第十二章重积分 再者:有:(M-()1-m|20=M+m)≥m+/(x) (M+m)≥M m 令u=「f(x)tx,p dy→(M+m)≥Mmv+u f( →(M+m)≥Mmv+l≥2Mm、l →Mmu≤ (M+m) →t≤ (M+m) 4Mm 即 dxd≤ ) 4M 综合在一起有:1sy+m) 0≤ys1 另外,该问题后一部可利用以下结果:两正数之和小于 正数A,则乘积的最大值为4,即 Max(xy) S.tx+y≤A;x,y≥0 时,xy取最大值,即xy≤ A 7-2三重积分 例九,求三重积分 =/gy+,其中 0≤z y 解:由函数与域的对称性; I=「({x+y+zh=zdh 球坐标系:=Jh=40 rCos r Sin9b= 第十二章重积分第十二章 重积分 第十二章 重积分 再者：有： ( ( )) ( )           − 1− 0 f x m M f x ( ) ( ) f (x) f x M m M + m  +  ( ) ( ) ( )   +  + 1 0 1 0 f x dx f y dy M m Mm 令   = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) , dy f y u f x dx v  (M + m)  Mmv + u  (M + m)  Mmv + u  2 Mmv  u  ( ) 4 2 M m Mm uv +   ( ) Mm M m uv 4 2 +  . 即 ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 2 0 1 0 1 +       综合在一起有： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数 A , 则乘积的最大值为 2 2       A , 即 ( )    s. t. x + y  A; x, y  0 Max x y  当 2 A x = y = 时, xy 取最大值，即 2 2        A xy . 7-2 三重积分 例九， 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ;