场论恒等式 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 知识要素 推导体积上张量场场论恒等式,主要基于以下结论 1.Rici定理,亦即任意度量张量及 Eddington张量的分量的协变导数都为零 2. eddington张量与度量张量之间的关系,主要形式为 66;-992 3.张量分量协变导数的作用次序可以交换顺序,如 VpVk=VVp重k 需指岀,上述第一、二条结论对一般 Riemann流形都成立,而第三条结论仅对 Euclid流形 成立 以下,证明第三条结论 定理11(体积上协变导数作用可以交换次序).以三阶张量分量为例,有 VV中k=V9Vpk 证明以三阶张量更=亚918938g为例,计算 m()1(m)()(,9890) =Vp(V94k)+IV4k)918938g. 同理,有 doRp(a)=a (x)=q(Vp重k)+FV,重k)9:918 按一般赋范线性空间上微分学,当张量场具有足够正则性/光滑性,成立 nry(a)西 2更 故有 VpVqo:jk=Vq jk
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 推导体积上张量场场论恒等式, 主要基于以下结论 1. Ricci 定理, 亦即任意度量张量及 Eddington 张量的分量的协变导数都为零. 2. Eddington 张量与度量张量之间的关系, 主要形式为 ε i ·jtε ·st r = δ i r δ s j − gjrg is . 3. 张量分量协变导数的作用次序可以交换顺序, 如 ∇p∇qΦ i ·jk = ∇q∇pΦ i ·jk. 需指出, 上述第一、二条结论对一般 Riemann 流形都成立, 而第三条结论仅对 Euclid 流形 成立. 以下, 证明第三条结论 定理 1.1 (体积上协变导数作用可以交换次序). 以三阶张量分量为例, 有 ∇p∇qΦ i ·jk = ∇q∇pΦ i ·jk. 证明 以三阶张量 Φ = Φi ·jkgi ⊗ g j ⊗ g k 为例, 计算 ∂ 2Φ ∂xp∂xq (x) ≡ ∂ ∂xp ( ∂Φ ∂xq ) (x) = ∂ ∂xp ( ∇qΦ i ·jkgi ⊗ g j ⊗ g k ) (x) = [∇p(∇qΦ i ·jk) + Γ s pq∇sΦ i ·jk)]gi ⊗ g j ⊗ g k . 同理, 有 ∂ 2Φ ∂xq∂xp (x) ≡ ∂ ∂xq ( ∂Φ ∂xp ) (x) = [∇q(∇pΦ i ·jk) + Γ s qp∇sΦ i ·jk)]gi ⊗ g j ⊗ g k . 按一般赋范线性空间上微分学, 当张量场具有足够正则性/光滑性, 成立 ∂ 2Φ ∂xp∂xq (x) = ∂ 2Φ ∂xq∂xp (x), 故有 ∇p∇qΦ i ·jk = ∇q∇pΦ i ·jk. 1
场论恒等式 谢锡麟 应用事例 2.1基本关系式 众所周知,任意标量场的梯度场是无旋场;任意向量场的旋度场为无散场.进一步,可有如下 的关于任意张量场的关系式 定理2.1(基本关系式) (V⑧更)=0,V更∈习P(R3); V·(V×更)=0,更∈P(3) 证明直接计算 ⅴ×(V8更)=V×(Vk989189)=(VVp)(g×g)89:89 =c(VV)g89189; x4=,m8以小=,x)8 VAVIsil9, 9, 9'R39=ESVKVdsig' 由于cks关于指标lk反对称,VVk=VkV1,故有 V·(V×更=0 定理22(若干基本场论恒等式),对v∈R,a,b∈R3,成立以下恒等式 (a)=(V·a)+(Vφ) V×(oa)=o(V×a)+(V)×a; (a×b)=b·(V×a)-a(V×b) V×(a×b)=b·(V⑧a)-a·∞b)+a(V·b-b(V·a); V(a·b)=b·(Va)+a·(V⑧b)+b×(V×a)+a×(V×b) 证明可基于直接计算,证明相关恒等式 证明第1式: (oa2)=o(Va2)+a2(V)=o(v·a)+(V)·a 2.证明第2式: )=g×V(oa1)g2 VI(a:)9,=de i(v1aig, +eli(vio)a =o(V×a)+V
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 2 应用事例 2.1 基本关系式 众所周知, 任意标量场的梯度场是无旋场; 任意向量场的旋度场为无散场. 进一步, 可有如下 的关于任意张量场的关系式. 定理 2.1 (基本关系式). ∇ × (∇ ⊗ Φ) = 0, ∀ Φ ∈ T p (R 3 ); ∇ · (∇ × Φ) = 0, ∀ Φ ∈ T p (R 3 ). 证明 直接计算 ∇ × (∇ ⊗ Φ) = ∇ × (∇kΦ ijg k ⊗ gi ⊗ gj ) = (∇l∇kΦ ij )(g l × g k ) ⊗ gi ⊗ gj = ε lks(∇l∇kΦ ij )gs ⊗ gi ⊗ gj ; ∇ · (∇ × Φ) = ∇ · [ g l × ∂ ∂xl (Φsjg s ⊗ g j ) ] = ∇ · [ ∇lΦsj (g l × g s ) ⊗ g j ] = ∇k∇lΦsj [g k , g l , g s ]R3 g j = ε kls∇k∇lΦsjg j . 由于 ε lks 关于指标 lk 反对称, ∇l∇k = ∇k∇l , 故有 ∇ × (∇ ⊗ Φ) = 0; ∇ · (∇ × Φ) = 0. 定理 2.2 (若干基本场论恒等式). 对 ∀ ϕ ∈ R, ∀ a, b ∈ R 3 , 成立以下恒等式: ∇ · (ϕa) = ϕ(∇ · a) + (∇ϕ) · a; ∇ × (ϕa) = ϕ(∇ × a) + (∇ϕ) × a; ∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b); ∇ × (a × b) = b · (∇ ⊗ a) − a · (∇ ⊗ b) + a(∇ · b) − b (∇ · a); ∇(a · b) = b · (∇ ⊗ a) + a · (∇ ⊗ b) + b × (∇ × a) + a × (∇ × b). 证明 可基于直接计算, 证明相关恒等式. 1. 证明第 1 式: ∇ · (ϕa) = g l · ∂ ∂xl ( ϕai gi ) = g l · ∇l(ϕai )gi = ∇i(ϕai ) = ϕ(∇ia i ) + a i (∇iϕ) = ϕ(∇ · a) + (∇ϕ) · a. 2. 证明第 2 式: ∇ × (ϕa) = g l × ∂ ∂xl (ϕaig i ) = g l × ∇l(ϕai)g i = ε lij∇l(ϕai)gj = ϕεlij (∇lai)gj + ε lij (∇lϕ)aigj = ϕ(∇ × a) + ∇ϕ × a. 2
场论恒等式 谢锡麟 3.证明第3式: V·(a×b) (ekaib; 9k)=e9. VI(aibi)gi (aibi)=E(kai)b, V×b) 4.证明第4式 (aibje gk) V(ab)g=(62-853)V Vi(ab)gi-Vi(ab)g,=(Via)bgi+(Vgb)agi (Via)09,-a(Vib)9, (Va)+(V.b)a-(Va)b-a·V∞b) 5.证明第5式 V(ab)=V(abi)=VIa'bilg=(Va)big+a V1bi9' (V∞a)·b+(Vb 计算 (Vxa)=bx(eVa(9k)=(b°9)×(eVj9k) (Via)g (6263-2103)b°(Va)9=b(Va)yg2-b(Va)g (Va)·b-b·(V∞a), 置换可有 (V×b)=(Vb (V∞b) 故有 (V×a)+a×(V×b)=(ⅴ⑧a)·b+(v∞b)·a]-·(V⑧a)+a·(Vb) (a·b)-bVa)+a·(V⑧b) 22 Helmholtz- Stokes分解 定理23(向量场和张量场的双旋度关系式).对任意的向量场V∈R3和张量场更 (R3),有 (v×V)=V(v·V)-△v; (V×重)=V∞( 此处向量场V的 Laplace算子定义为△v全v·(VV),一般张量场的 Laplace算子定义为 (V⑧重
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 3. 证明第 3 式: ∇ · (a × b) = g l · ∂ ∂xl (ε ijkaibjgk ) = ε ijkg l · ∇l(aibj )gk = ε ijk∇k(aibj ) = ε kij (∇kai)bj − aiε kji(∇kbj ) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b). 4. 证明第 4 式: ∇ × (a × b) = ∇ × (aibjε ijkgk ) = g l × ∂ ∂xl (aibjε ijkgk ) = g l × [∇l(a i b j εijk)g k ] = ε lksεijk∇l(a i b j )gs = ε kslεkij∇l(a i b j )gs = (δ s i δ l j − δ l i δ s j )∇l(a i b j )gs = ∇j (a i b j )gi − ∇i(a i b j )gj = (∇ja i )b j gi + (∇j b j )a i gi − (∇ia i )b j gj − a i (∇ib j )gj = b · (∇ ⊗ a) + (∇ · b)a − (∇ · a)b − a · (∇ ⊗ b). 5. 证明第 5 式: ∇(a · b) = ∇(a i bi) = ∇l(a i bi)g l = (∇la i )big l + a i∇lbig l = (∇ ⊗ a) · b + (∇ ⊗ b) · a, 计算 b × (∇ × a) = b × (ε ijk∇iajgk ) = (b s gs ) × (ε ijk∇iajgk ) = ε ijkεtskb s (∇iaj )g t = ε ijkεktsb s (∇iaj )g t = (δ i t δ j s − δ j t δ i s )b s (∇iaj )g t = b j (∇iaj )g i − b i (∇iaj )g j = (∇ ⊗ a) · b − b · (∇ ⊗ a), 置换可有 a × (∇ × b) = (∇ ⊗ b) · a − a · (∇ ⊗ b), 故有 b × (∇ × a) + a × (∇ × b) = [(∇ ⊗ a) · b + (∇ ⊗ b) · a] − [b · (∇ ⊗ a) + a · (∇ ⊗ b)] = ∇(a · b) − [b · (∇ ⊗ a) + a · (∇ ⊗ b)]. 2.2 Helmholtz-Stokes 分解 定理 2.3 (向量场和张量场的双旋度关系式). 对任意的向量场 V ∈ R 3 和张量场 Φ ∈ T p (R 3 ), 有 ∇ × (∇ × V ) = ∇(∇ · V ) − ∆V ; ∇ × (∇ × Φ) = ∇ ⊗ (∇ · Φ) − ∆Φ. 此处向量场 V 的 Laplace 算子定义为 ∆V , ∇ ·(∇ ⊗ V ), 一般张量场的 Laplace 算子定义为 ∆Φ , ∇ · (∇ ⊗ Φ). 3
场论恒等式 谢锡麟 证明直接按定义计算,有 V 9 X V(e ViVi)gk=EIkse(V Vivi)g 7 Vivi)gs (63-763)VV Vivig-v'viv vVv)g-vvvg=v(v·V)-△V; (19289)=×(Vp;epgk③9) =9×n(Yn=9k89)=(vv,2)eg89 (VVp;)9893=(62-6)Vvn;9893 =VVsp;g3g3-VPVp西92⑧g3 vV重;9⑧g3-△更=V⑧(V·更)-△更 基于定理22和23,易得向量场和张量场的 Helmholtz- Stokes分解,如下所示 定理2.4(向量场 Helmholtz- Stokes分解).对v(x)∈R3,存在标量函数(x)∈R和向 量函数A(a)∈R3,使得 V=vφ+V×A 此处 △A+V(V·A)=V×V 式中o(x)∈R和A(x)∈R3分别称为向量场v(x)的标量势和向量势 定理2.5(张量场 Helmholtz- Stokes分解).对更(x)∈P(R3),存在张量场e(m) p-1(R3)和业(x)∈P(R3),使得 中=V⑧白+V×亚, 处 △白=V·更; △φ+V⑧(V·更=Vx重, 式中O(x)∈p-1(R3)和业(x)∈P(3)可分别称为张量场更(a)的梯度势和旋度势. 2。3向量场旋度(涡量)相关恒等式 就任意向量场可以定义其旋度(或者称为此向量场的涡量)并且具有如下关系式: 定理2.6(向量场旋度对偶关系式).设ⅥV(x)∈R3,令ω:=V×V,则有 v4-V=6kku=V×v
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 证明 直接按定义计算, 有 ∇ × (∇ × V ) = ∇ × (ε ijk∇iVjgk ) = g l × ∂ ∂xl (ε ijk∇iVjgk ) = gl × ∇l (ε ijk∇iVj )gk = εlksε ijk(∇l∇iVj )g s = εslkε ijk(∇l∇iVj )g s = (δ i s δ j l − δ i l δ j s )∇l∇iVjg s = ∇j∇iVjg i − ∇i∇iVjg j = ∇i(∇jVj )g i − ∇i∇iVjg j = ∇(∇ · V ) − ∆V ; ∇ × (∇ × Φ) = ∇ × [ g p × ∂ ∂xp (Φijg i ⊗ g j ) ] = ∇ × (∇pΦijε pikgk ⊗ g j ) = g q × ∂ ∂xq (∇pΦijε pikgk ⊗ g j ) = (∇q∇pΦij )ε pikεqksg s ⊗ g j = ε pikεsqk(∇q∇pΦij )g s ⊗ g j = (δ p s δ i q − δ i s δ p q )∇q∇pΦijg s ⊗ g j = ∇i∇sΦijg s ⊗ g j − ∇p∇pΦijg i ⊗ g j = ∇s∇iΦijg s ⊗ g j − ∆Φ = ∇ ⊗ (∇ · Φ) − ∆Φ. 基于定理2.2和2.3, 易得向量场和张量场的 Helmholtz-Stokes 分解, 如下所示. 定理 2.4 (向量场 Helmholtz-Stokes 分解). 对 ∀V (x) ∈ R 3 , 存在标量函数 ϕ(x) ∈ R 和向 量函数 A(x) ∈ R 3 , 使得 V = ∇ϕ + ∇ × A, 此处 ∆ϕ = ∇ · V ; −∆A + ∇(∇ · A) = ∇ × V . 式中 ϕ(x) ∈ R 和 A(x) ∈ R 3 分别称为向量场 V (x) 的标量势和向量势. 定理 2.5 (张量场 Helmholtz-Stokes 分解). 对 ∀ Φ(x) ∈ T p (R 3 ), 存在张量场 Θ(x) ∈ T p−1 (R 3 ) 和 Ψ(x) ∈ T p (R 3 ), 使得: Φ = ∇ ⊗ Θ + ∇ × Ψ, 此处 ∆Θ = ∇ · Φ; −∆Φ + ∇ ⊗ (∇ · Φ) = ∇ × Φ, 式中 Θ(x) ∈ T p−1 (R 3 ) 和 Ψ(x) ∈ T p (R 3 ) 可分别称为张量场 Φ(x) 的梯度势和旋度势. 2.3 向量场旋度 (涡量) 相关恒等式 就任意向量场可以定义其旋度 (或者称为此向量场的涡量) 并且具有如下关系式: 定理 2.6 (向量场旋度对偶关系式). 设 ∀V (x) ∈ R 3 , 令 ω := ∇ × V , 则有 ∇iVj − ∇jVi = εijkω k ⇔ ω = ∇ × V . 4
场论恒等式 谢锡麟 证明如果有 所以 (ViVi-ViVi 根据 Eddington张量的反对称性,有 =(66-5%) 即有 定理27(对流项的 Kronecker形式).对v∈R3,有 证明直接计算 v·(v⑧V)=VV;vg=V(Vv-Vv)g2+vvv9 VEjikw'9+o(VIv,+VIv)g2 EkjiwV'g+Vi(vvi)g 24仿射量相关恒等式 本节相关仿射量恒等式引自王敏中,王炜,武际可编著《弹性力学教程(修订版)》,北京大 学出版社,2002.我们基于一般曲线坐标系下张量场场论证明相关恒等式 定理2.8(仿射量基本恒等式).对仿射量成立有如下的恒等式 对vE∈R3,有 (V8)×V=Vx(E8V)×V=0∈2(R3); 2.对重∈2(R3),有 V·(V××V)=0∈R3; 对V∈2(R3),有 (Ix更×V=V⑧(V)+(V·更)⑧V-V·(V·更)r 4.对∈少2(R3),有 Ix(V×更×V)=V⑧更·V)+(V·更)8V-VV(r更)一△重*
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 证明 如果有 ∇iVj − ∇jVi = εijkω k , 所以 ε ijs(∇iVj − ∇jVi) = ε ijsεijkω k . 根据 Eddington 张量的反对称性, 有 2ε ijs∇iVj = (δ j j δ s k − δ s j δ j k )ω k = 2δ s kω k = 2ω s , 即有 ω s = ε sij∇iVj . 定理 2.7 (对流项的 Kronecker 形式). 对 ∀V ∈ R 3 , 有 V · (∇ ⊗ V ) = ∇ ( |V | 2 2 ) + ω × V , ω := ∇ × V . 证明 直接计算 V · (∇ ⊗ V ) = V j∇jVig i = V j (∇jVi − ∇iVj )g i + V j∇iVjg i = V j εjikω k g i + 1 2 (V j∇iVj + Vj∇iV j )g i = εkjiω kV j g i + 1 2 ∇i(V jVj )g i = ω × V + ∇ ( |V | 2 R3 2 ) . 2.4 仿射量相关恒等式 本节相关仿射量恒等式引自王敏中, 王炜, 武际可编著《弹性力学教程 (修订版)》, 北京大 学出版社, 2002. 我们基于一般曲线坐标系下张量场场论证明相关恒等式. 定理 2.8 (仿射量基本恒等式). 对仿射量成立有如下的恒等式. 1. 对 ∀ ξ ∈ R 3 , 有 ∇ × (∇ ⊗ ξ) × ∇ = ∇ × (ξ ⊗ ∇) × ∇ = 0 ∈ T 2 (R 3 ); 2. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 有 ∇ · (∇ × Φ × ∇) = 0 ∈ R 3 ; 3. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 有 ∇ × (I × × Φ) × ∇ = ∇ ⊗ (Φ · ∇) + (∇ · Φ) ⊗ ∇ − ∇ · (∇ · Φ)I − ∆Φ ∗ ; 4. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 有 I × × (∇ × Φ × ∇) = ∇ ⊗ (Φ · ∇) + (∇ · Φ) ⊗ ∇ − ∇ ⊗ ∇(trΦ) − ∆Φ ∗ ; 5
场论恒等式 谢锡麟 5对V更=∈2(R3),有 V×更)三V⑧V)+(V·更)V V·φV-△(tr更)r 此处任意两个仿射量之间的运算X按如下定义 x业=(91②9)四9p899)全重四(91×9)8(g3×9p) 证明可通过直接计算,证明相关恒等式 1.对E∈R3,直接计算 0 VX(V8OXV=(029)x(v 98g)x(oz9 EPEJKqVk ViVis 由于c关于指标l反对称,而VV;=VV,所以有V×(V5)×V=0.另一式同 理可得 2.对Y∈2(R3,首先考虑 7x明×=(m)×小]×=m“() 9s 9t ×(×列)=[)(0)=(bm)×719 VpVq9s⑧ 由于VVp=VVq,因此有(ⅴ⑧更)xV=Vx匝⑧V)=:V×φxV.由此可有 9 g4·( ePsE/VIVpVapig,g) jot VsVpVqpijg, 仔于ePs关于指标ps反对称,而VsVp=VpV,所以有V·(V×重×V)=0
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 5. 对 ∀ Φ = Φ ∗ ∈ T 2 (R 3 ), 有 ∇ × (∇ × Φ) ∗ = ∇ ⊗ (Φ · ∇) + (∇ · Φ) ⊗ ∇ − ∆Φ − ∇ ⊗ ∇(trΦ) − [∇ · Φ · ∇ − ∆(trΦ)]I. 此处任意两个仿射量之间的运算 × × 按如下定义: Φ × × Ψ = (Φ i ·j gi ⊗ g j ) × × (Ψ p ·q gp ⊗ g q ) , Φ i ·jΨ p ·q (gi × g q ) ⊗ (g j × gp ). 证明 可通过直接计算, 证明相关恒等式. 1. 对 ∀ ξ ∈ R 3 , 直接计算 ∇ × (∇ ⊗ ξ) × ∇ = ( ∂ ∂xl g l ) × ( ∇iξjg i ⊗ g j ) × ( ∂ ∂xk g k ) = ε lipε jkq∇k∇l∇iξjgp ⊗ gq , 由于 ε lip 关于指标 li 反对称, 而 ∇l∇i = ∇i∇l , 所以有 ∇ × (∇ ⊗ ξ) × ∇ = 0. 另一式同 理可得. 2. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 首先考虑 (∇ × Φ) × ∇ = [(g p ∂ ∂xp ) × (Φijg i ⊗ g j ) ] × ∇ = [∇pΦijε pisgs ⊗ g j ] × ( g q ∂ ∂xq ) = ε pisε jqt∇q∇pΦijgs ⊗ gt ; ∇ × (Φ × ∇) = ∇ × [ ( Φijg i ⊗ g j ) × ( g q ∂ ∂xq )] = ( g p ∂ ∂xp ) × [ ∇qΦijε jqtg i ⊗ gt ] = ε pisε jqt∇p∇qΦijgs ⊗ gt . 由于 ∇q∇p = ∇p∇q, 因此有 (∇ ⊗ Φ) × ∇ = ∇ × (Φ ⊗ ∇) =: ∇ × Φ × ∇. 由此可有 ∇ · (∇ × Φ × ∇) = ( g l ∂ ∂xl ) · (ε pisε jqt∇p∇qΦijgs ⊗ gt ) = g l · ( ε pisε jqt∇l∇p∇qΦijgs ⊗ gt ) = ε pisε jqt∇s∇p∇qΦijgt . 由于 ε pis 关于指标 ps 反对称, 而 ∇s∇p = ∇p∇s, 所以有 ∇ · (∇ × Φ × ∇) = 0. 6
场论恒等式 谢锡麟 3.对更∈2(R3),计算 V×(Ix更)xV=V×[(09893)匝g89xV b5Φp(91×9)8(g3×g) vx匝nyeg389]×V=V(Vk?) )EigseipteksmEtln!9m8g” (Vv Eigsesmk)(eiptEuln)gm &9" =(VVk-64)(6-6)9m8g vv(酽6--+明)gm8g vpg1③g 69 89P-(V KpI )on 9m 9" (VVk”)9g8g =V(重V)-△V·(V·更)Ⅰ+V8(V·更) 4.根据(2)中的结果,有 V×更xV=VpV西;peg3⑧ 所以 I(V×重×V)=(9 9n)X(VpV so gt gmnVp,(ejqtemkt)(episEnls)g*g' = 9 VpV(6n^-鴿%n)(明b-61)9g vpV西(hnb-161-m6明母+116:)9g ⑧g4- vIV ⑧ nnVnVmug"0 9 + g"VIV重nk9sg1 VnVk"g⑧g-Vkn"gg-VmV +ViVm 0 g 分别计算 gf⑧g;)· anni VmVn"gmg=VkVn雪gsg=VnVk雪gsg (V. 8)8v=9"o2m) ⑧g) NvMa"g3⑧g Vov(tr)=VkVIn99=VIVin 9"89 重k9"⑧g 综上,有 Ix(V×更×V)=(V·更⑧+V匝重V)-V⑧V(r更)-△更
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 3. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 计算 ∇ × (I × × Φ) × ∇ = ∇ × [(δ i jgi ⊗ g j ) × × (Φ · p q g p ⊗ gq )] × ∇ = ∇ × [δ i jΦ · p q (gi × gq ) ⊗ (g j × g p )] × ∇ = ∇ × [Φ · p q εiqsε iptg s ⊗ gt ] × ∇ = ∇l (∇kΦ · p q )εiqsε iptε ksmεtlngm ⊗ g n = (∇l∇kΦ · p q )(εiqsε smk)(ε iptεtln)gm ⊗ g n = (∇l∇kΦ · p q )(δ m i δ k q − δ m q δ k i )(δ i l δ p n − δ p l δ i n )gm ⊗ g n = (∇l∇kΦ · p q )(δ m l δ k q δ p n − δ m q δ k l δ p n − δ m n δ k q δ p l + δ m q δ k n δ p l )gm ⊗ g n = ∇l∇qΦ · p q gl ⊗ g p − ∇k∇kΦ · p q gq ⊗ g p − (∇l∇kΦ · l k )δ m n gm ⊗ g n + (∇l∇kΦ · l q )gq ⊗ g k = ∇ ⊗ (Φ · ∇) − ∆Φ ∗ − ∇ · (∇ · Φ)I + ∇ ⊗ (∇ · Φ). 4. 根据 (2) 中的结果, 有 ∇ × Φ × ∇ = ∇p∇qΦijε pisε jqtgs ⊗ gt , 所以 I × × (∇ × Φ × ∇) = (g mngm ⊗ gn ) × × ( ∇p∇qΦijε pisε jqtgs ⊗ gt ) = g mn∇p∇qΦijε pisε jqtεmtkεnslg k ⊗ g l = g mn∇p∇qΦij ( ε jqtεmkt) (ε pisεnls) g k ⊗ g l = g mn∇p∇qΦij (δ j mδ q k − δ q mδ j k )(δ p n δ i l − δ i n δ p l )g k ⊗ g l = g mn∇p∇qΦij (δ j mδ q k δ p n δ i l − δ j mδ q k δ i n δ p l − δ q mδ j k δ p n δ i l + δ q mδ j k δ i n δ p l )g k ⊗ g l = g mn∇n∇kΦlmg k ⊗ g l − g mn∇l∇kΦnmg k ⊗ g l − g mn∇n∇mΦlkg k ⊗ g l + g mn∇l∇mΦnkg k ⊗ g l = ∇n∇kΦ · l n g k ⊗ g l − ∇l∇kΦ · n n g k ⊗ g l − ∇m∇mΦlkg k ⊗ g l + ∇l∇mΦ m · kg k ⊗ g l . 分别计算 ∇ ⊗ (Φ · ∇) = ( g m ∂ ∂xm ) ⊗ ( Φ · i j g i ⊗ gj ) · ( ∂ ∂xn g n ) = ∇m∇nΦ · i n g m ⊗ g i = ∇k∇nΦ · l n g k ⊗ g l = ∇n∇kΦ · l n g k ⊗ g l ; (∇ · Φ) ⊗ ∇ = ( g m ∂ ∂xm ) · ( Φ i ·jgi ⊗ g j ) ⊗ ( ∂ ∂xn g n ) = ∇n∇mΦ m · jg j ⊗ g n = ∇l∇mΦ m · kg k ⊗ g l ; ∇ ⊗ ∇ (trΦ) = ∇k∇lΦ · n n g k ⊗ g l = ∇l∇kΦ · n n g k ⊗ g l ; ∆Φ ∗ = ∇m∇mΦlkg k ⊗ g l . 综上, 有 I × × (∇ × Φ × ∇) = (∇ · Φ) ⊗ ∇ + ∇ ⊗ (Φ · ∇) − ∇ ⊗ ∇(trΦ) − ∆Φ ∗ . 7
场论恒等式 谢锡麟 92(R3),有 V×(V×重=VxV×匝重98g)=V×(Vp面;=Pg8g) V×(Vp;=gg)=VqVp2 9t 0 g 因为 吊8=9一明)+一9)+(-49 6 所以 V×(V×更)=△(更)I- PhPDig1893+VV9p89 (ViVD'i)I+VaVdigi099-VaVP(tr)gp o 9? V②(V·重+(φ·V)·V-△更-V必V(tr重) v·.V-△(trΦ)Ⅰ 25若干代数关系式 引理29.对ⅤE,n,∈R3,有 (×m)×=6×(m×5)=(5,S)R3m-(T,) 证明直接计算即有 (×n)×c=(0ngk)× t5ng2=(6l-6508)mg (,)-(,S)R5 定理210(向量的内蕴正交分解).对T∈R3,Ve∈R3而且|el8=1,则有 (T,e)e-(T×e) 证明根据引理2.9,有 ex(exT)=(T×e)×e=(T,e)e-(e,e)T=(T,e)Re-T 定理2.11(张量的内蕴正交分解).更∈少P(R3),Ve∈R3而且|el=1,则有 更 e⑧(e·更)-ex(ex重); 匝·e)②e-匝φ×e)
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 5. 对 ∀ Φ = Φ ∗ ∈ T 2 (R 3 ), 有 ∇ × (∇ × Φ) ∗ = ∇ × [∇ × (Φijg i ⊗ g j )]∗ = ∇ × (∇pΦijε pisgs ⊗ g j ) ∗ = ∇ × (∇pΦijε pisg j ⊗ gs ) = ∇q∇pΦijε pisε qjtgt ⊗ gs = ∇q∇pΦ i jεpisε qjtgt ⊗ g s . 因为 εpisε qjt = δ q p δ q i δ q s δ j p δ j i δ j s δ t p δ t i δ t s = δ q p (δ j i δ t s − δ j s δ t i ) + δ q i (δ j s δ t p − δ j p δ t s ) + δ q s (δ j p δ t i − δ j i δ t p ), 所以 ∇ × (∇ × Φ) ∗ = ∆(trΦ)I − ∇p∇pΦ i jgi ⊗ g j + ∇i∇pΦ i jgp ⊗ g j − (∇i∇jΦ i j )I + ∇q∇jΦ i jgi ⊗ g q − ∇q∇p (trΦ)gp ⊗ g q = ∇ ⊗ (∇ · Φ) + (Φ · ∇) · ∇ − ∆Φ − ∇ ⊗ ∇(trΦ) − [∇ · Φ · ∇ − ∆(trΦ)]I. 2.5 若干代数关系式 引理 2.9. 对 ∀ ξ, η, ζ ∈ R 3 , 有 (ξ × η) × ζ = ζ × (η × ξ) = (ξ, ζ)R3 η − (η, ζ)R3 ξ. 证明 直接计算即有 (ξ × η) × ζ = (ε ijkξiηjgk ) × ζ = ε ijkεkstξiηjζ s g t = (δ i s δ j t − δ j s δ i t )ξiηjζ s g t = (ξ, ζ)R3 η − (η, ζ)R3 ξ. 定理 2.10 (向量的内蕴正交分解). 对 ∀ T ∈ R 3 , ∀ e ∈ R 3 而且 |e|R3 = 1, 则有 T = (T , e)R3 e − e × (e × T ); (T , e)R3 e − (T × e) × e. 证明 根据引理2.9, 有 e × (e × T ) = (T × e) × e = (T , e)R3 e − (e, e)R3T = (T , e)R3 e − T . 定理 2.11 (张量的内蕴正交分解). ∀ Φ ∈ T p (R 3 ), ∀ e ∈ R 3 而且 |e|R3 = 1, 则有 Φ = e ⊗ (e · Φ) − e × (e × Φ); (Φ · e) ⊗ e − (Φ × e) × e. 8
场论恒等式 谢锡麟 证明设张量更可以表示为更=;92⑧g,所以 ⑧(e·更)=重;(e,9)eg ex(ex更)=重ex(exg)g3 利用向量的内蕴正交分解即有 e8(e更)-ex(ex)=更[e,9)e-ex(exg9=重/9⑧g=更 定理212( Nanson公式).对φ更∈2(R3),a,b∈R,有 detφ更-*(a (a·更×(b)=dtφ-1·(axb)=det更{axb)·更 证明设Vc∈R3,考虑 匝更·a,更·b,更·cRs=匝重:a)x囤更·b·(φc) 一更,,nb=,,时ab√ 一D,,bv∑sgn6(00 回,?, 式中第一个行列式中r,s,t的值必须互不相同否则行列式的值将为零,因此 sony det ssar()b7(2)c7(3) ∑ sony det更a(1)b72)c6g1:99l3 根据三重积的轮换对称性,显然有 9g(1),92(2),9 sgn91,92,93lR8,V∈B, 所以 a更b更·c=dt∑a0)b12)gn(,./2,91l =det gf[a, b, clrs
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 证明 设张量 Φ 可以表示为 Φ = Φijg i ⊗ g j , 所以 e ⊗ (e · Φ) = Φij (e, g i )R3 e ⊗ g j , e × (e × Φ) = Φije × (e × g i ) ⊗ g j . 利用向量的内蕴正交分解即有 e ⊗ (e · Φ) − e × (e × Φ) = Φij [ (e, g i )R3 e − e × (e × g i ) ] ⊗ g j = Φijg i ⊗ g j = Φ. 定理 2.12 (Nanson 公式). 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), a, b ∈ R 3 , 有 (Φ · a) × (Φ · b) = det Φ(a × b) · Φ −1 = det Φ Φ−∗ · (a × b); (a · Φ) × (b · Φ) = det ΦΦ−1 · (a × b) = det Φ(a × b) · Φ −∗ . 证明 设 ∀ c ∈ R 3 , 考虑 [Φ · a, Φ · b, Φ · c]R3 =[(Φ · a) × (Φ · b)] · (Φ · c) =Φ i ·rΦ j · sΦ k · ta r b s c t εijk = Φ i ·rΦ j · sΦ k · ta r b s c t√ g δ 1 i δ 2 i δ 3 i δ 1 j δ 2 j δ 3 j δ 1 k δ 2 k δ 3 k =Φ i ·rΦ j · sΦ k · ta r b s c t√ g ∑ σ∈P3 sgnσδσ(1) i δ σ(2) j δ σ(3) k = ∑ σ∈P3 sgnσΦσ(1) · rΦ σ(2) · sΦ σ(3) · ta r b s c t√ g = Φ 1 · r Φ 2 · r Φ 3 · r Φ 1 · s Φ 2 · s Φ 3 · s Φ 1 · t Φ 2 · t Φ 3 · t a r b s c t√ g. 式中第一个行列式中 r, s, t 的值必须互不相同否则行列式的值将为零, 因此 [Φ · a, Φ · b, Φ · c]R3 = ∑ γ∈P3 Φ 1 · γ(1) Φ 2 · γ(1) Φ 3 · γ(1) Φ 1 · γ(2) Φ 2 · γ(2) Φ 3 · γ(2) Φ 1 · γ(3) Φ 2 · γ(3) Φ 3 · γ(3) a γ(1)b γ(2)c γ(3)√ g = ∑ γ∈P3 sgnγ det Φ a γ(1)b γ(2)c γ(3)√ g = ∑ γ∈P3 sgnγ det Φ a γ(1)b γ(2)c γ(3)[g1 , g2 , g3 ]R3 . 根据三重积的轮换对称性, 显然有 [gγ(1), gγ(2), gγ(3)]R3 = sgnγ[g1 , g2 , g3 ]R3 , ∀ γ ∈ P3, 所以 [Φ · a, Φ · b, Φ · c]R3 = det Φ ∑ γ∈P3 a γ(1)b γ(2)c γ(3)[gγ(1), gγ(2), gγ(3)]R3 = det Φ[a, b, c]R3 , 9
场论恒等式 谢锡麟 φ·a)×更·b)·{·c)=det更a,b,cB=det更(axb)·c 根据c的任意性,即有 重:a)x匝φ·b)·更=det更(a×b 所以有 其他的式子都可以用完全类似的方法证明 3建立路径 场论恒等式形式多样,但只要掌握Rici引理、 eddintong张量与度量张量之间的关系式、 体积上张量分量协变导数及逆变分量的作用可以交换次序就可以顺利的推演出很多关系 式,可以按自己学习与研究的需要推出相关等式 值得指出,一些特定的场论恒等式往往具有特定的作用,她们可以成为“数学通识
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 即 [(Φ · a) × (Φ · b)] · (Φ · c) = det Φ[a, b, c]R3 = det Φ(a × b) · c. 根据 c 的任意性, 即有 [(Φ · a) × (Φ · b)] · Φ = det Φ(a × b), 所以有 (Φ · a) × (Φ · b) = det Φ(a × b) · Φ −1 . 其他的式子都可以用完全类似的方法证明. 3 建立路径 • 场论恒等式形式多样, 但只要掌握 Ricci 引理、Eddintong 张量与度量张量之间的关系式、 体积上张量分量协变导数及逆变分量的作用可以交换次序就可以顺利的推演出很多关系 式, 可以按自己学习与研究的需要推出相关等式. • 值得指出, 一些特定的场论恒等式往往具有特定的作用, 她们可以成为 “数学通识”. 10