曲面形态连续介质有限变形理论一守恒律方程 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月21日 1知识要素 11质量守恒 当考虑面密度,质量守恒可表示为以下积分形式: /k= (p+p0)da=0 由此,可得 Euler型质量守恒微分方程 +p6=0 藉此,可以定义不可压缩运动 进一步展开,得 0x:+vi(nigs+ bin))+g/aw xvan 9 O aap(s, t)+Ilsvs-Vb1=Vivl-vbi an2(2,)+ √9 (as, t) hw √⑨Ears 9E Oxf(grv)(s, t)-Hv3 可获得 Euler型质量守恒微分方程的展开形式 ax? as, t)+P(VIV-HV=0 另一方面,考虑 0∑0∑ odg= 。(,)da= nF②、 (, u)do 0∑O (λ,p)da,有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论—守恒律方程 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 质量守恒 当考虑面密度, 质量守恒可表示为以下积分形式: d dt ∫ t Σ ρdσ = ∫ t Σ ( ˙ρ + ρθ) dσ = 0. 由此, 可得 Euler 型质量守恒微分方程 ρ˙ + ρ θ = 0. 藉此, 可以定义不可压缩运动 ρ˙ = 0 ⇔ θ = 0. 进一步展开, 得 θ : = Σ · V = ( ∂ ∂xl g l ) · (V α gα) = ( ∂ ∂xl g l ) · ( V i gi + V 3n ) = g l · ( ∂V i ∂xl Σ gi + V i (Γ s ligs + blin) ) + g l · ( ∂V 3 ∂xl Σ n + V 3 ∂n ∂xl Σ ) = ∂V l ∂xl Σ (xΣ, t) + Γ l lsV s − V 3 b l l = ∇lV l − V 3 b l l = ∂V s ∂xs Σ (xΣ, t) + 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂xs Σ (xΣ, t) · V s − HV 3 = 1 √gΣ ∂ ∂xs Σ ( √ gΣ V s ) (xΣ, t) − HV 3 . 可获得 Euler 型质量守恒微分方程的展开形式: ∂ρ ∂t(xΣ, t) + ˙x i Σ ∂ρ ∂xi Σ (xΣ, t) + ρ ( ∇lV l − HV 3 ) = 0. 另一方面, 考虑 ∫ t Σ ρdσ = ∫ Dλµ ρ       ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ       (λ, µ)dσ = ∫ Dλµ ρ|F|       ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ       (λ, µ)dσ ∫ ◦ Σ ◦ ρdσ = ∫ Dλµ ◦ ρ       ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ       (λ, µ)dσ, 1