·246· 工程科学学报，第40卷，第2期 满秩 引理4在假设A4下，(Q2,2)可检测的充 在假设A4下，由引理2知，如 「I-AB 要条件是(C,A)可检测. c0 证明：应用可检测的PBH秩判据知，(Q2, 满秩，则V八-1行满秩.另外，在1z≥1且z≠1时， 2)可检测的充要条件是对任意的z∈C且Iz1≥1， 由于[z-AB]是行满秩的，因此由(16)容易得 xl-2 矩阵 行满秩.由2和Q的结构可得 到V1≠，行满秩.这便证得了引理的充分性. 「(z-1)Iw H⑧CA -G⑧L, 0 0 0 zlN-(Iw☒A) 0 0 S 0 0 2Iw -Iw 0 0 0 -Iw 0 0 zl g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 作为分块矩阵，由于w可逆且Q也可逆，所以 控制输人为： 「zl-2 H⑧CA rank =rank LlnN-(Ix⑧A) +IN INMR △u(k)=F。X。(k)+ ∑FG)△R(k+i)= j= (18) 注意在假设A4下H非奇异，所以 F.e()+F,△r()+F,G)△R(k+》 「z'(H-'②Ln)z1(1,⑧C)7f H⑧CA (20) 0 LzIV-(Iw⑧A) 式中，F。=[F。F]=-(R+GPG)GP Iw⑧C F.(G)=-(R+GPG.)-G()-1PGR, LlnN-(I⑧A)」 j=1,2,…,Mg 进而得到 其中，专=Φ+G.F。是一个[(l+n)N]×[(l+n) H⑧CA Iw⑧C N]的稳定矩阵.此外，矩阵P是一个[(l+n)N]× rank lnN-(I⑧A) rank L2IN-(I,⑧A)」 [(l+n)N]的半正定矩阵，满足如下的代数Riccati 方程 N.rank (19) P=Q+ΦPΦ-Φ'PG.(R+GPG.)-1GPΦ 从(18)和(19)得到：对任意的z∈C且Iz1≥1， (21) 「zl-2 C 将定理2中所得△u(k)代入系统(8)得到 例满秩的充要条件是 例满秩.这便 2I-A X。(k+1)=X(k)+w(k) (22) 证得了引理4. Mg 其中，w(k)=G△R(k+1)+∑G.FG)△R(k+. 3.3原系统的最优预见控制器 需要指出的是，由于所有的问题转换过程都使 由假设A1知，参考信号r(k)在k→∞时趋于 得系统的维数增加，因而从系统(10)和性能指标函 常值向量r,因此△R(k+j)在k→∞时趋于0(U=1, 数(12)下出发得到控制器(13)，需要求解的代数 2,…,Ms).另外，由定理2知，专为稳定矩阵，故 Riceati方程(14)的维数较高，会带来计算上的困 X(k)在k→时渐近稳定到0.同样地，作为 难.利用系统矩阵和性能指标函数中权重矩阵的特 X。(k)的分量，e(k)在k→x时也渐近稳定到0.在 点，可以对Riccati方程进行降阶.具体的降阶过程 上述分析的基础上，立即可得如下结论 可参见文献[34].利用降阶的结果可以得到定理2. 定理3假设 定理2若（中，G)可镇定，(Q2,中）可检测， (a)A1~A4成立， 则在系统(8)下，使性能指标函数(7)极小的最优 (b)R与Q正定(i=1,2,…,N),工程科学学报,第 40 卷,第 2 期 满秩. 在假设 A4 下, 由引理 2 知, 如果 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 行 满秩, 则 V| z = 1行满秩. 另外, 在|z|逸1 且 z屹1 时, 由于[zI - A B]是行满秩的, 因此由(16) 容易得 到 V| z屹1行满秩. 这便证得了引理的充分性. 引理 4 在假设 A4 下, ( ^Q 1 / 2 ,赘)可检测的充 要条件是(C,A)可检测. 证明: 应用可检测的 PBH 秩判据知, ( ^Q 1 / 2 , 赘)可检测的充要条件是对任意的 z沂迯 且 | z | 逸1, 矩阵 zI - 赘 ^Q 1 / é ë ê ê ù û ú 2 ú行满秩. 由 赘 和 ^Q 的结构可得 zI - 赘 ^Q 1 / é ë ê ê ù û ú 2 ú = (z - 1)IlN H茚CA - G茚Il 0 … … 0 0 zInN - (IN茚A) 0 0 … … 0 0 0 zIlN - IlN 0 … 0 左 左 埙 埙 埙 左 左 左 埙 埙 0 左 左 埙 - IlN 0 0 zIlN Q 1 / 2 e 0 0 0 … … 0 0 0 0 0 … … 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪 詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪 詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪 é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú 0 作为分块矩阵, 由于 zIlN可逆且 Q 1 / 2 e 也可逆, 所以 rank zI - 赘 ^Q 1 / é ë ê ê ù û ú 2 ú = rank H茚CA zInN - (IN茚A é ë ê ê ù û ú ú ) + lN + lNMR (18) 注意在假设 A4 下 H 非奇异, 所以 z - 1 (H - 1茚In ) z - 1 (IN茚C) 0 I é ë ê ê ù û ú ú nN H茚CA zInN - (IN茚A é ë ê ê ù û ú ú ) = IN茚C zInN - (IN茚A é ë ê ê ù û ú ú ) 进而得到 rank H茚CA zInN - (IN茚A é ë ê ê ù û ú ú ) = rank IN茚C zInN - (IN茚A é ë ê ê ù û ú ú ) = N·rank C zI - é ë ê ê ù û ú ú A (19) 从(18) 和(19) 得到:对任意的 z沂迯 且 | z | 逸1, zI - 赘 ^Q 1 / é ë ê ê ù û ú 2 ú列满秩的充要条件是 C zI - é ë ê ê ù û ú ú A 列满秩. 这便 证得了引理 4. 3郾 3 原系统的最优预见控制器 需要指出的是, 由于所有的问题转换过程都使 得系统的维数增加, 因而从系统(10)和性能指标函 数(12)下出发得到控制器(13), 需要求解的代数 Riccati 方程(14) 的维数较高, 会带来计算上的困 难. 利用系统矩阵和性能指标函数中权重矩阵的特 点, 可以对 Riccati 方程进行降阶. 具体的降阶过程 可参见文献[34]. 利用降阶的结果可以得到定理2. 定理 2 若(椎,Gu )可镇定, (Q 1 / 2 ,椎)可检测, 则在系统(8)下, 使性能指标函数(7)极小的最优 控制输入为: 驻u(k) = F0X0 (k) + 移 MR j = 1 FR(j)驻R(k + j) = Fe e(k) + Fx驻x(k) + 移 MR j = 1 FR(j)驻R(k + j) (20) 式中, F0 = [Fe Fx] = - (R寛 + G T uPGu ) - 1G T uP椎 FR(j) = - (R寛 + G T uPGu ) - 1G T u (孜 T ) j - 1PGR, j = 1,2,…,MR 其中, 孜 = 椎 + GuF0 是一个[( l + n) N] 伊 [( l + n) N]的稳定矩阵. 此外, 矩阵 P 是一个[(l + n)N] 伊 [(l + n)N]的半正定矩阵, 满足如下的代数 Riccati 方程 P = Q + 椎 TP椎 - 椎 TPGu (R寛 + G T uPGu ) - 1G T uP椎 (21) 将定理 2 中所得 驻u(k)代入系统(8)得到 X0 (k + 1) = 孜X0 (k) + 棕(k) (22) 其中, 棕(k) = GR驻R(k +1) + 移 MR j =1 GuFR(j)驻R(k + j). 由假设 A1 知, 参考信号 r( k)在 k寅肄 时趋于 常值向量 r, 因此 驻R(k + j)在 k寅肄 时趋于0(j = 1, 2,…,MR). 另外, 由定理 2 知, 孜 为稳定矩阵, 故 X0 ( k) 在 k 寅肄 时渐近稳定到 0. 同样地, 作为 X0 (k)的分量, e(k)在 k寅肄 时也渐近稳定到 0. 在 上述分析的基础上,立即可得如下结论. 定理 3 假设 (a) A1 ~ A4 成立, (b) R寛i 与 Qei正定(i = 1,2,…,N), ·246·