2010年全国力学课程论坛：基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践

基于现代张量分析的连续介质力学理论 及其在流体力学中的实践 复旦大学力学与工程科学系谢锡麟 Xiexilinafudan. edu.cn 2010年11月四川成都 主要内容 ·《张量分析与微分几何基础》,36-54学时 《连续介质力学基础》,54学时 《涡量与涡动力学基础》,54学时

基于现代张量分析的连续介质力学理论 及其在流体力学中的实践 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2010 年11 月 四川成都 主要内容 • 《张量分析与微分几何基础》，36－54 学时 • 《连续介质力学基础》，54 学时 • 《涡量与涡动力学基础》，54学时

实践1:《张量分析与微分几何基础》—充分利用微积分①微分同胚~曲线坐标系 ②张量值场可微性定义 g,(x.)x3 Curvilinear-coordiante 83 d x(x)∈C(DD,) g2(x) g2( 81(x K/ local Co variant-Basis )=[g1282,83] XI 张量场Φ(x)=Vc;(x)g,g⑧g4(x)∈T(")可微性,分析要素 多元函数:Vp:(x+△x)=V(x)+(x)Ax2+0(△x)∈R 向量值映照:g(x+△x)=g(x)+28(x)△x2+0(△x)=g,(x)+r(x)g,(x)△x+0(△x)∈Rm 向量值映照:g(x+△x)=g(x)+8(x)△x2+o(△Ax)=8(x)-r(x)g(x)Ax2+0(△x)∈R 简单张量范数:k8n③5(g)=kmkl (x+△x)=(x)+Vp:(x)g,8g′8g(x)△x+o(△x)eT(R =(x)+[va:(x)8;g88g(x)[Arg(x)+o(△x)=(x)+(v)(x)△x+(△x)

实践1：《张量分析与微分几何基础》——充分利用微积分 ① 微分同胚～曲线坐标系； ② 张量值场可微性定义                                                 3 1 : i k j m l j i k i k i k i k s j l j l j s i s t s m i i i si t s j j j s j j t s m s st x x g g g x T x x x x x o x x g g x x g x x x o x g x x g x x o x x g g x x g x x x o x g x x g x x o x x                                                      张量场 可微性，分析要素： 多元函数： 向量值映照： 向量值映照： 简单                                3 3 = = m m m m T i k j l m l j i k i k j l q l j i k q x x x x g g g x x o x T x x g g g g x x g x o x x x X o x                                                    张量范数: 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h g x 1  a  g x 2  a  g x 3  a  1 x 2 x 3 x o    ;  p x y Curvilinear coordiante X x C D D      1 2 3   var : , , local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x g x 1  d  g x 3  d  g x 2  d  3 x 1 x

以方法论的思想梳理和掌握理论二思想+方法(应用),正本清源、格物致知」 - Euclid空间中场论恒等式的推导 (x)=(=“(x)gg,③g(x)=V,∈“(x)g,g,8g(x)=0 1. Ricci引理: G (x)=(g,(x)g'8g(x)=v,, (x)g'0g'(x) 3 Euclid空间基本性质:V2v=VV 完整系下定义的张量梯度在非完整下的表示 基本依据: V8中(x)=V:(x)g8g881g()=voa((x)ggAg8g0 此处:votp(x)=CCaC"(x)v;(x) 分析思想: 1形式导数:0=Cl () 2. Christoffelf: rae(x) =ckclacie(x) rf (x)-Cla Cie(x). a(x) 3协变导数:(3)=00(x)+m(人a,(+/mnpm (),(y)

—— 以方法论的思想梳理和掌握 理论＝思想 + 方法（应用），正本清源、格物致知                       0 1.Ricci 0 2. 3. ijk ijk l l i j k l i j k i j i j l l ij l ij ijk j k k j ipq p q p q p q q p x x g g g x x g g g x x x G x g x g g x g x g g x x x Euclid                                         ——Euclid空间中场论恒等式的推导 引理： 空间基本性质：                                                                                  : : . : 2. : 3. i k l j l j i k l j i k i k l j l l i j k i j j k ij i x x g g g g x x g g g g x x C C C C x x C C Christoffel x C C C x x C C x x x                                                             ——完整系下定义的张量梯度在非完整下的表示 基本依据： 此处： 分析思想： 1形式导数： 符号： 协变导数：                                                        x x x x x :                                       

曲面分析基本知识基于数学通识 aX/、OX A∈PSwm G AGI 同时对角化:V G非奇异,st B∈S B…B 2切空间:T=9m(8(9()=9mn图()(8,g)=)厂 3曲面标架运动方程。/(x)=/()2()+b(x))=rn()(x)+b()n() (x)=b(x)g(x)=b()g,(x), where b =gbk Boundany of the B X(: D x(x)=x2(x)=(x,x)+xn( x(x) D x'-Cinve

3 X 1 X 2 X o 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 3 g 2 g 2 g 2 g 3 g 3 g 3 g   1 2  x x, Boundary of the Body 1 x Curve  2 x Curve  3 x Curve            1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 3 X : X , , x x X x D x x x X x x x x n x x x X                             o 1 x 3 x Dx 2 x X x                     2 1 1 1 , A G AG=I 1. , , s.t. G BG= , , , 2. T | , T ij i i m T T m ij i j i i i x i j j i i i X X A g x x PSym x x G B Sym X B b x n x x x X span g x x span g x g g x                                                                                 m-1 同时对角化： 非奇异 切空间：                             , 3. , : i k k j ji k ji ji k ji j i i ik j ji j i j k g x x g x b x n x x g x b x n x x n x b x g x b x g x where b g b x                    m-1 曲面标架运动方程： —— 曲面分析基本知识 基于数学通识

实践2:基于《张量分析与微分几何基础》,按理性力学观点研习《连续介质力学基 础》一有限变形理论等 X A 初始构型曲线坐标系 X(5)∈C|v,vx 当前构型曲线坐标系 x(5 X(x,)∈C[v2×R+,FxR t>t 按现代航空航天等新兴发展趋势,着力研究显含时间的微分同胚(适用于研究可 变形边界的流固耦合问题),以此为出发点,以郭仲衡著《非线性弹性理论》相 关内容为参照,澄清当前构形曲线坐标系显含时间情形相应的结果

实践2：基于《张量分析与微分几何基础》，按理性力学观点研习《连续介质力学基 础》—— 有限变形理论等 • 按现代航空航天等新兴发展趋势，着力研究显含时间的微分同胚（适用于研究可 变形边界的流固耦合问题），以此为出发点，以郭仲衡著《非线性弹性理论》相 关内容为参照，澄清当前构形曲线坐标系显含时间情形相应的结果。 t t  0 t 0 t t t  0 t 0 t 1 X 1 X 1 X m X m X m X 1 x m x 1 x m x 1 x m x  X   X x t  ,  x t ,    , p X C V V  X         初始构型曲线坐标系  , ,  t t p X x t C V V x x            当前构型曲线坐标系

张量“二点形式”①注重“数学通识”,澄清一般有限变形理论的基本内容, 经实践可以使得相关问题叙述更为本质和清晰。如,郭仲衡所提“两点张量”,实际 可理解为张量的“二点(表示)形式”②追求“融会贯通、触类旁通”,如推导张 量梯度在“二点形式”下的非完整系表示理论,。。。 Curve G 8382 X G 81 une Curve x-Curve oo ① (x2)=。[c(5(x1)x)]=(5(x)x) d Vc2(5(x.x()+(x)V(5(x2.x)0(x)g(x1)8Gn(5)sG(5) a(5(x)x)80(x)8g(x)8G(5)8G(5 n@d=吗(5,x,1)g(x,1)8g(x)③g(x,1)8G4()G(5) 0a(x2)g(x)880(x1)8g(x,)8Gn1(5)8G(5) L (L) ()(4) )(4) where aCcI OfR (x2)

—— 张量“二点形式” ① 注重“数学通识”，澄清一般有限变形理论的基本内容， 经实践可以使得相关问题叙述更为本质和清晰。如，郭仲衡所提“两点张量”，实际 可理解为张量的“二点（表示）形式” ② 追求“融会贯通、触类旁通”，如推导张 量梯度在“二点形式”下的非完整系表示理论，。。。 o 1 X 2 X 3 X 1  Curve 2  Curve 3  Curve G1 G2 G3 o 1 X 1 x Curve  2 x Curve  3 x Curve  1 g 2 g3 g 2 X 3 X                                                               , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , L l l l l L L i A i A j B l j B L j B l i A i A j B l j B i A x t x t x t x t x t x t x t x t x x x x x t x t x t x t x t g x t g x t G G x x t x t g x t g x t G G                                                                                                                                                 , , , , , , , , , , , where , L i A l j B l j B i A i A l j B l j B i A L L R i A i A i A L t l j B l j B j B l l l R t x t g x t g x t g x t G G x t g x t g x t g x t G G C C x t x x x                                   G A l g

当前构形显含时间曲线坐标系对应有限变形理论的相关重要结论 X(5,1)=X(x(5,)) V=X=B(5 OX (5,)g(x )=x(x)(51)+(x) t X (5,)g(x)+(x) e =x(5,)8(x)+(x2) F=OF OX (5,1)+(x,) at Co d agp (5,)=(x,)+(x,)(5 at at at d OX ad x,t+v(x x at at ax d 2口∞d at (x,)+p口② at

                          ( , ) ( , ), , , , , , , , , , , , , i i i i i i i i X t X x t t X X x X v X t x t t x t t x t t x X t g x t x t t t X v x t g x t x t t x X v t x t t t                                                              , , , , , , , , , , i i i i i x t x t x t t t t x t X x t v x t x t x t t t x X x t v x t t t                                                      , , det i A A i i A x F t g x t G F v F g x F G F F                      —— 当前构形显含时间曲线坐标系 对应有限变形理论的相关重要结论

基于微积分理论,严格获得①理清映照关系,按微积分中线、面、体积分计算 基本方法,严格获得物质线、面、体输运方程;②进一步,可严格获得涡线、涡面 保持的充分必要条件等 X V中物质面:Σ(2)=5(,) x中物质面:∑2(,以)=X(5(2,) 中物质面:.(4)=x(5(2)) 中物质面:x2(,)=X(x(5(2),)2) (5+△1)-X(5,)÷F(5,)X(+△)-X(5) H,2)=F(5(4,)) 1,H (2,,)=|FF 0∑a∑ () 0∑ an a a/ a 2)=F(5(4,),)(4,)

X 1 X m X A O 1  m  A  O 1 t X t X i O t X m 1 t x t xi O t xm V , ,       中物质面：       V X X中物质面： , ,   X          X , , , ,         t t t V X x t t 中物质面：  X      x , , ,       t t V x t 中物质面：  x       , , ,          t t X t X t F t X X                                         * , , , , , ; , , , , , , , , t t t t t F t t F F t F t                                                                   —— 基于微积分理论，严格获得 ① 理清映照关系，按微积分中线、面、体积分计算 基本方法，严格获得物质线、面、体输运方程；② 进一步，可严格获得涡线、涡面 保持的充分必要条件等

实践3:基于《连续介质力学基础》,按有限变形理论研习《涡量与涡动力学基 础》一寻求适合刻画流场局部及整体性质的数学表述 R(O, t) r sin 0 cos o X(x, t): D, x=0>X(x,t=X(x,t)R(0,p, 1) rsin 0. sin o R(O,, t) r cos p R(6,9,1)r X(xt y D D b 按当前构形曲线坐标系显含时间的有限变形理论,研究流体的运动学及动力学刻 画,特别注重可变形边界情形的相关结论。 注重相关理论在实际求解问题中的作用,如开展利用显含时间的微分同胚进行可 变形边界流动的计算,过程中充分利用张量分析的思想和方法

x z o  o r Dxyz Dr R t r  , ,  y    1  2             1 2 3 , , sin cos X , : X , , , , sin sin , , cos r r X R t r x t D x x t X x t R t r X R t r                                                         X ,  x t • 按当前构形曲线坐标系显含时间的有限变形理论，研究流体的运动学及动力学刻 画，特别注重可变形边界情形的相关结论。 • 注重相关理论在实际求解问题中的作用，如开展利用显含时间的微分同胚进行可 变形边界流动的计算，过程中充分利用张量分析的思想和方法。。。 实践3：基于《连续介质力学基础》，按有限变形理论研习《涡量与涡动力学基 础》—— 寻求适合刻画流场局部及整体性质的数学表述

教学效果基于动边界及一般曲线坐标系下平面流动的涡流函数解法例1: ay g ay do ay do aDdax a0 Re a p1 2,+(1-x x-,t·cos (0,1) 2 X →x2(x,2)=x: 2 3兀2,t sin (0,T AX 04375 3125 X 0E25

2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 Re ij k i j k ij ij k i j k ij g x x x X X g t x x x x t x t x x x x g                                                                                          —— 教学效果 基于动边界及一般曲线坐标系下平面流动的涡-流函数解法 例1： 1 2 1 X 2 X             1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 , 1 , cos 2 2 2 0,1 3 3 3 0,1 , , 1 , sin 2 2 2 0, x x t x x t x x X x X x t x x t x x t x T t t t                                                                                                                      