曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲面第一基本形式及曲面度量张量 定义11(曲面第一基本形式,.由9(xx)=(91(cx),9(cx)em+1构成的m×m矩阵 911(ay) G(as) =Dx(xy)Dx(x)∈Rmxm, 9m1(∑ gmm(ay) 称为曲面∑(x)的第一基本形式 性质1.1(曲面第一基本形式的对称性、正定性).曲面的第一基本形式矩阵G是对称矩阵 在曲面的正则点处,曲面的第一基本形式矩阵G是对称正定矩阵. 证明由内积的对称性,矩阵G的对称性是显然的.下面证明正定性 设VE∈Rm,则有 IGE=TD∑D∑=(D)(D罗) =|D罗∈m=(g)2≥0 在曲面的正则点处,有 rank∑(x)=m,即{91(xx)}m1线性无关所以当￡rGE=(g1)2= 0时,必然有=0,i=1,……,m,即E=0 因此矩阵G是对称正定矩阵 定义1.2(曲面的度量张量).定义仿射量 G(xx)9928g3=99189=0918g∈Psym 为曲面的度量张量 就高维曲面情形,可有如下关于曲面度量g:=det()的引理 引理1.2(关于曲面度量的恒等式 9a2(2)=yy
张量分析讲稿谢锡麟 曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲面第一基本形式及曲面度量张量 定义 1.1 (曲面第一基本形式). 由 gij (xΣ) = (gi (xΣ), gj (xΣ))Rm+1 构成的 m × m 矩阵 G(xΣ) = g11(xΣ) · · · g1m(xΣ) . . . . . . gm1(xΣ) · · · gmm(xΣ) = DΣT(xΣ)DΣ(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第一基本形式. 性质 1.1 (曲面第一基本形式的对称性、正定性). 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称矩阵; 在曲面的正则点处, 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称正定矩阵. 证明 由内积的对称性, 矩阵 G 的对称性是显然的. 下面证明正定性. 设 ∀ ξ ∈ R m, 则有 ξ TGξ = ξ TDΣTDΣξ = (DΣξ) T(DΣξ) = |DΣξ| 2 Rm = (ξ i gi ) 2 > 0. 在曲面的正则点处, 有 rankDΣ(xΣ) = m, 即 {gi (xΣ)} m i=1 线性无关. 所以当 ξ TGξ = (ξ igi ) 2 = 0 时, 必然有 ξ i = 0, i = 1, · · · , m, 即 ξ = 0. 因此矩阵 G 是对称正定矩阵. 定义 1.2 (曲面的度量张量). 定义仿射量 G(xΣ) , gijg i ⊗ g j = g ijgi ⊗ gj = δ i jgi ⊗ g j ∈ PSym 为曲面的度量张量. 就高维曲面情形, 可有如下关于曲面度量 g := det ( gij) 的引理. 引理 1.2 (关于曲面度量的恒等式). 1 g ∂g ∂xl Σ (xΣ) = g ij ∂gij ∂xl Σ (xΣ). 1
曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 证明考虑 isis,Vi=l 此处△,表示度量矩阵(9)的伴随矩阵第i行第s列的元素,由此可知如果95包含在g的 表达式中,则有△≠0;并且如果9的表达式不包含9j,则有△;=0 随后,可作以下推导: m=∑mma)=4ma) 09( s)=gg q gpg( 值得指出,上述证明说明此恒等式亦适用于一般曲线坐标系 1.2曲面第二基本形式及曲面曲率张量 定义1.3(曲面第二基本形式).令 an bij(ay) (as), n(as) 9i( az), axs/Rm+ 并引入m×m矩阵 B(as =-D∑(x)·Dn(xy)∈Rmxm, bml ay) bmm(as 称为曲面∑(xy)的第二基本形式 因为 big(z=)=(2(s),n(es) (ay), n(az) axk ax (x),n(z)=b(s), 所以曲面第二基本形式B也是对称矩阵 定义1.4(曲面曲率张量).定义仿射量 K(Es)9bi19'8g=69189;=6i9i& g'ESym 为曲面的曲率张量,式中 b=99buI, bi=9 bkj
张量分析讲稿谢锡麟 曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 证明 考虑 g := det(gij ) = ∑m s=1 ∆isgis, ∀ i = 1, · · · , m, 此处 ∆is 表示度量矩阵 ( gpq) 的伴随矩阵第 i 行第 s 列的元素. 由此可知, 如果 gij 包含在 g 的 表达式中, 则有 ∆ij ̸= 0; 并且如果 g 的表达式不包含 gij , 则有 ∆ij = 0. 随后, 可作以下推导: ∂g ∂xl Σ = ∑ 包含gij ∂g ∂gij ∂gij ∂xl Σ (xΣ) = ∑ 包含gij ∆ij ∂gij ∂xl Σ (xΣ) = ∑m p,q=1 ∆pq ∂gpq ∂xl Σ (xΣ) = ggpq ∂gpq ∂xl Σ (xΣ). 值得指出, 上述证明说明此恒等式亦适用于一般曲线坐标系. 1.2 曲面第二基本形式及曲面曲率张量 定义 1.3 (曲面第二基本形式). 令 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = − ( gj (xΣ), ∂n ∂xi Σ ) Rm+1 , 并引入 m × m 矩阵 B(xΣ) = b11(xΣ) · · · b1m(xΣ) . . . . . . bm1(xΣ) · · · bmm(xΣ) = −DΣT(xΣ) · Dn(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第二基本形式. 因为 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂ 2Σ ∂xi Σ ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = bji(xΣ), 所以曲面第二基本形式 B 也是对称矩阵. 定义 1.4 (曲面曲率张量). 定义仿射量 K(xΣ) , bijg i ⊗ g j = b ijgi ⊗ gj = b i jgi ⊗ g j ∈ Sym 为曲面的曲率张量, 式中 b ij = g ikg jlbkl, bi j = g ikbkj . 2
曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 13 Gauss曲率和平均曲率 首先证明一个线性代数中很重要的定理 定理13(同时对角化).设有对称正定矩阵A∈Rm×m和对称矩阵B∈Rmxm,则一定唯 存在一个非奇异的矩阵S∈RmXm满足 SAS=I SBS 式中,Im为m阶单位矩阵,A满足det(B-AA)=0,i=1,…,m. 证明由于A是对称矩阵,因此一定唯一存在一个正交矩阵QA,使得 Q五AQA=A 其中,a1,…,am是A的特征值.因为A是正定矩阵,所以它所有的特征值都是正的.记 则有 QAAQA= A,即 (A3)-Q五AQA(13)-1=Im, 因此令SA=QA(1)1,有 SAASA=Im 令B=SBSA,因为B是对称矩阵,所以B也是对称矩阵,而且唯一存在一个正交矩阵 QB,满足 T BQB=AB= 式中,A1,…,Mm是B的特征值,满足det(B-AIm)=0,i=1,…,m.也就是 QBSABSAQ 此处令S=SAQB=QA(A3)-1QB,即有 s BS
张量分析讲稿谢锡麟 曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 1.3 Gauss 曲率和平均曲率 首先证明一个线性代数中很重要的定理. 定理 1.3 (同时对角化). 设有对称正定矩阵 A ∈ R m×m 和对称矩阵 B ∈ R m×m, 则一定唯 一存在一个非奇异的矩阵 S ∈ R m×m 满足 S TAS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 式中, Im 为 m 阶单位矩阵, λi 满足 det(B − λiA) = 0, i = 1, · · · , m. 证明 由于 A 是对称矩阵, 因此一定唯一存在一个正交矩阵 QA, 使得 QT AAQA = ΛA = a1 . . . am , 其中, a1, · · · , am 是 A 的特征值. 因为 A 是正定矩阵, 所以它所有的特征值都是正的. 记 Λ 1 2 A = a 1 2 1 . . . a 1 2m , 则有 QT AAQA = Λ 1 2 AΛ 1 2 A , 即 (Λ 1 2 A ) −1QT AAQA(Λ 1 2 A ) −1 = Im, 因此令 SA = QA(Λ 1 2 A ) −1 , 有 S T AASA = Im. 令 Be = S T ABSA, 因为 B 是对称矩阵, 所以 Be 也是对称矩阵, 而且唯一存在一个正交矩阵 QB, 满足 QT BBQe B = ΛBe = λ1 . . . λm , 式中, λ1, · · · , λm 是 Be 的特征值, 满足 det(Be − λiIm) = 0, i = 1, · · · , m. 也就是 QT BS T ABSAQB = λ1 . . . λm . 此处令 S = SAQB = QA(Λ 1 2 A ) −1QB, 即有 S TBS = λ1 . . . λm , 3
曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 而且 SAS=QBSAASAQB=QBImQB=Im λ2满足 det(B-AiIm)=det(SABSA-AiSfASa)=det(SA(B-AA)SA=0, 即det(B-入1A)=0 根据同时对角化定理,曲面第一基本形式G是对称正定矩阵,曲面第二基本形式B是对称 矩阵,因此唯一存在一个非奇异矩阵S∈Rm×m,使得 S GS=Im S BS 此处λ满足det(B-AG)=0,i=1,…,m 据此,令 KG=Ai=det(G-b)detB det G 称为 Gauss曲率.令 H=∑A=tr(G-1B 称为平均曲率 2应用事例 3建立路径 本讲稿直接将线性代数中将一个对称正定阵与对称阵同时对角化的结论应用于曲面度量张 量(协变分量矩阵为对称正定阵)与曲率张量(协变分量矩阵为对称阵),以此定义 Gauss 曲率与平均曲率.定义的过程是构造性,由此也直接提供了计算 Gauss曲率与平均曲率的 方法 ·认识上,可以先在数学上明晰Gaus曲率与平均曲率的定义,然后再研究 Gauss曲率与平 均曲率的意义
张量分析讲稿谢锡麟 曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 而且 S TAS = QT BS T AASAQB = QT BImQB = Im. λi 满足 det(Be − λiIm) = det(S T ABSA − λiS T AASA) = det[S T A(B − λiA)SA] = 0, 即 det(B − λiA) = 0. 根据同时对角化定理, 曲面第一基本形式 G 是对称正定矩阵, 曲面第二基本形式 B 是对称 矩阵, 因此唯一存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得 S TGS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 此处 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 据此, 令 KG = ∏m i=1 λi = det(G−1B) = det B det G , 称为 Gauss 曲率. 令 H = ∑m i=1 λi = tr(G−1B), 称为平均曲率. 2 应用事例 3 建立路径 • 本讲稿直接将线性代数中将一个对称正定阵与对称阵同时对角化的结论应用于曲面度量张 量 (协变分量矩阵为对称正定阵) 与曲率张量 (协变分量矩阵为对称阵), 以此定义 Gauss 曲率与平均曲率. 定义的过程是构造性, 由此也直接提供了计算 Gauss 曲率与平均曲率的 方法. • 认识上, 可以先在数学上明晰 Gauss 曲率与平均曲率的定义, 然后再研究 Gauss 曲率与平 均曲率的意义. 4