复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》讲稿_体积上张量场场论-02-张量定义及其代数运算.pdf_大学文库

张量分析讲稿谢锡麟张量定义及其代数运算谢锡麟上述协变基向量与逆变基向量、向量协变分量与逆变分量之间的转换关系可称为 “指标升降游戏”. 设有另外一组协变基 {g(i)} m i=1, 其对应的逆变基为 {g (i)} m i=1, 设有    g(i) = C j (i) gj , g (i) = C (i) j g j , 则有    C j (i) = (g(i) , g j )Rm, C (i) j = (g (i) , gj )Rm, 式中的 {C j (i) } m i,j=1 和 {C (i) j } m i,j=1 称为基转换系数. 考虑到 δ j i = (gi , g j )Rm = (C (k) i g(k) , Cj (s) g (s) )Rm = C (k) i C j (s) δ (s) (k) = C (k) i C j (k) , 即有 C (k) i C j (k) = δ j i ∈ R 或者 ( C j (k) ) (C (k) i ) = Im ∈ R m×m. 以上关系式表明, 基转换系数 {C j (i) } m i,j=1 和 {C (i) j } m i,j=1 之间仅有一组独立, 且两者之间为互逆关系. 在新的基下, 任意向量 ξ 可以表示为 ξ = ξ j gj = ξ jC (i) j g(i) = ξ (i) g(i) , ξ = ξjg j = ξjC j (i) g (i) = ξ(i)g (i) . 所以有坐标转换关系为    ξ (i) = C (i) j ξ j , ξ(i) = C j (i) ξj . 上述基之间的转换关系、向量相对于不同基的坐标之间的转换关系可称为 “指标转换游戏”. 1.3 张量的表示基于张量对于其各个变元的线性性、向量的表示、简单张量的定义以及张量空间的线性结构, 可以获得一般张量 Φ ∈ T p (R m) 的表示形式: Φ(u1, · · · ,up) = Φ(u1,i1 g i1 , · · · , up,ip g ip ) = u1,i1 · · · up,ipΦ(g i1 , · · · , g ip ) = Φ(g i1 , · · · , g ip )gi1 ⊗ · · · ⊗ gip (u1, · · · ,up) = Φ i1···ip [gi1 ⊗ · · · ⊗ gip (u1, · · · ,up)] = (Φ i1···ip gi1 ⊗ · · · ⊗ gip )(u1, · · · ,up), 式中 uj,ij = (uj , gij )Rm 为向量 uj 的第 ij 个协变分量, Φ i1···ip = Φ(g i1 , · · · , g ip ). 上式可简单地记作 Φ = Φ i1···ip gi1 ⊗ · · · ⊗ gip , 即任意张量可以表示为以其底空间的一组基组成的所有同阶简单张量之线性组合. 同理, 可获得如下表达形式: Φ = Φi1···ip g i1 ⊗ · · · ⊗ g ip , Φi1···ip = Φ(gi1 , · · · , gip ), Φ = Φ i1 · · i2 i3···ip gi1 ⊗ g i2 ⊗ gi3 · · · ⊗ gip , Φi1 · · i2 i3···ip = Φ(g i1 , gi2 , g i3 , · · · , g ip ). 4

张量分析讲稿谢锡麟张量定义及其代数运算谢锡麟称 Φ i1···ip 为张量的逆变分量 (所有指标为逆变指标), 仅有一个；称 Φi1···ip 为张量的协变分量 (所有指标为协变指标), 仅有一个；称 Φ i1 · · i2 i3···ip 等形式为张量的混合分量 (同时含有协变和逆变指标), 共有 2 p − 2 个. 定义 1.4 (度量张量). 二阶张量 G ∈ T 2 (R m) 具有形式: G = gijg i ⊗ g j = g ijgi ⊗ gj = δ i jgi ⊗ g j = δ i jg j ⊗ gi , 称 G 为度量张量. 在此定义中, 将 G 定义为其中一种形式便可推出其他形式, 如 G , gijg i ⊗ g j , 可有 G = (gijg i ) ⊗ g j = gj ⊗ g j = δ j i gj ⊗ g i = gij (g ipgp ) ⊗ (g jqgq ) = (gijg ipg jq)gp ⊗ gq = (δ p j g jq)gp ⊗ gq = g pqgp ⊗ gq . 可见, 度量张量的两种混合分量都是 Kronecker 符号, 故度量张量实际也为单位仿射量I , δ i j gi ⊗ g j , 故本书不单独定义或使用单位仿射量的称法. 按??节 (第??页) 所述, 度量张量的分量实现了向量协变分量及逆变分量之间的指标升降游戏. 对于张量的协变分量、逆变分量以及混合分量亦可通过度量张量分量实现指标升降. 例如 Φ i1 · i2i3···ip , Φ(g i1 , gi2 , gi3 , · · · , gip ) = Φ(g i1p gp , gi2qg q , gi3 , · · · , gip ) = g i1p gi2qΦ(gp , g q , gi3 , · · · , gip ) = g i1p gi2qΦ · p q · i3···ip . 另一方面, 相对于不同基的张量分量之间仍成立指标转换游戏. 例如 Φ (i1) · (i2)(i3)···(ip) , Φ(g (i1) , g(i2) , g(i3) , · · · , g(ip) ) = Φ(C (i1) j1 g j1 , Cj2 (i2) gj2 , Cj3 (i3) gj3 , · · · , Cjp (ip) gjp ) = C (i1) j1 C j2 (i2) C j3 (i3) · · · C jp (ip)Φ(g j1 , gj2 , gj3 , · · · , gjp ) = C (i1) j1 C j2 (i2) C j3 (i3) · · · C jp (ip) Φ j1 · j2j3···jp . 1.4 基本代数运算张量的基本代数运算，包括张量积/张量并、e 点积 (特殊形式包括全点积), 并且这些代数运算都可获得其整体表示. 1.4.1 张量积定义 1.5 (张量积). 对 ∀ Φ ∈ T p (R m), Ψ ∈ T q (R m), 可定义 ⊗ : T p (R m) × T q (R m) ∋ {Φ, Ψ} 7→ Φ ⊗ Ψ ∈ T p+q (R m), 式中 (Φ ⊗ Ψ)(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq) , Φ(u1, · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq). 5

张量分析讲稿谢锡麟张量定义及其代数运算谢锡麟 3. 首先对 ∀u1, · · · ,up; v1, · · · , vq; w1, · · · , wr ∈ R m, 有 (Φ ⊗ Ψ) ⊗ Θ(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq, w1, · · · , wr) = [Φ ⊗ Ψ(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq)] Θ(w1, · · · , wr) = Φ(u1, · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq)Θ(w1, · · · , wr). 同理可有 Φ ⊗ (Ψ ⊗ Θ)(u1, · · · ,up, v1, · · · , vq, w1, · · · , wr) = Φ(u1, · · · ,up)Ψ(v1, · · · , vq)Θ(w1, · · · , wr). 1.4.2 张量的 e 点积定义 1.6 (张量的 e 点积). 对 ∀ Φ ∈ T p (R m), ∀ Ψ ∈ T q (R m), 且 e 6 min{p, q}, 可定义 (e · ) : T p (R m) × T q (R m) ∋ {Φ, Ψ} 7→ Φ (e · ) Ψ ∈ T p+q−2e (R m), 式中 Φ (e · ) Ψ(u1, · · · ,up−e, ve+1, · · · , vq) , Φ(u1, · · · ,up−e, gs1 , · · · , gse )Ψ(g s1 , · · · , g se , ve+1, · · · , vq). 特别地, e = 1 时称为张量的 “点积”, 记作 Φ · Ψ; e = 2 时称为张量的 “二点积”, 记作 Φ : Ψ. 性质 1.4 (张量的 e 点积的表示). 对 ∀ Φ ∈ T p (R m), ∀ Ψ ∈ T q (R m), 它们的 e 点积 (e 6 min{p, q}), 可有表达形式: Φ (e · ) Ψ = Φ i1···ip−e s1···seΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = Φ i1···ip−es1···seΨs1···seje+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq ∈ T p+q−2e (R m). 证明设 Φ = Φ i1···ip gi1 ⊗ · · · ⊗ gip , Ψ = Ψj1···jq g j1 ⊗ · · · ⊗ g jq , 则 Φ (e · ) Ψ(u1, · · · ,up−e, ve+1, · · · , vq) = Φ(u1, · · · ,up−e, gs1 , · · · , gse )Ψ(g s1 , · · · , g se , ve+1, · · · , vq) = Φ(u1,i1 g i1 , · · · , up−e,ip−e g ip−e , gs1 , · · · , gse )Ψ(g s1 , · · · , g se , v je+1 e+1 gje+1 , · · · , v jq q gjq ) = u1,i1 · · · up−e,ip−e v je+1 e+1 · · · v jq q Φ(g i1 , · · · , g ip−e , gs1 , · · · , gse ) · Ψ(g s1 , · · · , g se , gje+1 , · · · , gjq ) = Φ i1···ip−e s1···seΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq (u1, · · · ,up−e, ve+1, · · · , vq). 所以有 Φ (e · ) Ψ = Φ i1···ip−e s1···seΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = gt1s1 · · · gteseΦ i1···ip−et1···teΨ s1···se je+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = Φ i1···ip−et1···te (gt1s1 · · · gteseΨ s1···se je+1···jq )gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq = Φ i1···ip−et1···teΨt1···teje+1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip−e ⊗ g je+1 ⊗ · · · ⊗ g jq . 7