第八章动态规划 最短路线.本例共有12条不同路线，比较它们的长度，最短路线为 A-→B3-+C2-+D1-→E 其长度为14.当决策阶段较多，各阶段可选择的地点也较多时，计算就相当冗繁，甚至无 法实现。 下面介绍的求最短路线的方法是典羽的动态规别方法。这种方法要用到最短路线回 题的一个特性，这就是如果最短路线通过点，则这条路线从P点至终点的部分，对于 从P至终点的所有路线（称为P的后部路线）而言，必定也是最短的路线(~的最短后部 路线).上例中，路线C2一D1一E就是C2至E所有路线中的最短的路线.这个特性是 易于理解的，因为如果从至终点还有另一更短的路线存在，则把它和原来最短路线从起 点至卫的那一部分连接起来，就会形成·条比原来的最短路线更短的路线。这显然是矛盾 的，因而是不可能的。 现在我们利用上述原理，由最后一段路线开始，向最初阶段递推，作出各个阶段的最 优决策。 首先考虑最后阶段。这一阶段要分别对D1和D2找出最短后部路线。先考虑D1。 由于D,至E只有一条路线因而D的最短后部路线即为D1一E,其长度为3.据上述 最短路线问题的特性可知，如果A至E的最短路线通过D,则从D1至终点E的这 部分必为D:一E.为了记录整个问题的决策过程，按图8-1画出表示各个点的小图（见 图8-2)将D1至E的最短路线长度埴入D,因内.并将D1和E用线连接起来.显然 D1一E就是D1的最短后部路线.再看D2,同样道理，D2一E为D2的最短后部路线 长度为4，把数4填入D2圈内并连接D2和E, 图8-2 接着考虑倒数第2阶段.这一阶段要找出C,C和C的最短后部路线.C的后 部路线的第1段只能是C→D,因而C的最短后部路线是C一D1一E,其长度 是C一D长度与D1圈内数字之和(4+3=7).连接C1和D1,并将C的最短后部 路线的长度填入C1圈内。C2的后部路线的第1段有两种选择：C2→D1和C2一D2 为确定C的最短后部路线，可比较下面两个数字C一D1的长度与D1圈内数字之利 (2+3=5),C2一D2的长度与D2圈内数字之和(3+4=7)，其中最小者应为C2的最短后部 路线的长度.可见C2的最短后部路线是C2→D1→E,长度为5.根据前述最短后部路 线向题的特性，这样决定的最短后部路线，其正确性是无可怀疑的.我们将C2和D1连接2 ÷✡ø✡ùûú➋ü✏ý✡þ ✻✡ä✡➱✡➮✡✛✢➡✡ÿ✁￾✡✲ 12 â✡❼✡✬✡➱✡➮, ➎✏➏✁✂✡❲✡✓✡õ✡ö, ✻✡ä✡➱✡➮☞ A −→ B3 −→ C2 −→ D1 −→ E ➫ õ✰ö☞ 14✛☎✄✰✳✰✴❘✰❙➏✰❦, ➆❘✰❙✗✰àá ✓✰❰✰✥✰✾✰➏✰❦✭ , ô✰➇✝✆❍ ✄✝✞✝✟, ✠✰ã✝✡ ②✁☛✡✠✛ í✁☞✡➞✡➟✡✓✡✹✡✻✡ä✡➱✡➮✰✓✇✡②✦✝✌✡✕✰✓✰⑧✚✰❻❈✇✰②✛ ✜✡⑥✇✰②❖✰③ ✟✻✰ä✰➱✡➮✰❁ ❂✰✓✰✧● ✤✰❺, ✜✝✆✰✦: ❴✰❛✰✻✰ä✰➱✰➮✝✍✰✒ p ✥, Õ✰✜✰â✰➱✰➮✰❃ p ✥✰ã✰è✰✥✰✓✝✎✰❉, ✏✰④ ❃ p ã✰è✰✥✰✓✰✱✰✲✰➱✰➮ (✘ ☞ p ✓✰➨✝✎✰➱✰➮) ✑✝✒, ✓✝✔✰✾✰✦✰✻✰ä✰✓✰➱✰➮ (p ✓✰✻✰ä✰➨✝✎ ➱✡➮)✛ ❅ ÿ➋♦, ➱✡➮ C2 → D1 → E ✆✡✦ C2 ã E ✱✡✲✡➱✡➮➋♦✏✓✡✻✡ä✡✓✡➱✡➮✡✛❵✜● ✤✡❺✡✦ ✕④✡✯✡❥✡✓, ✖☞ ❴✡❛✡❃ p ã✡è✡✥✁✗✡✲✁✘✡✧✁✙✡ä✡✓✡➱✡➮✡✿☛ , Õ✡❜✁✂✁✚✡➦✁✛✡✻✡ä✡➱✡➮✡❃✁✜ ✥Óã p ✓Ó❤Ó✧✢✎Ó❉ÓØ✢✣✢✜✢✛, ✆✢✤Ó❝Ó❞Ó✧ÓâÖ➎×➦✢✛Ó✓Ó✻✡äÓ➱✡➮✁✙Óä✡✓Ó➱✡➮✡✛ß✜✁✥Ó➧✡✦✢✦✁✧ ✓, ✖✁✑✡✦✡❼✡✗Ô ✓✡✛ ✠✰☛❱✰❲✝★✰③❅✝✩➦✰✯, ✪r✻✰➨✰✧❙ ➱✰➮✝✫✝✬, ✭r✻✝✮❘✰❙✝✯✝✰, ❚✰❯ ➆ ●✰❘✰❙✓✰✻ ✼✡✳✡✴✡✛ ✱✡➒✁✲✁✳✻✡➨❘✡❙✛✢✜✰✧❘✰❙❖✡❉✝✴✝✏ D1 ✚ D2 q ❯ ✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮✡✛ ➒✁✲✝✳ D1 ✛ ✪✏④ D1 ã E ✵✡✲✡✧✡â✡➱✡➮, ✖✁✑ D1 ✓✡✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮✡❷☞ D1 → E, ➫ õ✡ö☞ 3✛✷✶❅✁✩ ✻✰ä✰➱✰➮✰❁✰❂✰✓✰✤✰❺✰✗✝✸, ❴✰❛ A ã E ✓✰✻✰ä✰➱✰➮✝✍✰✒ D1, Õ✰❃ D1 ã✰è✰✥ E ✓✰✜✰✧ ✎✡❉✁✓☞ D1 → E ✛ ☞✡ñ✁✹✁✺✁✻✡●❁✡❂✡✓✡✳✡✴✡✒✝✼, ✽✡➬ 8–1 ✾ ❯ Ù✡Ú✡➆● ✥✡✓✁✿✁❀ (❁ ➬ 8–2)✛ ❇ D1 ã E ✓✰✻✰ä✰➱✰➮✰õ✰ö✝❂✝❃ D1 ❀❅❄, ➂ ❇ D1 ✚ E ③✰➮✰Ø✝✣✝✜✝✛, ✥✰➧ D1 → E ✆✡✦ D1 ✓✡✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮✡✛✢➝✁❆ D2, ✬✡❀✁❇✡✯, D2 → E ☞ D2 ✓✡✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮, õ✡ö☞ 4✛✢❜✡Û 4 ❂✁❃ D2 ❀❈❄✏➂✡Ø✁✣ D2 ✚ E ✛ ➬ 8–2 ✣❊❉✲❊✳❊❋ÛÑ 2 ❘❙ ✛ ✜✧❘❙ ❖q ❯ C1,C2 ✚ C3 ✓✻ä➨❊✎➱➮✛ C1 ✓➨ ✎✰➱✰➮✰✓✰Ñ 1 ❙ ✵Ô✦ C1 → D1, ✖✝✑ C1 ✓✰✻✰ä✰➨✝✎✰➱✰➮✰✦ C1 → D1 → E, ➫ õ✰ö ✦ C1 → D1 õ✰ö✰➥ D1 ❀❅❄rÛ✰Ü✰❳✝✚ (4+3=7)✛ Ø✝✣ C1 ✚ D1, ➂ ❇ C1 ✓✰✻✰ä✰➨✝✎ ➱✰➮✰✓✰õ✰ö✝❂✝❃ C1 ❀❅❄r✛ C2 ✓✰➨✝✎✰➱✰➮✰✓✰Ñ 1 ❙ ✲→ ⑥✰àá :C2 → D1 ✚ C2 → D2 ✛ ☞✝●✔ C2 ✓✰✻✰ä✰➨✝✎✰➱✰➮, ✗♣➎r➏✰í✝☞→●Û✰Ü:C2 → D1 ✓✰õ✰ö✰➥ D1 ❀❅❄rÛ✰Ü✰❳✝✚ (2+3=5),C2 → D2 ✓✡õ✡ö✡➥ D2 ❀❈❄✏Û✡Ü✡❳✁✚ (3+4=7), ➫ ♦✏✻✁✿✡✪✡➯☞ C2 ✓✡✻✡ä✡➨✁✎ ➱✡➮✡✓✡õ✡ö✡✛✢✗✁❁ C2 ✓✡✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮✡✦ C2 → D1 → E, õ✡ö☞ 5✛☎❍✁✶✁■✩ ✻✡ä✡➨✁✎✡➱ ➮✡❁✡❂✡✓✡✤✡❺, ✜✡❀✡✳✁✔✡✓✡✻✡ä✡➨✁✎✡➱✡➮, ➫✁❏✁●❺✡✦✁✡✡✗✁❑✁▲✡✓✡✛ ❱✡❲❇ C2 ✚ D1 Ø✁✣