三、连续型随机变量函数的分布 一般地,连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机 变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数 而且还希望求出其概率密度函数 设已知X的分布函数F(x)或概率密度函数f1(x),则随机变量函数y=g(X)的分布 函数可按如下方法求得 Fy(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y=P{X∈C 其中C,={xl8(x)≤y 而PX∈Cy常常可由X的分布函数F2(x)来表达或用其概率密度函数fx(x)的积分来 表达 P(XeC,)=S/(x)dr 进而可通过y的分布函数F(x),求出Y的密度函数 定理1设随机变量X具有概率密度f1(x),x∈(-∞,+∞),又设y=g(x)处处可导且恒有 (x)>0(或恒有g(x)<0),则Y=g(X)是一个连续型随机变量其概率密度为 fh()h)b a<y<B f(y)= 其它 其中x=h(y)是y=g(x)的反函数,且 a=mn(g(∞),g(+∞).B=max(g(-∞),g(+∞) 例题选讲 离散型随机变量函数的分布 例1(E01)设随机变量X具有以下的分布律,试求Y=(X-1)2的分布律 X|-1012 P|020.30104 解Y所有可能的取值0,1,4,由 P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2, 既得Y的分布律为 P010702 连续型随机变量函数的分布 例2(E02)设随机变量X~N(0,1,y=ex,求Y的概率密度函数三、连续型随机变量函数的分布 一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机 变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数. 设已知 X 的分布函数 F (x) X 或概率密度函数 f (x) X , 则随机变量函数 Y = g(X) 的分布 函数可按如下方法求得: ( ) { } { ( ) } { }. Y P X Cy F y = P Y  y = P g X  y =  其中 C {x | g(x) y}. y =  而 { } P X Cy 常常可由 X 的分布函数 F (x) X 来表达或用其概率密度函数 f (x) X 的积分来 表达:   = Cy P{X Cy } f X (x)dx 进而可通过 Y 的分布函数 F (x) Y , 求出 Y 的密度函数. 定理 1 设随机变量 X 具有概率密度 f (x), x(−,+) X ,又设 y = g(x) 处处可导且恒有 g (x)  0 (或恒有 g (x)  0 ), 则 Y = g(X) 是一个连续型随机变量,其概率密度为       = 0, 其它 [ ( )| ( )|, ( ) f h y h y  y  f y Y 其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数, 且  = min(g(−),g(+)), = max(g(−),g(+)). 例题选讲 离散型随机变量函数的分布 例 1(E01) 设随机变量 X 具有以下的分布律, 试求 2 Y = (X −1) 的分布律. 0.2 0.3 0.1 0.4 1 0 1 2 pi X − 解 Y 所有可能的 取值 0,1,4,由 { 4} { 1} 0.2, { 1} { 0} { 2} 0.7, { 0} {( 1) 0} { 1} 0.1, 2 = = = − = = = = + = = = = − = = = = P Y P X P Y P X P X P Y P X P X 既得 Y 的分布律为 Y 0 1 4 Pi 0.1 0.7 0.2 连续型随机变量函数的分布 例 2 (E02) 设随机变量 ~ (0,1), , X X N Y = e 求 Y 的概率密度函数