2012年全国现代数学与力学学术会议：基于郭仲衡先生有关现代张量分析及有限变形理论知识 体系所开展的教学与研究的若干体会 ——相关教学与研究工作

第十三届现代数学和力学学术会议( MMM-XI 暨钱伟长先生诞辰100周年纪念大会 2012年10月6-8日 基于郭仲衡先生有关现代张量分析及有限变形理论知识 体系所开展的教学与研究的若干体会 相关教学与研究工作谨纪念郭仲衡先生 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟

第十三届现代数学和力学学术会议（MMM-XIII ） 暨钱伟长先生诞辰100周年纪念大会 2012 年10 月 6 － 8 日 基于郭仲衡先生有关现代张量分析及有限变形理论知识 体系所开展的教学与研究的若干体会 —— 相关教学与研究工作 谨纪念郭仲衡先生 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟

郭仲衡所著《张量(理论和应用)》郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 知识体系 ①张量的代数性质(张量定义为多重线性映照)①有限变形理论(连续介质几何形态默认为 ②仿射量的基本性质(基于外积运算) Euclid流形)。理论框架上分别对初始物理构 ③张量值映照微分学(含各向同性张量值映照的形以及当前物理构形引入曲线坐标系,理论发 表示理论等) 展上按变形梯度及其基本性质,变形刻画,输 ④微分几何中曲线论与曲面论的基本内容(主要运方程,守恒律方程等。 包括局部标架及其运动方程 ②有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力 ⑤现在几何学中相关思想及方法(包括基于同态 学若干典型事例的半解析求解。 映照的推前及拉回,Lie导数, Hodge星算子,内 导数,外微分以及相关运算之间的关系),对此 ③变分原理。 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念,但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 值得指出,基于《张量(理论和应用)》 形上的分析,且数学分析上非常清晰。 所载张量分析的知识体系,研习《非线性弹性 张量分析在连续介质中的基本应用(几何形态理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 默认为 Euclid流形),包括变形刻画,输运方程:上的困难。 另涉及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中 的应用,但书著中未对这部分内容做深入阐述

① 张量的代数性质（张量定义为多重线性映照） ② 仿射量的基本性质（基于外积运算） ③ 张量值映照微分学（含各向同性张量值映照的 表示理论等） ④ 微分几何中曲线论与曲面论的基本内容（主要 包括局部标架及其运动方程） ⑤ 现在几何学中相关思想及方法（包括基于同态 映照的推前及拉回，Lie导数，Hodge星算子，内 导数，外微分以及相关运算之间的关系），对此 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念，但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 形上的分析，且数学分析上非常清晰。 ⑥ 张量分析在连续介质中的基本应用（几何形态 默认为Euclid流形），包括变形刻画，输运方程； 另涉及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中 的应用，但书著中未对这部分内容做深入阐述。 郭仲衡所著《张量（理论和应用）》 知识体系 郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 ① 有限变形理论（连续介质几何形态默认为 Euclid流形）。理论框架上分别对初始物理构 形以及当前物理构形引入曲线坐标系，理论发 展上按变形梯度及其基本性质，变形刻画，输 运方程，守恒律方程等。 ② 有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力 学若干典型事例的半解析求解。 ③ 变分原理。 —— 值得指出，基于《张量（理论和应用）》 所载张量分析的知识体系，研习《非线性弹性 理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 上的困难

R上微分学 [a,可]上 Riemann积分 Rm上 Jordan可测集上 Rieman积分 教学路径 Rm上微分学 微积分的 (R中微分流形上微分学 R上 Lebesgue测度及 LEbesgue积分 流化进程 (R中微分流形上积分学) 一般赋范线性空间上微分学 般集类上测度及积分 基本理论课程」 教学路径 理性力学观 物力学 Euclid空间中的张量分析与微分几何 固体力 点下,基于 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 固体力学基础 现代几何学 血液动力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 的连续介质 (物质系统:Eucd流形,非 Euclid流形) 力学基本理 论及其实践 流体力学 涡量与涡动力学基础‖涡量空气动力学 一般赋范空间上微分学应用于张量场映照、张量映照相关结论 有限变形理论的一些进展:①当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论(连续 介质几何形态为 Euclid流形);②几何形态为曲面( Rieman流形)的连续介质力学的有限变 形理论(另有报告涉及)

Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 涡量与涡动力学基础 固体力学基础 涡量空气动力学 弹塑性力学 生物力学基础 基本理论课程 生物力学 血液动力学 流体力学 固体力学 1上微分学   m m   上微分学 中微分流形上微分学 一般赋范线性空间上微分学   a,b 上Riemann积分 m  上 可测集上 积分 Jordan Riemann m m  Lebesgue Lebesgue  上 测度及 积分 （ 中微分流形上积分学） 一般集类上测度及积分 教学路径： 微积分的一 流化进程 教学路径： 理性力学观 点下，基于 现代几何学 的连续介质 力学基本理 论及其实践 • 一般赋范空间上微分学应用于 张量场映照、张量映照 相关结论 • 有限变形理论的一些进展：① 当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论（连续 介质几何形态为 Euclid流形）；② 几何形态为曲面（Riemann流形）的连续介质力学的有限变 形理论（另有报告涉及）

“可微性” 83(ra Curvilinear-coordiante 张量场梯度(仅适 用于 Euclid流形) X(x)ECP(D: D,) 782(x local Co variant-Basis D()=18 张量场Φ(x)=;(x)g,8g8(x)∈7(R) a V∴(x+△x)=VΦ;(x)+ a(x)Ax2+o(4x)∈R 多元函数可微性 g(x+A)=g1(x)+(x)△x2+0(Ax)=8(x)+(x)g1(x)△x+o(△)∈R 向量值映照可微性 g(x+Ax)=g(x)+8(x)△x+o(△x)=g(x)-r(x)g(x)△x+o(△x)∈R 567849-19:90000张量范数 c(x+△)=()+c:(8g8()+(△)∈r(")微分的梯度表示 =o(x)+Vc(x)g,8g′⑧g⑧g(x)[△xg1(x)]+o(△x)=o(x)+(8V)(x)△X+0(△x)

      1 i k ik ik s j lj lj s x x x xx ox x                  1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h   1 a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x   1 d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x “可微性”—— 张量场梯度（仅适 用于Euclid流形） 多元函数可微性                       i s t sm i i i si t s j j j s j jt s m s st g g x x g x x x o x g x xg x x o x x g g x x g x x x o x g x xg x x o x x                               向量值映照可微性     1 3 1 ; p m m m m pm p i i T T i i                      张量范数                              3 = = ik j l m lj i k ik j l q lj i k q x x x xg g g x x o x T x x g g g g x xg x o x x x X o x                                               3 : ik j m ji k      x xg g g x T  张量场   微分的梯度表示

Curve 完整基 完整基1 Cun Curve 83 82 张量场“二点 表示形式”下 81 导数,完整基 e 及非完整基下 Curve x-Cmve|张量梯度计算 4) 非完整基 X非完整基 Lagrange euler p(x,)=,B(5(x,1),x,)g,(x,)8g(x,1)8G(5(x,1)8G(5(x,) cp(5,1)=B(5,x(5,1),l)g(x(5,1),)8g(x(5,),1)8G4()8G°(5) c(x)=[0(x)x)=0(:(x0x)+85(x)a(()x)复合映照求导 =|Vc,((x)x2)+2(x1)V21(5(x1,x1)g:(x)8g(x)8G(5)G(F) 吗Φ(5,1)g;(x)③g(x,1)8G(5)③G(5) c8p=aa(5x)g(x)8g(x)g(x)⊙G(4)8()[基转换关系 o"oo2(,x,)g0(x)8g01(x)8g"(x)8G()8(5) a:() rocCI OfR L) a20V④)( ()(B) where

                          , , ,, , , ,, ,, ,, ,, , , iA j B j iA j B j Bi A Bi A xt xt xt g xt g xt G x t x t tg x t t g x t t t G G G x t                         o 1 X  2 X  3 X  1  Curve 2  Curve 3  Curve G1 G2 G3 o 1 X 1 x Curve  2 x Curve  3 x Curve  1 g 2 g3 g 2 X 3 X G  A  l g 非完整基 非完整基 完整基 完整基                                       , , ,, , ,, , , ,, , , , , , , , , , : , , , L l l l lL L iA iA j B l jB L jB i A l iA j B l jB i A xt xt xt xt xt xt xt xt xx x x xt xt xt xt xt g xt g xt G G x t g xt g xt G G                                                                                                                                         ,, , , , , , , , , , where , L iA l j B l jB i A iA l j B l jB i A L L R iA iA iA L t l jB l jB jB l l l R t xt g xt g xt g xt G G xt g xt g xt g xt G G C C xt x x x                                     张量场“二点 表示形式”下 导数，完整基 及非完整基下 张量梯度计算 Lagrange & Euler 复合映照求导 基转换关系

基本关系式一一整体形式 Φ=①+∈T"(R"),平=平+W∈r(R),有: 平-(a)=(平+0)-(u8(④+)=甲。-(a8面)+V°-(a8) 基本关系式一一分量形式 ag +Id-rsΦ 应用事例:基于非完整基理论推 导湍流脉动平均量方程在各种 不可压缩RANS整体形式 “单位正交基”下的分量形式 a(v⑧ 0"4(x)+8() ②v⑧v m8)(8p)+Re△8(v8)湍流扩散+分子扩散 Re ⑧v(口⑧U)+{U∞a)v8/2 Re(@D)(001 生成+耗散 P(v②+口8y 压力变形

                . . . . . , pm qm i i i s si i j l j ls j lj s l j l T T x                                             基本关系式——整体形式 基本关系式——分 ，有： 量形式                       , 1 Re 2 Re RANS + + v v xt U v v t v v v pv I I pv v v vv U U vv v v pv v                                                 不可压缩 整体形式 湍流扩散 分子扩散 生成 耗散 压力变形 应用事例：基于 非完整基理论 推 导 湍流脉动平均量方程 在各种 “单位正交基”下的分量形式

目标函数(.y)∈R,此处中eT"(")甲er() 带有张量约束的张 量函数极值问题 张量约束」x=(y)r(2")xr(2)()=0∈r(g" 基于隐映照 (,甲) 定理的分析 B2()×B2() ①∫(0,甲)=0∈T( B2()×B2()n f Φ0,平0)∈L(T(Rm);T(Rm ap B2(Φ) 0()=0(,n(c) de n()+(n()ln() 06 (,7()9(n() d ,n() ,n() ayp cn()-0 py.n()/9 f (,().%( Φ,n(Φ)=0∈TP(R ap Lagrange乘子法 L()=(①,平)+⊙f(,甲)=6(,甲)+21(①平)∈R

o B   0 B B       0 0   0 0 B B     0 0           p m T    q m T      ˆ     : ,     , 带有张量约束的张 量函数极值问题   , ,    p m qm         此处 ， T T :, ,0             pm qm rm        T Tf T                                                 1 1 ˆ , , , , , , , , , , 0 p m d d d d f f q r f f T                                                                                         目标函数 张量约束           1 1 ,; : , , , , r r i i L ff               i i     Lagrange 乘子法 基于隐映照 定理的分析           0 0 0 0 , 0 , ; r m qm rm f T f LT T          ① ②

初始物理构形V当前物理构形Vx 动力系统{d (5)=F(9(5x)) Euclid空 运动刻画x2=x2(x,1)=q(5) 间中曲面 曲面方程:X(x2) 上的Lie gi 导数 初始参数构形当前参数构形 曲面张量场」4(x)=(x)g8(x)∈T(T2)(,)()年9(x)中,(x)g( 的L导数40()m(,小)(5)-中(≤) 按坐标转换 r→lo t-to Orr()aE(xG,8G(5s) G (5)(x-5)+0(x5)=[a%+Pr(-6)+0(-6)]G+[ph(-6)+a(-4)n (3261(2()(,0 按可微会(1)=P口中(5)G③G()+Pb,n8G(组)+Pb中,G8n(5) 性的物 质导数 LΦ()+Vbdn8G(5)+卩bG28n(5)

     i j 2 j i x xg gx TT           Euclid空 间中曲面 上的Lie 导数 曲面张量场 按可微 性的物 质导数 按坐标转换 的Lie导数        0 * 0 lim t V t t L t t                              * * i j t t ji p j i q j p i q x xg gx x x x xG G x                                                               00 00 * 0 0 p l q lq l p p p lp q lp l q q q tp q p q p p G g x G x o x V t t ot t G Vb t t ot t n V g G t t ot t G x                                                                                   , l p q l s q ls p ls l q p q l sp l s q ls p ls V q l sp t V G G Vb n G Vb G n t L Vb n G Vb G n                                             

内射流边界 外射流边界 X(x,1)Dm×R3{x}={0 R(7) 5·R(m,5,1)cosn H(X(x, ),=x2(x, 1),4(=5.R(n,s, 1) sinn I, 内射流边界 X 外射流边界 时当 间前 的物 XF)×(o+7) 有理 初始构型曲线坐标系 限构 变形 形理论 对应之典 bo 本线 组坐 x 当前构型曲线坐标系 一标系显含 V×(0,+7) 51)x(x)∈C(x(x+7),x(o4+7) o

t t  0 t 0t t t  0 t 0t 1 X 1 X 1 X m X m X m X 1 x m x 1 x m x 1 x m x  X     X xt   , x t   ,   , p X CVV  X           初始构型曲线坐标系      00 00 , , , , t t p X xt C V t t T V t t T x          当前构型曲线坐标系   0 0 , tV tt T     0 0 , t V tt T x  1 X o  DPar   1 2  H o 2 X 3 X DPhy 外射流边界 内射流边界 R t   , r t   , 外射流边界 内射流边界              + 1 2 3 X,: , , , , cos X , , , , , , sin , r r xt D xt t X Rt x t t X xt t R t t X                                                                          时间的有限变形理论 当前物理构形对应之曲线坐标系显含 （本组）

“构形”建立及其“曲线坐标系”(显含时间的微分同胚);变形梯度定义 初始物理构形 当前物理构形 g2(x(5,)) G2() >x2-曲线 曲线 x81(x(5), G(56) 53-曲线 x-曲线 2-曲线 6n) 83(x(52,)) 当前构型曲线坐标 初始构形曲线坐标 X=X(x,) >X2 X=X(5) ↑x2-曲线 53-曲线 曲线 线 初始参数构形 曲线当前参数构形 曲线 当前x(x(+△))-X(4))2(59(x,)△EAa(:(x1)86()(△2(5) 前物理构形 ÷F·r 初始物理构形 51)g,(x1)8G(5)动制物理形

1 X  o G1   b   1  曲线 2  曲线 3  曲线 a b G3   a   G2   a   1     , , a gx tt   1 x 曲线 2 x 曲线 3 x 曲线 a b 3     , , a gx tt   2     , , a g x tt   1  3  o 2  a 1  曲线 3  曲线 2  曲线 b 3 x o 2 x a 1 x 曲线 2 x 曲线 b 1 x 3 x 曲线 初始物理构形 当前物理构形 初始参数构形 当前参数构形 X X       初始构形曲线坐标 , X X xt    当前构型曲线坐标                         , , ,, , , , , i i A AB ab i iB i A A A ab ab ab A i x x x F tg x r X x t X x t t g xt t g xt G G rr r t G                                               当前物理构形 当前物理构形 初始物理构形 初始物理构形 X1 X3 o X2 3 X  2 X  —— “构形”建立及其“曲线坐标系”（显含时间的微分同胚）；变形梯度定义