则A=aTB. 令k=BT,则AE-A=n-kn-1,得4的特征值为k(≠0)（单根），0，(n-1)重根.当入=k时，对应 的线性方程组(kE一A)x=0只有1个线性无关的解向量：当入=0时，因为rOE一A)=1,所以对应的线性 方程组(OE-A)z =0只有n-1个线性无关的解向量又不同特征值的特征向量线性无关，因此A有n个线 性无关的解向量，故A相似于对角阵 (2)此时a=B=(1,1,…,1),A=(a),4=1,1≤i,j≤n,k=n,A100=nmA. 例10设A为n×n矩阵且r(A)=r.证明：存在可逆矩阵P使得PAP-1的后n-r行全为0， 证明存在时E知阵Q度得PAQ-(台8）于是PA-(台8）Qpm,Qp- (8B)PaP-(8)(8B)-(88） 例11矩阵的列（行）向量组如果是线性无关的，则称该矩阵为列（行）满秩的。 设4mX电阵则0A提列满货=存在价可述矩跨P碳得A=P(名)） 回A是行满秩一存在r阶可逆矩阵Q使得4=(Em,0)Q: 证明句充分性设A=P 其中P可逆，则（因=(E》=5故A是列满肤 必要性设A列满秩，则A中有r阶子式D,≠0.不妨设A的前r行构成的子式 D=: a则何经过行物等变换化为（后）即形在可定矩陈A,R使 A-(6)p-则pA-(6)A-P(5 例12设A为mxn矩阵且r(A)=.则存在m×r的列满秩矩阵P和r×n的行满秩矩阵Q使得A=PQ 证明因为r(A)=r,存在可m阶逆矩阵M及n阶可逆矩阵N使得MAN= 08）于是A -(台8）令=eN-(只）其申防ax施库，房nx-库r× 满秩矩阵，Q为r×n的行满秩矩阵。 求一个列满秩矩阵P和行满秩矩阵Q使得A=PQ, 第4页 KA = α T β. -k = βαT , K|λE − A| = λ n − kλn−1 , AAäèk(6= 0)(¸ä), 0,(n − 1)­ä. λ = kû, ÈA Ç5êß|(kE − A)x = 0êk1áÇ5Ã')ï˛; λ = 0û, œèr(0E − A) = 1, §±ÈAÇ5 êß|(0E − A)x = 0êkn − 1áÇ5Ã')ï˛.qÿ”AäAï˛Ç5Ã', œdAknáÇ 5Ã')ï˛, AÉquÈ . (2) dûα = β = (1, 1, · · · , 1), A = (aij ), aij = 1, 1 ≤ i, j ≤ n, k = n, A100 = n 99A. ~10 Aèn × n › Ör(A) = r. y²: 3å_› P¶P AP −1￾n − r1è0. y² 3å_› P, Q¶P AQ = Er 0 0 0 ! , u¥P AP −1 = Er 0 0 0 ! Q−1P −1 , -Q−1P −1 = G B C D ! , KP AP −1 = Er 0 0 0 ! G B C D ! = G B 0 0 ! . ~11 › (1)ï˛|XJ¥Ç5Ã', K°T› è(1)˜ù. A¥m × r› , K(i) A¥˜ù 3må_› P¶A = P Er 0 ! ; (ii) A¥1˜ù 3rå_› Q¶A = (Em, 0)Q; y² (i) ø©5 A = P Er 0 ! , Ÿ•På_, Kr(A) = r( Er 0 ! ) = r, A¥˜ù. 7á5 A˜ù, KA•krf™Dr 6= 0.ÿîAcr1§f™ Dr =         a11 · · · a1r . . . . . . ar1 · · · arr         6= 0. KAå²L1–CÜzè Er 0 ! , =3å_› P1, · · · , Ps¶ Ps · · · P1A = Er 0 ! , -P −1 = Ps · · · P1, KP −1A = Er 0 ! .=A = P Er 0 ! . ~12 Aèm×n › Ör(A) = r. K3m×r˜ù› P⁄r×n1˜ù› Q¶A = P Q. y² œèr(A) = r, 3åm_› M9nå_› N¶MAN = Er 0 0 0 ! , u¥A = M−1 Er 0 0 0 ! N −1 , -M−1 = (P, L), N −1 = Q R ! , Ÿ•Pèm × r› , Lèm × (n − r)› ; Qèr × n› , Rè(n − r) × n)› . KA = (P, L) Er 0 0 0 ! Q R ! = P Q. œèM, Nå_, §±Pèm × r ˜ù› , Qèr × n1˜ù› . ~13 A =   3 1 0 2 1 −1 2 −1 1 3 −4 4  , ¶òá˜ù› P⁄1˜ù› Q¶A = P Q. 1 4 ê