基于相重构和主流形识别的非线性时间序列降噪方法

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2005.05.060 第27卷第5期 北京科技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 基于相重构和主流形识别的非线性时间序列降噪方法 阳建宏徐金梧杨德斌吕勇 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要提出了一种基于相重构和主流形识别的非线性时间序列降噪方法，带噪的时间序列 在高维的相空间中其本质特征隐含在一个低维的主流形中，利用局部切空间变换方法提取其 主流形，再根据主流形对时间序列进行重构，就可以达到降噪的目的，与现有的非线性时间序 列消噪算法不同，基于主流形的消噪算法更强调时间序列的整体结构.数值仿真分析的结果 验证了该降噪方法能有效地消除非线性时间序列中的高斯白噪声， 关键词消噪：主流形识别：相重构：非线性时间序列 分类号TN911.7 非线性现象在物理、化学、生命科学等各个 维的时间序列S=[S,S2,,sSw]进行相重构，得到相 领域普遍存在.混沌、分岔等复杂的动力学行为 空间的数据矩阵PERTIW---,其中的元素为： 使得非线性信号通常具有与噪声相似的宽频带 P.n=S6-1x,Jje[1,m],ke[1,N-(m-1)x](1) 特征，基于带通滤波的传统线性方法无法使信号 己有文献证明，如果嵌入维数m足够大，相 与噪声分离，因此，需要寻求新的非线性处理方 空间中的流形与原动力学系统吸引子所在的流 法，K.Shin和J.K.Hanmond等提出了基于奇异 形是微分同胚的，即重构的相空间与原信号具有 谱的迭代降噪算法，H.Kantz和T.Schreiber等提 相同的系统动力学特征，从相空间的数据集恢复 出了基于局部投影的降噪方法.吕志民、徐金梧 到一维时间序列可以由式(2)给出. 等研究了在非线性时间序列中的降噪算法和对 (2) 微弱信号的检测方法.上述算法主要都是基于 C,i=l,2,,N 局部邻域的迭代修正，没有考虑动力学系统主流 其中， {I}={0,kk0-1)r=i,je[1,m],k∈[1，N-(m-1)]} 形的整体信息， 对一维时间序列进行相重构后，由外部干扰 表示一维时间序列中的下标在相空间中对应的 和测量误差引入的噪声在相空间的各维中都有 下标集合，C,为L}中元素的个数.根据相空间嵌 分布，而系统内在的主流形通常局限于某个低维 入定理，如果要充分地展现系统的主流形，即在 子空间中.因此，本文结合相重构与主流形识别 相空间中的吸引子不出现自相交的情况，嵌入维 算法，提出了一种新的非线性信号的降噪方法， 数必须满足m≥2D+1(D,是系统吸引子的分形维 即对一维的非线性信号进行相重构，利用非线性 数).相对于相空间的嵌入维数而言，系统的主流 数据降维方法提取出蕴含在高维相空间数据中 形是低维的，其分布只局限于相空间中某个低维 的动力学系统主流形，再重构原始信号，最后达 的子空间内，而信号中的白噪声则在所有维度的 到降噪的目的， 相空间中都有分布，本文提出的方法正是利用这 个性质将信号与噪声分离，从而达到降噪的目 1一维时间序列的相重构 的，这就需要一种方法能从一组高维的含噪数据 相重构是一种有效的非线性时间序列分析 中找出蕴含其中的低维主流形. 方法，选择合适的嵌入维m和时间延迟x,对一 2基于非线性降维的主流形识别 收稿日期：200408-27修回日期：2005-03-22 主流形识别问题可以表示为： 基金项目：教育部博士点基金(No.20020008019) (3) 作者简介：阳建宏(1978一，男，博士研究生 x,=f八x)+e,i=l,2,,N,x∈R",t∈R

7 第 卷 第 期 5 2 年 月 1 5 0 0 0 2 北 京 科 技 大 学 学 报 J O u n r a l U o f n i v s r e i y t o S f e i n n c e e a T d e e h n o l o g y Be j i n g i V 匕 l 一 7 N 2 O 一 5 C L O 5 0 0 2 基于相重构和主流形识别 的非线性时间序列降噪方法 阳建宏 徐金梧 杨 德 斌 吕 勇 北京科 技大 学机 械工 程 学 院 , 北 京 10 0 83 摘 要 提 出了 一种基 于相 重构 和主 流 形识 别 的非线 性 时间序 列 降噪方 法 . 带 噪 的时 间序列 在 高维 的相 空间 中其本 质特 征 隐含在 一 个低 维 的主流 形 中 , 利用局 部 切空 间变 换方 法提 取其 主流 形 , 再根据 主流 形对 时 间序列 进行 重构 , 就 可 以达 到 降噪 的 目的 . 与现 有 的非线 性 时间序 列 消噪算 法不 同 , 基于 主流 形 的消噪 算法 更强 调 时间序 列 的整体 结构 . 数 值仿 真分 析 的结果 验证 了该 降噪 方法 能有 效地 消 除非 线性 时 间序 列 中的 高斯 白噪 声 . 关键 词 消噪 ; 主流 形 识别 ; 相重 构 ; 非线性 时 间序 列 分 类号 T N gl L 7 非线 性 现象 在 物理 、 化 学 、 生命 科 学 等各 个 领 域普 遍存 在 . 混沌 、 分 岔等 复 杂 的动 力 学行 为 使 得 非 线性 信 号 通 常具 有 与 噪 声 相似 的 宽频 带 特 征 , 基于 带通 滤波 的传 统线 性 方法 无法 使信 号 与 噪 声分 离 , 因此 , 需 要 寻求 新 的 非线 性 处理 方 法〔团 . K . Sh in 和 J . K . H a n工n o n d 等 提 出 了基 于奇 异 谱 的迭 代 降 噪算 法`习, H . K an st 和 .T sc 脉i b er 等 提 出了基 于局 部投 影 的降噪 方法 14] . 吕志 民 、 徐金 梧 等 研 究 了在 非 线 性 时 间序 列 中 的降 噪算 法和 对 微 弱信 号 的检测 方 法.-t8] . 上述 算法 主 要都 是基 于 局 部邻 域 的迭代 修 正 , 没有考 虑 动 力学 系统 主流 形 的 整体 信 息 . 对 一维 时 间序 列进 行相 重 构后 , 由外 部干 扰 和 测 量 误 差 引入 的噪 声 在相 空 间的 各 维 中都 有 分 布 , 而 系统 内在 的主 流形 通 常局 限于某 个低 维 子 空 间 中 . 因此 , 本 文结 合相 重 构 与主 流 形识 别 算 法 , 提 出 了一种 新 的非 线 性信 号 的 降噪 方 法 , 即对 一维 的非线 性信 号 进行 相重 构 , 利用 非 线性 数 据 降 维 方法 提 取 出蕴 含 在 高维 相 空 间 数据 中 的动 力 学系 统主 流 形 , 再 重 构 原始信 号 , 最 后达 到 降噪 的 目的 . 维 的时 间序 列 S = s[, , 赴 , … , 枷 ]进 行相 重 构 , 得 到相 空 间的数 据 矩 阵p 任 r x 匹沁 1州 , 其 中 的元 素为 : 几 , 。 = 凡垮 一 ; 、 , j 任 〔l , m 」 , k E 【l , N 一 (m 一 l )r] ( l ) 已 有文 献 证 明臼, , 如果 嵌入 维 数 m 足 够 大 , 相 空 间 中的 流形 与原 动 力 学 系统 吸 引子所 在 的流 形 是微 分 同胚 的 , 即重 构 的相 空 间与原信 号 具有 相 同的系 统动 力学特 征 . 从 相 空 间的数据 集 恢复 到一 维 时 间序列 可 以 由式 ( 2 ) 给 出 . . 里尸 * 爹 , = 竺兴一 , 落= 1 . 2 , … , N 七 派 (2 ) 1 一 维 时 间序 列 的相 重 构 相 重 构 是 一 种 有 效 的 非 线 性 时 间序 列分 析 方 法 `们 . 选 择合 适 的嵌入 维 m 和 时 间延迟 r , 对 一 收 稿 日期 : 2 0 0 4 es O 8一7 修 回 日期 : 20 0 5刁3一2 基 金项 目 : 教育部 博士 点基 金 ( N o . 加 0 20 0 8 01 9) 作 者简 介 : 阳建宏 ( 19 78 一 ) , 男 , 博士 研究 生 其 中 , {L } = {认k) }+k 仃一 l ) r = i , j 任 [ l , m ] , k 任 [ l , N 一 (m 一 l ) r 〕} 表 示 一 维 时 间序 列 中的 下 标在 相 空 间 中对 应 的 下标 集合 , C 为 {动 中元 素 的个数 . 根据 相空 间嵌 入 定 理 , , , 如 果要 充分 地展 现系 统 的主流 形 , 即在 相 空 间 中的吸 引子 不 出现 自相交 的情 况 , 嵌 入维 数必 须满 足 m 全 ZD F+ l (D F是 系统 吸 引子 的分 形维 数 ) . 相 对于 相 空 间 的嵌入 维 数而 言 , 系 统 的主流 形是 低维 的 , 其分 布 只局 限于相 空 间 中某个 低维 的子 空 间 内 , 而信 号 中 的 白噪 声则 在所 有维 度 的 相空 间 中都有 分布 . 本文 提 出的方 法正 是利 用这 个性 质 将 信 号 与 噪声 分 离 , 从 而达 到 降 噪 的 目 的 . 这就 需要 一种 方 法 能从一 组 高维 的含 噪数据 中找 出蕴含 其 中 的低 维 主流 形 . 2 基 于 非 线 性 降维 的主 流 形 识 别 主流 形识 别 问题 可 以表 示 为 : x 一 f( r,) 十 is , i = 1 , 2 , … , N, 戈任卿 , 荀E 丫 (3 ) DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 060

*632◆ 北京科技大学学报 2005年第5期 其中，m>>d,{e}表示噪声和误差函数，f八)为映射 后，就可以用下式再重构数据的主流形： 函数，且通常是非线性的，主流形识别是指根据 y=八x)=+QL-(x-) (5) 高维数据{x}确定低维的坐标系{x},即从高维含 其中，L是转换矩阵L的广义逆，其求解与相 噪数据中抽取出蕴含其中的低维主流形，这个过 关.重构时，如果只对d维切空间中前d维(dd的主流形，LTSA算法的主要思想 一维含噪信号一相空间中的高维数据樂 是：找出每个数据点的邻近点，用邻域中低维(d 维)切空间的坐标近似表示局部的非线性几何特 反求 低维主流形 按主流形重构得 性，再通过变换矩阵将各数据点邻域切空间的局 降噪信号的一维信号 到的高维数据 主流形重构 部坐标映射到一个统一的全局坐标上，从而实现 图1降噪算法的主要思路 数据降维，即从m维的数据中，得到一个全局的d Fig.1 Main idea of the noise reduction algorithm 维坐标 号进行相空间重构. LTSA算法的步骤可以总结如下： (2)对相空间的数据用局部切空间变换算法 (1)构造局部邻域.对每个数据点x,=1,2,…N, 提取主流形， 用欧氏距离或最大范数确定其k个邻近点组成 (3)根据系统的分形维数，选择式（⑤）中Q的前 的邻域X,=[x,xe,xJ. 个向量，在高维相空间进行主流形的重构， (2)局部线性拟合.在每个数据点x的邻域内 (4)按照式(5)从相空间中的数据反求一维信 选择一组正交基2构成x的d维切空间：计算邻域 号，得到降噪后的一维信号 中的每个点xwj=1,2,…,k到切空间上的正交投 如果噪声较大，可以重复步骤(1(4)，直到 影砂=(x-),其中，为邻域内的均值.2通常 达到理想的效果为止， 取为X的前d个最大的左奇异向量 (3)将局部坐标转换为全局坐标.对每个邻域 4仿真实验结果 的局部切空间坐标8=[9，，，]，i=1,2,…N, 通过数值仿真实验对基于相重构和主流形 构造转换矩阵L,=T∈R,通过下式的求解，得 识别的降噪方法进行验证， 出行向量为正交的低维全局坐标映射 4.1对正弦信号的仿真实验 T=[t,,",n]∈Rw 对正弦信号=2sin(4d)叠加高斯白噪声.图2 min-名ele (4) (a)为采样频率为128Hz时前8s的信号，信噪比 其中，8i是8，的广义Moor-Penrose逆，T={tn,ta,, 为2.86dB.图2b)是用本文算法降噪后的结果， T],对应的下标集合{，，i}由数据点x的邻 降噪后的信噪比为20.32dB.因为噪声比较大，算 域来确定；e为全1向量. 法采用了两次循环.第一次循环中相空间嵌入维 2.2用LTSA算法进行主流形重构 m=80,时间延迟1，邻近点k-40,映射切空间维 计算出每个数据点x对应的全局坐标之 数在20：第二次循环中，m=80,=1,-40,d-3

. 6 3 2 - 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 5 年 第 s 期 其 中 , m > >d , {动 表 示 噪声和 误差 函数 了丈` ) 为 映射 函数 , 且 通常 是 非线 性 的 . 主 流 形识 别 是指 根 据 高维 数据 x{, }确 定低 维 的坐 标 系 {价 , 即从 高维 含 噪数 据 中抽 取 出蕴 含其 中的低 维主 流形 , 这 个 过 程 也 称 为数据 的 降维 . 根据低 维 空 间 的数 据芍 , 给 出高 维 空 间 中相应 的 数据 点龙 , 即估 计 高维 数 据 中的 主流 形八动 , 这 个 过程 称 为主 流 形重 构 . 在 主流 形 识 别方 面 , 近 年来 出现 了很 多研 究 成 果 . 2 0 0 0 年 5 . .T oR w ie s 和 L . K . S aul 提 出 了局 部线性嵌 入算 法 〔9] , J . B . 介n e n b a uln 和 v s il va 等 提 出 T 非 线性减 维 算法 I s om 即`,。 , . 2 0 0 2 年 , hz an g 和 Z h a 等 提 出 了局 部切 空 间 变换 算 法 〔川 . 考 虑 到 L T S A 算 法在 主 流 形 识别 与重 构 方 面 的优 点`, , ,l2J , 本 文选用 LT SA 算法 来提 取 蕴含 在相 空 间高 维数 据 中 的低 维 主流 形 , 并根 据 主流 形 再重构 系 统 的 吸 引子 . .2 1 用 L l , S A 算 法进 行 非 线性数 据 降维 对 数 据集 X 二 x[ , , 为 , … ,司 , ix 任 砂 , 要 从 中寻 找 一个 d 维伽> 刃的主 流形 , L T S A 算 法 的 主要 思 想 是 : 找 出每 个 数据 点 的邻 近 点 , 用 邻 域 中低 维 d( 维 )切 空 间 的坐标 近似 表 示 局部 的非线 性几 何特 性 , 再 通 过变换 矩 阵将 各数 据 点邻域切 空 间 的局 部 坐标 映射 到 一个 统一 的全 局 坐标 上 , 从而 实现 数 据 降维 , 即从 m 维 的数 据 中 , 得到 一 个全 局 的 d 维 坐标 . LT S A 算 法 的步骤 可 以总 结如 下 : ( l) 构 造局 部 邻域 . 对 每 个数 据 点x ` , =1 1 , 2 , … N, 用 欧 氏距 离 或 最 大 范数 确 定其 无个 邻 近 点 组 成 的邻 域尤一 x,[ 1 , 翔 , … 叔.] (2 ) 局部 线性 拟 合 . 在 每个 数 据 点龙 的邻 域 内 选择 一组 正交 基 O 构成ix 的d 维切 空 间 ; 计算 邻域 中 的 每 个 点x 。 , j = l , 2 , … , 无到 切 空 间上 的 正 交 投 影牙 ” = 必#(x 一无〕 , 其 中无`为 邻 域 内 的均值 . Q `通 常 取 为戈的 前d 个最 大 的左 奇 异 向量 . (3 )将 局部 坐标 转 换为 全局 坐标 . 对 每个 邻 域 的局 部 切 空 间坐 标 已二 【即 , 毋 , … , 裂 ] , i 二 1 , 2 , … 万 , 构造转 换 矩 阵 L ` = 不拼任 R d 姚 气通 过 下式 的求解 , 得 出 行 向 量 为 正 交 的 低 维 全 局 坐 标 映 射 =T 【r l ,几 , … ,几〕任砂 “ . 后 , 就 可 以用 下式 再 重构 数 据 的主 流 形 : yt 二 f( rt) = 珊e 必 一 义ir 一 动 ( 5 ) 其 中 , L尸是转 换 矩 阵L `的广 义 逆 , 其求 解 与必相 关 . 重 构 时 , 如果 只 对 d 维切 空 间 中前 d0 维 d(0 ` :刃 信 息 感 兴趣 , 可 以只 取 必 的前 d0 个 向量 代入 式 (3 ) 中进行 计 算 , 最 后得 到 r 〔 砂明 即为 高维 空 间 中的主 流 形 . 3 基 于 相 重 构 和 主 流 形 识别 的 信 号 降 噪 方 法 针对 非 线性动 力学 系 统 中 反 映 系统 本 质特 征 的主 流形 与噪 声 在高 维相 空 间中 分布 的不 同 , 本 文提 出 了 基于 相 重构 和 主 流 形 识 别 的信 号 降 噪 方法 , 其 主 要 思路 如 图 1所 示 . 降噪 算法 的主 要 步骤 如 下 : ( l) 选择 合 适 的嵌 入 维和 时间 延迟 对 一 维信 相重构 一维含噪信 号 主流形识别 空 间 中的高 维数据 集 低 维主流形 按 主流 形重 构得 降噪信号的一维信号 到 的高维 数据 图 1 降 嗓算 法 的主要 思路 F ig . 1 M a in i d e . o f t卜e . ios e 代d u c 肠0 . a lgo ir 比口 号 进行 相 空 间重 构 . (2 ) 对相 空 间的数 据 用 局 部切 空 间变 换 算法 提 取主 流 形 . (3 )根 据 系统 的分 形维 数 , 选 择式 (5 ) 中必的前 d0 个 向量 , 在 高 维相 空 间进 行 主 流形 的重 构 . (4 ) 按 照 式 (5 ) 从相 空 间 中 的数据 反 求 一 维信 号 , 得 到 降噪后 的一 维信号 . 如 果 噪声 较 大 , 可 以重 复 步骤 ( 1曰4) , 直 到 达 到 理想 的效 果为 止 . m 、 · 干}14,- 分 · J 一 L ` , }:{ (4 , 其 中月声是口 ,的广 义 M o o -r P e luD se 逆 , 介阮 a,r , … , 几 〕 , 对 应 的下 标 集 合 { 1 . , 应 , … 几} 由数 据 点为 的邻 域来 确 定 ; e 为 全 1 向量 . .2 2 用 L r S A 算 法进 行 主 流形 重 构 计 算 出每 个 数 据 点 x ` 对 应 的 全 局 坐 标毛 之 4 仿 真实 验结 果 通 过 数 值 仿 真 实 验 对 基 于 相 重 构 和 主 流 形 识 别 的 降噪方 法 进 行验 证 . .4 1 对正 弦信 号 的仿真 实 验 对 正 弦信号=x 2s in( 4动叠 加 高斯 白噪声 . 图 2 a( ) 为采 样 频率为 128 zH 时前 8s 的信号 , 信 噪 比 为 .2 8 6 dB . 图 2 b( ) 是用 本 文算法 降 噪 后 的结 果 , 降 噪后 的信 噪 比 为 2 .0 32 dB . 因 为噪 声 比 较大 , 算 法采用 了两次 循环 . 第一 次循 环 中相 空 间嵌 入维 脚 = 80 , 时 间延迟 , 1 , 邻近 点=k 40 , 映射 切 空 间维 数=d 20 ; 第 二 次循 环 中 , m = 80 , 。 1 , 胜4 0 , =d 3

Vol.27 No.5 阳建宏等：基于相重构和主流形识别的非线性时间序列降噪方法 633 4.2对洛伦兹信号的仿真实验 是信噪比为8.51dB时的洛伦兹信号.图3(b)是用 洛伦兹系统是典型的非线性动力学问题 本文算法降噪后的结果，降噪后的信噪比为 (=y-x) 20.52dB.采用两次循环，第一次循环中m60, 少=r-y-xz (6) =1,k-40,d-20:第二次循环中，m=20,=1,k=30, =-bz+xy d-5.图4(a)是无噪声情况下Lorenz信号的相图， 其中，=10，b=83,=28 图4(b)是含噪Lorenz信号的相图，图4(c)是降噪 取x前40s的信号，添加高斯白噪声，图3(a) 后Lorenz信号的相图. 4.0 从实验结果可以看出，对正弦信号和混沌信 3.0 号，运用本文提出的降噪方法都可以有效地消除 2.0 信号中的高斯白噪声 1.0 20a 0 10 2.5 2.0 20 1.5 1.0 0 0.5 1.0 -1.5 -2. 20 0 1 2 34567 时间s 20 (c) 图2含噪的正弦信号（和降噪后的正弦信号b) Fig.2 Sine signals with noise(a)and after noise reduction(b) 0 20 (a) 10 -20 10 -20-15-10-505101520 x(n) 20 图4无噪(@)，含噪b)和降操后(c)的Lorenz信号的相图 Fig.4 Phase portraits of Lorenz without noise(a),with noise(b) and after noise reduction (c) 10 5讨论 0 5.1关于算法中几个重要参数的选取 (1)时间延迟π，为了使邻近点能更好地反映 -20 系统主流形局部的几何特性，时间延迟应选择较 0 10 15202530 35 40 小的值，一般取x=1. 时间s (2)相重构的嵌入维数m.嵌入维数必须满足 图3含噪(a)和消噪后(b)的Lorenz信号 Fig.3 Lorenz signals with noise(a)and after noise reduction (b) m≥2D+1,如果噪声较大，在保证有足够的点数

Vb l . 2 7 N O 一 5 阳建 宏 等 : 基 于相 重构 和 主流形 识别 的非 线性 时 间序列 降噪 方法 4. 2 对 洛伦 兹 信号 的仿 真 实验 洛 伦兹 系 统是 典 型 的非 线性 动 力学 问题 . 仁t Z = 占伽一x ) = 瓜 一夕一义z = 一 加七口 (6 ) 其 中 , 乒 10 , b = 8 /3 , 二2 8 取 x 前 4 0 5 的信 号 , 添 加 高斯 白噪 声 , 图 3 (a) 是 信 噪 比 为 .8 sl dB 时 的洛伦 兹信 号 . 图 3 (b) 是用 本 文 算 法 降噪 后 的结 果 , 降 噪 后 的信 噪 比 为 2 .0 5 2 dB . 采 用两 次循 环 , 第 一 次 循 环 中 m = 60 , 。 l , 卜4 0 , =d 2 0 ; 第 二 次循环 中 , m = 2 0 , 二 l , 卜30 , =d 5 . 图 4( a) 是 无 噪声 情 况下 L o er nz 信号 的相 图 , 图 4 (b) 是含 噪 L o er nz 信 号 的 相 图 , 图 4( c) 是 降 噪 后 L o er nz 信 号 的 相 图 . 从 实验 结果 可 以看 出 , 对 正弦 信号 和 混沌信 号 , 运用 本 文提 出 的降噪 方法 都可 以有 效地 消 除 信 号 中的 高斯 白噪声 . 图 4 无 噪a() , 含噪伪)和降噪 后 (c) 的 L 。 代血 信号 的相 图 F褚 . 4 P h a , e P o d ar 池 o f L o 作 nz 初ht o u t n o is e ( a) , w 妞七. o is e 伪) a n d a ft e r n o is e r e d u ict o n ( e ) 图 3 含嗓 (a) 和 消噪后 伪)的 L o er uz 信号 F ig . 3 L o 比 nz s ig n a ls 侧 th n ios e a( ) a n d a n e r n 咖 e 魂 d u e it o . 伪) 5 讨 论 .5 1 关 于 算 法 中几个 重 要参 数 的选 取 ( l) 时间 延迟 T . 为 了使邻 近 点 能更好 地 反 映 系统 主 流形局 部 的几何 特 性 , 时 间延迟 应选 择较 小 的值 , 一般取: = 1 . (2 ) 相重 构 的嵌 入 维数m . 嵌 入 维数 必须 满足 m 全 ZD 砂 1 , 如 果噪 声较 大 , 在 保证 有足 够 的点数

·634· 北京科技大学学报 2005年第5期 描述系统主流形的前提下，m应取较大值，当时 法克服了现有的非线性消噪算法仅仅局限于局 间延迟=1时，增大嵌入维数就相当于增大了对 部区域进行消噪与信号重构的不足，而是更多保 局部信息的采样频率， 留了信号中内含的整体结构，因此可以取得更好 (3)映射切空间的维数d.在噪声较大时，可以 的降噪效果，并且更具有实用价值， 采用多次循环的方法来逐步消除噪声.在刚开始 参考文献 的循环中，映射切空间的维数可以取得大一些： [1]Tong H.Nonlinear Time Series Analysis.Oxford:Oxford Univer- 噪声变小时，可以取小值，但也应满足d上2D+1. sity Press,1990 (4)邻近点数k.邻近点数的选择与信号的采 [2]Tufillaro N B,Abbott T,Reilly J P.An Exprimental Approach to 样频率、噪声的大小、主流形的几何特征和嵌入 Nonlinear Dynamics and Chaos.Redwood City:Addison-Wes- ley Publishing Company,1992 维都有一定的关系，采样频率越大、噪声越大和 [3]Artuso R.Recycling of strange sets,I and II.Nonlinearity 嵌入维越大时，邻近点数应该取得越大.但过大 1990(3:325 的邻域会导致局部几何特性的变形.可以考虑有 [4]Kantz H,Schreiber T.Nonlinear Time Series Analysis.London: 自适应的方法来选择邻近点数， Cambridge University Press,1997 [5]Shin K,Hammond JK,White P R.Iterative SVD method for noi- 5.2与其他算法的比较 se reduction of low-dimensional chaotic time series.Mech Syst 对信噪比8.51dB为Lorenz信号用局部投影 Signal Process,1999,13(1):115 降噪后，信噪比为19.3B.用小波降噪，基函数选 [6们吕志民，徐金梧，张武军，等.基于奇异谱的降噪方法及其 择Daubechies6小波，做三层分解，降噪后信噪比 在故障诊断技术中的应用.机械工程学报，1999,35(3)：85 [)]徐金梧，吕勇，王海峰.局部投影算法及其在非线性时间 为16.74dB.本文提出的基于相重构和主流形识 序列分析中的应用.机城工程学报，2003,39(9)：146 别的降噪方法因为考虑了系统主流形的全局性 [⑧]吕勇，徐金梧，李友荣，等，基于局部投影和小波降噪的弱 质，降噪后信噪比为20.52dB,实验结果比局部投 冲击特征信号的提取.北京科技大学学报，2004,26(3)，319 影和小波降噪的结果好 [9]Roweis S R,Saul L K.Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding.Science,2000(290):2323 [10]Tenenbaum J B,de Silva V,Langford J C.A global geometric 6结论 framework for nonlinear dimensionality reduction,Science, 2000,290:2319 将一维的非线性信号通过相重构的方法拓 [11]Zhang Z Y,Zha H Y.Principal Manifolds and Nonlinear Dimen- 展到高维的相空间，对相空间中的高维数据，用 sion Reduction Via Local Tangent Space Alignment.CSE-02- 主流形识别算法提取出信号分布在高维相空间 019,Technical Report.Pennsylvania State University,2002 [12]Zhang Z Y,Zha H Y.Local Linear Smoothing for Nonlinear 中的低维主流形，再根据主流形进行重构，反求 Manifold Learning.CSE-03-003,Technical Report.Pennsylva- 到一维空间，就能得到降噪的信号.这种消噪算 nia State University,2003 Nonlinear time series noise reduction method based on phase reconstruction and principal manifold learning YANG Jianhong,XU Jinwu,YANG Debin,LV Yong Mechanical Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A noise reduction method in nonlinear time series based on phase reconstruction and manifold leaming was proposed.In a high dimensional phase space,the inherent features of time series were exhibited as a low dimensional nonlinear principal manifold.The noise was reduced by the reconstruction with the underlying manifold which was obtained through a local tangent space alignment algorithm.Different from the existent noise reduction methods in nonlinear time series,the method based on principal manifold learning emphasized more on the global structure oftime series.The results of numerical simulation proved that the method could remove the Ga- ussian white noise in nonlinear time series effectively. KEY WORDS noise reduction;manifold learning;phase reconstruction;nonlinear time series

一 4 3 6 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 0 - 5 5 2 描 述 系 统主 流 形 的前 提 下 , , 应 取 较大 值 . 当 时 间延 迟 , 1时 , 增 大嵌 入维 数就 相 当于增 大 了对 局 部 信 息 的采样频 率 , (3 ) 映射切 空 间 的维数 d . 在 噪 声较大 时 , 可 以 采用 多 次循环 的方 法 来逐 步消 除 噪声 . 在 刚开 始 的循 环 中 , 映 射 切 空 间的维 数 可 以取 得大 一 些 ; 噪 声变 小 时 , 可 以取 小值 , 但 也应 满 足 d 全 ZD F十 1 . (4 ) 邻 近 点 数 k . 邻 近 点数的选 择 与信 号 的采 样频 率 、 噪 声 的大 小 、 主 流形 的 几何 特征和 嵌 入 维都 有 一 定 的关 系 , 采样 频率 越大 、 噪 声越 大和 嵌入 维 越 大时 , 邻近 点 数应 该 取得越 大 . 但 过 大 的邻域会 导致 局部 几 何特性的变形 . 可 以考虑有 自适 应 的方 法 来选 择 邻 近 点数 . .5 2 与其 他 算 法 的 比较 对 信 噪 比 .8 sl dB 为 L o 化 n z 信 号用 局部 投 影 降噪 后 , 信 噪 比 为 1.9 3 dB . 用 小波 降噪 , 基函 数选 择 D a u b e e hi es 6 小波 , 做 三层 分 解 , 降噪 后信 噪 比 为 16 . 7 4 dB . 本 文 提 出 的基于 相 重 构和 主流 形 识 别 的 降噪 方 法 因 为考 虑 了系 统 主 流 形 的全 局 性 质 , 降 噪后信 噪 比为 加 . 52 dB , 实验 结 果 比 局部 投 影和 小 波 降噪 的 结果 好 . 法 克服 了现 有 的非 线性 消 噪算 法 仅 仅 局 限于 局 部 区 域进 行 消噪 与信 号 重构 的不 足 , 而 是更 多保 留了信 号 中 内含 的 整体结构 , 因此 可 以取得 更好 的 降噪 效 果 , 并 且 更具 有 实用 价 值 . 6 结 论 将 一 维 的 非线 性 信 号通 过 相 重 构 的方 法 拓 展 到高 维 的相 空 间 , 对 相 空 间中 的高 维数 据 , 用 主 流 形识 别 算 法 提 取 出信 号分 布 在 高 维相 空 间 中 的低 维 主流 形 , 再根 据 主流 形进 行 重 构 , 反 求 到一 维 空 间 , 就 能得 到 降 噪 的信 号 . 这 种 消噪 算 参 考 文 献 [ l ] 肠 n g H . N o n li n e ar n me S ier e s A n a 1y s i s . 0 x fo dI : o x fo d U in v -er s iyt P茂 5 5 , 19 9 0 [ 2 ] T Uif ll帅 N B , A b b ot 工 eR i ly J .P nA E x P ir m e n at l A P Por a c h ot N o n lin e ar D yn ar 苗 c s an d Cab o s . eR dw o d C ity : A id s on 一 W七卜 ley uP ibl s hj n g C o m P即y, 19 92 [ 3 ] 户J扣 5 0 R . 取 e cy iln g o f s tr a n罗 s e st , 1 an d 11 . N o d n e a ir yt , 19 9 0 ( 3) : 3 2 5 4[ 】 K别 川比 H , S c b茂i ber .T N o n l ine ar 书 m e S ier es nA a ly s is . L o n d o n : C a m bir dg e U vmesr iyt P茂 5 5 , 19 9 7 [ 5 1 S ihn K, H aonu dn J .K 场飞 i t e P R . l t e r a t i v e SV D皿由。 d fo r n o i - se er d u c it on of l ow . d lm e n s i o aln c ha o tl c t如 e s ier se . M e c血 S” t S啥 lI a l P门 c . s , 19 9 9 , 1 3( 1) : 1 15 6[ 』 吕 志 民 , 徐 金梧 , 张武 军 , 等 . 基于 奇异 谱 的降噪方 法及 其 在 故 障诊 断技 术中 的应用 . 机械工 程学报 , 19 9 , 3 5 (3) : 85 7[ ] 徐金 梧 , 吕勇 , 王海 峰 . 局部投 影算 法及 其 在非线 性时 间 序 列 分析 中的应 用 . 机械工程 学报 , 2 0 0 3 , 3 9( 外 1肠 8[ 1 吕勇 , 徐金梧 , 李 友荣 , 等 . 基 于局部 投影 和 小波 降噪的 弱 冲击特征信号 的提取 . 北京科技大 学学报 , 2 004 , 2 6( 3) , 3 19 [ 9 ] R o w e i s S 民 S aul L K N Oul l n e ar id m e ns i ona liyt 比du c it o n by loc a l y il n ear e m b e d山9 . cS i e . “ , 20 0 0( 2 90 ) : 23 2 3 [ 10 ] 亚n e n b a 切m J B , de S ivl a V, L an g of 川 J C . A g of abl ge o m e itr e 丘a m e w o r k ofr on n U n 已叮 d en n is o n a liyt 记 d u c tiou , cS ie n ce , 2 0 0 0 , 2 9 0 : 2 3 19 【川 z b an g Z Y, z七 a H丫 P irD c i P a l M aJ的 fo dls an d N 。曲 n e ar D加 en - s ion R e d u e it on 劝a L O c ia l翻D g e n t S P朗 e A】ign 口 e nt . C S E刁 2 - 01 9 , eT c腼 c al eR po rt . p e n s y l van ia S at . U in v e rs iyt, 2 0 02 〔12 ] z压 m g 2 ,Y Z b a H .Y L oc a l L俪 ar Sm o ht i n g of r oN ul i n aer M ian of ld L e aun g . C S E 一 0 3 一 0 3 , eT e hn l c ia R e po rt . P e n n s y vl 卜 n i a S at t e U苗 v e sr iyt, 2 0 03 N on lin e ar tim e s e ir e s n o i s e er du e t i o n m e ht o d b a s e d o n Ph a s e er c o n s trU c ti o n an d Pir n e iP a l m an i of l d l e am in g 别 , N召 沂“ n h o gn, X之j ij n w ,u 别刃 G D eb in, L V oY gn M e c h an l c al E n g in e e n n g S e h o l , U n i v e rs ity o f s c i e nce an d 介 e hn o l o gy B e ij in g , B e ij 毗 10 0 8 3 , C h in a A B S T R A C T A n o i s e re du e it o n m e ht o d in n on li n e ar t im e s ier e s b a s e d o n P h as e 比 e on s tl ” c it o n an d m an i of ld l e 田m l n g w a s P or P o s e d . I n a h igh d ime n s ion a l Ph a s e s P即 e , het ihn e er n t fe a ot er s o f t ime s e ir e s w e er e hx i b i et d a s a l o w d im en s i o n a l n o n li n e ar Pinr e iP a l 幻。a n ifo ld . hT e n o i s e w a s er d u e e d b y ht e er e on s lt u ict o n w iht ht e un d e ir y i n g m an ifo ld w h i e h w a s o b at ine d tb or u g h a l o e a l at n g e in s P a e e a l lg n m e nt ia g ior t知m . D i fe o in for m ht e e x i s et in n o i s e er du ict on me t h o d s i n n on l ine ar t lm e s e ir e s , ht e m e ht o d b a s e d o n P n 丑 c iP al m面fo ld l e o in g e m Ph as 过e d m o er o n ht e g l o b a l s trU e ut er o f t汕 e s e ir e s . hT e er su it s o f n u r n e ir e a l s imu lat i o n Por v e d th a t ht e m e ht o d e o u ld 比 m o v e ht e G a - us s ian w h l et on i s e in n on li n e ar t im e s e ir e s e fe e it v e .vl K E Y WO R D S on i s e 祀 du ict on ; m a n l fo ld l e aJ , in g ; Ph as e 化 e o n s tr u c t ion ; n on li n aer ti功 e s ier e s