非完整基理论及应用 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 2完整基之间的相互关系 定理21.设{x3}m1和{x}m1为Rm中的两个完整系,则相应有如下坐标转换关系 此处 ar0) (c:=a axs 证明由于{x2}m1和{x}m1为Rm中的两个完整系,可认为两者之间存在微分同胚.对 协变基向量,有 a x ax ax 9()-9r( 对逆变基向量,有 9全v2()a 同理,有 zgG 进一步,考虑到 ax(k)axj 亦即,坐标转换系数{C01m=1与{C0}=1仅有一组独立,两者之间满足互逆关系 图1为完整基示意 按简单张量的基本性质,易得相对不同基的张量分量之间的转换关系
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 2 完整基之间的相互关系 定理 2.1. 设 {x i} m i=1 和 {x (i)} m i=1 为 R m 中的两个完整系, 则相应有如下坐标转换关系: g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j , gi =: C (j) i g(j) , g i =: C i (j) g (j) . 此处 C i (j) := ∂xi ∂x(j) , C (i) j := ∂x(i) ∂xj . 证明 由于 {x i} m i=1 和 {x (i)} m i=1 为 R m 中的两个完整系, 可认为两者之间存在微分同胚. 对 协变基向量, 有 g(i) , ∂X ∂x(i) = ∂xj ∂x(i) ∂X ∂xj = ∂xj ∂x(i) gj =: C j (i) gj , 对逆变基向量, 有 g (i) , ∇x (i) = ∂x(i) ∂Xα iα = ∂x(i) ∂xj ∂xj ∂Xα iα = ∂x(i) ∂xj g j =: C (i) j g j . 同理, 有 gi = ∂x(j) ∂xi g(j) =: C (j) i g(j) , g i = ∂xi ∂x(j) g (j) =: C i (j) g (j) . 进一步, 考虑到 ( C i (k) ) (C (k) j ) = ( ∂xi ∂x(k) ∂x(k) ∂xj ) = ( δ i j ) = Im, 亦即, 坐标转换系数 {C i (j) } m i,j=1 与 {C (i) j } m i,j=1 仅有一组独立, 两者之间满足互逆关系. 图1为完整基示意. 按简单张量的基本性质, 易得相对不同基的张量分量之间的转换关系. 1
非完整基理论及应用 谢锡麟 y-线 x2-线 y-线 Figure1:完整基示意 定理22(张量分量间的坐标转换关系.以重=型/91891∈2(3)为例,有如下关系 更=918g1=少908g0; V=Vg2898gy=V(0.090)890890 所以有分量之间的转换关系 CAcO、V2 定理23(第一类 Christoffel符号的坐标转换关系). 0=ccm-cC如 (q)(P)
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 X1 Xα Xm O X(x˜) = X(y˜) x i -楫 y j -楫 gi(x˜) g(j)(y˜) X(xˆ) = X(yˆ) x i -楫 y j -楫 gi(xˆ) g(j)(yˆ) x 1 x i xm O x i -楫 x i -楫 xˆ x˜ Dx y 1 y j ym O y j -楫 y j -楫 yˆ y˜ Dy Figure 1: 完整基示意 定理 2.2 (张量分量间的坐标转换关系). 以 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j ∈ T 2 (R 3 ) 为例, 有如下关系: Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j = Φ (i) (j) g(i) ⊗ g (j) ; ∇ ⊗ Φ = ∇kΦ i ·jg k ⊗ gi ⊗ g j = ∇(k)Φ (i) (j) g (k) ⊗ g(i) ⊗ g (j) . 所以有分量之间的转换关系 Φ (p) (q) = C (p) i C j (q) Φ i j ; ∇(l) Φ (p) (q) = C k (l)C (p) i C j (q)∇kΦ i j . 定理 2.3 (第一类 Christoffel 符号的坐标转换关系). Γ (l) (p)(q) = C (l) k C i (p)C j (q) Γ k ij − C i (p)C j (q) ∂C(l) j ∂xi = Γ (l) (q)(p) . 2
非完整基理论及应用 谢锡麟 证明考虑到 V +I下;-I更 arl axl ar(r) s(cim m )s( m ( n)+rik axl gon) ac ac +rick(ng( m)n)-rkcim cin B m) 可有 (q)=C V ar(r) J ar(r) +o()Cim) ar(r).(n)+ Tik C m) p.()-riCim) C g(m) ole (m)o+nc(n) (n)+rickmClsCp rCC0Ck小 ar(s) (q) (q) 0 ax(s) ac(n) O更 aC (s)(a) arl +T p) s(m) 由此便有 Christoffel的坐标转换关系 Ti.CL p) )areal(m)(s)
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 证明 考虑到 ∇lΦ i ·j = ∂Φi ·j ∂xl + Γ i lkΦ k · j − Γ k ljΦ i ·k = ∂x(r) ∂xl ∂ ∂x(r) ( C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) ) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) = C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) , 可有 ∇(s)Φ (p) · (q) = C l (s)C (p) i C j (q)∇lΦ i ·j = C l (s)C (p) i C j (q) [ C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) ] = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) Φ (m) · (q) + C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) Φ (p) · (n) + Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i Φ (m) · (q) − Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + ∂ ∂x(s) ( C (p) i C i (m) ) − C i (m) ∂C(p) i ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + Γ (p) (s)(m) Φ (m) · (q) − Γ (n) (s)(q) Φ (p) · (n) . 由此便有 Christoffel 的坐标转换关系 Γ (p) (s)(m) = Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl = Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂x(p) ∂xk∂xl = Γ (p) (m)(s) . 3
非完整基理论及应用 谢锡麟 3非完整基一般理论 按线性代数,R中任意二组基{g1}m1和{9(}m1可以相互表示,如下所示 9(i) 此处CC=6,基转换系数{C1=1与{c1m=之间的关系式源于协变基与逆变基之 的对偶关系 9八()x线 y线 x线 9(2) g1() x-线 D Figure2:非完整基示意 图2为非完整基示意图 本节研究这样的情形,{g}m=1为完整基,亦即由曲线坐标系诱导;{9(a)}m=1为非完整基,亦 即由完整基及基转换系数确定,其中转换系数可自由确定.对任意张量场,可以基于完整基定义 其梯度,以三阶张量更∈3(R3)为例,有 更8V:=V匝918918g8g∈1(R3), 现需获得φ⑧ⅴ在非完整基下的表达形式.按基转化关系可有 )(V小)8g8g)sy) 囤⑧()s)9p)898g"g() 亦即有匝8V0)=CC(CV 非完整基理论实质为提供一套“形式运算”,以获得匝8V(P(o)s,具体包括 1.定义形式偏导数 axk 2.定义形式 Christoffel符号
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3 非完整基一般理论 按线性代数, R m 中任意二组基 {gi} m i=1 和 {g(i)} m i=1 可以相互表示, 如下所示: g(i) := C j (i) gj , g (i) := C (i) j g j , gi := C (j) i g(j) , g i := C i (j) g (j) , 此处, C (i) k C k (j) = δ i j , 基转换系数 {C j (i) } m i,j=1 与 {C (i) j } m i,j=1 之间的关系式源于协变基与逆变基之 间的对偶关系. x 1 x i xm O x i -楫 x i -楫 x j -楫 x j -楫 xˆ x˜ Dx X1 Xα Xm O X(x˜) x i -楫 x j -楫 gi(x˜) gj (x˜) g(i)(x˜) g(j)(x˜) X(xˆ) x i -楫 x j -楫 gi(xˆ) gj (xˆ) g(i)(xˆ) g(j)(xˆ) Figure 2: 非完整基示意 图2为非完整基示意图. 本节研究这样的情形, {gi} m i=1 为完整基, 亦即由曲线坐标系诱导; {g(i)} m i=1 为非完整基, 亦 即由完整基及基转换系数确定, 其中转换系数可自由确定. 对任意张量场, 可以基于完整基定义 其梯度, 以三阶张量 Φ ∈ T 3 (R 3 ) 为例, 有 Φ ⊗ ∇ := ∇lΦ i ·jkgi ⊗ g j ⊗ g k ⊗ g l ∈ T 4 (R 3 ), 现需获得 Φ ⊗ ∇ 在非完整基下的表达形式. 按基转化关系可有 Φ ⊗ ∇ : = ∇lΦ i ·jk [ C (p) i g(p) ] ⊗ [ C j (q) g (q) ] ⊗ [ C k (r) g (r) ] ⊗ [ C l (s) g (s) ] = C (p) i C j (q) C k (r)C l (s)∇lΦ i ·jkg(p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) = [Φ ⊗ ∇] (p) ·(q)(r)(s) g(p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) , 亦即有 [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) = C (p) i C j (q) C k (r)C l (s)∇lΦ i ·jk. 非完整基理论实质为提供一套 “形式运算”, 以获得 [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) , 具体包括 1. 定义形式偏导数 ∂ ∂x(l) ≡ ∂(l) , C k (l) ∂ ∂xk ; 2. 定义形式 Christoffel 符号 Γ (l) (p)(q) , C (l) k C i (p)C j (q) Γ k ij − C i (p)C j (q) ∂C(l) j ∂xi ̸= Γ (l) (q)(p) ; 4
非完整基理论及应用 谢锡麟 3.定义形式协变导数 0 通过直接计算可验证V(小(=匝v]po(s 首先,对向量A=4g1=A9o,可有 az 由形式偏导数的定义可有 sk 考虑到 V1A42 dA A5=C() a((C4()+C1A0) +Ciaa ar(k) 所以,有 V(m)A(n)=C(mC(VIA )=Clm)C(n) ac0 AG)+Ci C6) ax(k) aA +rC40) CIm Cmcr am(A)+Cim)o C) amd5+risC&,Clm)C[ AG) dx(m)+C)auA(+IisCs)C(m)(n)AG) aA(n) ar(m) aa(n) 0 ac Tisc aA(n) +risco (n) am/40) 02m)+rici im) (ol-Cim)ci) d2= AG) 对仿射量中=少19189=098g0,可有 考虑到 VIg 2 ))+Ticm) g)g6(m n)-r; om) kn) gb m ny ac (n)(
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. 定义形式协变导数 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) , C l (s) ∂ ∂xl Φ (p) · (q)(r) + Γ (p) (s)(k) Φ (k) · (q)(r) − Γ (k) (s)(q) Φ (p) · (k)(r) − Γ (k) (s)(r) Φ (p) · (q)(k) , 通过直接计算可验证 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) = [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) . 首先, 对向量 A = Aigi = A(j)g(j) , 可有 A i = C i (j)A (j) , 由形式偏导数的定义可有 C (l) s ∂ ∂x(l) = C (l) s C k (l) ∂ ∂xk = δ k s ∂ ∂xk = ∂ ∂xs . 考虑到 ∇lA i = ∂Ai ∂xl + Γ i lsA s = C (k) l ∂ ∂x(k) ( C i (j)A (j) ) + Γ i lsC s (j)A (j) = C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)A (j) , 所以, 有 ∇(m)A (n) = C l (m)C (n) i (∇lA i ) = C l (m)C (n) i [ C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)A (j) ] = C l (m)C (n) i C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C l (m)C (n) i C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + C (n) i ∂Ci (j) ∂x(m) A (j) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ ∂ ∂x(m) ( C (n) i C i (j) ) − C i (j) ∂C(n) i ∂x(m) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i − C i (j) ∂C(n) i ∂xs ∂xs ∂x(m) ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i − C s (m)C i (j) ∂C(n) i ∂xs ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + Γ (n) (m)(j)A (j) . 对仿射量 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j = Φ (i) · (j)g(i) ⊗ g (j) , 可有 Φ i ·j = C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) . 考虑到 ∇lΦ i ·j = ∂Φi ·j ∂xl + Γ i lkΦ k ·j − Γ k ljΦ i ·k = C (r) l ∂ ∂x(r) ( C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) ) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) = C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) , 5
非完整基理论及应用 谢锡麟 所以,有 (p) (q)=( V更 +lI. O (q)+ TiL C(m)C(s)C rcls go aCi (n) (9) ar(s) (q) (n)cl ac 更 as P()+risc(s)C(m) Cl,ck aclp a)arl axl ax(s)*/(p) s(m) (q) ((m)()-r(n)db) (s)(q) 由此便对向量和仿射量的情形进行了验证.对于更高阶的张量,可以用类似的步骤进行 4从完整的正交系到非完整的单位正交系 在实际应用非完整基理论时,完整基常为完整的正交基,亦即(91,93)8=0,当i≠j,且非 完整基构造为原完整正交基的单位化,即 9a=:C1 式中 当i √9i,当 全y9i 当i≠j 当i≠ 上式中对i不求和.由此非完整基为单位正交基,亦即有(9903=
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 所以, 有 ∇(s)Φ (p) · (q) = C l (s)C (p) i C j (q)∇lΦ i ·j = C l (s)C (p) i C j (q) [ C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) ] = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) Φ (m) · (q) + C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) Φ (p) · (n) + Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i Φ (m) · (q) − Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + ∂ ∂x(s) ( C (p) i C i (m) ) − C i (m) ∂C(p) i ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + Γ (p) (s)(m) Φ (m) · (q) − Γ (n) (s)(q) Φ (p) · (n) . 由此便对向量和仿射量的情形进行了验证. 对于更高阶的张量, 可以用类似的步骤进行. 4 从完整的正交系到非完整的单位正交系 在实际应用非完整基理论时, 完整基常为完整的正交基, 亦即 (gi , gj )R3 = 0, 当 i ̸= j, 且非 完整基构造为原完整正交基的单位化, 即 g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j , 式中 C j (i) , 1 √gii , 当 i = j, 0, 当 i ̸= j, C (i) j , 1 √ g ii = √gii, 当 i = j, 0, 当 i ̸= j. 上式中对 i 不求和. 由此非完整基为单位正交基, 亦即有 ( g(i) , g(j) ) R3 = δij . 6
非完整基理论及应用 谢锡麟 定理41(单位正交基中 Christoff号°) r0=90()ro0e=rw2 Tpqp)=-I(ppq) a In gpp √9qm,当1=p≠q, 其他情况. 证明首先,计算完整正交系下第二类 Christoffel符号 E=9ms=9NWws、l 1/0 grr2 dry xsl m) 分以下几种情况进行讨论 ≠q≠r,此时F 2.p=q≠r或者p=r≠q或者q=r≠p时,有 2 02r/(a) 2 grr a 1109m(x) 1109 2 gm drq O?(a); TPp=-Ip pp,p= 1 1 agpp 然后,计算对应的非完整单位正交系下的第二类 Christoffel符号(在处理中仍先保留协变与逆变 之间的区别) 1.p≠q≠r时,有rp=0 2.p=q≠r或者p=r≠q或者q=r≠p时,有 11 dg (P)(P) gpp 2 grr arr 11 Opp(a dr) In r=1(11 (P)(q Vipp(29pp dzy) 1aln√9P (P)(q)一 √9P gpp ysgg azp 1 aIn a In Oxp(a) /9pp dxp(a)=0 ①在单位正交系中,协变基与逆变基重合,藉此张量的协变和逆变分量亦无差别
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 定理 4.1 (单位正交基中 Christoffel 符号➀). Γ (l) (p)(q) = g (l)(k)Γ(p)(q),(k) =: Γ⟨pql⟩ = Γ⟨pqp⟩ = −Γ⟨ppq⟩ = 1 √gqq ∂ ln √gpp ∂xq , 当 l = p ̸= q, 0, 其他情况. 证明 首先, 计算完整正交系下第二类 Christoffel 符号： Γ r pq = g rsΓpq,s = g rrΓpq,r = 1 grr 1 2 ( ∂gpr ∂xq + ∂gqr ∂xp − ∂gpq ∂xr ) , 分以下几种情况进行讨论: 1. p ̸= q ̸= r, 此时 Γ r pq = 0; 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 Γ r pp = 1 grr Γpp,r = 1 grr ( − 1 2 ∂gpp ∂xr ) (x) = − 1 2 1 grr ∂gpp ∂xr (x), Γ p qp = Γ p pq = 1 gpp Γpq,p = 1 gpp 1 2 ∂gpp ∂xq (x) = 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xq (x) = ∂ ln √gpp ∂xq (x); 3. p = q = r 时, 有 Γ p pp = 1 gpp Γpp,p = 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xp (x) = ∂ ln √gpp ∂xp (x). 然后, 计算对应的非完整单位正交系下的第二类 Christoffel 符号 (在处理中仍先保留协变与逆变 之间的区别): 1. p ̸= q ̸= r 时, 有 Γ (r) (p)(q) = 0; 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 Γ (r) (p)(p) = 1 gpp √ grrΓ r pp = √grr gpp ( − 1 2 1 grr ∂gpp ∂xr ) = − 1 2 1 √grr 1 gpp ∂gpp ∂xr (x) = − 1 √grr ∂ ∂xr ln √gpp = −∂(r) ln √gpp, Γ (p) (p)(q) = 1 √gqq Γ p pq = 1 √gpp ( 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xq (x) ) = 1 √gqq ∂ ln √gpp ∂xq (x) = ∂(q) ln √gpp, Γ (q) (p)(q) = 1 √gpp Γ q pq − 1 √gpp 1 √gqq ∂ √gqq ∂xp = 1 √gpp ∂ ln √gqq ∂xp (x) − 1 √gpp ∂ ln √gqq ∂xp (x) = 0; ➀ 在单位正交系中, 协变基与逆变基重合, 藉此张量的协变和逆变分量亦无差别. 7
非完整基理论及应用 谢锡麟 3.p=q=r时,有 P axp 1ol√卿_1olny9m √9mOr V9ma2"(x)=0 综上,有 q)m√9pp=1(p)(q),(P) )=-0q)ln√师m=rpp) 按郭仲衡《张量(理论和应用)》中的记号,将上式中的 Christoffel号记作 (p)(a)-(p)(Q).(r)=r(pqr) 定理42(单位正交基中张量分量协变导数).以三阶张量为例,有 7(s)!(q)()=V(s)重pqr) 9ss Ors(pqr)+r(skp)(kqr)+r(skq)(pkr)+ r(skr)(pgk) 按上所述,可将在完整基下定义的场论微分运算在非完整基下表示,现以更=91⑧9∈ 9(R3)为例,则可有 V·更会V吵93=V例重P)9() Vpg;=V(j)更()9(i) v8更Vq91③92=V()更(j)9p)9(9 更V会Vp918938g=V)重g(9)g) V×更全两V9n89k=E(mV(kg(m)9k 更xV全mV9k89p=mV()g(k)8g( 进一步,可获得张量分量的具体表达式 5应用事例 5.1弹性力学中的应用事例 511基本方程 应变可以表示为 全(u8V+Vu)∈2(R3) 其在单位正交基下的分量方程为 E=(V()()+V((0)e()e()
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. p = q = r 时, 有 Γ (p) (p)(p) = 1 √gpp Γ p pp − 1 gpp ∂ √gpp ∂xp (x) = 1 √gpp ∂ ln √gpp ∂xp − 1 √gpp ∂ ln √gpp ∂xp (x) = 0. 综上, 有 Γ (p) (p)(q) = ∂(q) ln √gpp = Γ(p)(q),(p) , Γ (q) (p)(p) = −∂(q) ln √gpp = Γ(p)(p),(q) . 按郭仲衡《张量 (理论和应用)》中的记号, 将上式中的 Christoffel 符号记作 Γ (r) (p)(q) = Γ(p)(q),(r) = Γ⟨pqr⟩. 定理 4.2 (单位正交基中张量分量协变导数). 以三阶张量为例, 有 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) = ∇⟨s⟩ Φ⟨pqr⟩ = 1 √gss ∂ ∂xs Φ⟨pqr⟩ + Γ⟨skp⟩Φ⟨kqr⟩ + Γ⟨skq⟩Φ⟨pkr⟩ + Γ⟨skr⟩Φ⟨pqk⟩. 按上所述, 可将在完整基下定义的场论微分运算在非完整基下表示, 现以 Φ = Φ i ·j gi ⊗ g j ∈ T (R 3 ) 为例, 则可有 ∇ · Φ , ∇pΦ p ·j g j = ∇⟨p⟩ Φ⟨pj⟩ g⟨j⟩, Φ · ∇ , ∇jΦ ij gi = ∇⟨j⟩ Φ⟨ij⟩ g⟨i⟩, ∇ ⊗ Φ , ∇pΦ i ·j g p ⊗ gi ⊗ g j = ∇⟨p⟩ Φ⟨ij⟩g⟨p⟩ ⊗ g⟨i⟩ ⊗ g⟨j⟩, Φ ⊗ ∇ , ∇pΦ i ·j gi ⊗ g j ⊗ g p = ∇⟨p⟩ Φ⟨ij⟩g⟨i⟩ ⊗ g⟨j⟩ ⊗ g⟨p⟩, ∇ × Φ , ε pij∇iΦ ·k j gp ⊗ gk = ε⟨pij⟩∇⟨i⟩ Φ⟨jk⟩g⟨p⟩ ⊗ g⟨k⟩, Φ × ∇ , ε pij∇iΦ ·k j gk ⊗ gp = ε⟨pij⟩∇⟨i⟩ Φ⟨jk⟩g⟨k⟩ ⊗ g⟨p⟩. 进一步, 可获得张量分量的具体表达式. 5 应用事例 5.1 弹性力学中的应用事例 5.1.1 基本方程 应变可以表示为 E , 1 2 (u ⊗ ∇ + ∇ ⊗ u) ∈ T 2 (R 3 ). 其在单位正交基下的分量方程为 E = 1 2 (∇⟨j⟩u⟨i⟩ + ∇⟨i⟩u⟨j⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩, 8
非完整基理论及应用 谢锡麟 以E(12)分量为例,有 E(12)=3(0(2)a(1)+T(2s1)u(s)+a(1)u(2)+r(1s2)u(s) =2(0(2)(1)+r(221)(2)+0(1)(2)+r(112)a(1) 应变协调方程可以表示为 V×E×V=0∈2(R3) 上式左端在一般曲线坐标系中可以表示为 V×E×V=VkVE;eegp89=e(lp)(kq)V(V()E()ep)e(q) 由此可得单位正交基下的分量方程 E (lipSko)V(hV(E(ij)=0 V×EV对e(1)se(2)的分量,可计算如下 E(lilyEjk2)V(k)V(lE(ij) e(231)(k2V()V(2)E(3)+(321)(jk2)V(k)V(3)E(2j) e(231)((132)V(3)V(2)E(31)+∈(312)V(1)V(2)E(33) +ε(321)((132)V(3)V③3)E(②21)+e(312)V(1)V{3)E(23) V③3)V(2)E{31)+V(1)V(2)E(33)+V(3)V(3)E(②21)-V(1)V(3)E(23) Michell应力协调方程可以表示为 △T+,,V⑧(V日)+ 1+ V·f)I+(f8V+Vaf)=0∈32(R3), 式中:=trT.其e()@e(j)分量为 VlpVlpT(ij)+V( VGT(pp)+vlp)f(p)s(ij) +(V(j)f()+V()f(j)=0. Navier方程可以表示为 v(v.u)+-f=0∈R 其对应于e()分量方程为 v(V(a()+1-V)v(aa()+元f()=0
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 以 E⟨12⟩ 分量为例, 有 E⟨12⟩ = 1 2 (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨2s1⟩u⟨s⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ⟨1s2⟩u⟨s⟩) = 1 2 (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨221⟩u⟨2⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ⟨112⟩u⟨1⟩). 应变协调方程可以表示为 ∇ × E × ∇ = 0 ∈ T 2 (R 3 ). 上式左端在一般曲线坐标系中可以表示为 ∇ × E × ∇ = ∇k∇lEij ε lipε jkq gp ⊗ gq = ε⟨lip⟩ε⟨jkq⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩e⟨p⟩ ⊗ e⟨q⟩, 由此可得单位正交基下的分量方程 ε⟨lip⟩ε⟨jkq⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩ = 0. ∇ × E × ∇ 对 e⟨1⟩ ⊗ e⟨2⟩ 的分量, 可计算如下： ε⟨li1⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩ = ε⟨231⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨2⟩E⟨3j⟩ + ε⟨321⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨3⟩E⟨2j⟩ = ε⟨231⟩(ε⟨132⟩∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ + ε⟨312⟩∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩) + ε⟨321⟩(ε⟨132⟩∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ + ε⟨312⟩∇⟨1⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩) = −∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ + ∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩ + ∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ − ∇⟨1⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩. Michell 应力协调方程可以表示为 ∆T + 1 1 + ν ∇ ⊗ (∇Θ) + ν 1 − ν (∇ · f)I + (f ⊗ ∇ + ∇ ⊗ f) = 0 ∈ T 2 (R 3 ), 式中 Θ := trT . 其 e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩ 分量为 ∇⟨p⟩∇⟨p⟩T⟨ij⟩ + 1 1 + ν ∇⟨i⟩∇⟨j⟩T⟨pp⟩ + ν 1 − ν ∇⟨p⟩f⟨p⟩δ⟨ij⟩ + (∇⟨j⟩f⟨i⟩ + ∇⟨i⟩f⟨j⟩) = 0. Navier 方程可以表示为 ∆u + 1 1 − 2ν ∇(∇ · u) + 1 ν f = 0 ∈ R 3 , 其对应于 e⟨j⟩ 分量方程为 ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩ + 1 1 − 2ν ∇⟨j⟩∇⟨i⟩u⟨i⟩ + 1 ν f⟨j⟩ = 0. 9
非完整基理论及应用 谢锡麟 512球坐标系 基本几何量 球坐标系具有向量值映照表示 (a):RD D3=8 sin 8 sin o∈R 其 Jacobi矩阵可以表示为 DX()= sin 0 sin o rcos e sin o rsin 0 cos o 9r9e9 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下 (x)=(Dx)(Dx)(x) (ga,9)Rs(g,9)R3(g0,9 (g,9)R3(g9)3(g,9) 即有 0r0 其单位正交基中 Christoffel符号非零的有: (212)=-(221)= 1 aInr 1 1 alr r(313)=-83)=1 sin e r sin [(323)=-/(332) 1 aIn(rsin e)arcos 8=-cot8 几何方程 对于球坐标系,应变的E(12)分量为 E(12)=(0(2)(1)+f(2212(2)+0(1)(2)+r(112)u(1)) 应变协调方程
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 5.1.2 球坐标系 基本几何量 球坐标系具有向量值映照表示 X(x) : R 3 ⊃ Dx ∋ x = r θ ϕ 7→ X(x) = r sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ ∈ R 3 , 其 Jacobi 矩阵可以表示为 DX(x) = sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ −r sin θ 0 = ( gr gθ gϕ ) . 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下: ( gij) (x) = (DX) T(DX)(x) = (gr , gr )R3 (gr , gθ )R3 (gr , gϕ )R3 (gθ , gr )R3 (gθ , gθ )R3 (gθ , gϕ )R3 (gϕ , gr )R3 (gϕ , gθ )R3 (gϕ , gϕ )R3 = 1 0 0 0 r 2 0 0 0 (r sin θ) 2 , 即有 (√gij) = 1 0 0 0 r 0 0 0 r sin θ , 其单位正交基中 Christoffel 符号非零的有： Γ⟨212⟩ = −Γ⟨221⟩ = 1 1 ∂ ln r ∂r = 1 r , Γ⟨313⟩ = −Γ⟨331⟩ = 1 1 ∂ ln(r sin θ) ∂r = 1 r sin θ sin θ = 1 r , Γ⟨323⟩ = −Γ⟨332⟩ = 1 r ∂ ln(r sin θ) ∂θ = 1 r 1 r sin θ r cos θ = 1 r cot θ. 几何方程 对于球坐标系, 应变的 E⟨12⟩ 分量为 E⟨12⟩ = 1 2 (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨221⟩u⟨2⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ⟨112⟩u⟨1⟩) = 1 2 ( 1 r ∂ur ∂θ − 1 r uθ + ∂uθ ∂r ) . 应变协调方程 10