曲面形态连续介质有限变形理论一变形梯度及其基本性质 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月21日 1知识要素 11变形梯度的可微性定义 与一般情形一致,变形梯度可以理解为初始物理构型中有向线元同当前物理构型中有向线 元之间的线性变换;按微分学可做如下分析 0∑ ∑(x+△Es,t)-∑(Ex,t) (Ee, t) (y,t)g;(cx,t)△s 1(x,)8G(s)·[△sca() (s19:8(x)小·[(+△)-() 此处 F=o4(Es, t)gi(as, t)(sE9(R). 称为介质形态为曲面的连续介质有限变形运动的变形梯度,或简称为“曲面变形梯度 曲面有限变形理论,只有任意张量场沿着曲面上某一曲线的变化率,就此可定义“相对于 Euler坐标的全梯度”,如对更,可有 (xx,t)⑧ 1.2基础性引理 为研究曲面变形梯度的基本性质,需要以下引理. 引理1.1(变形关系行列式物质导数) asy)(S2, t)=bx(aE, t)det/ax> ①如不引起混淆,也可简称为变形梯度
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 变形梯度的可微性定义 与一般情形一致, 变形梯度可以理解为初始物理构型中有向线元同当前物理构型中有向线 元之间的线性变换; 按微分学可做如下分析: Σ(ξΣ + ∆ξΣ, t) − Σ(ξΣ, t) = ∂Σ ∂xi Σ (xΣ, t) ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)∆ξ A Σ = ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t)∆ξ A Σ = [ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(xΣ) ] · [ ∆ξ B ΣGB(xΣ) ] .= [ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(xΣ) ] · [ ◦ Σ(ξΣ + ∆ξΣ) − ◦ Σ(ξΣ) ] , 此处 F , ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(xΣ) ∈ T 2 (R 3 ), 称为介质形态为曲面的连续介质有限变形运动的变形梯度, 或简称为 “曲面变形梯度” ➀. 就曲面有限变形理论, 只有任意张量场沿着曲面上某一曲线的变化率, 就此可定义 “相对于 Euler 坐标的全梯度”, 如对 Φ, 可有 Φ ⊗ Σ , ∂Φ ∂xs Σ (xΣ, t) ⊗ g s . 1.2 基础性引理 为研究曲面变形梯度的基本性质, 需要以下引理. 引理 1.1 (变形关系行列式物质导数). ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). ➀ 如不引起混淆, 也可简称为变形梯度. 1
曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 证明基于置换算子,相关方阵行列式可表示如下 )(sx, d(1) a∈P asa(m)/(5x 由此,可有 (Es, t) arm sino +…+ac() (Es, t) a∈Pm ∑ (Es, t) ””吗k0 (Es, t) dxm (Es, t) i=1d∈Pm (x1)(ax,) (xx,t)∑sgno axl dxs arm (m(x) 在上式中,对a求和的结果为行列式,故只有当s=i时此行列式才非零,否则此行列式将有两 行相同而自然为零,所以有 (Es, t) t)∑sgn 0i; (Es, t) 13变形梯度的基本性质 性质1.2(变形梯度基本性质).变形梯度具有如下基本性质,不仅适用于二维曲面理论而且 适用于高维曲面理论 d"=(v8.F,此处百gO ar(2,) 2.detF=6detF,此处全V 曲面变形梯度的行列式定义为 det F (Es, t) 证明高维曲面理论的构型构造如图1所示,以下按高维情形进行证明
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 证明 基于置换算子, 相关方阵行列式可表示如下: det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). 由此, 可有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ ˙ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ ∂x2 Σ ∂ξσ(2) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ + · · · + ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm−1 Σ ∂ξσ(m−1) Σ ˙ ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ˙ ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂x˙ i Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ (ξΣ, t)· · · ( ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ (ξΣ, t) ) · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ (ξΣ, t) ] = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). 在上式中, 对 σ 求和的结果为行列式, 故只有当 s = i 时此行列式才非零, 否则此行列式将有两 行相同而自然为零, 所以有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xi Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 1.3 变形梯度的基本性质 性质 1.2 (变形梯度基本性质). 变形梯度具有如下基本性质, 不仅适用于二维曲面理论而且 适用于高维曲面理论. 1. d dt F = (V ⊗ Σ ) · F, 此处 Σ , g s ∂ ∂xs Σ (xΣ, t); 2. d dt detF = θ detF, 此处 θ , V · Σ = Σ · V . 曲面变形梯度的行列式定义为 detF , √gΣ √ GΣ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 证明 高维曲面理论的构型构造如图1所示, 以下按高维情形进行证明. 2
曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 s={s}1 Ts=TE(Es.t) ∑(xs,t) ck=rshm Figure1:高维曲面理论构型构造示意 1.计算曲面变形梯度的物质导数,有 F=(Ex,t)g1x,1)8G1() aSA SE,L)(as,t)oGA 此处 91(x4=D(a,1)+这时g,=、 者(xt)=A(xt)=:(x,t ,t), arsas ag (as, t)+is O(2,t) 由此,有 Or「aiy asa ldr (aE, t)9;eGA 0∑ ∝)(rs,8G+则(x,1)8G axE(Er, tG Lars( at an(,1+ 00∑ 「ar a(am+g9)(.)8」[a(x18 性质(1)的证明类比于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论中变形 梯度相关性质的证明,此处不再重复 2.计算曲面变形梯度的行列式的物质导数,有 F √⑨Σ(cx,t) Gs(Ee, t)i(as (Es, t) GeogE(s, t)det (Se, t)+odet (Se, t) ①本章将“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”简称为“显含时间有限变形理论
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 O X1 Xm Xm+1 ◦ V Σ t V Σ Σ(xΣ, t0) Σ(xΣ, t) O x 1 Σ xm−1 Σ xm Σ DΣ ◦ V xΣ ξΣ = {ξA Σ}m A=1 t V Σ xΣ = {x i Σ}m i=1 xΣ = xΣ(ξΣ, t) Figure 1: 高维曲面理论构型构造示意 1. 计算曲面变形梯度的物质导数, 有 F˙ = ˙ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(ξ) = ˙ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi ⊗ G A + ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) ˙ gi (xΣ, t) ⊗ GA, 此处 ˙ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) = ∂ 2x i Σ ∂ξA Σ ∂t (ξΣ, t) =: ∂x˙ i Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) = ∂xs Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t), ˙ gi (xΣ, t) = ∂gi ∂t (xΣ, t) + ˙x s Σ ∂gi ∂xs Σ (xΣ, t) = ∂ ∂xi Σ ( ∂Σ ∂t ) (xΣ, t) + ˙x s Σ ∂gs ∂xi Σ (xΣ, t). 由此, 有 F˙ = ∂xs Σ ∂ξA [ ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t)gi ⊗ GA + ∂ ∂xs Σ ( ∂Σ ∂t ) (xΣ, t) ⊗ GA + ˙x i Σ ∂gi ∂xs Σ (xΣ, t) ⊗ GA ] = [ ∂ ∂xs Σ ( ∂Σ ∂t ) (xΣ, t) + ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t)gi + ˙x i Σ ∂gi ∂xs Σ (xΣ, t) ] ⊗ [ ∂xs Σ ∂ξA (ξΣ, t)GA ] = [ ∂ ∂xs Σ ( ∂Σ ∂t + ˙x i Σgi ) (xΣ, t) ⊗ g s ] · [ ∂xl Σ ∂ξA (ξΣ, t)gl ⊗ GA ] = ( V ⊗ Σ ) · F. 性质 (1) 的证明类比于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论➀ 中变形 梯度相关性质的证明, 此处不再重复. 2. 计算曲面变形梯度的行列式的物质导数, 有 ˙ |F| = √ ˙ gΣ(xΣ, t) √ GΣ(ξΣ, t)i det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = 1 √ GΣ √ ˙ gΣ(xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) + √gΣ √ GΣ ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t), ➀ 本章将“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”简称为“显含时间有限变形理论”. 3
曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 此处 √⑨(xE,t)= 1a√9 (as, t)+is 1a√9s 上述推导中利用了基本关系式 并由引理1.1,可有 =(((+(3+=F[as0+ 另一方面,速度的梯度可计算如下 xx,t)·g 0/0∑ a.\ at 9。)(xx,t) =9.(x,)+V,=9“g9k·(mx,1)+V,的 119,+V÷1109(x,+V 2 at 1V02(x,1)+, 上述推导中利用了基本关系式 1 de 综上,有 F|=6F 对二维曲面理论,面积单元√9={91,g2nlk的物质导数亦可处理如下 1,92,2R t)过+(xx,t) at 92 +91 aaf(ag, t)=z+ ot(zr, t),nl +g1,g2,m。(xx,t)+(x,t) =的+99,ml=V(+1、、) 值得指出,本节所述曲面度量行列式的引理以及曲面变形梯度的基本性质适用于几何形态 为任意有限维曲面的连续介质.由此,相关结果可作为二维曲面有限变形理论的推广
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 此处 √ ˙ gΣ(xΣ, t) = ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + x˙s Σ ∂ √gΣ ∂xs Σ (xΣ, t) = √ gΣ [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ˙x s Σ 1 √gΣ ∂ √g ∂xs Σ (xΣ, t) ] = √ gΣ [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + Γ i isx˙ s Σ ] . 上述推导中利用了基本关系式 Γ i is = 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂xs Σ (xΣ); 并由引理1.1, 可有 ˙ |F| = |F| · [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) + Γ s slx˙ l Σ ] = |F| · [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ ] . 另一方面, 速度的梯度可计算如下: V · Σ = ∂V ∂xl Σ (xΣ, t) · g l = ∂ ∂xl Σ ( ∂Σ ∂t + ˙x s Σgs ) (xΣ, t) · g l = g l · ∂gl ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = g lkgk · ∂gl ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = 1 2 g lk ∂glk ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = 1 2 1 gΣ ∂gΣ ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ. 上述推导中利用了基本关系式 1 gΣ ∂gΣ ∂xl Σ (xΣ, t) = g ij ∂gij ∂xl Σ (xΣ, t), 1 gΣ ∂gΣ ∂t (xΣ, t) = g ij ∂gij ∂t (xΣ, t). 综上, 有 ˙ |F| = θ|F|, θ = V · Σ . 对二维曲面理论, 面积单元 √gΣ = [g1 , g2 , n]R3 的物质导数亦可处理如下. d dt √ gΣ = d dt [g1 , g2 , n]R3 = [ ∂g1 ∂xs Σ (xΣ, t) ˙x s Σ + ∂g1 ∂t (xΣ, t), g2 , n ] R3 + [ g1 , ∂g2 ∂xs Σ (xΣ, t) ˙x s Σ + ∂g2 ∂t (xΣ, t), n ] R3 + [ g1 , g2 , ∂n ∂xs Σ (xΣ, t) ˙x s Σ + ∂n ∂t (xΣ, t) ] R3 = Γ l slx˙ s Σ √ gΣ + ∂ ∂t [g1 , g2 , n]R3 = √ gΣ ( Γ l lsx˙ s Σ + 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) ) R3 . 值得指出, 本节所述曲面度量行列式的引理以及曲面变形梯度的基本性质适用于几何形态 为任意有限维曲面的连续介质. 由此, 相关结果可作为二维曲面有限变形理论的推广. 4
曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 应用事例 Aris(1962)在其著作 Vectors, Tensors and the Basic equations of Fluid mechanics中,研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程.值得指出,在Aris的书著中,利用了如下关系 (x,t)+1 ar (Es, t) (Es, t) (Es, t) 现指出,此式有误.由于上述不正确的关系式,Aris所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著(10.129)式,为 人=+(+2)n 实际上,笔者认为正确的关系式为 d do dt +o(c)+2)如=使+啊 上述最后等式的获得利用了如下关系式 9_10g 2g raaf(ar)z gazi (aevi=rv Aris(1962)研究了任意固定曲面上二维流动.谢锡麟、陈瑜、史倩(20132提出的曲面有 限变形理论既适用于固定曲面上二维流动,也适用与自身可作有限变形运动的曲面上二维流动 进一步,谢锡麟(2013)③提出固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架 3建立路径 变形梯度可以本质性地理解为当前物理构型与初始物理构型间的有向线元之间的可微性意 义下的关系,或者理解为物理空间中变形刻画向量值映照的“导数” 变形梯度的基本性质决定了变形刻画关系式的建立 值得指出,曲面形态连续介质变形梯度的基本性质由“曲面上梯度算子”表征,而体积形态 连续介质变形梯度的基本性质由“全空间上梯度算子”表征 O Aris R. Vectors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall, 1962. @2 Xie X L, Chen Y, Shi Q. Some Studies on Mechanics of Continuous Mediums Viewed as Differential Mani- folds. Sci. China-Phys. Mech. Astron, 2013, 56(2),432-456 3 Xie X L. A Theoretical Framework of Vorticity Dynamics for Two Dimensional Flows on Fixed Smooth Surfaces. Physics. Flu-Dym, 2013, ar Xiv: 1304.5145vl.(original manuscript)
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 2 应用事例 Aris(1962) 在其著作 Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics 中, 研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程. 值得指出, 在 Aris 的书著中, 利用了如下关系 式: ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = [ ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) + Γ s sjx˙ j Σ ] det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = (∇sx˙ s Σ) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 现指出, 此式有误. 由于上述不正确的关系式, Aris 所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著 (10.12.9) 式, 为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∇sV s + g˙ 2g )] dσ, V s := ˙x s Σ. 实际上, 笔者认为正确的关系式为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∂V s ∂xs Σ (xΣ, t) + g˙ 2g )] dσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ∇sV s ] dσ. 上述最后等式的获得利用了如下关系式: g˙ 2g = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ) ˙x i = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ)V i = Γ s siV i . Aris(1962) 研究了任意固定曲面上二维流动➀. 谢锡麟、陈瑜、史倩 (2013)➁提出的曲面有 限变形理论既适用于固定曲面上二维流动, 也适用与自身可作有限变形运动的曲面上二维流动. 进一步, 谢锡麟 (2013)➂ 提出固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架. 3 建立路径 • 变形梯度可以本质性地理解为当前物理构型与初始物理构型间的有向线元之间的可微性意 义下的关系, 或者理解为物理空间中变形刻画向量值映照的 “导数”. • 变形梯度的基本性质决定了变形刻画关系式的建立. • 值得指出, 曲面形态连续介质变形梯度的基本性质由 “曲面上梯度算子” 表征, 而体积形态 连续介质变形梯度的基本性质由 “全空间上梯度算子” 表征. ➀ Aris R. Vectors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall, 1962. ➁ Xie X.L., Chen Y., Shi Q. Some Studies on Mechanics of Continuous Mediums Viewed as Differential Manifolds. Sci. China-Phys. Mech. Astron., 2013, 56(2), 432-456. ➂ Xie X L. A Theoretical Framework of Vorticity Dynamics for Two Dimensional Flows on Fixed Smooth Surfaces. Physics.Flu-Dyn, 2013, arXiv:1304.5145v1. (original manuscript) 5
