Clear [f] DSolve [y '[x]-ky[x] = f[x],y, x] ys= Simplify y [x]/.%[[1]]] eq1=ys/.x→0 eq2=ys/.x→L so1= Solve[eq1=0,eq2=0},c[1],c[2]} ys=Simplify [ys / sol[[11]] yt= Integrate[Gf[t], [t,0, L]] Simplify [ys -yt, (0<x<L]] 162偏微分方程的格林函数 现在,再进一步,来看偏微分方程。多变量 这里C是微分算符,暂时认为产代表偏微分方程的3个空间变量。 假设函数定义于区域D,边界为B。满足一定的边界条件 C=V2+k2 Helmholtz算符 lace算符 现在,我们假设这些算符的格林函数GP,P)为: CG(,)=-4x6(-7) 故,对应到微分方程与格林函数满足的微分方程改写为 C(P)=-4丌p(P) CG,)=-4r6(2-F 这里认为算符C所用于空间变量r。4x因子仅为讨论方便 GP,p)×(1)-a0P)×(2)并对积分,得 ,p)C)-0P)CGr=-4x|,r)p)dr+4x6(t-))dr u(r)=G(t, r)p(r)d'r+=G, r)ru(t)-ur)c'G(t, r)dt 假设算符具有 Sturm-Liouville形式: Pp(r)dr1 I G*,r)Iut)-ur)rGr, r)dr Gpds+ Gv(pVan)-aV·( pgDpClear[f] f[x_] := x; DSolve[y''[x] - k2 y[x]  f[x], y, x]; ys = Simplify[y[x] /. %[[1]]]; eq1 = ys /. x  0; eq2 = ys /. x  L; sol = Solve[{eq1  0, eq2  0}, {C[1], C[2]}]; ys = Simplify[ys /. sol[[1]]] yt = Integrate[ G f[t], {t, 0, L}]; Simplify[ys - yt, {0 < x < L}] -k (L-x) L + k (L+x) L + x - 2 k L x (-1 + 2 k L) k2 0 16.2 偏微分方程的格林函数 现在，再进一步，来看偏微分方程。多变量 ℒ u(r  ) = -4 π ρ(r  ) 这里 ℒ 是微分算符，暂时认为 r  代表偏微分方程的 3 个空间变量。 假设函数定义于区域 D，边界为 B。满足一定的边界条件。 例如： ℒ = ∇2+k2 Helmholtz 算符 ℒ = ∇2 Laplace算符 现在，我们假设这些算符的格林函数 Gr  , r ′  为： ℒ′ Gr , r ′  = -4 π δ r  -r ′  故，对应到微分方程与格林函数满足的微分方程改写为 ℒ′ u(r ′ ) = -4 π ρ(r ′ ) (1) ℒ′ Gr  , r ′  = -4 π δ r  -r ′  (2) 这里认为算符 ℒ′ 所用于空间变量 r ′ 。4 π 因子仅为讨论方便。 Gr , r ′ ×(1) - u(r ′ )×(2) 并对 r  积分，得： D Gr  , r ′  ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr  , r ′  3 r ′ = -4 π D Gr  , r ′  ρ(r ′ ) 3 r ′ + 4 π D δ r  -r ′  u(r  ) 3 r ′ ⟹ u(r ) = D Gr , r ′  ρ(r ′ ) 3 r ′ + 1 4 π D Gr , r ′  ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr  , r ′  3 r ′ 假设算符具有 Sturm-Liouville 形式： ℒ = ∇ ·p(r ) ∇ - q(r ) 或 ℒ′ = ∇′ ·p(r ′ ) ∇′  - q(r ′ ) u(r ) = D Gr , r ′  ρ(r ′ ) 3 r ′ + 1 4 π D Gr , r ′  ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr , r ′  3 r ′ = D G ρ 3 r ′ + 1 4 π D [G ∇′ ·(p ∇′ u) - u ∇′ ·(p ∇′ G)] 3 r ′ z16a.nb 5