据知[3]，需要证明：在假设A4下，当z∈C且1z1≥ 满秩 1时，[-2⊙]行满秩的充要条件是 当z=1时，由(16)得到 [-AB]与 I-AB1 均行满秩 H⑧C c o rank(Vl:=1)=rank LIx-(I⑧A)I⑧B 根据2和⊙的具体结构，有 (17) [d-00= 在假设A4下，由引理2知，如果 (:-1)IIN H⑧CA :-G810 …0:-H8CB H⑧C 0 lnv-(l⑧A) … 01,⑧8 I.N-(I,⑧A)I,⑧B 行 满秩， 那么 0 1w -Iw 0 w 「I-AB行满秩同时， 「I-A B c o 行满秩蕴含 0 -I 着[-AB]-行满秩 0 lw 0 当1z≥1且z≠1时，(z-1)1w非奇异，由矩 注意到 H⑧CA-zH⑧C= 阵秩的性质知，若V行满秩，则 (H⑧C)(I⑧A)-z(H⑧C)(I⑧In)= [InN-(Iw⑧A)Iw⑧B]行满秩.由于 -(H⑧C)[zl.x-(Iw⑧A)] (15) rank[zl.v-(Iw⑧A)I⑧B]=N-ank[zl-AB], 于是，用可逆矩阵 因此进一步得到，在1z|≥1且z≠1时，若V行满 「IwH⑧C 0 07 秩，则[z-AB]行满秩. IN 0 0 联合两种分类情形下的结果便可证得必要性. 0 IwN 充分性即证明在假设A4下，当z∈C且Iz1≥1 0 I-AB1 0 0 …0 Ii] 时，若[l-AB]与 c o 均行满秩，则V行卢延荣等: 离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 问题就转化为系统(11)在性能指标函数(12)下的 最优调节问题. 实际上, 根据线性二次型最优控制 理论[33] , 将所求得的 驻u( k) 代入系统(10), 其闭 环系统为渐近稳定的, 于是由(11)知 e(k)在 k寅肄 时渐近稳定到 0, 即系统(1)实现了对领导者的协 调预见跟踪. 通过应用文献[34]的结果,立即得到 下面的定理. 定理 1 若(赘,专)可镇定, ( ^Q 1 / 2 ,赘)可检测, 则系统(10)的使性能指标函数(12)极小的最优控 制输入为: 驻u(k) = - (R寛 + 专 TPr专) - 1专 TPr赘XR0 (k) (13) 其中, Pr 是一个[N( l + n + lMR )] 伊 [ N( l + n + lMR)]的半正定矩阵, 满足如下的离散代数 Riccati 方程 Pr = ^Q + 赘 TPr赘 - 赘 TPr专 (R寛 + 专 TPr专) - 1专 TPr赘 (14) 3郾 2 控制器的存在性 为了保证定理 1 中控制器的存在性,需要验证 原系统在满足何条件时, (赘,专) 是可镇定的以及 ( ^Q 1 / 2 ,赘)是可检测的. 引理 3 在假设 A4 下, (赘,专)可镇定的充要 条件是假设 A2 成立. 证明: 由 Popov鄄鄄 Belevitch鄄鄄 Hautus ( PBH) 秩判 据知[33] ,需要证明:在假设 A4 下, 当 z沂迯 且| z | 逸 1 时, [ zI - 赘 专 ] 行 满 秩 的 充 要 条 件 是 [zI - A B]与 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 均行满秩. 根据 赘 和 专 的具体结构, 有 [zI -赘 专] = (z -1)IlN H茚CA - G茚Il 0 … 0 -H茚CB 0 zInN - (IN茚A) 0 0 … 0 IN茚B 0 0 zIlN - IlN 0 左 左 zIlN 埙 左 左 左 埙 - IlN 左 0 0 zIlN 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪 é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú 0 注意到 H茚CA - zH茚C = (H茚C)(IN茚A) - z(H茚C)(IN茚In ) = - (H茚C)[zInN - (IN茚A)] (15) 于是, 用可逆矩阵 IlN H茚C 0 … 0 0 IlN 0 … 0 0 0 IlN 埙 左 左 左 埙 埙 0 0 0 … 0 I é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú lN 左乘[zI - 赘 专]得到 (z -1)IlN zH茚C - G茚Il 0 … 0 0 0 zInN - (IN茚A) 0 0 … 0 IN茚B 0 0 zIlN - IlN 0 左 左 zIlN 埙 左 左 左 埙 - IlN 左 0 0 zIlN 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪 é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú 0 由于初等变换不改变矩阵的秩, 因此上述矩阵与 [zI - 赘 专]具有相同的秩. 又由于|z|逸1, 所以上 述矩阵中以 zIlN为对角元的上三角矩阵块可逆, 根 据矩阵秩的性质知 rank[zI - 赘 专] = lNMR + rank(V) 其中: V = (z - 1)IlN zH茚C 0 0 zInN - (IN茚A) IN茚 é ë ê ê ù û ú ú B (16) 于是, 只需证明下述命题即可: 在假设 A4 下, 当 z沂 迯 且 | z | 逸1 时, V 行满秩的充要条件是 [zI - A B]与 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 均行满秩. 必要性. 即证明在假设 A4 下, 当 | z | 逸1 时, 若 V 行 满 秩, 则 [ zI - A B] 与 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 均 行 满秩. 当 z = 1 时, 由(16)得到 rank(V| z = 1 ) = rank H茚C 0 InN - (IN茚A) IN茚 é ë ê ê ù û ú Bú (17) 在 假 设 A4 下, 由 引 理 2 知, 如 果 H茚C 0 InN - (IN茚A) IN茚 é ë ê ê ù û ú Bú 行 满 秩, 那 么 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 行满秩. 同时, I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 行满秩蕴含 着[zI - A B]z = 1行满秩. 当|z| 逸1 且 z屹1 时, ( z - 1) IlN非奇异, 由矩 阵 秩 的 性 质 知, 若 V 行 满 秩, 则 [zInN - (IN茚A) IN茚B]行满秩. 由于 rank[zInN - (IN茚A) IN茚B] =N·rank[zI -A B], 因此进一步得到, 在| z | 逸1 且 z屹1 时, 若 V 行满 秩, 则[zI - A B]行满秩. 联合两种分类情形下的结果便可证得必要性. 充分性. 即证明在假设 A4 下, 当 z沂迯 且|z |逸1 时, 若[zI - A B]与 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 均行满秩, 则 V 行 ·245·