58.1两个引例 3 起来，并在C2图内填入C2的最短后部路线长度5，用同样的方法可以找出C3的最短后 部路线为C一D2一E,长度为9. 然后考感倒数第3阶段.用同样的方法可以画出B1一C2,B2一C2和B一C2三 条连线，并计算出B1,B2和B3的最短后部路线长度12、10、和10，填入相应圈内. 现在进行最初阶段的决策.这一阶段我们得到了从A开始的最短后部路线：A Bg→C2→D1 ,E,长度为14，其实这就是A至E的最短路线，如图82双线所示.至 此，解题过程结束，整个过程记录在图8-2上。这就是求最短路线的动态规划方法. 通过这个例千可以看出.动态规划的解额特点县把一个大的决箭间题分解为若干个 相关联的小的决策问题，逐个求解而每个小向题的决策方法基本相同，且较简单，应诊 说。动态规划的概念是比较简单的.所以.虽然我们在学习动态规划方法时将会遇到较多 的符号表示.但它们是易于理解的 动态规划比穷举法具有显著的优点.对于本例，用动态规划方法解题时，每一计算阶 段都利用了上一计算阶段的结果，因而较之穷举法减少了很多计算量。阶段数愈多，这种 效果愈显著。此外动态规划方法使我们得到的不仅仅是由A到E的最短路线及其长度， 而且还有每一中间点到终点E的最短路线及其长度，这些结果有时是很有用的 二、投资金额分配问题 例2.某公司有资金4百万元，可以向A、B和C三个项目加投资，各个项目可以 有不同的投资额（以百万元为单位），相应的效益如表8-1所示。问怎样分配资金使总效益 值最大？ 表8-1 投资 投资额（百万） 01234 64 7只 我们可以把这个间题看成在不同的时间阶段对不同的项目做出决策而作为动态规划 问题处理.问题显然可分为3个阶段.第1阶段先对项目A做出决策，第2阶段根据利 下的资金对B做出决策.第3阶段再根据和下的资金对C做出决策（这个页序是任意碳 定的).如果用穷举法解这个问题，要考虑35个方案，现在我们用动态规划方法解这个问 题.既然首先对A,其次对B,最后对C做出决策，则从对项目C进行决策开始解题（这 和例1先考感最后一段路线的决策是同一道理)。 对项目C的最优决策取决于有多少剩余的资金可分配这个数额一般地称之为状 态.表8-2列出了可能出现的一切状态、能够考虑的一切决策（分配给项目C的资金额 以及每个决策的效益值，最后两栏指出每一状态下的最优决策及效益值，“一 号表示在该 状态下不可能的决策。 §8.1 ▼❖◆❈P❖◗ 3 ✜✁✛, ➂ ☛ C2 ❀❈❄❖❂✁❃ C2 ✓✡✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮✡õ✡ö 5✛➉③✡✬✡❀✡✓✇✡②✗✡✷✡q❯ C3 ✓✡✻✡ä✡➨ ✎✡➱✡➮☞ C3 → D2 → E, õ✡ö☞ 9✛ ➧✡➨✲✁✳✁❋Û✡Ñ 3 ❘✡❙✛✢③✡✬✡❀✡✓✇✡②✗✡✷✁✾❯ B1 → C2,B2 → C2 ✚ B3 → C2 ❘ â✡Ø✡➮, ➂✡ô✡➇❯ B1,B2 ✚ B3 ✓✡✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮✡õ✡ö 12❙ 10❙☎✚ 10, ❂✁❃❍➯✁❀❈❄✏✛ ✠☛åæ ✻❊✮❘❙ ✓✳✴✛ ✜✧❘❙ ❱❲❊❚✟ñ ❃ A ✫❊✬✓✻ä➨❊✎➱➮: A → B3 → C2 → D1 → E, õ✡ö☞ 14, ➫✁☛✜✁✆✡✦ A ã E ✓✡✻✡ä✡➱✡➮, ❴✡➬ 8–2 ❯✡➮✡✱✡Ú✡✛❵ã ➈, ❥✡❂✡✒✁✼✁❱✁❲, ✻✡●✒✁✼✹✁✺✡☛➬ 8–2 ❅ ✛✢✜✁✆✡✦✡✹✡✻✡ä✡➱✡➮✡✓✡⑧✚✡❻❈✇✡②✛ ✍✰✒✰✜● ÿ✝❳✰✗✰✷✝❆❯ , ⑧✚✰❻❈✰✓✰❥✰❂✰✤✰✥✰✦✰❜✰✧●✝❨✓✰✳✰✴✰❁✰❂✰❉✰❥☞✰❊✰❋✰● ❍✝❩✰❏✓✝✿✰✓✰✳✰✴✰❁✰❂, ❶ ● ✹✰❥, ✑◗✰●✿✰❁✰❂✰✓✰✳✰✴✇✰②➠✰➡❍ ✬, ❬✰➏✝❭✰➃✰✛ ➯✝❪ ✫, ⑧✚✰❻❈✰✓✰➢✰➤✰✦♣➎r➏✝❭✰➃✰✓, ✱✰✷, ❫✰➧✰❱✰❲☛ ➀✝❴✰⑧✚✰❻❈✇✰②✭✰❇✤✝❵✟➏✰❦ ✓✡➌✡➍✡Ù✡Ú, ➁✁✂✡❲✡✦✕④✡✯✡❥✡✓✡✛ ⑧✚✡❻❈➋➎✏ò✡ó②✡➣✲✁✥✁❛✡✓✡✼✡✥✰✛☎✏✡④✰➡✡ÿ, ③✡⑧✚✡❻❈✇✡②❥✡❂✭ , ◗ ✧✡ô✡➇❘ ❙ ✖✁★✡③ñ❅✧✡ô✡➇❘✡❙✓✁❱✡❛, ✖✁✑✡➏✡❳✡ò✡ó②✁❜❽ ñ✁❝❦✡ô✡➇✡✶✡✛ ❘✡❙Û✁❞✰❦, ✜✡⑥ ❡ ❛✁❞✁✥✁❛✡✛ ➈✡➊, ⑧✚✡❻❈✇✡②✁❢❱✡❲✁❚✟ ✓✡❼✁❣✁❣✡✦❈✪ A ✟ E ✓✡✻✡ä✡➱✡➮✁❤➫ õ✡ö, ✑✁❬✁✗✡✲◗ ✧➋♦❄ ✥ ✟è✡✥ E ✓✡✻✡ä✡➱✡➮✁❤➫ õ✡ö, ✜✡✺✁❱✡❛✡✲✭ ✦ ❝ ✲✡③✡✓✡✛ ✐➾❖❥❧❦❧♠❧♥❧♦❧♣➺➘➺➴ ➷ 2. ⑤✁q✁r✡✲✁s✁t 4 ✉✁✈✁✇, ✗✡✷❈✭ A❙ B ✚ C ❘ ●✁①③②⑤④✁⑥✁⑦s, ➆ ●✁①③② ✗✡✷ ✲Ó❼Ó✬Ó✓⑦ s✢⑧ (✷✢✉✢✈✢✇☞➃✢⑨), ❍➯Ó✓❡✢⑩❴ÓÙ 8–1 ✱ÓÚÓ✛ ❁✢❶Ó❀Ó❉✢❷✢s✢t❢✁❸❡✁⑩ ✽✡✻❨ ? Ù 8–1 ⑦ s ⑦ s✁⑧ (✉✁✈✁✇) ①③② 0 1 2 3 4 A 38 41 48 60 66 B 40 42 50 60 66 C 48 64 68 78 76 ❱✡❲✡✗✡✷✡❜✡✜● ❁✡❂✁❆✡❞☛ ❼✡✬✡✓✭✡❄❘✡❙✏✡❼✡✬✡✓①③②⑤❹✡❯ ✳✡✴✁✑❚✡☞⑧✚✡❻❈ ❁✡❂✡✮✡✯✡✛✢❁✡❂✁✥✡➧✡✗✡❉☞ 3 ●✡❘✡❙✛✢Ñ 1 ❘✡❙➒✏ ①③② A ❹✡❯ ✳✡✴, Ñ 2 ❘✡❙❍✁✶✁❺ í✡✓✁s✁t✁✏ B ❹✡❯ ✳✡✴, Ñ 3 ❘✡❙➝✁❍✁✶✁❺✡í✡✓✁s✁t✁✏ C ❹✡❯ ✳✡✴ (✜ ●✁❻❡✡✦✁❼✁❽● ✔✡✓)✛✢❴✡❛✡③✡ò✡ó② ❥✡✜● ❁✡❂, ❖✲✁✳ 35 ●✡✇✁❾✛ ✠✡☛❱✡❲✡③✡⑧✚✡❻❈✇✡②❥✡✜● ❁ ❂✡✛☎❿✡➧✱✡➒✏ A, ➫ ★✁✏ B, ✻✡➨✁✏ C ❹✡❯ ✳✡✴, Õ✡❃✁✏①③② C å✡æ✳✡✴✁✫✁✬✡❥✡❂ (✜ ✚✡ÿ 1 ➒✁✲✁✳✻✡➨✡✧❙ ➱✡➮✡✓✡✳✡✴✡✦✡✬✡✧✁❇✡✯)✛ ✏ ①➀② C ✓✰✻✰✼✰✳✰✴✝➁✰✳✰④✰✲✰❦✰❽❊❺✝➂✓❊s✝t✗✰❉❊❷, ✜ ●Û✝⑧✰✧✝➃✰❰✰✘✰❳☞➅➄ t✡✛✢Ù 8–2 ❢ ❯✡ñ✗ Ô✡❯✡✠✓✡✧✁➆✁➇✚ ❙ Ô✁➈✲✁✳✓✡✧✁➆✡✳✡✴ (❉✁❷✁➉①③② C ✓✁s✁t✁⑧) ✷✁❤◗✡●✳✡✴✡✓❡✁⑩✽, ✻✡➨→✁➊⑨ ❯✡◗✧✁➇✚í✡✓✡✻✡✼✡✳✡✴✁❤❡✁⑩✽,“—” ➍✡Ù✡Ú☛❪ ➇ ✚í✡❼✡✗Ô ✓✡✳✡✴✡✛