复旦大学课程教学大纲 课程代码MECH130093 编写时间 2011年08月更新 课程名称 张量分析与微分几何基础 英文名称 Fundamentals of Tensor Analysis and Differential Geometry 学分数 周学时 2或3 任课教师*谢锡麟 开课院系**力学与工程科学系 预修课程本科起始微积分方面课程(无特别先有基础限制) 课程性质 专业选修课,可适用于力学各领域、数学、物理学等专业的学生选修 教学目的 张量分析是深入学习连续介质力学必备的数学基础,也是学习现代力学和现代数学的必 备基础。按自身认识,力学的几何化是现代力学发展的重要特征;而现代意义上的张量分析 理论是进入现代力学和现代分析学的很好途径,也是必备的基础 从教学的延续而言,本课程基于微积分和线性代数开始新知识的讲授,注重“温故而知 新”的效果。 课程基本内容简介 为了追求现代化的数理知识体系,我们将持续性进行相关教学研究与实践。2005年至现 在2011年,我们已初步建立如下二条教学路径 (1)“微积分的一流化进程”。现研究及实践的主要内容如下:①大学一年级必修《数 学分析》:主要基于张筑生著《数学分析新讲》(共三册,基本内容)主要建立有限维 Euclid 空间上的微积分以及级数理论。一⑧大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》(有关商 等微积分):主要基于卓里奇著《 Ma thematical Analysis》,基于有限维 Euclid空间中的微 分学建立一般赋范空间上的微分学;通过深化有限维 Euclid空间中的微分同胚给予有限维 Euclid空间中微分流形的初步理论以及细化有限维 Euclid:空间中 Riemann积分理论等 大二、三选修课程《流形上的微积分》,主要参照杜布洛文、诺维可夫、福明柯著《现代几何 学:方法与应用》(第二卷、第一卷),给予现代微分几何的基本思想及方法(着力于微分流 形上的微积分),并极力注重相关理论在力学、物理等上的应用。④《应用实变函数论与泛 第1页共8页
第 1 页 共 8 页 复旦大学课程教学大纲 课程代码 MECH130093 编写时间 2011 年 08 月更新 课程名称 张量分析与微分几何基础 英文名称 Fundamentals of Tensor Analysis and Differential Geometry 学分数 2 周学时 2 或 3 任课教师* 谢锡麟 开课院系** 力学与工程科学系 预修课程 本科起始微积分方面课程（无特别先有基础限制） 课程性质： 专业选修课，可适用于力学各领域、数学、物理学等专业的学生选修 教学目的： 张量分析是深入学习连续介质力学必备的数学基础，也是学习现代力学和现代数学的必 备基础。按自身认识，力学的几何化是现代力学发展的重要特征；而现代意义上的张量分析 理论是进入现代力学和现代分析学的很好途径，也是必备的基础。 从教学的延续而言，本课程基于微积分和线性代数开始新知识的讲授，注重“温故而知 新”的效果。 课程基本内容简介： 为了追求现代化的数理知识体系，我们将持续性进行相关教学研究与实践。2005 年至现 在 2011 年，我们已初步建立如下二条教学路径： （1）“微积分的一流化进程”。现研究及实践的主要内容如下：① 大学一年级必修《数 学分析》：主要基于张筑生著《数学分析新讲》（共三册，基本内容）主要建立有限维 Euclid 空间上的微积分以及级数理论。→ ② 大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》（有关高 等微积分）：主要基于卓里奇著《Mathematical Analysis》，基于有限维 Euclid 空间中的微 分学建立一般赋范空间上的微分学；通过深化有限维 Euclid 空间中的微分同胚给予有限维 Euclid 空间中微分流形的初步理论以及细化有限维 Euclid 空间中 Riemann 积分理论等。→ ③ 大二、三选修课程《流形上的微积分》，主要参照杜布洛文、诺维可夫、福明柯著《现代几何 学：方法与应用》（第二卷、第一卷），给予现代微分几何的基本思想及方法（着力于微分流 形上的微积分），并极力注重相关理论在力学、物理等上的应用。④《应用实变函数论与泛函
分析基础》,主要基于夏道行有著作等,建立一般集类上的测度论以及有限维 Euclid空间中 的测度论;度量空间以及 Hilbert空间上的基本理论 我们力图基于上述路径,使得相 关教学的深度和广度能持平甚至超越具有国内外一流水平的微积分或数学分析的教程,如饿 罗斯数学教材选译之一的卓里奇箸《 Ma thematical Ana lys is》,此教材被Wolf奖获得者 I. Arnold誉为迄今为止最好的现代分析学教程,极力体现现代化的知识体系及其在认识自 然及非自然世界中的作用 (2)“基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学方面的实践”。现研究及实 践的主要内容如下:①基于一年级微积分及线性代数,可修读《张量分析与微分几何基础》 ②基于张量分析基础,可修读《连续介质力学基础》。→③基于连续介质力学的一般理论 修读《涡量与涡动力学基础》。 《张量分析与微分几何基础》在上述教学路径中起着核心作用,亦即本课程所提供的知 识体系为对整个教学路径所涉及的知识体系的核心 相关课程的基本介绍,如下所列 《张量分析与微分几何基础》课程。主要完成郭仲衡著《张量(理论和应用)》(科学出版 社)中有关张量以及微分几何的基本理论。教学过程中,充分利用多重线性映照(张量)研 究张量的表示及其基本代数运算性质;基于微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系相 关基本概念以及基于其上的张量场运算(包括非完整系理论)充分利用置换算子、外积运算 实现仿射量基本性质的研究;充分利用向量值映照并结合线性代数澄清一般 Euclid空间中曲 线、曲面的基本几何量、局部标架及其运动方程等。修读本课程,仅需要具有较好的微积分 基础,需要向量值映照(多元微积分)的有关理论。 《连续介质力学基础》课程。主要完成郭仲衡著《非线性弹性理论》(科学出版社).基 《张量(理论和应用)》的基础,可以基本完成《非线性弹性理论》的学习,主要包括有限变 形理论的运动学及动力学,经典问题的提法及其求解,变分原理。知识体系建立过程中 两点张量”认识为同一张量的两点表示形式(相对于一点表示形式;由单位仿射量统 量张量(一点形式)以及转移张量(两点形式;基于微分学观点引入两点形式的变形梯度张 量;基于变形梯度张量分类澄清变形刻画;基于有关变形刻画获得物质系统及控制系统的最 般形式的输运方程;基于转移定理获得本构关系的初步理论等。《连续介质力学基础》需要 先修读《张量分析与微分几何基础》 ③《涡量与涡动力学基础》基础。一般流体力学教程,将流动的运动学与动力学过程主要 第2页共8页
第 2 页 共 8 页 分析基础》，主要基于夏道行有著作等，建立一般集类上的测度论以及有限维 Euclid 空间中 的测度论；度量空间以及 Hilbert 空间上的基本理论。—— 我们力图基于上述路径，使得相 关教学的深度和广度能持平甚至超越具有国内外一流水平的微积分或数学分析的教程，如俄 罗斯数学教材选译之一的卓里奇箸《Mathematical Analysis》，此教材被 Wolf 奖获得者 V.I.Arnold 誉为迄今为止最好的现代分析学教程，极力体现现代化的知识体系及其在认识自 然及非自然世界中的作用。 （2）“基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学方面的实践”。现研究及实 践的主要内容如下：①基于一年级微积分及线性代数，可修读《张量分析与微分几何基础》。 → ②基于张量分析基础，可修读《连续介质力学基础》。→ ③基于连续介质力学的一般理论， 修读《涡量与涡动力学基础》。 《张量分析与微分几何基础》在上述教学路径中起着核心作用，亦即本课程所提供的知 识体系为对整个教学路径所涉及的知识体系的核心。 相关课程的基本介绍，如下所列： ①《张量分析与微分几何基础》课程。主要完成郭仲衡著《张量（理论和应用）》（科学出版 社）中有关张量以及微分几何的基本理论。教学过程中，充分利用多重线性映照（张量）研 究张量的表示及其基本代数运算性质；基于微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系相 关基本概念以及基于其上的张量场运算（包括非完整系理论）；充分利用置换算子、外积运算 实现仿射量基本性质的研究；充分利用向量值映照并结合线性代数澄清一般 Euclid 空间中曲 线、曲面的基本几何量、局部标架及其运动方程等。修读本课程，仅需要具有较好的微积分 基础，需要向量值映照（多元微积分）的有关理论。 ②《连续介质力学基础》课程。主要完成郭仲衡著《非线性弹性理论》（科学出版社）。基于 《张量（理论和应用）》的基础，可以基本完成《非线性弹性理论》的学习，主要包括有限变 形理论的运动学及动力学，经典问题的提法及其求解，变分原理。知识体系建立过程中，将 “两点张量”认识为同一张量的两点表示形式（相对于一点表示形式）；由单位仿射量统一度 量张量（一点形式）以及转移张量（两点形式）；基于微分学观点引入两点形式的变形梯度张 量；基于变形梯度张量分类澄清变形刻画；基于有关变形刻画获得物质系统及控制系统的最 一般形式的输运方程；基于转移定理获得本构关系的初步理论等。《连续介质力学基础》需要 先修读《张量分析与微分几何基础》。 ③《涡量与涡动力学基础》基础。一般流体力学教程，将流动的运动学与动力学过程主要通
过速度和压力来表征(原始变量),而涡量与涡动力学观点则采用胀压量和涡量作为原始变量 理论上可说明,对于诸多重要流动过程的刻画,涡动力学的观点往往使得相关过程的数学刻 画更为清晰明朗。本课程基于有限变形理论,基于一般曲线坐标系的场论获得相关过程的涡 动力学表示,使得相关数学结论适合与数值方法加以进一步研究 基本要求 切实掌握上述知识体系所涉及的思想及方法,切实注重相关理论(思想及方法)在认识 自然及非自然世界中的作为 基于本课程所提供的张量分析以及微分几何的有关知识体系(亦考虑到体系的现代化) 可以很轻松地研习:一般连续介质力学理论,如郭仲衡著《非线性弹性理论》,主要讲述有限 变形理论及其应用以及变分原理;谢多夫著《连续介质力学》(俄罗斯数学教材选译之一) 我们将上述知识体系作为课程《连续介质力学基础》的主要内容。另一方面,可研习现代微 分几何理论,如:杜布洛文、诺维可夫、福明柯著《现代几何学:方法与应用》(俄罗斯数学 教材选译);V.I. Arnold著《经典力学中的数学方法》(俄罗斯数学教村选译)等专著 教学方式:讲授为主,辅以适当的讨论 教材和教学参考资料 作者 教材名称 出版社 出版年月 郭仲衡 《张量一一理论及应用》 科学出版社 《现代几何学:方法与应用》(第一卷 杜布洛文、诺维可 几何曲面、变换群与场) 高等教育出版社 2006 夫、福明柯 俄罗斯数学教材选译 黄克智等 《张量分析》 清华大学出版社 V.A.卓里奇 《数学分析》(上、下)(第4版) 高等教育出版社 2006 俄罗斯数学教材选译 救师教学、科研情况简介和主要社会兼职 05年3月起(作为复旦大学从事教学与研究的正式职工),从事微积分方面教学。 基于自身专业背景,注重理论联系实际,由此将数理知识体系理解为,按量化观点(包括定 量与定性刻画),认识自然及非自然世界系统的思想和方法;并认为真正的创新(结合力学专 业背景)需源于坚实基础之上。由此,持续地研读具有世界一流水平的专著成为工作和生活 第3页共8页
第 3 页 共 8 页 过速度和压力来表征（原始变量），而涡量与涡动力学观点则采用胀压量和涡量作为原始变量。 理论上可说明，对于诸多重要流动过程的刻画，涡动力学的观点往往使得相关过程的数学刻 画更为清晰明朗。本课程基于有限变形理论，基于一般曲线坐标系的场论获得相关过程的涡 动力学表示，使得相关数学结论适合与数值方法加以进一步研究。 基本要求： 切实掌握上述知识体系所涉及的思想及方法，切实注重相关理论（思想及方法）在认识 自然及非自然世界中的作为。 基于本课程所提供的张量分析以及微分几何的有关知识体系（亦考虑到体系的现代化） 可以很轻松地研习：一般连续介质力学理论，如郭仲衡著《非线性弹性理论》，主要讲述有限 变形理论及其应用以及变分原理；谢多夫著《连续介质力学》（俄罗斯数学教材选译之一）。 我们将上述知识体系作为课程《连续介质力学基础》的主要内容。另一方面，可研习现代微 分几何理论，如：杜布洛文、诺维可夫、福明柯著《现代几何学：方法与应用》（俄罗斯数学 教材选译）； V.I.Arnold 著《经典力学中的数学方法》（俄罗斯数学教材选译）等专著。 教学方式: 讲授为主，辅以适当的讨论 教材和教学参考资料： 作者 教材名称 出版社 出版年月 郭仲衡 《张量——理论及应用》 科学出版社 杜布洛文、诺维可 夫、福明柯 《现代几何学：方法与应用》（第一卷： 几何曲面、变换群与场） 俄罗斯数学教材选译 高等教育出版社 2006 黄克智等 《张量分析》 清华大学出版社 V.A.卓里奇 《数学分析》（上、下）（第 4 版） 俄罗斯数学教材选译 高等教育出版社 2006 教师教学、科研情况简介和主要社会兼职： 05 年 3 月起（作为复旦大学从事教学与研究的正式职工），从事微积分方面教学。 基于自身专业背景，注重理论联系实际，由此将数理知识体系理解为，按量化观点（包括定 量与定性刻画），认识自然及非自然世界系统的思想和方法；并认为真正的创新（结合力学专 业背景）需源于坚实基础之上。由此，持续地研读具有世界一流水平的专著成为工作和生活
的主要内容,同时也将此融合与教学,教学也与研究融合。 注重于基于坚实的数理基础,持续性从事复杂流动方面的理论、真实实验及数值实验研 究,相关研究获得国家自然科学基金、上海市科委等资助 入选复旦大学第五届世纪之星;2006年入选“上海优秀青年教师选拔培养工程”;2008 年度复旦大学香港人奖教金;2010年度复旦大学教学成果二等奖,《基于现代张量分析的连续 介质力学理论及其在流体力学中的实践》 现担任《力学季刊》、《水动力学研究与进展》编委;中国力学学会第八届科学普及工作 委员会委员 教学内容安排 我们将张量分析与微分几何的“知识体系”(基本部分)分成若千个“知识点”,而每 个知识点由若干“知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期 或者教与学的实际情况对进度稍作调整 第一部分张量及其代数运算 张量的定义①基于多重线性映照;如未作特别说明,本课程中的底线性空间为有限维 Euclid空间。②简单张量的定义。⊙有限维 Euclid空间中的任意一个基,存在且唯一存 在其对偶基(基于矩阵的分块运算及线性代数有关结论).④张量空间上的线性结构,由 此引入张量线性空间。⑤张量线性空间之间的张量积运算 张量的表示①基于简单张量获得张量的表示;涉及张量的协变、逆变以及混合型分量, ②张量基,张量基之间的转化关系;③张量分量,张量分量之间的转化关系 第1周、第2周 外积运算①对称及反对称张量的定义。②置换算子。基于置换算子可给子方阵行列式的 解析表达式,为进一步推导行列式相关的结论提出了基础。③反对称化算子。④外积算子 外积算子的基本性质源于反对称化算子的性质。⑤反对称张量的表示形式 第3周、第4周 第二部分有限维 Euclid空间中张量场的微分学I(张量场场论的微分学部分) 此部分有限维 Euclid空间中张量场的微分学,主要基于一般曲线坐标系开展张量场场论 曲线坐标系①基于有限维 Eucl id空间中微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系 的基本概念,包括局部基(协变基、逆变基), Christoffel符号。②应用事例:获得 般速度、加速度在一般曲线坐标系下的表示 第4页共8页
第 4 页 共 8 页 的主要内容，同时也将此融合与教学，教学也与研究融合。 注重于基于坚实的数理基础，持续性从事复杂流动方面的理论、真实实验及数值实验研 究，相关研究获得国家自然科学基金、上海市科委等资助。 入选复旦大学第五届世纪之星；2006 年入选“上海优秀青年教师选拔培养工程”；2008 年度复旦大学香港人奖教金；2010 年度复旦大学教学成果二等奖，《基于现代张量分析的连续 介质力学理论及其在流体力学中的实践》。 现担任《力学季刊》、《水动力学研究与进展》编委；中国力学学会第八届科学普及工作 委员会委员。 教学内容安排： 我们将张量分析与微分几何的“知识体系”（基本部分）分成若干个“知识点”，而每 个知识点由若干“知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期 或者教与学的实际情况对进度稍作调整。 第一部分 张量及其代数运算 1. 张量的定义 ①基于多重线性映照；如未作特别说明，本课程中的底线性空间为有限维 Euclid 空间。②简单张量的定义。③有限维 Euclid 空间中的任意一个基，存在且唯一存 在其对偶基（基于矩阵的分块运算及线性代数有关结论）。④张量空间上的线性结构，由 此引入张量线性空间。⑤张量线性空间之间的张量积运算。 2. 张量的表示 ①基于简单张量获得张量的表示；涉及张量的协变、逆变以及混合型分量。 ②张量基，张量基之间的转化关系；③张量分量，张量分量之间的转化关系。 ——第 1 周、第 2 周 3. 外积运算 ①对称及反对称张量的定义。②置换算子。基于置换算子可给予方阵行列式的 解析表达式，为进一步推导行列式相关的结论提出了基础。③反对称化算子。④外积算子。 外积算子的基本性质源于反对称化算子的性质。⑤反对称张量的表示形式。 ——第 3 周、第 4 周 第二部分 有限维 Euclid 空间中张量场的微分学Ⅰ（张量场场论的微分学部分） 此部分有限维 Euclid 空间中张量场的微分学，主要基于一般曲线坐标系开展张量场场论。 1. 曲线坐标系 ①基于有限维 Euclid 空间中微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系 的基本概念，包括局部基（协变基、逆变基），Christoffel 符号。②应用事例：获得一 般速度、加速度在一般曲线坐标系下的表示
一第5周 张量场的微分学Ⅰ①张量场梯度。引入张量空间的范数,以此获得张量场的可微性定义」 张量场的导数可表现张量场的梯度(左梯度、右梯度)②张量场的协变导数。张量场梯 度的分量即为协变导数;逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场(整体形式) 的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴下可按极限进行定义;基于张量场的可微性定义, 易于获得具体计算式(基于协变导数)进一步,可按上述途径定义张量场的方向导数及 其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数,按形式定义的思想 以定义张量场的各种场论微分运算,包括: Euclid空间中张量场的左、右梯度、散度以 及旋转,星算子等。⑤应用事例:连续介质力学中的应力张量,介质中某点某方向(对应 以其为法向量的平面上)的受力,由应力张量(二阶张量,以曲线坐标为自变量)点乘法 向量确定;应力张量的引出及相关结论基于四面体微元的受力分析。 第6周、第7周 张量场的微分学Ⅱ EDdington张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论 有:(a)有限维 Euclid空间中 Eddington张量、度量张量的偏导数都为零,对应 Eddington 张量及度量张量的所有分量其所有的协变导数均为零;相关结论又称为 Ricci引理。(b Euclid空间中协变导数可以交换次序;涉及 Riemann- Christoffel张量。④张量场的各 种场论恒等式。此处,我们直接在一般曲线坐标系下获得或者证明各种场论恒等式,此知 识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用,其知识要素包括:(a) Eddington 符号同 Kronecker符号之间的关系;(b) Ricci引理。注:此知识点所含知识要素很简要, 但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式,对理论及应用研究都 具有极其重要的作用。⑥应用事例:弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等 式的推演或证明 第8周、第9周 非完整基(一般文献常称为非完整系)理论①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度 的表达形式。当然此处的张量场梯度是在完整基(完整系)下定义的;现在要在非完整基 下获得张量场梯度(新的张量)的表达式,自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系 非完整基理论,实际提供了一种“形式运算”,以最终获得非完整基下张量场梯度的表达 式,其主要步骤,包括:(a)相对于非完整坐标的形式偏导数;(b)非完整基下的形式第 二类 Christoffel符号,形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定;(c)非完 第5页共8页
第 5 页 共 8 页 ——第 5 周 2. 张量场的微分学Ⅰ ①张量场梯度。引入张量空间的范数，以此获得张量场的可微性定义， 张量场的导数可表现张量场的梯度（左梯度、右梯度）。②张量场的协变导数。张量场梯 度的分量即为协变导数；逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场（整体形式） 的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴下可按极限进行定义；基于张量场的可微性定义， 易于获得具体计算式（基于协变导数）。进一步，可按上述途径定义张量场的方向导数及 其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数，按形式定义的思想，可 以定义张量场的各种场论微分运算，包括：Euclid 空间中张量场的左、右梯度、散度以 及旋转，星算子等。⑤应用事例：连续介质力学中的应力张量，介质中某点某方向（对应 以其为法向量的平面上）的受力，由应力张量（二阶张量，以曲线坐标为自变量）点乘法 向量确定；应力张量的引出及相关结论基于四面体微元的受力分析。 ——第 6 周、第 7 周 3. 张量场的微分学Ⅱ ①Eddington 张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论 有：（a）有限维 Euclid 空间中 Eddington 张量、度量张量的偏导数都为零，对应 Eddington 张量及度量张量的所有分量其所有的协变导数均为零；相关结论又称为 Ricci 引理。（b） Euclid 空间中协变导数可以交换次序；涉及 Riemann－Christoffel 张量。④张量场的各 种场论恒等式。此处，我们直接在一般曲线坐标系下获得或者证明各种场论恒等式，此知 识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用，其知识要素包括：（a）Eddington 符号同 Kronecker 符号之间的关系；（b）Ricci 引理。注：此知识点所含知识要素很简要， 但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式，对理论及应用研究都 具有极其重要的作用。⑤应用事例：弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等 式的推演或证明。 ——第 8 周、第 9 周 4. 非完整基（一般文献常称为非完整系）理论 ①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度 的表达形式。当然此处的张量场梯度是在完整基（完整系）下定义的；现在要在非完整基 下获得张量场梯度（新的张量）的表达式，自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系。 非完整基理论，实际提供了一种“形式运算”，以最终获得非完整基下张量场梯度的表达 式，其主要步骤，包括：（a）相对于非完整坐标的形式偏导数；（b）非完整基下的形式第 二类 Christoffel 符号，形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定；（c）非完
整基下的形式协变导数,基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel符号。③ 完整基为正交基,非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下,获得非 整基下张量场梯度分量的形式运算变得十分简便。由此,为我们获得力学、物理上的各种 张量场在单位正交基(源于正交完整基的单位正交非完整基)下的分量表示提供了切实的 方法。④应用事例:张量场方程中典型项在常用单位正交基下的分量表示。典型项,如散 度项、对流导数项、源项( Laplace算子项)等;单位正交基,如柱坐标基、球坐标基 抛物双曲基等,都为非完整基 第10周 第三部分有限维 Euclid空间中张量场的微分学Ⅱ 此部分有限维 Euclid空间中张量场的微分学,主要涉及微分几何中的曲线论、曲面论基 本理论,并应用于张量场场论 基于曲线上标架的张量场场论① Frenet标架及其运动方程。基于有限维 Euclid空间之间 向量值映照的微分学以及相关张量恒等式,获得曲线上 Frenet标架及其运动方程;涉及 空间曲线曲率及挠率等。②对连续介质某时刻所占的空间位置(当前构型)中某曲线 Frenet标架展开张量场梯庋。此情形,完整基自然可为定义张量场梯度的基,而 Frenet 标架为非完整基,由此可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frene 标架的分量形式。⑧对某空间曲线上有定义的张量场(可以曲线参数为自变量),可计算 其对应曲线参数的导数(可认识为沿曲线的变化率)此情形,需利用 Frenet标架及其标 架运动方程。 第11周 基于曲面上标架的张量场场论①曲面的几何性质刻画。(a)曲面上的第一、第二类张量, (b) Gauss曲率及平均曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结 论。(c)曲面之斜截线及其曲率。(d)曲面之法截线、主法截线及其曲率。②曲面上标架 及其运动方程。基于有限维 Euclid空间之间向量值映照的微分学,类比于一般曲线坐标 系的概念建立,获得曲面上 Frenet标架及其运动方程。③曲面的半正交基。m维 Euclid 空间中某m-1维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向量(基于线性代数中齐次 线性方程组理论);籍此可定义基于曲面的半正交基,隶属完整基。上述基于曲面的半 交基的建立需要曲面是非褪化的,且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存 在,④对连续介质某时刻所占的空间位置(当前构型)中某曲面之标架协同法向量展开张 第6页共8页
第 6 页 共 8 页 整基下的形式协变导数，基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel 符号。③ 完整基为正交基，非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下，获得非完 整基下张量场梯度分量的形式运算变得十分简便。由此，为我们获得力学、物理上的各种 张量场在单位正交基（源于正交完整基的单位正交非完整基）下的分量表示提供了切实的 方法。④应用事例：张量场方程中典型项在常用单位正交基下的分量表示。典型项，如散 度项、对流导数项、源项（Laplace 算子项）等；单位正交基，如柱坐标基、球坐标基、 抛物双曲基等，都为非完整基。 ——第 10 周 第三部分 有限维 Euclid 空间中张量场的微分学Ⅱ 此部分有限维 Euclid 空间中张量场的微分学，主要涉及微分几何中的曲线论、曲面论基 本理论，并应用于张量场场论。 1. 基于曲线上标架的张量场场论 ①Frenet 标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间 向量值映照的微分学以及相关张量恒等式，获得曲线上 Frenet 标架及其运动方程；涉及 空间曲线曲率及挠率等。②对连续介质某时刻所占的空间位置（当前构型）中某曲线之 Frenet 标架展开张量场梯度。此情形，完整基自然可为定义张量场梯度的基，而 Frenet 标架为非完整基，由此可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frenet 标架的分量形式。③对某空间曲线上有定义的张量场（可以曲线参数为自变量），可计算 其对应曲线参数的导数（可认识为沿曲线的变化率）。此情形，需利用 Frenet 标架及其标 架运动方程。 ——第 11 周 2. 基于曲面上标架的张量场场论 ①曲面的几何性质刻画。（a）曲面上的第一、第二类张量。 （b）Gauss 曲率及平均曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结 论。（c）曲面之斜截线及其曲率。（d）曲面之法截线、主法截线及其曲率。②曲面上标架 及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的微分学，类比于一般曲线坐标 系的概念建立，获得曲面上 Frenet 标架及其运动方程。③曲面的半正交基。m 维 Euclid 空间中某 m－1 维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向量（基于线性代数中齐次 线性方程组理论）；籍此可定义基于曲面的半正交基，隶属完整基。上述基于曲面的半正 交基的建立需要曲面是非褪化的，且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存 在。④对连续介质某时刻所占的空间位置（当前构型）中某曲面之标架协同法向量展开张
量场梯度。此情形,即为基于曲面的半正交基展开张量场梯度,可直接按完整基的理论 行计算。然而,实际应用中可能是基于其它曲线坐标系获得张量场梯度,此时可利用不同 基下张量场分量的坐标转换关系获得张量场梯度基于曲面的半正交基的展开。③曲面上的 张量场。基于曲面上切空间中的协变基或逆变基以及法向量所构成的全空间中的基,所有 基向量均以曲面参数为自变量,由此可定义曲面上的张量场。进一步,可基于曲面标架及 其运动方程,获得曲面上的张量场相对于曲面参数的偏导数,亦即曲面上沿坐标曲线的变 化率 第12周、第13周 第四部分张量赋范线性空间上的微分学 本部分知识源于一般赋范线性空间上的微分学在张量赋范线性空间上的具体实践 张量赋范线性空间①张量线性空间上的范数。②不同阶张量赋范线性空间之间的映照, 简称为张量映照。③张量映照的极限。 张量映照的导数①若干种张量映照的一阶导数。基于张量映照的自身特点,其一阶导数 可由对应的更高阶张量表示。⑨张量映照的二阶及高阶导数。基于张量值映照的无隈小增 量公式,研究高阶导数一般可获得更高精度的近似。③张量值映照的隐映照定理及逆映照 定理。由于张量赋范空间具有完备性,故成立有张量值映照的隐映照及逆映照定理。可开 拓相关理论的实际应用 第14周、第15周 第五部分二阶张量(仿射量)的代数性质 仿射量的特征问题①仿射量特征问题的提法。包括:特征值,左、右特征向量,特征多 项式。②仿射量的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变 量的外积表示。⑨ Hamil ton- Cayle定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由 直至r阶的矩所。⑥矩以及主不变量关于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数; 再由主不变量同矩之间的关系,获得主不变量关于仿射量的导数。 仿射量的代数分解①平均分解。②极分解。 第16周、第17周 第六部分有限维 Euclid空间中张量场的积分学(张量场场论的积分学部分) 广义 Gauss-0 strogradskii公式基于微积分中 Gauss-0 strogradskii公式的指标形式, 获得一般张量场面积分一体积分间恒等式的推演方法 第7页共8页
第 7 页 共 8 页 量场梯度。此情形，即为基于曲面的半正交基展开张量场梯度，可直接按完整基的理论进 行计算。然而，实际应用中可能是基于其它曲线坐标系获得张量场梯度，此时可利用不同 基下张量场分量的坐标转换关系获得张量场梯度基于曲面的半正交基的展开。⑤曲面上的 张量场。基于曲面上切空间中的协变基或逆变基以及法向量所构成的全空间中的基，所有 基向量均以曲面参数为自变量，由此可定义曲面上的张量场。进一步，可基于曲面标架及 其运动方程，获得曲面上的张量场相对于曲面参数的偏导数，亦即曲面上沿坐标曲线的变 化率。 ——第 12 周、第 13 周 第四部分 张量赋范线性空间上的微分学 本部分知识源于一般赋范线性空间上的微分学在张量赋范线性空间上的具体实践。 1. 张量赋范线性空间 ①张量线性空间上的范数。②不同阶张量赋范线性空间之间的映照， 简称为张量映照。③张量映照的极限。 2. 张量映照的导数 ①若干种张量映照的一阶导数。基于张量映照的自身特点，其一阶导数 可由对应的更高阶张量表示。②张量映照的二阶及高阶导数。基于张量值映照的无限小增 量公式，研究高阶导数一般可获得更高精度的近似。③张量值映照的隐映照定理及逆映照 定理。由于张量赋范空间具有完备性，故成立有张量值映照的隐映照及逆映照定理。可开 拓相关理论的实际应用。 ——第 14 周、第 15 周 第五部分 二阶张量（仿射量）的代数性质 1. 仿射量的特征问题 ①仿射量特征问题的提法。包括：特征值，左、右特征向量，特征多 项式。②仿射量的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变 量的外积表示。④Hamilton－Cayle 定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由 直至 r 阶的矩所。⑥矩以及主不变量关于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数； 再由主不变量同矩之间的关系，获得主不变量关于仿射量的导数。 2. 仿射量的代数分解 ①平均分解。②极分解。 ——第 16 周、第 17 周 第六部分 有限维 Euclid 空间中张量场的积分学（张量场场论的积分学部分） 1. 广义 Gauss－Ostrogradskii 公式 基于微积分中 Gauss－Ostrogradskii 公式的指标形式， 获得一般张量场面积分－体积分间恒等式的推演方法
广义 Stokes公式基于微积分中 Stokes公式的指标形式,获得一般张量场线积分-面积 分间恒等式的推演方法 第18周 作业和考核方式: 平时成绩,约占30%,主要为课程所涉及的知识体系的自我整理,包括典型习题解答等 课程考试,约占70%,书面笔试,主要考察对相关思想及方法的掌握程度。今后亦可考虑增加 口试,但仍保留笔试 注:自2010-2011学年起,复旦教务要求最终评定,包括至少占30%的平时成绩。我们将此 政策联系与考核的加强,以期帮助促进学生实际的掌握. *如该门课为多位教师共同开设,请在教学内容安排中注明 **考虑到有时同一门课有不同院系的教师开设,请任课教师填写此栏。 第8页共8页
第 8 页 共 8 页 2. 广义 Stokes 公式 基于微积分中 Stokes 公式的指标形式，获得一般张量场线积分－面积 分间恒等式的推演方法。 ——第 18 周 作业和考核方式： 平时成绩，约占 30%，主要为课程所涉及的知识体系的自我整理，包括典型习题解答等。 课程考试，约占 70%，书面笔试，主要考察对相关思想及方法的掌握程度。今后亦可考虑增加 口试，但仍保留笔试。 注：自 2010－2011 学年起，复旦教务要求最终评定，包括至少占 30%的平时成绩。我们将此 政策联系与考核的加强，以期帮助促进学生实际的掌握。 *如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。 **考虑到有时同一门课有不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏
