*632◆ 北京科技大学学报 2005年第5期 其中，m>>d,{e}表示噪声和误差函数，f八)为映射 后，就可以用下式再重构数据的主流形： 函数，且通常是非线性的，主流形识别是指根据 y=八x)=+QL-(x-) (5) 高维数据{x}确定低维的坐标系{x},即从高维含 其中，L是转换矩阵L的广义逆，其求解与相 噪数据中抽取出蕴含其中的低维主流形，这个过 关.重构时，如果只对d维切空间中前d维(d<d 程也称为数据的降维，根据低维空间的数据t,给 信息感兴趣，可以只取2的前d个向量代入式 出高维空间中相应的数据点x,即估计高维数据 (3)中进行计算，最后得到YERw即为高维空间 中的主流形八)，这个过程称为主流形重构. 中的主流形. 在主流形识别方面，近年来出现了很多研究 成果.2000年S.T.Roweis和L.K.Saul提出了局 3基于相重构和主流形识别的信 部线性嵌入算法，J.B.Tenenbaum和V.Silva等 号降噪方法 提出了非线性减维算法Isomap.2002年，Zhang 和Zha等提出了局部切空间变换算法.考虑到 针对非线性动力学系统中反映系统本质特 LTSA算法在主流形识别与重构方面的优点，， 征的主流形与噪声在高维相空间中分布的不同， 本文选用LTSA算法来提取蕴含在相空间高维数 本文提出了基于相重构和主流形识别的信号降 据中的低维主流形，并根据主流形再重构系统的 噪方法，其主要思路如图1所示， 吸引子 降噪算法的主要步骤如下： 2.1用LTSA算法进行非线性数据降维 (1)选择合适的嵌入维和时间延迟对一维信 对数据集X=[x,,,xw,x∈R",要从中寻找 相重构 主流形识别 一个d维(m>d的主流形，LTSA算法的主要思想 一维含噪信号一相空间中的高维数据樂 是：找出每个数据点的邻近点，用邻域中低维(d 维)切空间的坐标近似表示局部的非线性几何特 反求 低维主流形 按主流形重构得 性，再通过变换矩阵将各数据点邻域切空间的局 降噪信号的一维信号 到的高维数据 主流形重构 部坐标映射到一个统一的全局坐标上，从而实现 图1降噪算法的主要思路 数据降维，即从m维的数据中，得到一个全局的d Fig.1 Main idea of the noise reduction algorithm 维坐标 号进行相空间重构. LTSA算法的步骤可以总结如下： (2)对相空间的数据用局部切空间变换算法 (1)构造局部邻域.对每个数据点x,=1,2,…N, 提取主流形， 用欧氏距离或最大范数确定其k个邻近点组成 (3)根据系统的分形维数，选择式（⑤）中Q的前 的邻域X,=[x,xe,xJ. 个向量，在高维相空间进行主流形的重构， (2)局部线性拟合.在每个数据点x的邻域内 (4)按照式(5)从相空间中的数据反求一维信 选择一组正交基2构成x的d维切空间：计算邻域 号，得到降噪后的一维信号 中的每个点xwj=1,2,…,k到切空间上的正交投 如果噪声较大，可以重复步骤(1(4)，直到 影砂=(x-),其中，为邻域内的均值.2通常 达到理想的效果为止， 取为X的前d个最大的左奇异向量 (3)将局部坐标转换为全局坐标.对每个邻域 4仿真实验结果 的局部切空间坐标8=[9，，，]，i=1,2,…N, 通过数值仿真实验对基于相重构和主流形 构造转换矩阵L,=T∈R,通过下式的求解，得 识别的降噪方法进行验证， 出行向量为正交的低维全局坐标映射 4.1对正弦信号的仿真实验 T=[t,,",n]∈Rw 对正弦信号=2sin(4d)叠加高斯白噪声.图2 min-名ele (4) (a)为采样频率为128Hz时前8s的信号，信噪比 其中，8i是8，的广义Moor-Penrose逆，T={tn,ta,, 为2.86dB.图2b)是用本文算法降噪后的结果， T],对应的下标集合{，，i}由数据点x的邻 降噪后的信噪比为20.32dB.因为噪声比较大，算 域来确定；e为全1向量. 法采用了两次循环.第一次循环中相空间嵌入维 2.2用LTSA算法进行主流形重构 m=80,时间延迟1，邻近点k-40,映射切空间维 计算出每个数据点x对应的全局坐标之 数在20：第二次循环中，m=80,=1,-40,d-3.. 6 3 2 - 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 5 年 第 s 期 其 中 , m > >d , {动 表 示 噪声和 误差 函数 了丈` ) 为 映射 函数 , 且 通常 是 非线 性 的 . 主 流 形识 别 是指 根 据 高维 数据 x{, }确 定低 维 的坐 标 系 {价 , 即从 高维 含 噪数 据 中抽 取 出蕴 含其 中的低 维主 流形 , 这 个 过 程 也 称 为数据 的 降维 . 根据低 维 空 间 的数 据芍 , 给 出高 维 空 间 中相应 的 数据 点龙 , 即估 计 高维 数 据 中的 主流 形八动 , 这 个 过程 称 为主 流 形重 构 . 在 主流 形 识 别方 面 , 近 年来 出现 了很 多研 究 成 果 . 2 0 0 0 年 5 . .T oR w ie s 和 L . K . S aul 提 出 了局 部线性嵌 入算 法 〔9] , J . B . 介n e n b a uln 和 v s il va 等 提 出 T 非 线性减 维 算法 I s om 即`,。 , . 2 0 0 2 年 , hz an g 和 Z h a 等 提 出 了局 部切 空 间 变换 算 法 〔川 . 考 虑 到 L T S A 算 法在 主 流 形 识别 与重 构 方 面 的优 点`, , ,l2J , 本 文选用 LT SA 算法 来提 取 蕴含 在相 空 间高 维数 据 中 的低 维 主流 形 , 并根 据 主流 形 再重构 系 统 的 吸 引子 . .2 1 用 L l , S A 算 法进 行 非 线性数 据 降维 对 数 据集 X 二 x[ , , 为 , … ,司 , ix 任 砂 , 要 从 中寻 找 一个 d 维伽> 刃的主 流形 , L T S A 算 法 的 主要 思 想 是 : 找 出每 个 数据 点 的邻 近 点 , 用 邻 域 中低 维 d( 维 )切 空 间 的坐标 近似 表 示 局部 的非线 性几 何特 性 , 再 通 过变换 矩 阵将 各数 据 点邻域切 空 间 的局 部 坐标 映射 到 一个 统一 的全 局 坐标 上 , 从而 实现 数 据 降维 , 即从 m 维 的数 据 中 , 得到 一 个全 局 的 d 维 坐标 . LT S A 算 法 的步骤 可 以总 结如 下 : ( l) 构 造局 部 邻域 . 对 每 个数 据 点x ` , =1 1 , 2 , … N, 用 欧 氏距 离 或 最 大 范数 确 定其 无个 邻 近 点 组 成 的邻 域尤一 x,[ 1 , 翔 , … 叔.] (2 ) 局部 线性 拟 合 . 在 每个 数 据 点龙 的邻 域 内 选择 一组 正交 基 O 构成ix 的d 维切 空 间 ; 计算 邻域 中 的 每 个 点x 。 , j = l , 2 , … , 无到 切 空 间上 的 正 交 投 影牙 ” = 必#(x 一无〕 , 其 中无`为 邻 域 内 的均值 . Q `通 常 取 为戈的 前d 个最 大 的左 奇 异 向量 . (3 )将 局部 坐标 转 换为 全局 坐标 . 对 每个 邻 域 的局 部 切 空 间坐 标 已二 【即 , 毋 , … , 裂 ] , i 二 1 , 2 , … 万 , 构造转 换 矩 阵 L ` = 不拼任 R d 姚 气通 过 下式 的求解 , 得 出 行 向 量 为 正 交 的 低 维 全 局 坐 标 映 射 =T 【r l ,几 , … ,几〕任砂 “ . 后 , 就 可 以用 下式 再 重构 数 据 的主 流 形 : yt 二 f( rt) = 珊e 必 一 义ir 一 动 ( 5 ) 其 中 , L尸是转 换 矩 阵L `的广 义 逆 , 其求 解 与必相 关 . 重 构 时 , 如果 只 对 d 维切 空 间 中前 d0 维 d(0 ` :刃 信 息 感 兴趣 , 可 以只 取 必 的前 d0 个 向量 代入 式 (3 ) 中进行 计 算 , 最 后得 到 r 〔 砂明 即为 高维 空 间 中的主 流 形 . 3 基 于 相 重 构 和 主 流 形 识别 的 信 号 降 噪 方 法 针对 非 线性动 力学 系 统 中 反 映 系统 本 质特 征 的主 流形 与噪 声 在高 维相 空 间中 分布 的不 同 , 本 文提 出 了 基于 相 重构 和 主 流 形 识 别 的信 号 降 噪 方法 , 其 主 要 思路 如 图 1所 示 . 降噪 算法 的主 要 步骤 如 下 : ( l) 选择 合 适 的嵌 入 维和 时间 延迟 对 一 维信 相重构 一维含噪信 号 主流形识别 空 间 中的高 维数据 集 低 维主流形 按 主流 形重 构得 降噪信号的一维信号 到 的高维 数据 图 1 降 嗓算 法 的主要 思路 F ig . 1 M a in i d e . o f t卜e . ios e 代d u c 肠0 . a lgo ir 比口 号 进行 相 空 间重 构 . (2 ) 对相 空 间的数 据 用 局 部切 空 间变 换 算法 提 取主 流 形 . (3 )根 据 系统 的分 形维 数 , 选 择式 (5 ) 中必的前 d0 个 向量 , 在 高 维相 空 间进 行 主 流形 的重 构 . (4 ) 按 照 式 (5 ) 从相 空 间 中 的数据 反 求 一 维信 号 , 得 到 降噪后 的一 维信号 . 如 果 噪声 较 大 , 可 以重 复 步骤 ( 1曰4) , 直 到 达 到 理想 的效 果为 止 . m 、 · 干}14,- 分 · J 一 L ` , }:{ (4 , 其 中月声是口 ,的广 义 M o o -r P e luD se 逆 , 介阮 a,r , … , 几 〕 , 对 应 的下 标 集 合 { 1 . , 应 , … 几} 由数 据 点为 的邻 域来 确 定 ; e 为 全 1 向量 . .2 2 用 L r S A 算 法进 行 主 流形 重 构 计 算 出每 个 数 据 点 x ` 对 应 的 全 局 坐 标毛 之 4 仿 真实 验结 果 通 过 数 值 仿 真 实 验 对 基 于 相 重 构 和 主 流 形 识 别 的 降噪方 法 进 行验 证 . .4 1 对正 弦信 号 的仿真 实 验 对 正 弦信号=x 2s in( 4动叠 加 高斯 白噪声 . 图 2 a( ) 为采 样 频率为 128 zH 时前 8s 的信号 , 信 噪 比 为 .2 8 6 dB . 图 2 b( ) 是用 本 文算法 降 噪 后 的结 果 , 降 噪后 的信 噪 比 为 2 .0 32 dB . 因 为噪 声 比 较大 , 算 法采用 了两次 循环 . 第一 次循 环 中相 空 间嵌 入维 脚 = 80 , 时 间延迟 , 1 , 邻近 点=k 40 , 映射 切 空 间维 数=d 20 ; 第 二 次循 环 中 , m = 80 , 。 1 , 胜4 0 , =d 3