张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月3日 1知识要素 11置换运算的定义 定义1.1(置换).置换可定义为一种改变有序元素组排列顺序的映照,可有两种记法: P30:= 其中{i1,…,i}为有序元素组的初始排列,{1,…,r}为每一元素对应的初始序号 a:{1,,r}→{(1),…,(r)} a:{i,…,ir}+{o(i1),…,σ(ir)} {o(i1),…,a(ir)}表示排序后的有序元素组,{o(1),…,o(r)}表示排序后的原有序元素组的序 号;前者可称为置换的元素定义,后者称为置换的序号定义.σ称为r阶置换,记作σ∈P.此 外,定义sgnσ称为置换σ的符号如下 m7全+1,将(,…,()恢复原本顺序需偶数次操作 1,将σ(1),…,σ(r)恢复原本顺序需奇数次操作 此处,每次交换两个数字称为一次“操作 以下以7阶置换为例,给出 3582694 234567 P 30 8429536 3746215 8429536 1234567 song 8429536 1234567 P3T 5174326 5869243 234567 1 9536 2654173 P 3Tσ sgn7。a=+1 5869243(235647 ①用方括号表示置换的序号定义,用圆括号表示置换的元素定义
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 置换运算的定义 定义 1.1 (置换). 置换可定义为一种改变有序元素组排列顺序的映照, 可有两种记法: Pr ∋ σ := [ 1 2 · · · r σ(1) σ(2) · · · σ(r) ] = ( i1 i2 · · · ir σ(i1) σ(i2) · · · σ(ir) ) , 其中 {i1, · · · , ir} 为有序元素组的初始排列, {1, · · · , r} 为每一元素对应的初始序号. σ : {1, · · · , r} 7→ {σ(1), · · · , σ(r)}, σ : {i1, · · · , ir} 7→ {σ(i1), · · · , σ(ir)} {σ(i1), · · · , σ(ir)} 表示排序后的有序元素组, {σ(1), · · · , σ(r)} 表示排序后的原有序元素组的序 号; 前者可称为置换的元素定义, 后者称为置换的序号定义. σ 称为r 阶置换➀, 记作 σ ∈ Pr. 此 外, 定义 sgn σ 称为置换 σ 的符号如下: sgn σ , +1, 将σ(1), · · · , σ(r)恢复原本顺序需偶数次操作; −1, 将σ(1), · · · , σ(r)恢复原本顺序需奇数次操作. 此处, 每次交换两个数字称为一次 “操作”. 以下以 7 阶置换为例, 给出 P7 ∋ σ = [ 3 5 8 2 6 9 4 8 4 2 9 5 3 6] = ( 1 2 3 4 5 6 7 3 7 4 6 2 1 5) , sgn σ = −1; P7 ∋ σ −1 = [ 8 4 2 9 5 3 6 3 5 8 2 6 9 4] = ( 1 2 3 4 5 6 7 6 5 1 3 7 4 2) , sgn σ −1 = −1; P7 ∋ τ = [ 8 4 2 9 5 3 6 5 8 6 9 2 4 3] = ( 1 2 3 4 5 6 7 5 1 7 4 3 2 6) , sgn τ = −1; P7 ∋ τ −1 = [ 5 8 6 9 2 4 3 8 4 2 9 5 3 6] = ( 1 2 3 4 5 6 7 2 6 5 4 1 7 3) , sgn τ −1 = −1; P7 ∋ τ ◦ σ= [ 3 5 8 2 6 9 4 5 8 6 9 2 4 3] = ( 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 4 7 1) , sgn τ ◦ σ = +1. ➀ 用方括号表示置换的序号定义, 用圆括号表示置换的元素定义. 1
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 12置换运算的基本性质 性质1.1(置换运算的基本性质①).置换运算的基本性质可归纳如下: Anik1…A;jk=Aa(a)(n)(k1)…A(x)()(k) 2.对vr∈P,有 {(o(i1),…,o()No∈P}={(o-(i1),…,o-1(ir)a∈P} {(or(1), (ir))∈P} {(roo(i1),……,7oa(ir)|a∈P}; 3.对Va∈P,有 {(i1,……,ir)|i1,…,ir=1,…,m}={(σ(i),…,o(ir)|1,…,r=1,……,m} 1 证明按证明集合相等的方法,易于证明置换的基本性质 1.实际考虑 3746215 ki kg k3 k4 ks k6 k7 3374362135 那么就有 (a1)o(n)(k)…A(a)(y)()=AakA177k7Ak4Ai6k6A12)k241小h1A5方k 实际上此性质即为改变相乘的次序 2.考虑到a-1∈P,故有 {(a-1(i1),…,a-1(x)Na∈P}c{(o(i1),…,o(i)Na∈P} 另考虑到对vσ∈P,有 ),…,a(i)=(-2)-(i1)…,(o-2)-2(i) ∈{(-1(1) (x)Na∈P} ⑩相关结果发表于:谢锡麟.基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究.力学季刊,2013, 34(2):337-351
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 1.2 置换运算的基本性质 性质 1.1 (置换运算的基本性质➀). 置换运算的基本性质可归纳如下: 1. 对 ∀ σ ∈ Pr, 有 Ai1j1k1 · · · Airjrkr = Aσ(i1)σ(j1)σ(k1) · · · Aσ(ir)σ(jr)σ(kr) ; 2. 对 ∀ τ ∈ Pr, 有 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } = {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ; 3. 对 ∀ σ ∈ Pr, 有 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} = {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} = {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 证明 按证明集合相等的方法, 易于证明置换的基本性质. 1. 实际考虑 σ = [ 1 2 3 4 5 6 7 3 7 4 6 2 1 5] ∼ ( i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i3 i7 i4 i6 i2 i1 i5 ) ∼ ( j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j3 j7 j4 j6 j2 j1 j5 ) ∼ ( k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k3 k7 k4 k6 k2 k1 k5 ) , 那么就有 Aσ(i1)σ(j1)σ(k1) · · · Aσ(ir)σ(jr)σ(kr) = Ai3j3k3Ai7j7k7Ai4j4k4Ai6j6k6Ai2j2k2Ai1j1k1Ai5j5k5 . 实际上此性质即为改变相乘的次序. 2. 考虑到 σ −1 ∈ Pr, 故有 {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 另考虑到对 ∀ σ ∈ Pr, 有 (σ(i1), · · · , σ(ir)) = ( (σ −1 ) −1 (i1), · · · ,(σ −1 ) −1 (ir) ) ∈ {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } , ➀ 相关结果发表于：谢锡麟. 基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究. 力学季刊, 2013, 34(2):337-351. 2
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 所以 (o(i1),…,a(i)No∈P}c{(-1(i1),…,ao-1(i)Na∈P}, 即有 {(o(i1),…,o(ir)Na∈P}={(a-(1),…,a-(x)Na∈P} 考虑到σoT∈P,故 {(or(i),…,0or(in)|a∈f}c{(o(i1),…,a(ir)Na∈P} 另考虑到对r∈Pr,有 ((i1),…,o()=(or-1or(i1),…,or-1or(ir), {(o(i1),……,o(ir)Na∈P}c{(aor(i1),……,oor(ir)Na∈P}, {((i),…,0()|∈P}={orn),…、0(i)No∈P 考虑到roa∈P,于是 {(roa(i1),…,ro0(ir)Na∈P}c{(o(i1),…,o(ir))|a∈P} 另考虑到对Va∈Pr,有 ((i1),…,O()=(ror-1oo(i1),…,7or-1oa(), {(or(i1),…,o(r)|Na∈P}c{(roa(i1),…,T。(ir)Na∈P} {(o(i1),…,σ(ir))|a∈P}={(roa(i1),……,7oo(ir))|a∈P} 3.显然有,对a∈P,满足 (o( (ir))∈{( {(a(i1),…,σ(r)|i1,…,i=1,…,m}<{(i1,…,)|1,…,i=1, 另考虑到对i1 有 )=(aoa-(i1),…,ooa-1(ir) 由此即有 {(i,…,ir)li1,……,ir=1,……,m}c{(σ(i1),……,o(ir)|i,…,ir=1,…,m}
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 所以 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } , 即有 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } . 考虑到 σ ◦ τ ∈ Pr, 故 {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 另考虑到对 ∀ τ ∈ Pr, 有 (σ(i1), · · · , σ(ir)) = ( σ ◦ τ −1 ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ −1 ◦ τ (ir) ) , 可有 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} , 故 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} . 考虑到 τ ◦ σ ∈ Pr, 于是 {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 另考虑到对 ∀ σ ∈ Pr, 有 (σ(i1), · · · , σ(ir)) = ( τ ◦ τ −1 ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ τ −1 ◦ σ(ir) ) , 则 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} , 故 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 3. 显然有, 对 ∀ σ ∈ Pr, 满足 (σ(i1), · · · , σ(ir)) ∈ {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} , 即 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} ⊂ {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 另考虑到对 i1, · · · , ir = 1, · · · , m, 有 (i1, · · · , ir) = ( σ ◦ σ −1 (i1), · · · , σ ◦ σ −1 (ir) ) , 由此即有 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} , 3
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 m}={((i1),…,o()|1,…,i 同理可得 1,…,m}c{(a-(i),…,a-l(ir)|i 1,…,m} 值得指岀,实际分析/计算中涉及置换运算的操作不外乎上述基本性质. 2应用事例 定义2.1(矩阵).下面的结构被称为矩阵 A A ∈武 其中i1,…,im∈N,j,……,in∈Ⅳ.矩阵A的行数和列数分别为m和n,相应的矩阵可以表示 为A∈Rmxn 定义2.2(矩阵的行列式①).对于任意方阵A∈Rmxm, A i A ∈R Ai 它的行列式记作 detA=Al A 可有以下3种等价性定义 (m),(行置换 dA=1∑mAm…4(m)m:(列置换) (sgna·sgnr)Arin)r(1)…A(m)r(m)(行列置换) ①矩阵的行列式即隐含了此矩阵是方阵的含义,即该矩阵的行数和列数是相等的
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 故 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} = {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 同理可得 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} ⊂ {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 值得指出, 实际分析/计算中涉及置换运算的操作不外乎上述基本性质. 2 应用事例 定义 2.1 (矩阵). 下面的结构被称为矩阵 A := Ai1j1 Ai1j2 · · · Ai1jn Ai2j1 Ai2j2 · · · Ai2jn . . . . . . . . . Aimj1 Aimj2 · · · Aimjn ∈ R m×n , 其中 i1, · · · , im ∈ N, j1, · · · , jn ∈ N. 矩阵 A 的行数和列数分别为 m 和 n, 相应的矩阵可以表示 为 A ∈ R m×n . 定义 2.2 (矩阵的行列式➀ ). 对于任意方阵 A ∈ R m×m, A := Ai1j1 · · · Ai1jm . . . . . . Aimj1 · · · Aimjm ∈ R m×m, 它的行列式记作 det A = |A| = Ai1i1 · · · Ai1im . . . . . . Aimi1 · · · Aimim . 可有以下 3 种等价性定义 det A = ∑ σ∈Pm sgn σAi1σ(j1) · · · Aimσ(jm) , (行置换) ∑ σ∈Pm sgn σAσ(i1)j1 · · · Aσ(im)jm, (列置换) 1 m! ∑ σ,τ∈Pm (sgn σ · sgn τ )Aσ(i1)τ(j1) · · · Aσ(im)τ(jm) . (行列置换) ➀ 矩阵的行列式即隐含了此矩阵是方阵的含义, 即该矩阵的行数和列数是相等的. 4
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 如考虑detA∑ sgnoA1i)…An(m,可有 detA∑ sgn o Aing(n)…Am(m)=∑ sanaA,-1(1)n…A ∑sgna-14-1(n…A-1(m)m=∑snAa)n1…Aa(am)m 进一步,可有 detA=∑ snoaD()n…A(m)ym sgn a Aroo(i1)(1)"""Aroa(im)rUm),VTEP ∈Pm ∑sgmr(sgmr·sgn)Ao(a)ri)…Axo(m)r(m),v ∑ senT sgn o A(a)rin)…A(amr(om),wr∈Pn a∈Pm ∑(sgnσ·sgnr)A(a)-(n)…A4(m)(m) a∈PmT∈Pm 根据行列式的置换运算定义,可方便地得到如下行列式的基本性质 性质21.交换方阵的行(或列)奇数次,其行列式变号;交换方阵的行(或列)偶数次,其行 列式不变号.即 (1)1 m|4r(1) A m)m
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 如考虑 det A , ∑ σ∈Pm sgn σAi1σ(j1) · · · Aimσ(jm) , 可有 det A , ∑ σ∈Pm sgn σAi1σ(j1) · · · Aimσ(jm) = ∑ σ∈Pm sgn σAσ−1(i1)j1 · · · Aσ−1(im)jm = ∑ σ∈Pm sgn σ −1Aσ−1(i1)j1 · · · Aσ−1(im)jm = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(i1)j1 · · · Aσ(im)jm. 进一步, 可有 det A = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(i1)j1 · · · Aσ(im)jm = ∑ σ∈Pm sgn σAτ◦σ(i1)τ(j1) · · · Aτ◦σ(im)τ(jm) , ∀ τ ∈ Pm = ∑ σ∈Pm sgn τ (sgn τ · sgn σ)Aτ◦σ(i1)τ(j1) · · · Aτ◦σ(im)τ(jm) , ∀ τ ∈ Pm = ∑ σ∈Pm sgn τ · sgn σAσ(i1)τ(j1) · · · Aσ(im)τ(jm) , ∀ τ ∈ Pm = 1 m! ∑ σ∈Pm ∑ τ∈Pm (sgn σ · sgn τ )Aσ(i1)τ(j1) · · · Aσ(im)τ(jm) . 根据行列式的置换运算定义, 可方便地得到如下行列式的基本性质. 性质 2.1. 交换方阵的行 (或列) 奇数次, 其行列式变号；交换方阵的行 (或列) 偶数次, 其行 列式不变号. 即 Aτ(1)1 · · · Aτ(1)m . . . . . . Aτ(m)1 · · · Aτ(m)m = A1τ(1) · · · A1τ(m) . . . . . . Amτ(1) · · · Amτ(m) = sgn τ A11 · · · A1m . . . . . . Am1 · · · Amm . 5
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 证明根据行列式的定义,有 sgn o Ao()1…Ar(r(m) A goT(1)1 ∈Pmn =8gnr∑( sino. senT)Ar()1…Aor(m)m sgn∑ sina.()1…A(mm= senT det A a∈rm A1 17(1) sgnoAo(1r(1).'Aa(m)r(m) a∈Pm sonoCo(r-1(1)1…A =SonT sgna·sgnr-)Anr-(1…Ar-1(m) = senT gnt det A 利用此性质,可得下面的性质 性质22.有两行(或列)完全相同的行列式值为零 1 A A 0. 性质23.方阵的某一行(或列)乘以一系数所得方阵之行列式等于原方阵的行列式乘以该 系数 A A1 入Am A
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 证明 根据行列式的定义, 有 Aτ(1)1 · · · Aτ(1)m . . . . . . Aτ(m)1 · · · Aτ(m)m = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(τ(1))1 · · · Aσ(τ(m))m = ∑ σ∈Pm sgn σAσ◦τ(1)1 · · · Aσ◦τ(m)m = sgn τ ∑ σ∈Pm (sgn σ · sgn τ )Aσ◦τ(1)1 · · · Aσ◦τ(m)m = sgn τ ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · · Aσ(m)m = sgn τ det A; A1τ(1) · · · A1τ(m) . . . . . . Amτ(1) · · · Amτ(m) = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)τ(1) · · · Aσ(m)τ(m) = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(τ−1(1))1 · · · Aσ(τ−1(m))m = sgn τ −1 ∑ σ∈Pm (sgn σ · sgn τ −1 )Aσ◦τ−1(1)1 · · · Aσ◦τ−1(m)m = sgn τ ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · · Aσ(m)m = sgn τ det A. 利用此性质, 可得下面的性质. 性质 2.2. 有两行 (或列) 完全相同的行列式值为零. A11 · · · A1m . . . . . . Ai1 · · · Aim . . . . . . Ai1 · · · Aim . . . . . . Am1 · · · Amm = A11 · · · A1i · · · A1i · · · A1m . . . . . . . . . . . . Am1 · · · Ami · · · Ami · · · Amm = 0. 性质 2.3. 方阵的某一行 (或列) 乘以一系数所得方阵之行列式等于原方阵的行列式乘以该 系数. A11 · · · A1m . . . . . . λAi1 · · · λAim . . . . . . Am1 · · · Amm = A11 · · · λA1j · · · A1m . . . . . . . . . Am1 · · · λAmj · · · Amm = λ A11 · · · A1m . . . . . . Am1 · · · Amm . 6
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 证明根据行列式的定义,有 11 ∑snA(…(A(o) (1)1 入detA. ∈P 对于列的情况类似可证 性质24.将方阵的某一行(或列)整体乘以一系数加到其他行(或列)上,其行列式不变 即当i≠j时,有 A1 A n Ail AAjl +λAmn= A A A1a+λ41 A1 Ami+λAmj…:A rnin 证明根据行列式的定义,有 A1z+λA1 lii + aAi A Ami+λAmj sgnoAa()1 .(Ao(i AAa(j) A a(m)m ∑ sgn o Ao()…A(o…A +入 o()3…4(0)…A(m)m a∈Pn sangA(1n1…A(o)x…Aa()…A(m) 对于行的情况,类似可证
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 证明 根据行列式的定义, 有 A11 · · · A1m . . . . . . λAi1 · · · λAim . . . . . . Am1 · · · Amm = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · ·(λAσ(i)i )· · · Aσ(m)m = λ ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · · Aσ(i)i · · · Aσ(m)m = λ det A. 对于列的情况类似可证. 性质 2.4. 将方阵的某一行 (或列) 整体乘以一系数加到其他行 (或列) 上, 其行列式不变. 即当 i ̸= j 时, 有 A11 · · · A1m . . . . . . Ai1 + λAj1 · · · Aim + λAjm . . . . . . Am1 · · · Amm = A11 · · · A1m . . . . . . Am1 · · · Amm , A11 · · · A1i + λA1j · · · A1m . . . . . . . . . Am1 · · · Ami + λAmj · · · Amm = A11 · · · A1m . . . . . . Am1 · · · Amm . 证明 根据行列式的定义, 有 A11 · · · A1i + λA1j · · · A1j · · · A1m . . . . . . . . . . . . Ai1 · · · Aii + λAij · · · Aij · · · Aim . . . . . . . . . . . . Am1 · · · Ami + λAmj · · · Amj · · · Amm = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · ·(Aσ(i)i + λAσ(i)j )· · · Aσ(j)j · · · Aσ(m)m = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · · Aσ(i)i · · · Aσ(j)j · · · Aσ(m)m + λ ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · · Aσ(i)j · · · Aσ(j)j · · · Aσ(m)m = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(1)1 · · · Aσ(i)i · · · Aσ(j)j · · · Aσ(m)m. 对于行的情况, 类似可证. 7
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 性质25.对VA∈Rm×m,B∈R×n,U∈Rm,V∈Rn×m,有 det a det B 此处O表示相应行数和列数的零矩阵.上面的结果可以推广至一般情况,即 M11M12 M o M. M2(p-1 M det m kk M(p-1)(p-1)M(p-1 M M M M M(p-1)1M(p-1)2 (P-1)(P-1 M Mn2 M 其中M;∈Rmm,1≤i,j≤p 证明记M.AU 1/∈Rm+m)x(m+n),则M的行列式可以计算如下 det m ∑sgm[M1)…Mm(m]·[Mm+-(m+1) ∑∑ sgnosgnT[M1()…Mm(m)]·[Mm+1(m+ M T∈P sino Ala(1) sgn TBm+Ir(m+1). Bm+nr(m+ r∈Pn det a det B 另一种情况可以用类似的方法证明.考虑一般情况,相对应的结果也可以使用类似的方法或 者利用归纳法来证明 藉此性质,可得行列式降阶公式. 性质26(行列式降阶公式).设A∈RmXm,D∈R几×,B∈Rm×,C∈Rxm,则有 det a det(D-CA-B),当detA≠0 det d de(A-BD-C),当dcD≠0
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 性质 2.5. 对 ∀ A ∈ R m×m, B ∈ R n×n , U ∈ R m×n ,V ∈ R n×m, 有 A U O B = A O V B = det A det B, 此处 O 表示相应行数和列数的零矩阵. 上面的结果可以推广至一般情况, 即 ∏ p k=1 detMkk = M11 M12 · · · M1(p−1) M1p O M22 · · · M2(p−1) M2p . . . . . . . . . . . . O O · · · M(p−1)(p−1) M(p−1)p O O · · · O Mpp = M11 O · · · O O M21 M22 · · · O O . . . . . . . . . . . . M(p−1)1 M(p−1)2 · · · M(p−1)(p−1) O Mp1 Mp2 · · · Mp(p−1) Mpp , 其中 Mij ∈ R mi×mj , 1 6 i, j 6 p. 证明 记 M =: A U O B ∈ R (m+n)×(m+n) , 则 M 的行列式可以计算如下 detM = ∑ γ∈Pm+n sgn γ [ M1γ(1) · · · Mmγ(m) ] · [ Mm+1γ(m+1) · · · Mm+nγ(m+n) ] = ∑ σ∈Pm ∑ τ∈Pn sgn σsgn τ [ M1σ(1) · · · Mmσ(m) ] · [ Mm+1τ(m+1) · · · Mm+nτ(m+n) ] = [ ∑ σ∈Pm sgn σM1σ(1) · · · Mmσ(m) ] · [∑ τ∈Pn sgn τMm+1τ(m+1) · · · Mm+nτ(m+n) ] = [ ∑ σ∈Pm sgn σA1σ(1) · · · Amσ(m) ] · [∑ τ∈Pn sgn τBm+1τ(m+1) · · · Bm+nτ(m+n) ] = det A det B. 另一种情况可以用类似的方法证明. 考虑一般情况, 相对应的结果也可以使用类似的方法或 者利用归纳法来证明. 藉此性质, 可得行列式降阶公式. 性质 2.6 (行列式降阶公式). 设 A ∈ R m×m, D ∈ R n×n , B ∈ R m×n , C ∈ R n×m, 则有 A B C D = det A det(D − CA−1B), 当det A ̸= 0; det D det(A − BD−1C), 当det D ̸= 0. 8
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 证明如果dtA≠0,即A非奇异,则有 A B B CA- In/CD O D- CA-IE 另一方面,也可以考虑 CD八(OI C D-CA-B 另一种情况可以用完全类似的方法证明. 性质27(行列式展开定理).对任意方阵A∈Rmxm,它的行列式可以计算如下 detA=∑(-1)+44y,vi=1,…,m(按行展开) ∑(-1)+)4△,Vj=1,…,m(按列展开, 其中Δ即为方阵A去掉第i行和第j列之后的方阵的行列式,即 A A 1)(j+1) (+1)-1)A(i+1)+1) A 4称为元素A;的余子式,(-1)+4;称为元素A的代数余子式 证明根据行列式的定义,有 detA=∑ sino Alo(1)…A-1(-1)4a(04+1m(+)…A-1-n)4yo 4j+1a(j+1) 显然,对于任意满足a(i)=j的置换σ∈Pm,有 i+1 a(1) a(-1)a(i)a(i+1) (j-1)a(j)o(j+1) (-1)ja(i+1) d(j)a(+1) g(m 都唯一存在另一个m-1阶置换a∈Pm-1 + a(i-1)a()G(i+1)
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 证明 如果 det A ̸= 0, 即 A 非奇异, 则有 ( Im O −CA−1 In ) (A B C D) = ( A B O D − CA−1B ) . 另一方面, 也可以考虑 ( A B C D) (Im −A−1B O In ) = ( A O C D − CA−1B ) . 另一种情况可以用完全类似的方法证明. 性质 2.7 (行列式展开定理). 对任意方阵 A ∈ R m×m, 它的行列式可以计算如下: det A = ∑m j=1 (−1)i+jAij∆ij , ∀ i = 1, · · · , m (按行展开) = ∑m i=1 (−1)i+jAij∆ij , ∀ j = 1, · · · , m (按列展开), 其中 ∆ij 即为方阵 A 去掉第 i 行和第 j 列之后的方阵的行列式, 即 ∆ij , A11 · · · A1(j−1) A1(j+1) · · · A1m . . . . . . . . . . . . A(i−1)1 · · · A(i−1)(j−1) A(i−1)(j+1) · · · A(i−1)m A(i+1)1 · · · A(i+1)(j−1) A(i+1)(j+1) · · · A(i+1)m . . . . . . . . . . . . Am1 · · · Am(j−1) Am(j+1) · · · Amm , ∆ij 称为元素 Aij 的余子式, (−1)i+j∆ij 称为元素 Aij 的代数余子式. 证明 根据行列式的定义, 有 det A = ∑ σ∈Pm sgn σA1σ(1) · · · Ai−1σ(i−1)Aiσ(i)Ai+1σ(i+1) · · · Aj−1σ(j−1)Ajσ(j) · Aj+1σ(j+1) · · · Amσ(m) . 显然, 对于任意满足 σ(i) = j 的置换 σ ∈ Pm, 有 σ = 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · m σ(1) · · · σ(i − 1) σ(i) σ(i + 1) · · · σ(j − 1) σ(j) σ(j + 1) · · · σ(m) σ(1) · · · σ(i − 1) j σ(i + 1) · · · σ(j − 1) σ(j) σ(j + 1) · · · σ(m) , 都唯一存在另一个 m − 1 阶置换 σ˜ ∈ Pm−1: σ˜ = ( 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j + 1 · · · m σ˜(1) · · · σ˜(i − 1) ˜σ(i) ˜σ(i + 1) · · · σ˜(j − 1) ˜σ(j + 1) · · · σ˜(m) ) , 9
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 满足 +1 -1)a(j)o(j+1) (1) 0(-1)j (i) 0(-2)0(j-1)(j+1) 另有sgna=(-1)-sgma=(-1)4+sgma.所以有 det a agnoLo(1) Ai 1a(i-1 ()4i+1o(i+1) A-1(-1)4(0)4y+1(+1) ∑(-1)+)A soniA A i Ai A-1(-2)4y(-1)4+12(+1 类似可以证明detA=∑(-1)+414y 3建立路径 ·置换运算时非常初等的代数运算,本讲稿归纳了其基本性质(证明也十分简单),后续的各 种应用中都不离这些基本性质 本讲稿应用部分,给出了置换运算在线性代数中的作用
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 满足 σ = 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · m σ(1) · · · σ(i − 1) σ(i) σ(i + 1) · · · σ(j − 1) σ(j) σ(j + 1) · · · σ(m) σ˜(1) · · · σ˜(i − 1) j σ˜(i) · · · σ˜(j − 2) ˜σ(j − 1) ˜σ(j + 1) · · · σ˜(m) . 另有 sgn σ = (−1)j−i sgn σ˜ = (−1)i+j sgn σ˜. 所以有 det A = ∑ σ∈Pm sgn σA1σ(1) · · · Ai−1σ(i−1)Aiσ(i)Ai+1σ(i+1) · · · Aj−1σ(j−1)Ajσ(j)Aj+1σ(j+1) · · · Amσ(m) = ∑m j=1 (−1)i+jAij ∑ σ˜∈Pm−1 sgn σA˜ 1˜σ(1) · · · Ai−1˜σ(i−1)Ai+1˜σ(i) · · · Aj−1˜σ(j−2)Ajσ˜(j−1)Aj+1˜σ(j+1) · · · Amσ˜(m) = ∑m j=1 (−1)i+jAij∆ij . 类似可以证明 det A = ∑m i=1 (−1)i+jAij∆ij . 3 建立路径 • 置换运算时非常初等的代数运算, 本讲稿归纳了其基本性质 (证明也十分简单), 后续的各 种应用中都不离这些基本性质. • 本讲稿应用部分, 给出了置换运算在线性代数中的作用. 10