实验研究正交圆柱尾迹的空间动力学行为 余宇轩',谢锡麟·麻伟巍2 (复旦大学力学与工程科学系上海200433, Email:11210290010@ fudan.edu. 东华大学理学院上海200051,Email:mww@dhu.edu.cn) 摘要:本文实验研究低 Reynolds数情形正交圆柱尾迹的空间动力学行为。涉及不同来流速度,不同圆柱 间距工况下,几何中心层和剪切层上旋涡的空间演化特性。空间动力学行为分析,主要基于自谱、互谱的 空间演化,并涉及空间相位分析。主要发现:正交圆柱尾迹,法向方向和展向方向的自谱演化不具有对称 特性,分别表现为类单圆柱性和二次流现象:在正交圆柱中心附近,通过自谱图发现尾迹处存在旋涡的三 次归并现象以及亚谐波的嵌入现象;通过互谱和空间相位分析,在Re=68和Re=103工况下发现波数匹配 现象,并且其频带的中心恰为正交圆柱脱落主导频率。特别在Re=68工况下脱落主导频率和一阶亚谐波存 在波数匹配现象,并且随着Re数增加,相位关联消失 关键词:正交圆柱;自谱;互谱;波数;波速 中图分类号:O357.5 Experimental Studies on the Spatial Dynamical Behaviors of Wakes of Two Circular-Cylinders Forming A Cross Yu Yu-xuan XIe Xi-lin ma Wei-wei (1. Department of Mechanics Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, Email 11210290010@fudan.edu.cn 2.CollegeofScience,DonghuaUniversity,Shanghai200051,Email:mww@dhu.edu.cn Abstract: This experimental study was put emphasis on the spatial dynamical behaviors of two circular-cylinders forming a cross at low Reynolds number. It is involved in the vortices space evolution characteristics of the middle layer and the shear layer by the different flow speed and the different cylinder spacing conditions. The spatial dynamical behavior analysis is mainly based on self-spectrum and cross spectrum, involving spatial phase analysis. The results are obtained by the self-spectrum that the normal direction and the spanwise direction do not have the symmetry of the direction in the wake of two circular cylinders arranged perpendicular to each other that one is the wake of the vortex is similar to the single-cylinder and another is the secondary flow phenomenon. Near the center of structure the third mergence and embedding was found in the wake of the two circular cylinders by the self-spectrum picture. On the other hand, by the way of cross spectrum and the spatial phase analysis, the wave-number-matching phenomenon is found in the regime of Re=68 and Re=103. And the wave-number-matching phenomenon only exists around the shedding-frequency. In the regime of Re=68, it is found that the shedding-frequency and the first sub-harmonic wave have the same wave-number, and with the increasing of the Reynolds number, the determinable spatial-phases disappeared Key words: two circular cylinders forming a cross; self-spectrum; cross spectrum; wave number; wave velocity 基金项目:国家自然科学基金面上项目(10872051)资助 作者简介:余宇轩(1989-),男,浙江绍兴人,硕士研究生 通讯作者:麻伟巍,Email:mww@dhu.edu.cn Project supported by foundation: Supported by the National Nature Science Foundation of China (10872051) Biography: YU Yu-xuan (1989-), Male, Master Candidate Correspondingauthor:MaWei-wei,Email:mww@dhu.edu.cn
实验研究正交圆柱尾迹的空间动力学行为* 余宇轩 1，谢锡麟 1 麻伟巍 2 （ 1复旦大学 力学与工程科学系 上海 200433, Email：11210290010@fudan.edu.cn 2东华大学 理学院 上海 200051, Email: mww@dhu.edu.cn） 摘 要：本文实验研究低 Reynolds 数情形正交圆柱尾迹的空间动力学行为。涉及不同来流速度，不同圆柱 间距工况下，几何中心层和剪切层上旋涡的空间演化特性。空间动力学行为分析，主要基于自谱、互谱的 空间演化，并涉及空间相位分析。主要发现：正交圆柱尾迹，法向方向和展向方向的自谱演化不具有对称 特性，分别表现为类单圆柱性和二次流现象；在正交圆柱中心附近，通过自谱图发现尾迹处存在旋涡的三 次归并现象以及亚谐波的嵌入现象；通过互谱和空间相位分析，在 Re=68 和 Re=103 工况下发现波数匹配 现象，并且其频带的中心恰为正交圆柱脱落主导频率。特别在 Re=68 工况下脱落主导频率和一阶亚谐波存 在波数匹配现象，并且随着 Re 数增加，相位关联消失。 关 键 词：正交圆柱;自谱;互谱;波数;波速 中图分类号：O357.5 Experimental Studies on the Spatial Dynamical Behaviors of Wakes of Two Circular-Cylinders Forming A Cross Yu Yu-xuan 1 , XIE Xi-lin1 , MA Wei-wei2 （1.Department of Mechanics & Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, Email： 11210290010@fudan.edu.cn; 2.College of Science, Donghua University, Shanghai 200051, Email: mww@dhu.edu.cn） Abstract: This experimental study was put emphasis on the spatial dynamical behaviors of two circular-cylinders forming a cross at low Reynolds number. It is involved in the vortices space evolution characteristics of the middle layer and the shear layer by the different flow speed and the different cylinder spacing conditions. The spatial dynamical behavior analysis is mainly based on self-spectrum and cross spectrum, involving spatial phase analysis. The results are obtained by the self-spectrum that the normal direction and the spanwise direction do not have the symmetry of the direction in the wake of two circular cylinders arranged perpendicular to each other that one is the wake of the vortex is similar to the single-cylinder and another is the secondary flow phenomenon. Near the center of structure the third mergence and embedding was found in the wake of the two circular cylinders by the self-spectrum picture. On the other hand, by the way of cross spectrum and the spatial phase analysis, the wave-number-matching phenomenon is found in the regime of Re=68 and Re=103. And the wave-number-matching phenomenon only exists around the shedding-frequency. In the regime of Re=68, it is found that the shedding-frequency and the first sub-harmonic wave have the same wave-number, and with the increasing of the Reynolds number, the determinable spatial-phases disappeared. Key words: two circular cylinders forming a cross; self-spectrum; cross spectrum; wave number; wave velocity *基金项目：国家自然科学基金面上项目（10872051）资助 作者简介：余宇轩（1989-），男，浙江绍兴人，硕士研究生 通讯作者：麻伟巍, Email: mww@dhu.edu.cn Project supported by foundation: Supported by the National Nature Science Foundation of China (10872051). Biography：YU Yu-xuan（1989-），Male, Master Candidate Corresponding author: Ma Wei-wei, Email: mww@dhu.edu.cn
1引言 钝体的绕流问题一直是流体力学领域的重要研究内容,特别是对于圆柱和圆柱群。由于在工程领域圆 柱和圆柱群是普遍采用的结构形式,因此大量的文献资料对其进行了研究,并取得了很大的进展。对于双 圆柱绕流,由于实际工程的需要,往往把双圆柱的并列,串列和斜置作为典型的排列方式,即使是多圆柱 绕流,也只不过是上述三者的混合排列。对于其他形式排列的双圆柱绕流问题的研究还很少。而在实际工 程背景中,两圆柱呈正交关系的结构其实并不少见,如风洞的整流网,沿海的钻井设施[],晶格框架和冷 却系统凹2]等。因此,对它的研究不仅有助于解决实际的工程需要,而且通过与单圆柱的比较能够了解不同 结构下的绕流的尾迹的结构异同处和湍流转捩机理的异同处,以此发现关于绕流的一般性机制是非常有意 义的 下面结合本文的研究目的以及现有的文献,分别对相关文献中高Re数范围下正交圆柱的结果,以及 相关文献中低Re数范围下正交圆柱的数值模拟做归纳性综述。 正交圆柱尾迹流场的内区域和外区域当自由来流流经正交圆柱时,整体的尾迹流场可划分为两个区域 个是内区域,一个是外区域。外区域意味着尾迹流场类似与单圆柱的尾迹流场相近。内区域意味着在此 区域内整体尾迹流场的特性已经不同于单圆柱的尾迹流场,呈现高度的三维性流动。关于正交圆柱尾迹流 场的内区域和外区域的划分和圆柱间距比Ld和Re数有关。 Hideo osaka[3], Zdravkovich[],Fox[2,4]对 其进行了研究,并提出了相应的临界值。 正交圆柱内区域的临界间距与串联双圆柱类似,正交圆柱同样应该具有类似的临界间距,当超过临界间 距时,流动状态将会发生显著的变化。Fox4]的研究也证实了这一点,Fox认为圆柱间距L/d=3为正交圆 柱的临界间距。 Zdravkovich[1 Tsutomu Takahashi[5]也对其进行了研究。 正交圆柱内区域的二次流现象二次流是指在主流动区域内所出现的一种与主流性质不同的从属流动。 Zdravkovich通过用油膜法对圆柱间距为Ld=1进行流动显示,清楚地在上游圆柱尾部显示了四个流向 涡, Tsutomu Takahashi5]在间距为Ld<2,且Re在103量级情况下,发现了两种不同的流态,分别对应 着两种涡的存在,一是尾迹涡( Trailing Vortex),一是颈链涡( Necklace Vortex)。 Yukio Tomita6,Fox[2,4] 等也对其进行了研究 低Re数范围下正交圆柱的数值模拟研究对于正交圆柱的数值模拟。邓见等人[刁数值模拟了间距为L/d=5 下,Re-=200的垂直交叉双圆柱绕流流场,发现了两圆柱间的流动的不稳定性,表现为部分流体旋转上升 或旋转下降形成螺旋型的涡结构。 2实验装置 本次实验的速度脉动测量是在直流式风洞中进行的。实验段横截面尺寸为300mm×300mm,长度为 1000mm,如图1所 力方面,使用ABB公司的ACS510变频电机对风洞进行调速。其中经过实验验证,风洞的自由来 流速度与ABB电机频率成线性关系。频率每上升3Hz,速度上升约003ms 动态测量方面,采用 DANTEC热线风速仪,通过三个55P11型一维热线探头测量圆柱尾迹的脉动速 度,安放位置如图1所示。其中3号热线探头在整个实验中固定不动,相对于下游圆柱坐标为(6d,-65d 3d),用来检测下游水平圆柱的剪切层上的脉动速度。1,2号热线探头保持竖直方向对齐(同时移动和停 止),y方向和z方向的距离根据不同工况进行相应的处理
1 引言 钝体的绕流问题一直是流体力学领域的重要研究内容，特别是对于圆柱和圆柱群。由于在工程领域圆 柱和圆柱群是普遍采用的结构形式，因此大量的文献资料对其进行了研究，并取得了很大的进展。对于双 圆柱绕流，由于实际工程的需要，往往把双圆柱的并列，串列和斜置作为典型的排列方式，即使是多圆柱 绕流，也只不过是上述三者的混合排列。对于其他形式排列的双圆柱绕流问题的研究还很少。而在实际工 程背景中，两圆柱呈正交关系的结构其实并不少见，如风洞的整流网，沿海的钻井设施[1]，晶格框架和冷 却系统[2]等。因此，对它的研究不仅有助于解决实际的工程需要，而且通过与单圆柱的比较能够了解不同 结构下的绕流的尾迹的结构异同处和湍流转捩机理的异同处，以此发现关于绕流的一般性机制是非常有意 义的。 下面结合本文的研究目的以及现有的文献，分别对相关文献中高 Re 数范围下正交圆柱的结果，以及 相关文献中低 Re 数范围下正交圆柱的数值模拟做归纳性综述。 正交圆柱尾迹流场的内区域和外区域 当自由来流流经正交圆柱时，整体的尾迹流场可划分为两个区域， 一个是内区域，一个是外区域。外区域意味着尾迹流场类似与单圆柱的尾迹流场相近。内区域意味着在此 区域内整体尾迹流场的特性已经不同于单圆柱的尾迹流场，呈现高度的三维性流动。关于正交圆柱尾迹流 场的内区域和外区域的划分和圆柱间距比 L/d 和 Re 数有关。Hideo Osaka[3]，Zdravkovich[1]，Fox[2,4]对 其进行了研究，并提出了相应的临界值。 正交圆柱内区域的临界间距 与串联双圆柱类似，正交圆柱同样应该具有类似的临界间距，当超过临界间 距时，流动状态将会发生显著的变化。Fox[4]的研究也证实了这一点，Fox 认为圆柱间距 L/d=3 为正交圆 柱的临界间距。Zdravkovich[1],Tsutomu Takahashi[5] 也对其进行了研究。 正交圆柱内区域的二次流现象 二次流是指在主流动区域内所出现的一种与主流性质不同的从属流动。 Zdravkovich[1]通过用油膜法对圆柱间距为 L/d=1 进行流动显示，清楚地在上游圆柱尾部显示了四个流向 涡，Tsutomu Takahashi[5] 在间距为 L/d<2，且 Re 在 103量级情况下，发现了两种不同的流态，分别对应 着两种涡的存在，一是尾迹涡（Trailing Vortex），一是颈链涡（Necklace Vortex）。Yukio Tomita[6]，Fox[2,4] 等也对其进行了研究。 低 Re 数范围下正交圆柱的数值模拟研究 对于正交圆柱的数值模拟。邓见等人[7]数值模拟了间距为 L/d=5 下，Re=200 的垂直交叉双圆柱绕流流场，发现了两圆柱间的流动的不稳定性，表现为部分流体旋转上升 或旋转下降形成螺旋型的涡结构。 2 实验装置 本次实验的速度脉动测量是在直流式风洞中进行的。实验段横截面尺寸为 300mm ×300mm，长度为 1000mm，如图 1 所示。 动力方面，使用 ABB 公司的 ACS510 变频电机对风洞进行调速。其中经过实验验证，风洞的自由来 流速度与 ABB 电机频率成线性关系。频率每上升 3Hz，速度上升约 0.03m/s。 动态测量方面，采用 DANTEC 热线风速仪，通过三个 55P11 型一维热线探头测量圆柱尾迹的脉动速 度，安放位置如图 1 所示。其中 3 号热线探头在整个实验中固定不动，相对于下游圆柱坐标为（6d，-65d， 3d），用来检测下游水平圆柱的剪切层上的脉动速度。1，2 号热线探头保持竖直方向对齐（同时移动和停 止），y 方向和 z 方向的距离根据不同工况进行相应的处理
3实验方案和工况介绍 一步进电机 热线3 热线2 图1风洞实验段的正面投影 Fig 1. The front projection of the test section of the wind tunnel 实验将对Ld=1,3和6这三种圆柱间距进行测量,对于每一种间距,分别进行了两类实验:一种是 变距离实验,分别测量了对应于U=1.09m/s(Re=68),133m/s(Re=84),1.65m/s(Re=103),1.88ms(Re=119), 212m/s(Re=134),268m/s(Re=171)速度下的,移动范围为距下游水平圆柱6d-86d的速度脉动:另 种是变速度实验,速度范围为0.5-3ms,此时热线探头的位置固定不动。而每类实验分别考虑两种工况, 种是在几何中心层上的位置测量速度脉动,另一种是在几何剪切层上的位置测量速度脉动。通过所获得 的实验数据研究尾迹的空间动力学行为 4基于自谱的实验分析 4.1远离正交圆柱中心处St数随Re数的演化 Hot-wire3 bd E.experiment data olu sholin 图2中心层工况下圆柱间距为6d,热线3的StRe的关 图3 Williamson的StRe的比较 系图 Fig 3. Strouhal-Reynolds number relationship over Fig. 2. Strouhal-Reynolds number relationship on the laminar and three-dimensional transition regimes middle-symmetry-plane at L/d=6 Hotline3 图2显示了热线3所测速度脉动所对应的St与Re的关系图。从图中可以发现下游圆柱在远离正交圆 柱中心处(热线3)的尾迹存在规则的旋涡脱落,基频随Re数呈单调增加。其余频率的能量相对与基频来 说可以忽略不计。结合单圆柱绕流的特征,可以推断,在此位置处,尾迹流动特征和单圆柱相似 通过与 Williamson9的StRe(图3)的比较,可以发现两者趋势完全相同,故可以认为下游圆柱在
3 实验方案和工况介绍 图 1 风洞实验段的正面投影 Fig.1.The front projection of the test section of the wind tunnel 实验将对 L/d=1，3 和 6 这三种圆柱间距进行测量，对于每一种间距，分别进行了两类实验：一种是 变距离实验，分别测量了对应于 U=1.09m/s（Re=68），1.33m/s（Re=84），1.65m/s（Re=103），1.88m/s（Re=119）， 2.12m/s（Re=134），2.68m/s（Re=171）速度下的，移动范围为距下游水平圆柱 6d-86d 的速度脉动；另一 种是变速度实验，速度范围为 0.5-3m/s，此时热线探头的位置固定不动。而每类实验分别考虑两种工况， 一种是在几何中心层上的位置测量速度脉动，另一种是在几何剪切层上的位置测量速度脉动。通过所获得 的实验数据研究尾迹的空间动力学行为。 4 基于自谱的实验分析 4.1 远离正交圆柱中心处 St 数随 Re 数的演化 图 2 中心层工况下圆柱间距为 6d，热线 3 的 St-Re 的关 系图 Fig.2.Strouhal-Reynolds number relationship on the middle-symmetry-plane at L/d=6 Hotline3 图 3 Williamson 的 St-Re 的比较 Fig.3.Strouhal-Reynolds number relationship over laminar and three-dimensional transition regimes 图 2 显示了热线 3 所测速度脉动所对应的 St 与 Re 的关系图。从图中可以发现下游圆柱在远离正交圆 柱中心处（热线 3）的尾迹存在规则的旋涡脱落，基频随 Re 数呈单调增加。其余频率的能量相对与基频来 说可以忽略不计。结合单圆柱绕流的特征，可以推断，在此位置处，尾迹流动特征和单圆柱相似。 通过与 Williamson[9]的 St-Re（图 3）的比较，可以发现两者趋势完全相同，故可以认为下游圆柱在
远离正交圆柱中心处(热线3)可以视为单圆柱工况。另一方面,通过对热线3对应的St与Re的关系图 (图2)与 Williamson[9的StRe(图3)的关系图进行仔细比较,可以发现,对应于相同的Re数,热线 3所测的St数略小于 Williamson[9所测的St数,这可以通过 T.A. Fox5]所作的研究解释这一现象。TAFo 认为对下游圆柱来说,实际来流速度将小于自由来流的速度。对此,可简单证明如下: 自由来流U实际来流U 42正交圆柱中心附近处自谱随Re数的演化 1700 1300 1100 1000 0040060080010001200 020040060080010001200 frequency (Hz) 图4中心层工况下热线2在圆柱间距为3d下自谱随Re数的图5中心层工况下热线3在圆柱间距为3d下自谱随Re数的 演化 演化 ionship on Fig. 5. Reynolds-frequency number relationship on the middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline2 liddle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline3 图4显示了在中心层工况下热线2在圆柱间距为3d下自谱随Re数的演化,图5显示了在中心层工 况下热线3在圆柱间距为3d下自谱随Re数的演化。图5是作为基频的参考。通过对图4和图5的等高 线图的比较可以发现,与单圆柱不同(此时热线3所测数据等同于单圆柱情况的数据),由于正交圆柱的 结构差异,出现了不同的频率分量。相对于单圆柱的情形,正交圆柱不仅出现了基频∫和倍频2∫,更是 出现了分数阶谐波和分数阶亚谐波,籍此可推断在正交圆柱中心处存在二次流现象。 4、3特定Re数下流场形态的空间演化 Hot-wire2 v=1.33m/s x37mm e3d 800 Y:726.9 三阶亚谐波 基频f 0040060080010001200 frequency (Hz) 106200200300400500 图6中心层工况下热线2在圆柱间距Ld=3,Re=84下图7中心层工况下热线2在圆柱间距Ld=3,Re=84下y/d=37 自谱的空间演化 处的自谱图 Fig. 6. The spatial evolution of self-spectra on the Fig.7.The spatial evolution of self-spectra on the
远离正交圆柱中心处（热线 3）可以视为单圆柱工况。另一方面，通过对热线 3 对应的 St 与 Re 的关系图 （图 2）与 Williamson[9]的 St-Re（图 3）的关系图进行仔细比较，可以发现，对应于相同的 Re 数，热线 3 所测的 St 数略小于 Williamson[9]所测的 St 数，这可以通过 T.A.Fox[5]所作的研究解释这一现象。T.A.Fox 认为对下游圆柱来说，实际来流速度将小于自由来流的速度。对此，可简单证明如下： = wil son lim fd fd St St U U 本文 自由来流 实际来流 (1) 4.2 正交圆柱中心附近处自谱随 Re 数的演化 图 4 中心层工况下热线 2 在圆柱间距为 3d 下自谱随 Re 数的 演化 Fig.4.Reynolds-frequency number relationship on the middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline2 图 5 中心层工况下热线 3 在圆柱间距为 3d 下自谱随 Re 数的 演化 Fig.5.Reynolds-frequency number relationship on the middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline3 图 4 显示了在中心层工况下热线 2 在圆柱间距为 3d 下自谱随 Re 数的演化，图 5 显示了在中心层工 况下热线 3 在圆柱间距为 3d 下自谱随 Re 数的演化。图 5 是作为基频的参考。通过对图 4 和图 5 的等高 线图的比较可以发现，与单圆柱不同（此时热线 3 所测数据等同于单圆柱情况的数据），由于正交圆柱的 结构差异，出现了不同的频率分量。相对于单圆柱的情形，正交圆柱不仅出现了基频 f 和倍频 2 f ，更是 出现了分数阶谐波和分数阶亚谐波，籍此可推断在正交圆柱中心处存在二次流现象。 4.3 特定 Re 数下流场形态的空间演化 0 100 200 300 400 500 600 700 0 100 200 300 400 500 600 700 800 X: 21.97 Y: 726.9 Frequency/Hz Power Hot-wire2 v=1.33m/s x=37mm l=3d X: 169.1 Y: 15.84 X: 43.33 Y: 163.5 X: 106.2 Y: 16.68 三阶亚谐波f/8 基频f 图 6 中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L/d=3，Re=84 下 自谱的空间演化 Fig.6.The spatial evolution of self-spectra on the 图 7 中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L/d=3，Re=84 下 x/d=37 处的自谱图 Fig.7.The spatial evolution of self-spectra on the
mmetry-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 x/d=37 在42节自谱随Re数的演化的讨论中,已经发现与单圆柱不同,由于正交圆柱的结构差异,在正交圆 柱中心附近处出现了不同的频率分量。 图6显示了在中心层工况下热线2在圆柱间距Ld=3,Re=84下自谱随空间演化的等高线图。图7显 示了图6工况下,xd=37处流向速度脉动的自谱图,图8则为其对应的时域信号 0.145 102 10.25 10.35 图8中心层工况下热线2在圆柱间距L/=3,Re=84下xd=37处的时域图 ig. 8. The velocity fluctuations on the middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 x/d=37 从图7和图8可以看出在此工况下正交圆柱尾迹处的脱落频率是以三阶亚谐波言∫为主导的。基于此 本文认为正交圆柱尾迹处具有8次非线性,并产生一次亚谐共振。不同于单圆柱共振情形,对于正交圆柱 来说,即使激励频率远高于系统固有频率,仍可能在隔振频段内发生亚谐共振,产生危险。1956年, lefschetz{10曾报道一架飞机的螺旋桨激发出机翼的1/2次共振,机翼共振又激发了尾翼的1/4次共振,以致 飞机被破坏这一事件证明了此情况的特殊性 另一方面,除了出现了三阶亚谐波厂之外同时出现了一阶亚谐波之厂,二阶亚谐波以及由其线性 组成的分数阶亚谐波。对于一阶亚谐波f,二阶亚谐波f和三阶亚谐波f的产生,本文认为是由于正 交圆柱的4个剪切层引起的,对与每一个剪切层来说,由于上下游两圆柱的影响,出现了旋转方向相同的 涡列,最终导致了此涡列的相邻涡的归并,产生了一阶亚谐波f,由于正交圆柱共有4个剪切层,势必 会出现频率为一阶亚谐波2/且旋转方向相同的涡列进行第二次的归并以及频率为二阶亚谐波/且旋转 方向相同的涡列进行第三次的归并,最终产生了二阶亚谐波厂和三阶亚谐波f。 44中心层处和剪切层处主导频率在不同工况下的空间演化 图9显示了在剪切层,热线2在圆柱间距Ld=3,Re=84下主导频率的空间演化,其中f表示正交圆 柱尾迹下的速度脉动的主导频率,f表示单圆柱尾迹下的速度脉动的主导频率
middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 x/d=37 在 4.2 节自谱随 Re 数的演化的讨论中，已经发现与单圆柱不同，由于正交圆柱的结构差异，在正交圆 柱中心附近处出现了不同的频率分量。 图 6 显示了在中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L/d=3，Re=84 下自谱随空间演化的等高线图。图 7 显 示了图 6 工况下，x/d=37 处流向速度脉动的自谱图，图 8 则为其对应的时域信号。 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3 10.35 10.4 10.45 10.5 0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155 0.16 0.165 0.17 time/ s voltage/ v 图 8 中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L/d=3，Re=84 下 x/d=37 处的时域图 Fig.8.The velocity fluctuations on the middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 x/d=37 从图 7 和图 8 可以看出在此工况下正交圆柱尾迹处的脱落频率是以三阶亚谐波 1 8 f 为主导的。基于此， 本文认为正交圆柱尾迹处具有 8 次非线性，并产生 1 8 次亚谐共振。不同于单圆柱共振情形，对于正交圆柱 来说，即使激励频率远高于系统固有频率，仍可能在隔振频段内发生亚谐共振，产生危险。1956 年， lefschetz[10]曾报道一架飞机的螺旋桨激发出机翼的 1/2 次共振,机翼共振又激发了尾翼的 1/4 次共振，以致 飞机被破坏这一事件证明了此情况的特殊性。 另一方面，除了出现了三阶亚谐波 1 8 f 之外同时出现了一阶亚谐波 2 4 f ，二阶亚谐波 1 4 f 以及由其线性 组成的分数阶亚谐波。对于一阶亚谐波 2 4 f ，二阶亚谐波 1 4 f 和三阶亚谐波 1 8 f 的产生，本文认为是由于正 交圆柱的 4 个剪切层引起的，对与每一个剪切层来说，由于上下游两圆柱的影响，出现了旋转方向相同的 涡列，最终导致了此涡列的相邻涡的归并，产生了一阶亚谐波 2 4 f ，由于正交圆柱共有 4 个剪切层，势必 会出现频率为一阶亚谐波 2 4 f 且旋转方向相同的涡列进行第二次的归并以及频率为二阶亚谐波 1 4 f 且旋转 方向相同的涡列进行第三次的归并，最终产生了二阶亚谐波 1 4 f 和三阶亚谐波 1 8 f 。 4.4 中心层处和剪切层处主导频率在不同工况下的空间演化 图 9 显示了在剪切层，热线 2 在圆柱间距 L/d=3，Re=84 下主导频率的空间演化，其中 z f 表示正交圆 柱尾迹下的速度脉动的主导频率， f 表示单圆柱尾迹下的速度脉动的主导频率
Hot-wire2 u=1.33m/s l=3d shear layor X395 a88og■doo 图9剪切层工况下热线2在圆柱间距Ld=3,Re=84下主导频率的空间演化 Fig9.The spatial evolution of the primary frequencies on the shear-layer-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 在Re=84时(见图9),f,和/为此工况下尾迹流态的主导频率,这表示正交圆柱的尾迹的流 动在Re=84开始已经发生了三次归并现象,同时尾迹中还伴随着f和∫这两种频率交错排列的涡列 (f=f+f)。对于三阶亚谐波f,从图9可以看出是在无量纲尺度xd≈40时才变得明显,而此时 分数阶亚谐波。∫的能量可以忽略不计。而当xd<40时,则出现相反的情况,。f为此工况下尾迹流态的 主导频率,而相对地三阶亚谐波f的能量可以忽略不计。这表示,当xd<40时,尾迹流态以云f和—f这 两种频率交错排列的涡列占主导位置,而当xd40时,尾迹流态以三次归并后的涡列占主导位置。 同样可对不同工况下的主导频率空间演化进行相同分析,本文以附录表格呈现。 5互谱的实验结果与分析 51互谱分析 通常的频谱分析是无法获得相位的变化,而在经典流动稳定性分析中,通过互谱进行适当的运算可以 获得相位的变化。在流动稳定性分析中[11-13],互谱相位的空间演化一般可以得出如下形式: ArgS(m; F, o)=a, (m)(r-o)=a,(m)(x-xo)+ a,(m)(y-y)+a2(m)(-=0) 其中f。为频率,a(m)=a,()+ia(n)表示波数,式(2)表示相位与波数实部有关 52正交圆柱互谱的实验结果(间距比为3d) 图10显示了正交双圆柱绕流(Ld=3)互谱图,可以发现在Re=68工况下和Re=103工况下,相位等 值线AgS(fm;F,)=cons在某一频段内都表现为水平直线段。通过式(2)可以说明其物理意义,对于
图 9 剪切层工况下热线 2 在圆柱间距 L/d=3，Re=84 下主导频率的空间演化 Fig.9.The spatial evolution of the primary frequencies on the shear-layer-plane at L/d=3 Hotline2 Re=84 在 Re=84 时（见图 9）， f , 1 8 f 和 6 8 f 为此工况下尾迹流态的主导频率，这表示正交圆柱的尾迹的流 动在 Re=84 开始已经发生了三次归并现象，同时尾迹中还伴随着 2 8 f 和 4 8 f 这两种频率交错排列的涡列 ( 6 2 4 8 8 8 f f f )。对于三阶亚谐波 1 8 f ，从图 9 可以看出是在无量纲尺度 x/d≈40 时才变得明显，而此时 分数阶亚谐波 6 8 f 的能量可以忽略不计。而当 x/d40 时，尾迹流态以三次归并后的涡列占主导位置。 同样可对不同工况下的主导频率空间演化进行相同分析，本文以附录表格呈现。 5 互谱的实验结果与分析 5.1 互谱分析 通常的频谱分析是无法获得相位的变化，而在经典流动稳定性分析中，通过互谱进行适当的运算可以 获得相位的变化。在流动稳定性分析中[11-13]，互谱相位的空间演化一般可以得出如下形式： 0 0 , 0 , 0 , 0 ; , ( ) ( ) m r m r x m r y m r z m ArgS f r r f r r f x x f y y f z z (2) 其中 m f 为频率， ( ) ( ) ( ) r m i m fm f i f 表示波数，式(2)表示相位与波数实部有关。 5.2 正交圆柱互谱的实验结果(间距比为 3d) 图 10 显示了正交双圆柱绕流（L/d=3）互谱图，可以发现在 Re=68 工况下和 Re=103 工况下，相位等 值线 ArgS f r r const m ; , 0 在某一频段内都表现为水平直线段。通过式(2)可以说明其物理意义，对于
AgS(fm,)=comt,由式2)当(F-6)=comt有a(m)=com,亦即在频段(f,f)间,所有频率具有相 同的流向波数实部 800 800 7( 600 ￥500 500 400 400 300 300 200 200 00 100 020040060080010001200 40060080010001200 f/Hz 800 800 700 600 50 500 400 又400 300 300 200 200 100 020040060080010001200 020040060080010001200 f/Hz f/H 800 800 700 700 600 600 500 500 300 200 200 100 00 020040060080010001200 020040060080010001200 f/Hz f/Hz 图10正交双圆柱绕流(Ld=3)互谱图(a)Re=68,中心层工况(b)Re=68,剪切层工况(c)Re=103,中心层工况(d)Re=103 剪切层工况(e)Re=-171,中心层工况(Re=171,剪切层工况 Fig 10.The spatial-phase-pattern at L/d=3(a Re=68, middle-symmetry-plane(b) Re=68, shear-layer-plane(c) Re=103, middle-symmetry-plane(d)Re=103, shear-layer-plane(e)Re=l71, middle-symmetry-plane(f)Re=l71, shear-layer-plane 在Re=68工况下,剪切层和中心层的波数频带区域相同,都是频率在120Hz附近(约为50-200Hz), 该现象在距圆柱80d范围内都存在,其频率有较宽的频带。在Re=103工况下,与Re=68工况基本相似, 频带约为150-300,随着雷诺数的增大,在Re=171工况下,水平直线段不管在剪切层和中心层都没有出现
ArgS f r r const m ; , 0 ，由式(2)当 0 ( ) r r const 有 ( ) r m f const ，亦即在频段 f f , 间，所有频率具有相 同的流向波数实部。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 图 10 正交双圆柱绕流（L/d=3）互谱图 (a)Re=68,中心层工况 (b) Re=68,剪切层工况 (c) Re=103,中心层工况 (d) Re=103, 剪切层工况 (e) Re=171,中心层工况 (f) Re=171, 剪切层工况 Fig.10.The spatial-phase-pattern at L/d=3 (a)Re=68,middle-symmetry-plane (b) Re=68,shear-layer-plane (c) Re=103,middle-symmetry-plane (d) Re=103, shear-layer-plane (e) Re=171,middle-symmetry-plane (f) Re=171, shear-layer-plane 在 Re=68 工况下，剪切层和中心层的波数频带区域相同，都是频率在 120Hz 附近（约为 50-200Hz）， 该现象在距圆柱 80d 范围内都存在，其频率有较宽的频带。在 Re=103 工况下，与 Re=68 工况基本相似， 频带约为 150-300，随着雷诺数的增大，在 Re=171 工况下，水平直线段不管在剪切层和中心层都没有出现
本文认为,这是由于在Re=171工况下出现不稳定的小尺度环状涡所致。 根据上述对垂直圆柱的空间相位分析,相比较于对应工况下脱落主导频率122Hz(Re=68)和 234Hz(Re=103),发现无论是Re=68工况还是Re=103工况,波数保持相同的区域的中心处恰为正交圆柱脱 落主导频率,不同之处在于Re=103工况下,一阶亚谐波并不处在频带区域。另一方面,随着雷诺数的 进一步增大,固定频率范围内波数相同的现象将不再发生,这表明随着Re数增加,相位关联消失。 考虑到Re=68工况和Re=103工况下互谱的影响频带区域的区别,在做空间相位演化图时考虑一阶亚 谐波。图11和图12分别表示Re=68工况和Re=103工况下脱落频率∫和一阶亚谐波的空间相位演 化 middle 3d Re=68 f=122Hz 100 拟合◆=64401X+279891 f/2拟合中=6.3995X+550488 图11Re=68工况,中心层f和2相关频率的空间相位演化,此处脱落频率为122Hz Fig. 11.The spatial phase evolutions of the shedding-frequency(122Hz)with its 1"sub-harmonic and harmonic at Re=68 middle 3d Re=103 f=234Hz f拟合ψ=60975X+152 2拟合中=63445X+44.0296 图12Re=103工况,中心层f和的2相关频率的空间相位演化,此处脱落频率为234Hz
本文认为，这是由于在 Re=171 工况下出现不稳定的小尺度环状涡所致。 根据上述对垂直圆柱的空间相位分析，相比较于对应工况下脱落主导频率 122Hz(Re=68)和 234Hz(Re=103)，发现无论是 Re=68 工况还是 Re=103 工况，波数保持相同的区域的中心处恰为正交圆柱脱 落主导频率，不同之处在于 Re=103 工况下，一阶亚谐波 2 f 并不处在频带区域。另一方面，随着雷诺数的 进一步增大，固定频率范围内波数相同的现象将不再发生，这表明随着 Re 数增加，相位关联消失。 考虑到 Re=68 工况和 Re=103 工况下互谱的影响频带区域的区别，在做空间相位演化图时考虑一阶亚 谐波 2 f 。图 11 和图 12 分别表示 Re=68 工况和 Re=103 工况下脱落频率 f 和一阶亚谐波 2 f 的空间相位演 化。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 X/D ArgSxy middle 3d Re=68 f=122Hz f f拟合 =-6.4401x+27.9891 f/2 f/2拟合 =-6.3995x+55.0488 图 11 Re＝68 工况，中心层 f 和 f/2 相关频率的空间相位演化，此处脱落频率为 122Hz Fig.11.The spatial phase evolutions of the shedding-frequency(122Hz)with its 1st sub-harmonic and harmonic at Re=68 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 X/D ArgSxy middle 3d Re=103 f=234Hz f f拟合 =-6.0975x+15.254 f/2 f/2拟合 =-6.3445x+44.0296 图 12 Re＝103 工况，中心层 f 和 f/2 相关频率的空间相位演化，此处脱落频率为 234Hz
Fig 12. The spatial phase evolutions of the shedding-frequency (234Hz]with its 1 sub-harmonic and harmonic at Re=103 通过拟合可以发现相比较于Re=103工况,Re=68工况下互谱f和的斜率更接近,并且明显地,Re=68 工况下f的空间相位演化在较长空间段中呈直线演化特征 基于频率空间相位演化的线性特征,可通过确定空间线性演化段的斜率确定出流向波数实部花(fm) rgs(m,)-ArgS(m x,)] I2 -X/D =a(mD (3) 并且可以因此得出流向波速实部C2(fm),可得 Uuac-ir. u aUD= S(m)aU)d (4) 表1,显示了在Re=68,103工况下f和!流向波数及波速实部,可见在相当宽广的空间范围,Re=68 工况下脱落频率与其一阶亚谐波具有几乎一致的流向波数实部,称为波数匹配[12,13],而Re=103工况下 脱落频率与一阶亚谐波的流向波数实部有明显的差距。上述定量测量结果同以等直线段为特征的互谱图 (图10)相容。 表1,显示了在Re 03工况下流向波数及波速实部 Table. 1. the determi nat ion of the real parts of wave-numbers and wave-ve locities of the shedding-frequenc with its 1 sub-harmonic at Re =68, 103 St(m) α,Gn)D Cr (A)/U 0.1119 6.44 0.0560 6.40 0.36 234 0.1418 6.10 6~86 103 117 0.0709 6~86 6结论 本文通过变速度和变距离实验对低 Reynolds数下正交圆柱尾迹空间的演化进行了研究,分析了在不同 间距下中心层和剪切层上旋涡的脱落频率随Re数的变化和在特定Re数下流场形态的空间演化。论文主要 结论有:(1)通过热线对下游圆柱的尾迹测量速度脉动,发现在远离正交圆柱中心处存在规则的旋涡脱 落。在此位置处,尾迹流动特征和单圆柱相似,故可以认为下游圆柱在远离正交圆柱中心处可以视为单圆 柱工况。并通过与 Williamson所测的St数与Re数的关系图的比较,得出实际来流小于自由来流。(2) 通过频谱分析发现了在正交圆柱中心处存在二次流现象。(3)通过对正交圆柱尾迹空间测量的速度脉动 进行频谱分析发现:相对于单圆柱的情形,正交圆柱不仅出现了基频和倍频,更是出现了分数阶谐波和分 数阶亚谐波。(4)正交圆柱尾迹流态存在三次归并后的涡列,并在特定工况下占主导位置。即主导频率 为亚谐波,对于正交圆柱来说,即使激励频率远高于系统固有频率,仍可能在隔振频段内发生亚谐共振, 产生危险。(5)在Re=68和Re=103工况下发现波数匹配现象,同单圆柱尾迹的情况一致,并且波数保持 相同的区域的中心处恰为正交圆柱脱落主导频率;随着Re数增加,相位关联消失
Fig.12.The spatial phase evolutions of the shedding-frequency(234Hz)with its 1st sub-harmonic and harmonic at Re=103 通过拟合可以发现相比较于Re=103工况，Re=68工况下互谱 f 和 2 f 的斜率更接近，并且明显地，Re=68 工况下 f 的空间相位演化在较长空间段中呈直线演化特征。 基于频率空间相位演化的线性特征，可通过确定空间线性演化段的斜率确定出流向波数实部 ( ) r m f 2 1 2 1 , , ( ) m m r m ArgS f x ArgS f x k f D x x D (3) 并且可以因此得出流向波速实部 C f r x m , ，可得 , 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) r x m m m r m r m r m C f f D St f U U f U f D f D (4) 表 1，显示了在 Re＝68,103 工况下 f 和 2 f 流向波数及波速实部，可见在相当宽广的空间范围，Re=68 工况下脱落频率与其一阶亚谐波具有几乎一致的流向波数实部，称为波数匹配[12,13]，而 Re=103 工况下 脱落频率与一阶亚谐波的流向波数实部有明显的差距。上述定量测量结果同以等直线段为特征的互谱图 （图 10）相容。 表 1，显示了在 Re＝68,103 工况下 流向波数及波速实部 Table.1.The determination of the real parts of wave-numbers and wave-velocities of the shedding-frequency with its 1 st sub-harmonic at Re =68,103 Re Hz St f m , r x m ( )D f , ( ) / C f U r x m X/D 68 122 0.1119 6.44 0.72 6～86 68 61 0.0560 6.40 0.36 6～86 103 234 0.1418 6.10 0.87 6～86 103 117 0.0709 6.34 0.45 6～86 6 结论 本文通过变速度和变距离实验对低 Reynolds 数下正交圆柱尾迹空间的演化进行了研究，分析了在不同 间距下中心层和剪切层上旋涡的脱落频率随 Re 数的变化和在特定 Re 数下流场形态的空间演化。论文主要 结论有：（1）通过热线对下游圆柱的尾迹测量速度脉动，发现在远离正交圆柱中心处存在规则的旋涡脱 落。在此位置处，尾迹流动特征和单圆柱相似，故可以认为下游圆柱在远离正交圆柱中心处可以视为单圆 柱工况。并通过与 Williamson 所测的 St 数与 Re 数的关系图的比较，得出实际来流小于自由来流。（2） 通过频谱分析发现了在正交圆柱中心处存在二次流现象。（3）通过对正交圆柱尾迹空间测量的速度脉动 进行频谱分析发现：相对于单圆柱的情形，正交圆柱不仅出现了基频和倍频，更是出现了分数阶谐波和分 数阶亚谐波。（4）正交圆柱尾迹流态存在三次归并后的涡列，并在特定工况下占主导位置。即主导频率 为亚谐波，对于正交圆柱来说，即使激励频率远高于系统固有频率，仍可能在隔振频段内发生亚谐共振， 产生危险。（5）在 Re=68 和 Re=103 工况下发现波数匹配现象，同单圆柱尾迹的情况一致，并且波数保持 相同的区域的中心处恰为正交圆柱脱落主导频率；随着 Re 数增加，相位关联消失
参考文献 [1 M.M. Zdravkovich. Interference between two circular cylinders forming a cross. J. Fluid Mech., 1983, 128 231-246 2 T.A.FOX. Wake characteristics of two circular cylinders arranged perpendicular to each other. Journal of Fluids Engineering, 1991, 113: 45-50 3]Hideo Osaka, Ikuo Nakamura, Hidemi Yamada, Yoshimasa Kuwata and Yoshiro Kageyama. The Structur f a Turbulent Wake behind a Cruciform Circular Cylinder( lst Report, The Mean Velocity Field). Bulletin of the jSME,1983,26(213):356-363 4 T.A. Fox and NToy. Fluid flow at the center of a cross composed of tubes. Int J. Heat and Fluid Flow, 1988, (1):53 5]Tsutomu Takahashi, Laszlo Baranyi, Masataka Shirakashi. Configuration and Frequency of longitudinal Vortices Shedding from Two Circular Cylinders in Cruciform Arrangement. Journal of the Visualization Society of Japan, 1999, 19(75): 328-336 [6 Yukio Tomita, Susumu Inagaki, Shoji Suzuki and Hisami Muramatsu. Acoustic Characteristics of Two Circular Cylinders Forming a Cross in Uniform Flow(Effect on Noise Reduction and Flow Around Both Cylinders ) The Japan Society of Mechanical Engineers, 1987, 30(265 ) 1069-1079 「刁]邓见,任安禄,邹建锋。垂直交叉双圆柱绕流数值模拟及涡结构分析.空气动力学学报,2005, cruciform arrangement and vortex structures analysis. (in Chinese). Acta Aerodynamica Sinica, 20f 5 DENG Jian, REN An-lu, ZOU Jian-feng. Numerical simulations of flow around two circular cylinders 23(1)29-34 [8] C.H. K. Williamson. Vortex Dynamics in The Cylinder Wake. Annu. Rev. Fluid. Mech., 1996, 28: 477-539 [9 C H.K. Williamson. Three-dimensional wake transition. J Fluid Mech., 1996, 328: 345-407 [10]胡海岩.应用非线性动力学航空工业出版社200072 Hu Haiyan. Nonlinear Dynamics. Aviation Industry Press.(in Chinese). 2000: 72 ]谢锡麟.开放流场空间动力学行为的一种实验研究框架及几类经典流场研究.复旦大学博士论文,2004 Xie Xilin. The framework of an experimental study of the dynamic behavior of open flow field space and a few classic flow field. Fudan University doctoral thesis. (in Chinese). 2004 [12]尚宣廷,谢锡麟,麻伟巍,杨安.基于自谱及互谱实验研究二维单圆柱尾迹空间动力学行为.力学季 刊,2010,31(3):319-328 SHANG Xuan-ting, XIE Xi-lin, MAR Wei-wei, YANG An. Experimental Studies on the Spatial Dynamical Behaviors of two Dimensional Wakes of a Circular-cylinder based on Self-and Cross-spectra. (in Chinese) Chinese Quarterly of Mechanics, 2010, 31(3): 319-328 13]谢锡麟,庥麻伟巍.真实开放流场空间动力学行为分析的基本思想及方法.中国科技论文在线精品论文 2012,第5卷第3期250-259 andsomecontemporarydevelopments(incHinese).Onlinepublishedinhttp://www.paper.educpnflows XIE Xilin, MA Weiwei. The primary ideas and methologies of spatial dynamics analysis of real op 2012,(3):250-259 附录: 表2Re=68下主导频率的空间演化(St=0.11) Table 2 The spatial evolution of the pr imary frequencies at Re=68(St=0. 11) 热线位置 圆柱间距L 无量纲尺度yd 主导频率f2 中心层 6-86 f/8
参 考 文 献: [1] M.M. Zdravkovich. Interference between two circular cylinders forming a cross. J. Fluid Mech., 1983, 128: 231-246. [2] T.A.FOX. Wake characteristics of two circular cylinders arranged perpendicular to each other. Journal of Fluids Engineering, 1991, 113:45-50. [3] Hideo Osaka, Ikuo Nakamura, Hidemi Yamada, Yoshimasa Kuwata and Yoshiro Kageyama. The Structure of a Turbulent Wake behind a Cruciform Circular Cylinder( 1st Report, The Mean Velocity Field ) .Bulletin of the JSME., 1983, 26(213): 356-363. [4] T.A.Fox and N.Toy. Fluid flow at the center of a cross composed of tubes. Int. J. Heat and Fluid Flow., 1988, 9(1): 53-61. [5] Tsutomu Takahashi, Laszlo Baranyi, Masataka Shirakashi. Configuration and Frequency of Longitudinal Vortices Shedding from Two Circular Cylinders in Cruciform Arrangement. Journal of the Visualization Society of Japan, 1999, 19(75): 328-336. [6] Yukio Tomita, Susumu Inagaki, Shoji Suzuki and Hisami Muramatsu. Acoustic Characteristics of Two Circular Cylinders Forming a Cross in Uniform Flow(Effect on Noise Reduction and Flow Around Both Cylinders ). The Japan Society of Mechanical Engineers, 1987, 30(265): 1069-1079. [7] 邓见，任安禄，邹建锋. 垂直交叉双圆柱绕流数值模拟及涡结构分析. 空气动力学学报，2005， 23(1):29-34 DENG Jian, REN An-lu, ZOU Jian-feng. Numerical simulations of flow around two circular cylinders in cruciform arrangement and vortex structures analysis. (in Chinese). Acta Aerodynamica Sinica，2005， 23(1):29-34 [8] C.H.K. Williamson. Vortex Dynamics in The Cylinder Wake. Annu. Rev. Fluid. Mech., 1996, 28: 477-539. [9] C.H.K. Williamson. Three-dimensional wake transition. J.Fluid Mech., 1996, 328: 345-407. [10] 胡海岩. 应用非线性动力学,航空工业出版社,2000:72 Hu Haiyan. Nonlinear Dynamics. Aviation Industry Press. (in Chinese). 2000:72 [11] 谢锡麟. 开放流场空间动力学行为的一种实验研究框架及几类经典流场研究.复旦大学博士论文，2004. Xie Xilin. The framework of an experimental study of the dynamic behavior of open flow field space and a few classic flow field. Fudan University doctoral thesis. (in Chinese). 2004. [12] 尚宣廷，谢锡麟，麻伟巍，杨安. 基于自谱及互谱实验研究二维单圆柱尾迹空间动力学行为. 力学季 刊，2010，31(3):319-328. SHANG Xuan-ting, XIE Xi-lin , MAR Wei-wei, YANG An. Experimental Studies on the Spatial Dynamical Behaviors of two Dimensional Wakes of a Circular-cylinder based on Self- and Cross- spectra. (in Chinese). Chinese Quarterly of Mechanics，2010，31(3):319-328. [13] 谢锡麟,麻伟巍. 真实开放流场空间动力学行为分析的基本思想及方法. 中国科技论文在线精品论文. 2012, 第5卷第3期:250-259. XIE Xilin, MA Weiwei. The primary ideas and methologies of spatial dynamics analysis of real open flows and some contemporary developments. (in Chinese). Online published in http://www.paper.edu.cn/, 2012,5(3): 250-259. 附录: 表 2 Re=68 下主导频率的空间演化（St=0.11） Table 2 The spatial evolution of the primary frequencies at Re=68（St=0.11） 热线位置 圆柱间距 L 无量纲尺度 x/d 主导频率 z f 中心层 1d 6~86 4 / 8 f