第100讲微分方程的应用 453 设物体在运动过程中某一时刻t离开平衡位置为x(t),使物 体运动的力就是使物体回到平衡位置的弹簧恢复力∫.根据虎克 定律f=-kx(其中常数k为弹性系数,负号表示弹簧恢复力的 方向与物体位移的方向相反),由题设知k=mE,由牛顿第二定 a 律得 d kx,即 d2x⊥mg 也就是 d2 x=0 图100-1 上式即为本题的数学模型 该方程是二阶常系数线性齐次方程,其特征方程为r2+E=0,特征根为n1 g;,从而方程的通解为x=C1s4+Csin√Et,由初始条件 l dt 0 得C1=b,C2=0,于是本题的解为x=kos√t,即为所求的物体的运动规律 本题所建立的数学模型也是一种极为重要的数学模型.我们在教材微分方程一章的学 习中曾建立过类似的数学式 d 被称为无阻尼自由振动的微分方程 例4一条光滑的细链ACB,它的一部分AC位于倾角a= 30°的光滑斜面上,另一部分CB跨越斜面上面的边缘C,悬挂在 空中(如图100-2所示).当AC的长为6m,CB的长为4m时,细链 开始下滑,求细链完全脱离斜面所需的时间 B 解设细链在下滑时,时刻链的A端沿斜面上升到A',B 端下落到B.令B=x,则CB=4+x,这时AC=6-x设∠ B 细链单位长的重量为pg,那么链A'C段的重量为pg(6-x).这 重力铅直向下,它沿斜面的分力为p(6-x)sina=pg(6 图100-2 x),这个分力阻止细链下滑,悬挂部分CB′段的重量为pg(4+x),所以,使细链下落的力 28(6 由牛顿第二运动定律f=ma得 d r pg(4+x)-2Pg(6-x)=p(6+4)dr 化简得 ax-3x=5(其中,g=9.8m/s2) 若近似取g=10,可得 1.初始条件为x(0)=0,x(0)=0,这是一个二阶