§23.3虚宗量 Bessel函数 第10页 233虚宗量 Bessel函数 从原则上说,在 Bessel函数乃至 Neumann函数和 Hankel函数的定义中,它们的宗量本来就可 以是复数.但是,为了实用上的方便,对于 Bessel函数的宗量为纯虚数的情形还是值得作一些分 析讨论,并进一步定义两类虚宗量的 Bessel函数 不妨仍然从偏微分方程的定解问题出发,来引入虚宗量的Beel函数例如,假设有圆柱体 内的 Laplace方程定解问题 1 a2ua2u (23.28b =0有界 =f(,2) (2328d) 按照分离变量法的标准做法,令 a(r,o,2)=R(r)重()z(2) 代入方程(23.28a)以及边界条件(23.28b)和(23.28c),分离变量,就会得到本征值问题 ()+p()=0, (0)=p(2丌),更(0)=更(2π) (2)+AZ(z) (0)=0,Z(h)=0 (23.30b) 以及常微分方程 由本征值问题(23.29),可以得到 本征值 m=0,1,2,3, 本征函数 更m()= Am cos n+ Bm sin mo 其中Amn和Bm是任意常数.再由本征值问题(23.30),又可求得 本征值 n丌)2 n=1,2,3 (23.33a) 本征函数 Zn(2)= 这样,常微分方程(23.31)就变成 (23.31)Wu Chong-shi §23.3 ↕➙➛ Bessel ✝✞ ➼ 10 ➽ §23.3 ➜➝➞ Bessel ➉➊ ✒❻åë✢✛✑ Bessel ➱✃➟➠ Neumann ➱✃➆ Hankel ➱✃✥✮➡ ❿ ✛➮ø✥➢ ➩ ✦ ✣ ➋ ➔ ➥ ➌➤✃ ✩✷ ➌ ✛ ❐ æíïë✥✣⑨✛➴➬ Bessel ➱✃✥➢ ➩ ❐➥➦✃✥✰ ✰ ❭ ➌★↕Ô✓➣➅ ➧✜✢✛➢➨✓❶✮➡➫ ❄➦➢➩ ✥ Bessel ➱✃✩ ✑➩➫✡✒➃➄➅✣✤✥✮➜✗✘✗➏✛✣➭✙ ➦➢➩ ✥ Bessel ➱✃✩⑦❀✛➯❡✳ ✯❜ ✖ r ✥ Laplace ✣✤✮➜✗✘ 1 r ∂ ∂r  r ∂u ∂r  + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 + ∂ 2u ∂z2 = 0, (23.28a) u   φ=0 = u   φ=2π , ∂u ∂φ    φ=0 = ∂u ∂φ    φ=2π , (23.28b) u   z=0 = 0, u   z=h = 0, (23.28c) u   r=0✳ ➈, u   r=a = f(φ, z). (23.28d) ◗➲➅➧➨➩✟ ✥ ❹➳ ✓ ✟✛➤ u(r, φ, z) = R(r)Φ(φ)Z(z), ➠✙ ✣✤ (23.28a) ➥ ➡➇➈➉➊ (23.28b) ➆ (23.28c) ✛➅➧➨➩✛➋✤ ↕➑✦✧★✗✘ Φ 00(φ) + µΦ(φ) = 0, (23.29a) Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π) (23.29b) ➆ Z 00(z) + λZ(z) = 0, (23.30a) Z(0) = 0, Z(h) = 0 (23.30b) ➥ ➡➵ ➄➅✣✤ 1 r d dr  r dR dr  +  −λ − µ r 2  R = 0. (23.31) Ü✦✧★✗✘ (23.29) ✛➔➥↕➑ ✦ ✧ ★ µm = m2 , m = 0, 1, 2, 3, · · ·, (23.32a) ✦✧➱✃ Φm(φ) = Am cos mφ + Bm sin mφ, (23.32b) ê ❿ Am ➆ Bm ➌✚✛➵✃ ✩➦ Ü✦✧★✗✘ (23.30) ✛ Û ➔✪↕ ✦ ✧ ★ λn = nπ h 2 , n = 1, 2, 3, · · · , (23.33a) ✦✧➱✃ Zn(z) = sin nπ h z. (23.33b) ➁➂✛➵ ➄➅✣✤ (23.31) ➋ ➨❋ 1 r d dr  r dR dr  +  − nπ h 2 − m2 r 2  R = 0. (23.310 )