《张量分析与微分几何基础》课程 教学研究与实践阶段总结性报告 2013年4月7日复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟 复旦大学力学与工程科学系 主要内容 ·力学学科特色:力学主要研究对象;力学与物理、数学之间的关系 数学、力学基础知识体系;课程《张量分析与微分几何基础》 现有教学研究与实践总结
《张量分析与微分几何基础》课程 教学研究与实践 阶段总结性报告 2013 年 4 月 7日 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 主要内容 • 力学学科特色：力学主要研究对象；力学与物理、数学之间的关系 • 数学、力学基础知识体系；课程《张量分析与微分几何基础》 • 现有教学研究与实践总结
力学同物理学的区别 力学主要面对对象:连续介质力学 如果物理学系所着力研究的事务需要“望远镜”(宇宙天体)和“显微镜 (粒子世界),则力学所着力研究的事务主要隶属宏观世界,包括:机械运动,材 料宏观性能,生命体中器官、组织等运动;这些事务的一个共同特点往往是所研究 的对象(亦即介质)在空间中呈连续分布形态,称为连续介质。 蔬水基团 生物膜「星体大气 最入腰中的蛋白质 K ar man 涡街 海面油污扩散
Karman涡街 生物膜 星体大气 海面油污扩散 力学同物理学的区别 —— 力学主要面对对象：连续介质力学 如果物理学系所着力研究的事务需要“望远镜”（宇宙天体）和“显微镜” （粒子世界），则力学所着力研究的事务主要隶属宏观世界，包括：机械运动，材 料宏观性能，生命体中器官、组织等运动；这些事务的一个共同特点往往是所研究 的对象（亦即介质）在空间中呈连续分布形态，称为连续介质
“按照近代观点,物理、化学、天体物理、地球 大物理科学 物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学 是物理科学的,数学又是所有学科的共同工具, 数 力学和数学原是科学发展史上的李生子,因此, 学 形象的可以认为,物理科学是一根梁,力学和数 学是它的两根支柱 谈镐生先生 数学是物理的一部分;物理是自然科学,且是实 验科学;数学是物理中“做实验”比较“便宜” 数 物理学 自然科学 的那部分。 (俄) V I. Arnold 量子力学 力学类同数学的关系 电动力学 力学具有历经长期发展的知识体系 理论力学 注重理论联系实际,既具数学的严谨又 白然世界 理性世界 学&数学 认角多 具物理的灵活,故在人才培养上具有卓 关思想及方法 越的优势 数学刻 连续介质力学 数学刻画 力学结合数学提供了我们认识自 控制力学 然及非自然世界的具有基础意义的系统 的思想和方法。 相关思想及方法 非自然世界 微积分+线性代数测度论 在此过程中,数学表现为认识自 然及非自然世界系统的思想及方法,而 层次 层非仅是逻辑过程
大 物 理 科 学 力 学 数 学 物 理 数学 自然科学 “按照近代观点，物理、化学、天体物理、地球 物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学 是物理科学的，数学又是所有学科的共同工具， 力学和数学原是科学发展史上的孪生子，因此， 形象的可以认为，物理科学是一根梁，力学和数 学是它的两根支柱。” —— 谈镐生先生 数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实 验科学；数学是物理中“做实验”比较“便宜” 的那部分。 —— （俄）V.I.Arnold 力学类同数学的关系 —— 力学具有历经长期发展的知识体系， 注重理论联系实际，既具数学的严谨又 具物理的灵活，故在人才培养上具有卓 越的优势 。 —— 力学结合数学提供了我们认识自 然及非自然世界的具有基础意义的系统 的思想和方法。 —— 在此过程中，数学表现为认识自 然及非自然世界系统的思想及方法，而 非仅是逻辑过程
R上微分学 a,b上 Riemann积分 教学 路径 武上 Jordan可测集上 Riemann积分 微积 R上微分学 分的 (R"中微分流形上微分学 R"上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 一流 化进 (R中微分流形上积分学) 程 一般赋范线性空间上微分学 □般集类上测度及积分 教学路径:理性力学观点下,基于现代几何学的连续介质力学基本理论及其实践 基本理论课程 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 固体力学 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 固体力学基础 血液动力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形 流体力学 涡量与涡动力学基础|涡量空气动力学
Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 涡量与涡动力学基础 固体力学基础 涡量空气动力学 弹塑性力学 生物力学基础 基本理论课程 生物力学 血液动力学 流体力学 固体力学 1上微分学 m m 上微分学 中微分流形上微分学 一般赋范线性空间上微分学 a,b 上Riemann积分 m 上 可测集上 积分 Jordan Riemann m m Lebesgue Lebesgue 上 测度及 积分 （ 中微分流形上积分学） 一般集类上测度及积分 教学 路径： 微积 分的 一流 化进 程 教学路径：理性力学观点下，基于现代几何学的连续介质力学基本理论及其实践
郭仲衡所著《张量(理论和应用)》郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 知识体系 ①张量的代数性质(张量定义为多重线性映照)①有限变形理论(连续介质几何形态默认为 ②仿射量的基本性质(基于外积运算) Euclid流形)。理论框架上分别对初始物理构 ③张量值映照微分学(合各向同性张量值映照的形以及当前物理构形引入曲线坐标系,理论发 表示理论等) 展上按变形梯度及其基本性质,变形刻画,输 ④微分几何中曲线论与曲面论的基本内容(主要运方程,守恒律方程等。 包括局部标架及其运动方程) ②有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学 ⑤现在几何学中相关思想及方法(包括基于同态若干典型事例的半解析求解 映照的推前及拉回,Lie导数, Hodge星算子,内 ③变分原理。 导数,外微分以及相关运算之间的关系),对此 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念,但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 郭先生书著的特点:(1)严谨性,各层 形上的分析,且数学分析上非常清晰 面微分学;(2)现代性,联系现代几何学 ⑥张量分析在连续介质中应用(几何形态默认为 值得指出,基于《张量(理论和应用)》 Bucd流形),包括变形刻画,输运方程;另涉所裁张量分析的知识体系,研习《非线性弹性 及同态扩张以及Le导数等在连续介质力学中的应理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 用,但书著中未对这部分内容做深入阐述 上的困难
① 张量的代数性质（张量定义为多重线性映照） ② 仿射量的基本性质（基于外积运算） ③ 张量值映照微分学（含各向同性张量值映照的 表示理论等） ④ 微分几何中曲线论与曲面论的基本内容（主要 包括局部标架及其运动方程） ⑤ 现在几何学中相关思想及方法（包括基于同态 映照的推前及拉回，Lie导数，Hodge星算子，内 导数，外微分以及相关运算之间的关系），对此 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念，但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 形上的分析，且数学分析上非常清晰。 ⑥ 张量分析在连续介质中应用（几何形态默认为 Euclid流形），包括变形刻画，输运方程；另涉 及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中的应 用，但书著中未对这部分内容做深入阐述。 郭仲衡所著《张量（理论和应用）》 知识体系 郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 ① 有限变形理论（连续介质几何形态默认为 Euclid流形）。理论框架上分别对初始物理构 形以及当前物理构形引入曲线坐标系，理论发 展上按变形梯度及其基本性质，变形刻画，输 运方程，守恒律方程等。 ② 有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学 若干典型事例的半解析求解。 ③ 变分原理。 —— 郭先生书著的特点：（1）严谨性，各层 面微分学；（2）现代性，联系现代几何学 —— 值得指出，基于《张量（理论和应用）》 所载张量分析的知识体系，研习《非线性弹性 理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 上的困难
复旦大学开设《张量分析与微分几何基础》基本知识体系 1.张量定义及其基本代数性质§11多重线性函数§12张量表示形式§13基 本代数运算 2.有限维 Euclid空间上张量场场论§21曲线坐标系§23.1基本理论§232 应用事例§2.2张量场可微性§2.3场论恒等式§23.1基本理论§232应用 事例§24积分关系式§24.1面积分与体积分之间的关系式§242动量导数 矩关系式§2.5曲线上张量场场论§2.5.1 Frenet标架及其运动方程§252曲 线上张量场微分学§26非完整基理论§23.1基本理论§232应用事例理论 发展:当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 3.三维 Euclid空间中光滑曲面上张量场场论§31曲面基本几何性质S311 基本形式§312曲率§3.12曲面上标架及其运动方程§32曲面上张量场场 论§32.1 Riemann- Christoffel张量§322曲面上张量场微分学§3.3积分 关系式§3.3.1线积分与面积分之间的关系式§3.3.2应用事例理论发展:几何 形态为曲面的连续介质的有限变形理论 4.张量代数性质§41置换算子§42外积运算§43仿射量特征问题§44仿 射量分解§4.5曲面仿射量基本性质 5.张量映照的微分学§51范数与极限§52可微性与导数§53隐映照定理与 逆映照定理 6.微分流形上的张量场§61微分流形§62张量丛§63微分运算
1. 张量定义及其基本代数性质 §1.1 多重线性函数 §1.2 张量表示形式 §1.3 基 本代数运算 2. 有限维Euclid空间上张量场场论 §2.1 曲线坐标系 §2.3.1 基本理论 §2.3.2 应用事例 §2.2 张量场可微性 §2.3 场论恒等式 §2.3.1 基本理论 §2.3.2 应用 事例 §2.4 积分关系式 §2.4.1 面积分与体积分之间的关系式 §2.4.2 动量导数 矩关系式 §2.5 曲线上张量场场论 §2.5.1 Frenet标架及其运动方程 §2.5.2曲 线上张量场微分学 §2.6 非完整基理论 §2.3.1 基本理论 §2.3.2 应用事例 理论 发展：当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 3. 三维Euclid空间中光滑曲面上张量场场论 §3.1 曲面基本几何性质 §3.1.1 基本形式 §3.1.2 曲率 §3.1.2 曲面上标架及其运动方程 §3.2 曲面上张量场场 论 §3.2.1 Riemann-Christoffel张量 §3.2.2 曲面上张量场微分学 §3.3 积分 关系式 §3.3.1 线积分与面积分之间的关系式 §3.3.2 应用事例 理论发展：几何 形态为曲面的连续介质的有限变形理论 4. 张量代数性质 §4.1 置换算子 §4.2 外积运算 §4.3 仿射量特征问题 §4.4 仿 射量分解 §4.5 曲面仿射量基本性质 5. 张量映照的微分学 §5.1 范数与极限 §5.2 可微性与导数 §5.3 隐映照定理与 逆映照定理 6. 微分流形上的张量场 §6.1 微分流形 §6.2 张量丛 §6.3 微分运算 复旦大学开设《张量分析与微分几何基础》 基本知识体系
《张量分析与微分几何基础》知识体系传授基本理念 基本理念 ①“正本清源”表现为澄清知识体系的来龙去脉,按内在逻辑关系厘 清体系以此替代对具体结论的“形式上记忆”。 ②“温故而知新”表现为主要基于微积分及线性代数知识体系发展张量 分析与微分几何基础知识体系。本科三年级学生就可修读。 ③“理论联系实际”表现为将相关理论直接联系于理论力学、流体力学、 弹性力学等课程,使得学生充分体会由抽象至具体的过程,帮助理解并提高 兴趣;同时直接服务于专业学习
《张量分析与微分几何基础》知识体系传授 基本理念 基本理念 ①“正本清源” 表现为澄清知识体系的来龙去脉，按内在逻辑关系厘 清体系以此替代对具体结论的“形式上记忆”。 ②“温故而知新” 表现为主要基于微积分及线性代数知识体系发展张量 分析与微分几何基础知识体系。本科三年级学生就可修读。 ③“理论联系实际” 表现为将相关理论直接联系于理论力学、流体力学、 弹性力学等课程，使得学生充分体会由抽象至具体的过程，帮助理解并提高 兴趣；同时直接服务于专业学习
83(x) Curvilinear-coordiante 83(x) 分成温 X(r)ECP(D D,) 82(x) 胚 线 g1(xa 坐 标 故而知新 g2 gt 系 local Co var iant-Basis DY(x)=[81,82:3](x) 微 x Problem 1(Practices on Orthogonal Curvilinear Coordinates) To study the following curvilinear coordinate that sets up the diffeomorphism between a cube in the parametric space and a filled torus in the physical space (B+ srcos)cosφ 摘自2012 (x):另3x=0→叫=x2(,n)=(R+5rcos)sino 2013学年第 s·rsin 学期试卷 where2={5,0,v∈(0,1,0∈(0,2x,∈(.,2m)}, R and r are constants I. To Calculate the Fundamental Geometric Quantities 1. To calculate the jacobian matrin of the above vector valued mapping and to confirm that this is an orthogonal coordinates 2. To sketch the coordinate curves and the local vectors of variant basis
1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1 a g x 2 a g x 3 a g x 1 x 2 x 3 x o ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD 123 var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x 1 x 3 x 1 d g x 3 d g x 2 d g x 3 x 1 x 温故而知新 —— “曲线坐标系” ～ 微 分同胚 摘自 2012－ 2013学年第一 学期试卷
=(x1)g,8g1g4(x2,1) 张量场分析 参数区域 x-曲线、3() =(2)818g88,) 映照观点 曲线 81(x2) (r xm一曲线 局部基,张 8(B, 1) 量场梯度基 xm一曲线 ∠曲线 曲线 于局部基的 物理区域 展开 x-曲线 曲线坐标X=X(x,) ↑R(2,)rx(xn D 2 X(x,)D3x=|0 X 4>F →X(x)=Xx2(x, X 当前物理构型 当前参数构型 R(0,p, ) - rsin 8.cos p (边界可变形) (边界始终固定) AR(9, 1)- rsin @sin p R(0,o, 1).rcos 0
1 , a g xt 1 x 曲线 2 x 曲线 m x 曲线 a b , m a g xt 2 , a g xt m x o 2 x a 1 x 曲线 2 x 曲线 b 1 x m x 曲线 物理区域 参数区域 X1 曲线坐标 , X X xt m X 2 X o 1 , b g xt 1 x 曲线 2 , b g xt 2 x 曲线 , m b g xt m x 曲线 , , ik j j a i ka xtg g g xt , , ik j j b i kb xtg g g xt 张量场分析 — 映照观点 局部基，张 量场梯度基 于局部基的 展开 x z o o r Dxyz D r R tr , , y 1 2 1 2 3 X,: X, , , , sin cos , , sin sin , , cos r r xt D x X xt X xt X R tr R tr R tr X , x t 当前物理构型 （边界可变形） 当前参数构型 （边界始终固定）
正本清源 83(ra 可微性”~张 Curvilinear-coordiante 量场梯度 X(x)ECP(D: D,) 782(x local Co variant-Basis D()=18 张量场Φ(x)=;(x)g,8g8(x)∈7'(R) a V∴(x+△x)=VΦ;(x)+ a(x)Ax2+o(4x)∈R 多元函数可微性 g(x+A)=g1(x)+(x)△x2+0(Ax)=8(x)+(x)g1(x)△x+o(△)∈R 向量值映照可微性 g(x+Ax)=g(x)+8(x)△x+o(△x)=g(x)-r(x)g(x)△x+o(△x)∈R 567849-19:90000张量范数 c(x+△)=()+c:(8g8()+(△)∈r(")微分的梯度表示 =o(x)+Vc(x)g,8g′⑧g⑧g(x)[△xg1(x)]+o(△x)=o(x)+(8V)(x)△X+0(△x)
1 i k ik ik s j lj lj s x x x xx ox x 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1 a g x 2 a g x 3 a g x 1 x 2 x 3 x o ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD 123 var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x 1 x 3 x 1 d g x 3 d g x 2 d g x 3 x 1 x 正本清源 —— “可微性”～ 张 量场梯度 多元函数可微性 i s t sm i i i si t s j j j s j jt s m s st g g x x g x x x o x g x xg x x o x x g g x x g x x x o x g x xg x x o x x 向量值映照可微性 1 3 1 ; p m m m m pm p i i T T i i 张量范数 3 = = ik j l m lj i k ik j l q lj i k q x x x xg g g x x o x T x x g g g g x xg x o x x x X o x 3 : ik j m ji k x xg g g x T 张量场 微分的梯度表示
