复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》讲稿_张量代数-03-仿射量特征问题.pdf_大学文库

张量分析讲稿谢锡麟张量代数—仿射量特征问题谢锡麟 1. 因为 {ui} m i=1 和 {vi} m i=1 是 R m 的两组基, 所以 det   u T 1 . . . u T m   ̸= 0, det ( v1 · · · vm ) ̸= 0. 由此可得 u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = (u1, v1)Rm · · · (u1, vm)Rm . . . . . . (um, v1)Rm · · · (um, vm)Rm =   u T 1 . . . u T m   ( v1 · · · vm ) = det   u T 1 . . . u T m   det ( v1 · · · vm ) ̸= 0, 以及 Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) = (Φ i1 · j1 u j1 1 gi1 ) ∧ · · · ∧ (Φ im · jmu jm m gim )(v1,k1 g k1 , · · · , vm,kmg km) = (Φ i1 · j1 · · · Φ im · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,k1 · · · vm,km)gi1 ∧ · · · ∧ gim (g k1 , · · · , g km) = (Φ i1 · j1 · · · Φ im · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,k1 · · · vm,km) (gi1 , g k1 )Rm · · · (gi1 , g km)Rm . . . . . . (gim , g k1 )Rm · · · (gim , g km)Rm = (Φ i1 · j1 · · · Φ im · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,k1 · · · vm,km) δ k1 i1 · · · δ km i1 . . . . . . δ k1 im · · · δ km im . 上式最后的行列式中, i1, · · · , im 或 k1, · · · , km 中有两指标相同, 行列式必有两行或两列完全相同使得其值为零. 由此, 可以令 i1, · · · , im 和 k1, · · · , km 分别是 1, · · · , m 的置换, 此时有 Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) = ∑ σ∈Pm ∑ β∈Pm (Φ σ(1) · j1 · · · Φ σ(m) · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,β(1) · · · vm,β(m) ) δ β(1) σ(1) · · · δ β(m) σ(1) . . . . . . δ β(1) σ(m) · · · δ β(m) σ(m) = ∑ σ∈Pm ∑ β∈Pm sgn σ(Φ σ(1) · j1 · · · Φ σ(m) · jm)(u j1 1 · · · u jm m )sgn β(v1,β(1) · · · vm,β(m) ) = Φ 1 · j1 · · · Φ 1 · jm . . . . . . Φ m · j1 · · · Φ m · jm (u j1 1 · · · u jm m ) v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m . 2

张量分析讲稿谢锡麟张量代数—仿射量特征问题谢锡麟同样地, 对于上式第一个行列式来说, 只要 j1, · · · , jm 中有两指标相同, 则第一个行列式的值即为零. 所以可以令 j1, · · · , jm 为 1, · · · , m 的置换, 即 Φ · u1∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) = ∑ γ∈Pr Φ 1 · γ(1) · · · Φ 1 · γ(m) . . . . . . Φ m · γ(1) · · · Φ m · γ(m) (u γ(1) 1 · · · u γ(m) m ) v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m = ∑ γ∈Pr sgn γ Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m (u γ(1) 1 · · · u γ(m) m ) v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m = Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m u 1 1 · · · u m 1 . . . . . . u 1 m · · · u m m v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m = Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m (u1, v1)Rm · · · (u1, vm)Rm . . . . . . (um, v1)Rm · · · (um, vm)Rm . 所以有 det Φ = Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m = det ( Φ i j ) . 2. 可按 (1) 中的方法证明. 3. 设新旧两组基之间的转换关系为 g(p) = C i (p) gi , g (q) = C (q) j g j , 即有 Φ i ·j = Φ (p) · (q)C i (p)C (q) j , 由此可得 ( Φ i ·j ) = ( C i (p) ) (Φ (p) · (q) ) (C (q) j ) . 由于基转换系数满足 C i (p)C (p) j = δ i j , 所以有 ( C i (p) ) (C (q) j ) = Im, 即 det ( C i (p) ) det ( C (q) j ) = 1. 所以 det ( Φ i ·j ) = det ( C i (p) ) det ( Φ (p) · (q) ) det ( C (q) j ) = det ( Φ (p) · (q) ) . 同理可得其他同类型的关系式. 3

张量分析讲稿谢锡麟张量代数—仿射量特征问题谢锡麟 1.2 仿射量的特征问题与主不变量已澄清度量张量即为单位仿射量, 记作 I 或者 G, I = gijg i ⊗ g j = g ijgi ⊗ gj = δ i jgi ⊗ g j = δ i jg j ⊗ gi , 满足 ∀ Φ ∈ L in(R m), Φ · I = I · Φ = Φ. 基于仿射量行列式的外积定义, 可定义仿射量的特征多项式 f(λ) = det(Φ − λI) = (−λ) m + I1(−λ) m−1 + · · · + Ir(−λ) m−r + · · · + Im−1(−λ) + Im, 其中量 {Ir} m r=1 称为主不变量. 方程 f(λ) = det(Φ − λI) = 0 称为特征方程. 特征方程的解 λ1, · · · , λm 称为仿射量 Φ 的特征值. 主不变量的一般表达式可以表述为如下定理. 定理 1.2 (主不变量的表达式). 仿射量 Φ ∈ L in(R m) 的主不变量 {Ir} m r=1 可以表示为 Ir = [ ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um ] (v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1 · i1 · · · Φ i1 · ir . . . . . . Φ ir · i1 · · · Φ ir · ir = 1 r! δ i1···ir j1···jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir , 或 Ir = [ ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (ui1 · Φ) ∧ · · · ∧ (uir · Φ) ∧ · · · ∧ um ] (v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ · i1 i1 · · · Φ · i1 ir . . . . . . Φ · ir i1 · · · Φ · ir ir = 1 r! δ i1···jr j1···jr Φ · i1 j1 · · · Φ · ir jr , 式中 δ i1···jr j1···jr 为广义 Kronecker 符号 δ i1···jr j1···jr = δ i1 j1 · · · δ i1 jr . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr . 证明根据仿射量行列式的外积定义, det(Φ − λI) 满足 (Φ − λI) · u1 ∧ · · · ∧ (Φ − λI) · um(v1, · · · , vm) = det(Φ − λI)u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm). 上式左端 = (Φ · u1 − λu1) ∧ · · · ∧ (Φ · um − λum)(v1, · · · , vm), 根据外积的线性性全部展开将有 2 m 项, 按照其中 (−λ) 的次数合并同类项将得到左端 = (−λ) mu1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) + (−λ) m−1 ∑ 16i16m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) + · · · + (−λ) m−r ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) + · · · + Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm). 4

张量分析讲稿谢锡麟张量代数—仿射量特征问题谢锡麟所以第 r 个主不变量为 Ir = [ ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um ] (v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = ∑ 16i1<···<ir6m g1 ∧ · · · ∧ (Φ · gi1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · gir ) ∧ · · · ∧ gm(g 1 , · · · , g m) = ∑ 16i1<···<ir6m 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . Φ 1 · i1 · · · Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 · · · Φ m · i1 . . . . . . . . . . . . Φ 1 · ir · · · Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir · · · Φ m · ir . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1 . 上式中的行列式通过特取 {ui = gi} m i=1 及 {vj = g j} m j=1 得到. 其中, 除了第 i1, · · · , ir 行的元素不为零之外, 其他行 (如第 j 行) 只有第 j 个元素为 1, 其余元素皆为零. 由此可以交替交换行列式的行与列, 使得除第 i1, · · · , ir 行之外的元素 1 都转移到行列式的左上角. 而根据行列式的性质可知, 此行列式在经过偶数次行列交换之后不变号, 即有 Ir = ∑ 16i1<···<ir6m 1 · · · 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 · · · 1 0 · · · 0 Φ 1 · i1 · · · Φ m · i1 Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 . . . . . . . . . . . . Φ 1 · ir · · · Φ m · ir Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 . . . . . . Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir = ∑ 16i1<···<ir6m Φ σ(i1) · σ(i1) · · · Φ σ(ir) · σ(i1) . . . . . . Φ σ(i1) · σ(ir) · · · Φ σ(ir) · σ(ir) , ∀ σ ∈ Pr = 1 r! ∑ σ∈Pr ∑ 16i1<···<ir6m Φ σ(i1) · σ(i1) · · · Φ σ(ir) · σ(i1) . . . . . . Φ σ(i1) · σ(ir) · · · Φ σ(ir) · σ(ir) = 1 r! ∑ i1,··· ,ir Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 . . . . . . Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir = 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σΦσ(i1) · i1 · · · Φ σ(ir) · ir = 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σδσ(i1) j1 · · · δ σ(ir) jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir = 1 r! δ i1 j1 · · · δ i1 jr . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir = 1 r! δ i1···ir j1···jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir . 至此, 就证明了主不变量 Ir 的第一种表示. 第二种表示可以用完全类似的方法证明, 不再赘述. 5

张量分析讲稿谢锡麟张量代数—仿射量特征问题谢锡麟基于仿射量行列式外积定义, 可以通过纯计算过程获得 Cayley-Hamilton 定理. 定理 1.3 (Cayley-Hamilton 定理➀). 任意仿射量 Φ ∈ L in(R m) 满足它的特征方程 f(Φ) = (−Φ) m + I1(−Φ) m−1 + · · · + Ir(−Φ) m−r + · · · + Im−1(−Φ) + ImI = 0 ∈ L in(R m). 证明将主不变量的表达式写成下面的形式 I1u1 ∧ · · · ∧ um = ∑ 16i16m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ um; I2u1 ∧ · · · ∧ um = ∑ 16i1<i26m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · ui2 ) ∧ · · · ∧ um; · · · Iru1 ∧ · · · ∧ um = ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um; · · · Imu1 ∧ · · · ∧ um = (Φ · u1) ∧ · · · ∧ (Φ · um). 分别用 (−Φ) m−1um,(−Φ) m−2um, · · · ,(−Φ) m−rum, · · · ,um 依次代替上面各式中的 um, 并注意到右端求和中最大的求和指标有可能取为 m, 因此替代之后每个式子的右端都有 ir < m 和 ir = m 两部分, 即 I1u1 ∧ · · · ∧ [ (−Φ) m−1 · um ] = ∑ 16i1<m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ um−1 ∧ [ (−Φ) m−1 · um ] − u1 ∧ · · · ∧ um−1 ∧ (−Φ) mum; I2u1 ∧ · · · ∧ [ (−Φ) m−2 · um ] = ∑ 16i1<i2<m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · ui2 ) ∧ · · · ∧ um−1 ∧ [ (−Φ) m−2 · um ] − ∑ 16i16m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ um−1 ∧ [ (−Φ) m−1 · um ] ; · · · Iru1 ∧ · · · ∧ [ (−Φ) m−r · um ] = ∑ 16i1<···<ir<m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um−1 ∧ [ (−Φ) m−r · um ] − ∑ 16i1<···<ir−1<m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir−1 ) ∧ · · · ∧ um−1 ∧ [ (−Φ) m−r+1 · um ] ; · · · Imu1 ∧ · · · ∧ um = 0 − (Φ · u1) ∧ · · · ∧ [(−Φ) · um] . ➀ 本定理及其证明完全参照文献：郭仲衡. n 维 Cayley-Hamilton 定理的内禀证明. 数学进展, 1986, 15(1):102- 104, 作者仅作了改写而未有独立处理. 本定理及其证明载入郭仲衡著《张量 (理论和应用)》. 6

张量分析讲稿谢锡麟张量代数—仿射量特征问题谢锡麟此处要求 r > 1, s < r. 计算 G(Φ; r, s) = 1 (r − s)! g i1 · Φ · gi1 · · · g i1 · Φ · gir−s g i1 · (−Φ) s · gir−s+1 . . . . . . . . . g ip · Φ · gi1 · · · g ip · Φ · gir−s g ip · (−Φ) s · gir−s+1 . . . . . . . . . g ir−s+1 · Φ · gi1 · · · g ir−s+1 · Φ · gir−s g ir−s+1 · (−Φ) s · gir−s+1 = 1 (r − s)! [(Φ · gi1 ∧ · · · ∧ Φ · gir−s ) (gi1 , · · · , g ir−s ) ] ( g ir−s+1 · (−Φ) s · gir−s+1 ) + 1 (r − s)! ∑r−s p=1 (−1)p+r−s+1[ ( Φ · gi1 ∧ · · · ∧ Φ · gip ∧ · · · ∧ Φ · gir−s ) (gi1 , · · · , g ip−1 , g ip+1 , · · · , g ir−s+1 ) ] ( g ip · (−Φ) s · gir−s+1 ) = Ir−str(−Φ) s + 1 (r − s)! ∑r−s p=1 (−1)p+r−s [(−Φ) s ] ip · ir−s+1 ( Φ · gi1 ∧ · · · ∧ (−Φ) · gip ∧ · · · ∧ Φ · gir−s ) (gi1 , · · · , g ip−1 , g ip+1 , · · · , g ir−s+1 ). 考虑到 [(−Φ) s ] ip · ir−s+1 · (−Φ) · gip = [(−Φ) s ] ip · ir−s+1 · (−Φ) t · ip gt = [ (−Φ) s+1]t · ir−s+1 · gt = (−Φ) s+1 · gir−s+1 , 故有 G(Φ; r, s) = Ir−str(−Φ) s + 1 (r − s)! ∑r−s p=1 (−1)p+r−s ( Φ · gi1 ∧ · · · ∧ (−Φ) s+1 · gir−s+1 ∧ · · · ∧ Φ · gir−s ) (gi1 , · · · , g ip−1 , g ip+1 , · · · , g ir−s+1 ) = Ir−str(−Φ) s + 1 (r − s)! ∑r−s p=1 (−1)p+r−s (−1)r−s−p ( Φ · gi1 ∧ · · · ∧ Φ · gip−1 ∧ Φ · gip+1 ∧ · · · ∧ (−Φ) s+1 · gir−s+1 ) (gi1 , · · · , g ip−1 , g ip+1 , · · · , g ir−s+1 ) = Ir−str(−Φ) s + 1 (r − s)! ∑r−s p=1 ( Φ · gi1 ∧ · · · ∧ (−Φ) s+1 · gir−s ) (gi1 , · · · , g ir−s ) (改换求和指标) = Ir−str(−Φ) s + 1 (r − s − 1)! ( Φ · gi1 ∧ · · · ∧ (−Φ) s+1 · gir−s ) (gi1 , · · · , g ir−s ) = Ir−str(−Φ) s + G(Φ; r, s + 1), 8