5266 高等数学重点难点100讲 由已知条件得2-x=4,-1-y=-4,7-z=7,所以,x=-2,y=3,z=0,故 点A的坐标为(-2,3,0) 解2{a|=√①2+12+12=√ b=√22+(-3)2+52=√38,b=√38b°; √(-2)2+(-1)2+22=3,c=3 解3a=4(3+5j+8k)+3(2-4-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k, 故a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j 解4Prig=| a cos(a,b)=|a|· 4×2+(-3)×2+4×1 b 22+22+1 解5(1)(a·b)c-(a·c)b=[2×1+(-3)(-1)+1×3](i-2j) [2×1+(-3)×(-2)+1×0](i-j+3k) 8(i-2j)-8(i-j+3k)=-8j-24k; (2)(a+b)×(b+c)=(3i-4j+4k)×(2i-3j+3k) i j k 3-44 j一k 33 3)(a×b)·c=2-31·(-2j)=(-8-5j+k)·(i-2j)=2 解6设该向量与x轴、y轴的夹角为a,则与z轴的夹角为2a,又由于方向余弦的平方和等 于1:cos2a+cos2a+cos2a=1,即2cos2a+(2cos2a-1)2=1,亦即2cos2a (2cos2a-1)=0,从而cosa=0,或cosa=± (舍去cosa= ).进而知a=或 该向量的方向角分别为a=B=2,=r,或a=B=4,=2,故该向量的方向为 7 (cosa, cosB, cosv) =0,0,-1, s i cOSa. co B, cosy COs , cOS 4 2,2 0 解7(1)(a×b)·(a×b)+(a·b)(a·b)=a×b2+(a·b)2 =1a|2·b12·sin2sin2(a,b)+|a|2·|b|2·cos2(a,b)=(|a!|b|) (2)(2a+b)×(c-a)+(b+c)×(a+b) =2a×c+b×c-2a×a-b×a十b×a十b×b+c×a+c×b 2a×c+b×c+c×a+c×b=a×c(注意运用向量积的反交换律) 上述解答不知是否正确,请老师指教 老师:解答正确! 学生:如何用向量来解几何题? 老师:用向量解几何题,有时会收到意想不到的效果解题时应注意到两个知识点的应 用,一是熟练运用向量的线性运算如AP=APB表示A、B、P三点共线(点P是线段AB的 λ分点),又如取点M,有AB=AM+MB=MB-MA.特别,对原点O,有AB=OB-OA r(B)-r(A)解题时,可先作图,然后从图形中分析有关的有向线段之间的相互关系,再 运用向量运算达到解题的目的;另一是熟练运用数量积及向量积的两条性质即设a= {a,ayan}≠0,b={bx,b,b}≠0,则