作变换x=(nπ/h)r和y(x)=R(r),就可以将此方程化为 1 dz dx 这个方程称为量 Bessel方程,因为再作变换t=ir就可以将它化为 Bessel方程于是,方程 1)的通解就 In7 + dnm 17丌 R(r)=CJ 这里就间现方并量为以再数的B数和Nmm函数 讨论,当Be函数的量为数xeP(z为实数)时,函数值也异度、2+ Jv(reim/) k!r(k+v+1) 2 这样,便一定第一类。量 Bessel函数 (c,(/)=∑r(++({1 2k+ 定是对于整数阶的第一类 再并量Be函数,简单地有 In(a)=inN(ir) (23.37) 因此,当x和v均为实数时,L(x)的函数值也是实数 样,由于L(x)和Ln(x)都是量 Bessel方程(2334)的解,而且,考虑到 I-n(a)=In(a), 及 可以定第二类量 Bessel函数为 再并 Kv(a) (x)-L( 这样,当v为整数n时,Kn()-然有且与Ln()和性无关 Kn(a)=lim K,(a) n+1 -(m+k+1)-+1)(2 2A+n 23 第页 这里约定,当n=0时,应右端第一项的有限和 由L()和K()的定及,容易体间它们在x→0时的是近行为,定的是,如果≥0,则 L,(x)是有界的,而K(x)是无界的.当x→∞时,它们的是近行为又是 2341)Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) ➼ 11 ➽ Ô➨Õ x = (nπ/h)r ➆ y(x) = R(r) ✛ ➋ ➔➥➝➞✣✤Ö❐ 1 x d dx  x dy dx  +  − 1 − m2 x 2  y = 0. (23.34) ➁✔✣✤ü ❐➦➢➩ Bessel ✣✤✛✴ ❐ ➦Ô➨Õ t = ix ➋ ➔➥➝➮ Ö❐ Bessel ✣✤✩➬➌ ✛ ✣✤ (23.310 ) ✥ Ó➜ ➋➌ R(r) = CJm  inπ h r  + DNm  inπ h r  . (23.35) ➁❑ ➋ ✗✏æ➢ ➩ ❐➥➦✃✥ Bessel ➱✃➆ Neumann ➱✃✩ ✓✜✢✣✛ò Bessel ➱✃✥➢ ➩ ❐➥➦✃ xe iπ/2 (x ❐ í ✃) õ ✛ ➱✃★❆ ➌➤✃ ✩ Jν(xe iπ/2 ) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2 e iπ/2 2k+ν = eiνπ/2X∞ k=0 1 k! Γ (k + ν + 1) x 2 2k+ν . ➁➂✛⑨ ✑➩✮➡ Þ ✓ ❄➦➢➩ Bessel ➱✃ Iν (x) ≡ e −iνπ/2 Jν(xe iπ/2 ) = X∞ k=0 1 k! Γ (k + ν + 1) x 2 2k+ν . (23.36) ✮✥➌ ➴➬ô✃Ý✥Þ✓ ❄➦➢➩ Bessel ➱✃✛➸➺ý✳ In(x) = i−n Jn(ix). (23.37) ✴➞✛ò x ➆ ν ✼❐ í ✃õ✛ Iν(x) ✥➱✃★❆ ➌ í ✃ ✩ ✒ ➂✛Ü ➬ Iν(x) ➆ I−ν (x) û ➌➦➢➩ Bessel ✣✤ (23.34) ✥ ➜✛ÏP✛×Ø➑ I−n(x) = In(x), (23.38) ➔➥✮➡ Þ❃❄➦➢➩ Bessel ➱✃❐ Kν(x) = π 2 sin νπ h I−ν (x) − Iν(x) i . (23.39) ➁➂✛ò ν ❐ô✃ n õ ✛ Kn(x) ➫ ✡✳ ✛ ➡✛P ✉ In(x) ➆❏öð✩ Kn(x) = limν→n Kν(x) = 1 2 nX−1 k=0 (−) k (n − k − 1)! k! x 2 2k−n + (−) n+1X∞ k=0 1 k! (n+k)!  ln x 2 − 1 2 ψ(n+k+1)− 1 2 ψ(k+1)x 2 2k+n . (23.40) ➁❑ ➫➻✮✛ò n = 0 õ ✛➷➼➽✵✶Þ ✓➾ ✥ ✳ ➎➆✩ ➚ 23.2 ❿ ▼✗æ②➪✔ In(x) ➆ Kn(x) ✥ ➚ ✰ ✩ Ü Iν (x) ➆ Kν(x) ✥ ✮➡✛③④✖✗➮ø✑ x → 0 õ✥➌➍➶❐ ✩✮✥➌ ✛❀ ✬ ν ≥ 0 ✛å Iν(x) ➌ ✳ ➈✥✛Ï Kν(x) ➌ ö ➈✥✩ò x → ∞ õ ✛➮ø✥➌➍➶❐Û➌ Iν(x) ∼ r 1 2πx e x , (23.41) Kν(x) ∼ r π 2x e −x . (23.42)