第九章图与网络 图论是运筹学中发展十分迅速，应用也比较广泛的一个分支，它的理论和方法在许多 领域诸如物理学.化学.电子计算机信息论.控制论.社会科学以及经济管理中都得到 了广泛的应用.图论之所以能够迅速发展和得到广泛的应用，是因为它同其它分支相比较 具有对实际问题描述的直观性以及易于将一些复杂的问题分解或转化成为更有效的方法 求解等特点 图论的内容十分丰富，涉及的面也比较广.本书所介绍的是图与网络理论和算法的基 本内容，是实际生活.生产和科研工作中经常用到的.我们首先学习一些有关图与网络的 基本概念，再研究几种标准的网络模型，即最短路问题和最小生成数问题。关于最大流问 题、最小费用流问题及最小费用最大流的应用将在第十章网络流问题中介绍. S9.1图与网络的基本概念 一 人们在日常的生活和工作中，经常见到各种各样的图，如公路或铁路交通图，通讯线 路图等运筹学中所研究的图”是一个抽象的数学概念为了能够理解这个概念，我们先 讨论几个例子 例1.数学家欧拉1736年发表了图论方面的第一篇论文即著名的哥尼斯堡七桥 题十八世纪东欧有个叫哥尼斯巴堡的城镇，小镇风景独特，有条普雷格尔河从镇中穿流 而过.该河中有两个岛，河上有七座桥把河的两岸和河中的两个岛连接起来.如图9-1所 示 图9-1 图92 当时该城的居民热衷于这样一个问题：一个人能否从某地出发一次把七座桥都走过 一遍，最后回到原地而不重复.这个问题的答案是否定的.欧拉用A,B,C,D四个点分别 表示河两岸和可中的两个岛.每座桥用连接相应两点的一条边表示.把图91化为图9-2 的一笔画问题。从而证明了这是不可能的，因为图9-2中的每个点都只与奇数条边相连 不可能不重复地一笔画出. 例2.图9-3所示是我国某地区的铁路交通示意图，反映了该地区铁路上各车站间相 对位置。这里点代表车站，用点和点之间的连线代表两车站之间的铁路线 例3.若发点1和s2可运送货物到收点t1,t2和，我们用点表示发点或收点，带箭 头的边表示货物发送方向，可以得到图94 1 ￾✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞ ✟✡✠✡☛✡☞✡✌✡✍✏✎✒✑✡✓✡✔✡✕✡✖✡✗, ✘✡✙✡✚✏✛✒✜✡✢✡✣✡✤✡✥✡✦✕✡✧. ★✡✤✡✩✠✡✪✡✫✡✬✡✭✡✮✡✯ ✰✡✱, ✲✡✳✡✴✡✩✍ . ✵ ✍ . ✶✒✷✡✸✡✹✡✺. ✻✡✼✠ . ✽✡✾✠ . ✿✡❀✡❁✍✡❂✡❃✡❄✡❅✡❆✩ ✎❈❇✡❉❋❊ ●✢✡✣✡✤✡✘✡✙. ✟✡✠✡❍✡■✡❂✡❏✡❑✡✖✡✗✡✑✡✓✡✪✡❉✡❊✢✡✣✡✤✡✘✡✙, ☛✡▲✡▼★✡◆✡❖✡★✕✡✧✡P ✛✒✜ ◗✡❘✡❙✡❚✡❯✡❱✡❲✡❳✡❨✤✡❩✡❬✡❭❂✡❃✡❪✡❫✡❴✥✡❵✡❛✡❜✡✤❱✡❲✕✡❝✡❞✡❡✵✡❢▼✡❣❘✡❤✤✫✡✬ ✐❝✡❥✡❦✡❧. ✟✡✠✤✏♠✒♥✔✡✕✡♦✡♣, q❃ ✤✡r✡✚✏✛✒✜✡✢. s✡t■✡✉✡✈✤☛✡✟✡✇✏①✒②✩✠✡✪✹✬ ✤✡③ s✏♠✒♥, ☛❚✡❯✡④✡⑤. ④✡⑥✪❁✡⑦✡⑧✡⑨ ✎✒❄✡⑩✙❊ ✤. ❶✡❷✡❸✡❹✍✡❺✥✡❵❘✡❻✟✡✇❼①✒②✤ ③✡s✡❽✡❾, ❿✡⑦✡➀✡➁✡➂✡➃✡➄✡✤ ①✒②✡➅❋➆, ➇✡➈✡➉✡➊❱✡❲✪➈✡➋④ ❢❋➌❱❋❲. ❻❫➈✡➍✡➎❱ ❲✡➏ ➈✡➋✡➐✡✙✡➎❱✡❲❃ ➈✡➋✡➐✡✙✡➈✡➍✡➎✡✤✡✘✡✙❴✡✭✡➑✡✔✡➒✏①✒②➎ ❱✡❲ ✎✒✉✡✈. §9.1 ➓→➔→➣→↔→↕→➙→➛→➜→➝ ➞✡➟ ➠ ❷✭➢➡➤⑩✤④❋⑤✪⑧❋⑨ ✎ , ❄❋⑩❋➥❋❊❋➦➂ ➦❋➧✤ ✟ , ✳❋➨❋➊❞❋➩➊❋➫❋➭✟ , ➭❋➯❋➲ ➊ ✟✡❥. ☞✡✌✡✍✏✎✒■⑦✡➀✡✤ “✟ ” ☛ ✥✡✦✡➳✡➵✡✤✡➌✍❽✡❾. ▼●❏✡❑✩❝✡➸✦✡❽✡❾, ❶✡❷✡❹ ➺✠ ➁✡✦✡➻✡✷. ➼ 1. ➌ ✍❋➽❋➾❋➚ 1736 ➪ ✑❋➶● ✟❋✠❋✫r❋✤➑✥❋➹✠❋➘, ➇❋➴❋➷❋✤❋➬❋➮❋➱❋✃❋❐❋❒❱ ❲ . ✔✡❮✡❰✡Ï✡Ð✡➾❘✦✏Ñ✒➬✡➮❋➱✏Ò❈✃✡✤❋Ó❋Ô, ➋✡Ô✡Õ✡Ö✡×❦ , ❘✡Ø✡Ù✡Ú✡Û✡Ü✡Ý✡ÞÔ ✎✒ß➎ à✡á. â Ý ✎❘✡ã✦✡ä, Ý✡å✡❘❐✡æ✡❒✡çÝ ✤ã✡è✪Ý ✎✤ã ✦✡ä❋é✡ê✡ë❋ì. ✳ ✟ 9–1 ■ í . ✟ 9–1 ✟ 9–2 î❋ïâ❋Ó❋✤❋ð❼ñ❈ò❋ó❫❋➸❋➧✥❋✦❱❋❲: ✥❋✦➠❏❋ôÞ❋õ❋ö❋÷ ✑ ✥❋ø❋ç❋❐❋æ❋❒❇❋ùá ✥❋ú, ➈❋û❼ü ❊❋ýöà❋þ❋ÿ❛. ➸ ✦ ❱❋❲✤✁￾✁✂☛❋ô✁✄✤. ➾❋➚✙ A, B, C, D ☎❋✦❧❋✕✁✆ ➶íÝ✡ã✡è✪Ý ✎✤ã ✦✡ä, ✝✡æ✡❒✡✙✡é✡êP✘ ã❧ ✤✡✥Ø✟✞➶í . ç ✟ 9–1 ✵ ▼✡✟ 9–2 ✤❋✥✁✠✁✡❱❋❲. Þà✁☛✌☞● ➸❋☛þ✁✍❏ ✤, ▲❋▼❋✟ 9–2 ✎✤✁✝❋✦❧❋❇✁✎❋✇✁✏➌ Ø✁✞Pé, þ✟✍❏þ✡ÿ❛ ö✥✟✠✟✡÷ . ➼ 2. ✟ 9–3 ■í☛ ❶✟✑õ✡ö✟✒✤➩ ➊✡➫✡➭í✟✓✟ , ✔✟✕●â ö✟✒➩ ➊ å➦✟✖✟✗✟✘✡P ❙✟✙✟✚. ➸✟✛✡❧✟✜✡➶✟✖✟✗, ✙❧✡✪✡❧✡❍✟✘✤✡é✡➲✜✡➶ã✖✟✗✡❍✟✘✤➩ ➊✡➲. ➼ 3. ✢ ✑✡❧ s1 ✪ s2 ✍☞✟✣✟✤✴ ❊✟✥✡❧ t1,t2 ✪ t3, ❶✡❷✡✙❧✡➶í✑✡❧✡❞✟✥✡❧, ✦✟✧ ★ ✤✞➶í✤ ✴✑✟✣✡✫✪✩, ✍❂✡❉✡❊✡✟ 9-4. 1