曲面形态连续介质有限变形理论一守恒律方程 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月21日 1知识要素 11质量守恒 当考虑面密度,质量守恒可表示为以下积分形式: /k= (p+p0)da=0 由此,可得 Euler型质量守恒微分方程 +p6=0 藉此,可以定义不可压缩运动 进一步展开,得 0x:+vi(nigs+ bin))+g/aw xvan 9 O aap(s, t)+Ilsvs-Vb1=Vivl-vbi an2(2,)+ √9 (as, t) hw √⑨Ears 9E Oxf(grv)(s, t)-Hv3 可获得 Euler型质量守恒微分方程的展开形式 ax? as, t)+P(VIV-HV=0 另一方面,考虑 0∑0∑ odg= 。(,)da= nF②、 (, u)do 0∑O (λ,p)da
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论—守恒律方程 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 质量守恒 当考虑面密度, 质量守恒可表示为以下积分形式: d dt ∫ t Σ ρdσ = ∫ t Σ ( ˙ρ + ρθ) dσ = 0. 由此, 可得 Euler 型质量守恒微分方程 ρ˙ + ρ θ = 0. 藉此, 可以定义不可压缩运动 ρ˙ = 0 ⇔ θ = 0. 进一步展开, 得 θ : = Σ · V = ( ∂ ∂xl g l ) · (V α gα) = ( ∂ ∂xl g l ) · ( V i gi + V 3n ) = g l · ( ∂V i ∂xl Σ gi + V i (Γ s ligs + blin) ) + g l · ( ∂V 3 ∂xl Σ n + V 3 ∂n ∂xl Σ ) = ∂V l ∂xl Σ (xΣ, t) + Γ l lsV s − V 3 b l l = ∇lV l − V 3 b l l = ∂V s ∂xs Σ (xΣ, t) + 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂xs Σ (xΣ, t) · V s − HV 3 = 1 √gΣ ∂ ∂xs Σ ( √ gΣ V s ) (xΣ, t) − HV 3 . 可获得 Euler 型质量守恒微分方程的展开形式: ∂ρ ∂t(xΣ, t) + ˙x i Σ ∂ρ ∂xi Σ (xΣ, t) + ρ ( ∇lV l − HV 3 ) = 0. 另一方面, 考虑 ∫ t Σ ρdσ = ∫ Dλµ ρ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ)dσ = ∫ Dλµ ρ|F| ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ (λ, µ)dσ ∫ ◦ Σ ◦ ρdσ = ∫ Dλµ ◦ ρ ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ (λ, µ)dσ, 1
曲面形态连续介质有限变形理论守恒律方程 谢锡麟 式中()为初始面密度分布,以及质量守恒 则得 Lagrange型质量守恒微分方程 pF|=p(5) 需指出,质量守恒的积分及微分形式应隶属运动学范畴 1.2动量守恒 考虑一片连续介质的动量时间变化率,利用相关输运定理以及质量守恒,可有如下关系 d (PV)+8pv do 此处a表示加速度 按 Newton力学,动量时间变化率可受表面张力作用、内压力作用、内摩擦作用以及面力作 用,亦即可建立如下关系式 d dt i evdo= Ften+ Fpre+ Fvis +Fpre+ Sur 表面张力作用可表示为如下曲线上积分 7×nd (T×n)·Id=/v.Ido=7/Hnda, 式中表示表面张力系数,且基于内蕴形式的第二类广义 Stokes公式可几乎平凡地将相关曲线 积分转换为曲面积分 类似地,内压力作用可有如下表示 T X(pm)dl=-(r x n)pdl=/-Op-pHn do 内摩擦作用的曲线积分表示及其转换成的曲面积分,如下所示 (r×n)·(V白+日av)d ∑∑ ∑∑ 口·v∞口+口8V)+Hn:(v8口+口8v)d V③口+口⑧V)+ 式中μ表示内摩擦/黏性系数,作为物性常数 曲面两侧压力差的作用,可表示为 *)ndo=/Spndo
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 式中 ◦ ρ(ξ) 为初始面密度分布, 以及质量守恒 ∫ t Σ ρdσ = ∫ ◦ Σ ◦ ρdσ, 则得 Lagrange 型质量守恒微分方程 ρ|F| = ◦ ρ(ξ). 需指出, 质量守恒的积分及微分形式应隶属运动学范畴. 1.2 动量守恒 考虑一片连续介质的动量时间变化率, 利用相关输运定理以及质量守恒, 可有如下关系: d dt ∫ t Σ ρV dσ = ∫ t Σ [ d dt (ρV ) + θρV ] dσ = ∫ t Σ ρadσ, 此处 a 表示加速度. 按 Newton 力学, 动量时间变化率可受表面张力作用、内压力作用、内摩擦作用以及面力作 用, 亦即可建立如下关系式: d dt ∫ t Σ ρV dσ = Ften + F int pre + Fvis + F ext pre + Fsur. 表面张力作用可表示为如下曲线上积分: Ften := ∮ c γτ × ndl = γ ∮ c (τ × n) · Idl = γ ∫ Σ Σ ∇ · Idσ = γ ∫ Σ Hndσ, 式中 γ 表示表面张力系数, 且基于内蕴形式的第二类广义 Stokes 公式可几乎平凡地将相关曲线 积分转换为曲面积分. 类似地, 内压力作用可有如下表示: F int pre := − ∮ c τ × (pn)dl = − ∮ c (τ × n)pdl = ∫ Σ [ − Σ p − pHn ] dσ. 内摩擦作用的曲线积分表示及其转换成的曲面积分, 如下所示: Fvis : = ∮ c µ(τ × n) · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) dl = µ ∫ Σ [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V )] dσ = µ ∫ Σ [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ )] dσ, 式中 µ 表示内摩擦/黏性系数, 作为物性常数. 曲面两侧压力差的作用, 可表示为 F ext pre := ∫ Σ (p − − p +)ndσ = ∫ Σ δpndσ, 2
曲面形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 式中bp:=p--p+表示压力差 般面力作用可表示为 F 式中∫表示面力密度,亦即单位面积上所受的力.面力可为重力、不同介质之间的摩擦力、电 磁力等;直接作用于一片连续介质的力均可考虑为面力 综上所述,可得微分形式的动量守恒 =H(-p)-□p+ V8日+日8V)+Hn·(v日)+bp+fs 式中黏性项可分别推导为 .(va)=(wm)+6.[na av3 H +svgi +(bvV-b“batv3)n, 3.(Gev 百8(V9)+.a(vn -lvvsvl-bsb5v1-(vb das +([(Gbg)Vs+2b5V, vi]+[vsvsV-65tbstV1)n, Hn·V H +bV)9 x 此外,还有关系式 VVVs=V(V'Vs)+KGV 及bs 易见,将上述动量守恒的控制方程应用于几何形态为平面的流动(如平面皂膜),则退化为 般平面可压缩流动的 Navier- Stokes方程 需指出,上述分析中的表面张力系数以及内摩擦力均被视为常数.物理上,表面张力系数可 能为膜的厚度或者面密度的函数,亦即有γ=(p).由此,可有(xx,t):=(p(xx,t).对此情 形,仍有 F d=p(x×n)·()dl / (?D)+Hn·(Dd /a)=已 h n d 此处 a(x+=n()m(x,,关系式()可由实验确定 进一步,上述动量守恒方程可以进行无量纲化,有 dv 1 p)n 6.( V∞口+口⑧V)+Hn·V⑧口
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 式中 δp := p − − p + 表示压力差. 一般面力作用可表示为 Fsur := ∫ Σ f Σdσ, 式中 f Σ 表示面力密度, 亦即单位面积上所受的力. 面力可为重力、不同介质之间的摩擦力、电 磁力等; 直接作用于一片连续介质的力均可考虑为面力. 综上所述, 可得微分形式的动量守恒 ρ dV dt = H(γ − p)n − Σ p + µ [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ )] + δpn + f Σ, 式中黏性项可分别推导为 Σ · ( V ⊗ Σ ) = Σ · [( V l gl ) ⊗ Σ ] + Σ · [ ( V 3n ) ⊗ Σ ] = [ ∇s∇lVs − b ls ∂V 3 ∂xs Σ − ( ∇s b l s ) V 3 − H ( g ls ∂V 3 ∂xs Σ + b l sV s )] gl + ( b st∇sVt − b stbst V 3 ) n, Σ · (Σ ⊗ V ) = Σ · [ Σ ⊗ ( V l gl ) ] + Σ · [ Σ ⊗ ( V 3n ) ] = {[ ∇s∇sV l − b l s b s tV t ] − [( ∇s b l s ) V 3 + 2b ls ∂V 3 ∂xs Σ ]} gl + {[(∇qb q s ) V s + 2b st∇sVt ] + [ ∇s∇s V 3 − b stbst V 3 ]} n, Hn · ( V ⊗ Σ ) = H ( g ls ∂V 3 ∂xs Σ + b l sV s ) gl . 此外, 还有关系式 ∇s∇lVs = ∇l (∇sVs) + KG V l , 以及 b stbst = H2 − 2KG. 易见, 将上述动量守恒的控制方程应用于几何形态为平面的流动 (如平面皂膜), 则退化为一 般平面可压缩流动的 Navier-Stokes 方程. 需指出, 上述分析中的表面张力系数以及内摩擦力均被视为常数. 物理上, 表面张力系数可 能为膜的厚度或者面密度的函数, 亦即有 γ = γ(ρ). 由此, 可有 γ(xΣ, t) := γ(ρ(xΣ, t)). 对此情 形, 仍有 Ften : = ∮ c γτ × ndl = ∮ c (τ × n) · (γI)dl = ∫ Σ [ Σ · (γI) + Hn · (γI) ] dσ = ∫ Σ Σ · (γI)dσ = ∫ Σ [ Σ γ + γH n ] dσ, 此处 ∂γ ∂xi Σ (xΣ, t) = ∂γ ∂ρ (ρ) ∂ρ ∂xi Σ (xΣ, t), 关系式 γ(ρ) 可由实验确定. 进一步, 上述动量守恒方程可以进行无量纲化, 有 ρ dV dt = 1 WeH(γ − p)n − 1 We Σ p + 1 Re [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ )] + 1 Weδpn, 3
曲面形态连续介质有限变形理论一守恒律方程 谢锡麟 此处略去了面力作用.在上述形式中, Weber数定义为We盘p06, Reynolds数为Re全 pC0.,0=pa5n表示特征面密度,b0为特征几何尺度,A为一般体密度:表示特征速度 0表示特征表面张力系数,其值同特征内压力;p40=μvol表示特征内摩擦系数,ol表示一般 黏性系数 一般而言,可考虑引入曲面应力 t=tigg+t:398 n, 对应有动量守恒的积分表达式 d vdo (r×n)·tda+/.fsd, 其微分方程为 pa=dt+int+fy=dt+ f 此处考虑到n·t=0∈R3.值得指出,基于内蕴形式的第二类广义 Stokes公式总可以将沿 T×n的作用(表现为曲线积分)转化为曲面积分,从而获得曲面应力的具体形式 就上述考虑表面张力、内压力以及内摩擦情形,曲面应力对应的表达式为 -n+(v+vea)=(-n+(+y-20)9 a/98n+(b,v°+a n g 需指出,式中(b,y+0x)ny项对动量、动量矩以及能量守恒无实际贡献 axx 1.3动量矩守恒 当考虑表面张力、内压力、内摩擦力、外部压差及面力,动量矩守恒具有如下形式: ∑×(pV)do 克2×nr×nd+×(rxn):(vab+8V)d +/2x(opm)do+/ 2x fudo+/ Mdo, 式中M表示面力偶 利用连续性方程以及相应的输运定理,上述等式的左方可改写为 (pV)d=1.∑×(pa)
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 此处略去了面力作用. 在上述形式中, Weber 数定义为 We , ρ0U 2 0 γ0 , Reynolds 数为 Re , ρ0U0δ0 µ0 , ρ0 = ρvolδ0 表示特征面密度, δ0 为特征几何尺度, ρvol 为一般体密度; U0 表示特征速度; γ0 表示特征表面张力系数, 其值同特征内压力; µ0 = µvolδ0 表示特征内摩擦系数, µvol 表示一般 黏性系数. 一般而言, 可考虑引入曲面应力 t = tijg i ⊗ g j + ti3g i ⊗ n, 对应有动量守恒的积分表达式: d dt ∫ t Σ ρV dσ = ∮ ∂ t Σ (τ × n) · tdσ + ∫ t Σ f Σdσ, 其微分方程为 ρa = Σ · t + Hn · t + f Σ = Σ · t + f Σ. 此处考虑到 n · t = 0 ∈ R 3 . 值得指出, 基于内蕴形式的第二类广义 Stokes 公式总可以将沿 τ × n 的作用 (表现为曲线积分) 转化为曲面积分, 从而获得曲面应力的具体形式. 就上述考虑表面张力、内压力以及内摩擦情形, 曲面应力对应的表达式为 t = (γ − p)I + µ (Σ ⊗ V + V ⊗ Σ ) = (γ − p) I + µ ( ∇jVi + ∇iVj − 2V 3 bij) g i ⊗ g j + µ ( bisV s + ∂V 3 ∂xi Σ ) g i ⊗ n + µ ( bsjV s + ∂V 3 ∂xj Σ ) n ⊗ g j . 需指出, 式中 µ ( bsjV s + ∂V 3 ∂xj Σ ) n ⊗ g j 项对动量、动量矩以及能量守恒无实际贡献. 1.3 动量矩守恒 当考虑表面张力、内压力、内摩擦力、外部压差及面力, 动量矩守恒具有如下形式: d dt ∫ t Σ Σ × (ρV ) dσ = ∮ C Σ × [(γ − p)τ × n] dl + ∮ C µΣ × [ (τ × n) · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V )] dl + ∫ t Σ Σ × (δpn) dσ + ∫ t Σ Σ × f Σdσ + ∫ t Σ Mdσ, 式中 M 表示面力偶. 利用连续性方程以及相应的输运定理, 上述等式的左方可改写为 d dt ∫ t Σ Σ × (ρV ) dσ = ∫ t Σ Σ × (ρa) dσ, 4
曲面形态连续介质有限变形理论一守恒律方程 谢锡麟 式中左边的第一项和第二项可由内蕴形式的第二类广义 Stokes公式转换为面积分,如下所示 (-p)+H(-p) ∑do gd (T×n)·(v8口+口8v)×∑dl V⑧口+口⑧V+Hn·V⑧日]×∑da ∑ g4·(v∞a+百sV)×gdo 由此,可得动量矩守恒的微分形式.再考虑动量守恒的微分形式,可得动量矩守恒的微分形式,如 下所示: g2·(vaa+v)×g=M 其分量形式为 3 ax +bIsl M 可见,仅涉及运动及外力偶在切平面上的平衡 若考虑曲面应力,则就动量矩守恒可有以下结论 定理1.1(动量矩守恒).如果曲面形态连续介质边界上的作用由曲面应力表示为 t;92⑧g3+tag2⑧ 则动量矩守恒具有以下形式 此处mx代表面力偶分布. 证明基于曲面应力,动量守恒可表示如下: /: pado=fA(rxm).tad +/A 其微分形式为 口·t+Hn:t+f t+ f 另一方面,动量矩守恒可表示如下 xEd=中:(Txn):t×Ed+/fs×Ea
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 式中左边的第一项和第二项可由内蕴形式的第二类广义 Stokes 公式转换为面积分, 如下所示: − ∮ C (τ × n) × [(γ − p)Σ] dl = − ∫ t Σ [ Σ (γ − p) + H(γ − p)n ] × Σdσ − ∫ t Σ (γ − p)g l × gldσ, = − ∫ t Σ [ Σ (γ − p) + H(γ − p)n ] × Σdσ − ∮ C µ(τ × n) · [(V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) × Σ ] dl = −µ ∫ t Σ [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ )] × Σdσ −µ ∫ t Σ g l · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) × gldσ. 由此, 可得动量矩守恒的微分形式. 再考虑动量守恒的微分形式, 可得动量矩守恒的微分形式, 如 下所示: µ g l · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) × gl = M, 其分量形式为 µ ϵ3lk ( ∂V 3 ∂xl Σ + blsV s ) = Mk . 可见, 仅涉及运动及外力偶在切平面上的平衡. 若考虑曲面应力, 则就动量矩守恒可有以下结论. 定理 1.1 (动量矩守恒). 如果曲面形态连续介质边界上的作用由曲面应力表示为 t = tijg i ⊗ g j + ti3g i ⊗ n, 则动量矩守恒具有以下形式: g l · (t × gl ) = mΣ, 此处 mΣ 代表面力偶分布. 证明 基于曲面应力, 动量守恒可表示如下: ∫ t Σ ρadσ = ∮ ∂ t Σ (τ × n) · tdl + ∫ t Σ f Σdσ, 其微分形式为 ρa = Σ · t + Hn · t + f Σ = Σ · t + f Σ. 另一方面, 动量矩守恒可表示如下: ∫ t Σ ρa × Σdσ = ∮ ∂ t Σ [(τ × n) · t] × Σdl + ∫ t Σ f Σ × Σdσ − ∫ t Σ mΣdσ. 5
曲面形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 考虑到(×n)·t×∑=(×n)·(t×∑)以及内蕴形式的第二类广义 Stokes公式,可有 (t×∑)+H(tx∑)+fs×∑ t)×∑+g(txg)+(Hn:t)x∑+fs×∑-m 考虑到动量守恒微分方程,则得证 进一步,由表达式 g、tx9)=14gn+√0(-2+t9),g:=dt() 可有下述结论 推论1.1.1(关于曲面应力的表示).曲面应力张在切平面上的分量具有对称性(t=t) 其充分必要条件是法向面力偶分量为零(m3=0);曲面应力张量在法向具有非零分量(t3≠0) 其充分必要条件是面力偶在切平面具有非零分量(m≠0) 14能量守恒 可有能量守恒的积分表达式 /2("+)=层(2+*) 2+e do (×n)·tVdl+/.fx:vd qd+∮,(r×n)·(kr)·vd 利用内蕴形式第二类广义 Stokes公式,可得能量守恒微分方程 d / v (t·V)+f 另一方面,在动量方程两边作用·V,可得动能微分方程 d v 结合能量守恒微分方程和动能微分方程,可得内能微分方程: t)·V+q+口 t:(口∞v)+q+ 进一步,可将曲面应力分解为 t=(-pI t。代表介质内部黏性作用对应力的贡献,可称为黏性应力.藉此,内能方程具有形式 8V)+q+ 式中=VV4-HV3,t,:(百v)可称为耗散函数
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 考虑到 [(τ × n) · t] × Σ = (τ × n) · (t × Σ) 以及内蕴形式的第二类广义 Stokes 公式, 可有 ρa × Σ = Σ · (t × Σ) + Hn · (t × Σ) + f Σ × Σ − mΣ = [(Σ · t ) × Σ + g l · (t × gl ) ] + (Hn · t) × Σ + f Σ × Σ − mΣ = (Σ · t + f Σ ) × Σ + g l · (t × gl ) − mΣ. 考虑到动量守恒微分方程, 则得证. 进一步, 由表达式 g l · (t × gl ) = −t ij ϵij3nΣ + √ g(−t 2 ·3g 1 + t 1 ·3g 2 ), g := det ( gij) 可有下述结论. 推论 1.1.1 (关于曲面应力的表示). 曲面应力张在切平面上的分量具有对称性 (tij = tji), 其充分必要条件是法向面力偶分量为零 (m3 Σ = 0); 曲面应力张量在法向具有非零分量 (t i ·3 ̸= 0), 其充分必要条件是面力偶在切平面具有非零分量 (mi Σ ̸= 0). 1.4 能量守恒 可有能量守恒的积分表达式 d dt ∫ t Σ ρ ( |V | 2 2 + e ) dσ = ∫ t Σ ρ d dt ( |V | 2 2 + e ) dσ = ∮ ∂ t Σ (τ × n) · t · V dl + ∫ t Σ f Σ · V dσ + ∫ t Σ qdσ + ∮ ∂ t Σ (τ × n) · ( κ Σ T ) · V dl. 利用内蕴形式第二类广义 Stokes 公式, 可得能量守恒微分方程 ρ d dt ( |V | 2 2 + e ) = Σ · (t · V ) + f Σ · V + q + Σ · ( κ Σ T ) . 另一方面, 在动量方程两边作用 ·V , 可得动能微分方程 ρ dV dt · V = ρ d dt ( |V | 2 2 ) = (Σ · t ) · V + f Σ · V . 结合能量守恒微分方程和动能微分方程, 可得内能微分方程: ρ de dt = Σ · (t · V ) − (Σ · t ) · V + q + Σ · ( κ Σ T ) = t : (Σ ⊗ V ) + q + Σ · ( κ Σ T ) , 进一步, 可将曲面应力分解为 t = (γ − p)I + t∗, t∗ 代表介质内部黏性作用对应力的贡献, 可称为黏性应力. 藉此, 内能方程具有形式 ρ de dt = (γ − p)θ + t∗ : (Σ ⊗ V ) + q + Σ · ( κ Σ T ) : 式中 θ = ∇lV l − HV 3 , t∗ : (Σ ⊗ V ) 可称为耗散函数. 6
曲面形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 2应用事例 3建立路径 守恒律方程的推导,首先按自然界中的守恒律列出物质面(考虑了面密度)上的积分关系 式,特别地作用于物质面边界的力(表现为曲线积分)可以通过内蕴形式的广义 Stokes公 式转化为曲面上的积分,再结合物质面输运定理便可获得积分型及微分型关系式.本讲稿 推导了质量守恒,动量守恒,动量矩守恒以及能量守恒的 Euler型微分方程.至今并未获得 所有守恒律的 Lagrange型控制方程 值得指出,质量守恒因为同介质的物性完全无关,故可隶属运动学,而其它形式的守恒律方 程则隶属动力学
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 2 应用事例 3 建立路径 • 守恒律方程的推导, 首先按自然界中的守恒律列出物质面 (考虑了面密度) 上的积分关系 式, 特别地作用于物质面边界的力 (表现为曲线积分) 可以通过内蕴形式的广义 Stokes 公 式转化为曲面上的积分, 再结合物质面输运定理便可获得积分型及微分型关系式. 本讲稿 推导了质量守恒, 动量守恒, 动量矩守恒以及能量守恒的 Euler 型微分方程. 至今并未获得 所有守恒律的 Lagrange 型控制方程. • 值得指出, 质量守恒因为同介质的物性完全无关, 故可隶属运动学, 而其它形式的守恒律方 程则隶属动力学. 7
