2013年中国力学大会：基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研究一般固定曲面上的流动

2013年8月中国力学大会-2013 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究一般固定曲面上的流动 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟陈瑜史倩 研究背景、研究思路 理论研究:一般固定曲面上的流动(连续介质作为二维 Riemann微分流形) ·理论研究:固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架 典型运动事例:凹凸螺旋面上的流动,固定曲面上圆柱绕流

2013年8月 中国力学大会-2013 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究一般固定曲面上的流动 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 陈瑜 史倩 • 研究背景、研究思路 • 理论研究：一般固定曲面上的流动（连续介质作为二维Riemann微分流形） • 理论研究：固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架 • 典型运动事例：凹凸螺旋面上的流动，固定曲面上圆柱绕流

星体上流体运动 固 定曲面上二维流动

星体上流体运动 —— 固定曲面上二维流动

曲面上两类梯度算子 曲面梯 度算子 g1∞g 8'o-0og6g)(x)=g g1∞g 8, 0g+,(Ti8+b, n)og+ 8, 8(-rik8+bi'n v, a,(go-g0g'a b( o-n)og+a bi(go-g )o 曲面梯度算子定义基于一般张量赋范空间上的微分学 02Φ 02Φ 可以应用于在曲面上有定义的所有张量场 axa Levi-Civitavo→Φ=go-Va(Φg,g)(x) 梯度算子 d g +g,8g11s19P-④,g,③Ig=V(8°-8)8g Levi- Civita联络算子仅对切平面上的分量有效 VV2@-VV中=Rm①,+R0①, where rs=bbn分:Vb=Vb

曲面上两类梯度算子 Levi-Civita 梯度算子                 . . . . . . ( ) ( ) i j i j i j j i j i j i i l j i k j i j k j j i j l i l l i k li j i lk l i l j i j l j li j l i j l j i l l l l g g g g x g g x g g g g b n g g g b n x b g g x x g g g g n g g b g n                                                              曲面 梯 度算子     . . . . ( ) l i j j i i l j i k j i j k j l i j li k j i lk i l j l i l j x g g x g g g g g g g x g g g g                                   曲面梯度算子定义基于一般张量赋范空间上的微分学 可以应用于在曲面上有定义的所有张量场 Levi-Civita 联络算子仅对切平面上的分量有效     2 2 q p p q x x x x x x          , : - = i i i t s i s s s q p j p q j tqp j j qp t tqp q tp tq p q ps p qs R R where R b b b b b b                      ；

曲面梯度算子的应用之 内蕴形式广义sces公式」 z×n)。-①d=「Vo-①+Hno-①da t xn ∑ Φo-(x×n)dl=|o-V+HΦo-ndo 质量守恒 Xie et al. Science China g 2013 at (x,t)da+p:n·(V)dl at (a, t)do+/V(pv)do 动量守恒 apv) at (a, t)do+y, n(pv)Vdl=/ pa do=Ften+Fpre+Fvis+Fsur 表面张力Fm:=74r×m=7/Hno 内压力 Fpre:=-r×(pn)l= p- pHn do 内摩擦Fm:=4p(rxn)·(v+四av)m V·(vV+Vv)+Ht 0

曲面梯度算子的应用之一 —— 内蕴形式广义Stokes公式 表面张力 内压力 动量守恒 质量守恒 内摩擦 Xie et al. Science China G,2013

Mass conservation (x,t)+V·(p)、 at a(x,、、8(x,t)+pV=p+p0=0,:=Vv Novel NsEs Curvatures roles m(+7+7)+ka可+fm pan=Hr-p)+u[26v: i]+four (ay, t)+VV,Vi 0 (a, t)+u[9ViV, Vi+VI(vsVs)+Kgvi+fsi biivivj= H(y-p)+u[,+four Gauss曲率伴随着速度在切平面的分量直接参与至切平面上的动量平衡 而平均曲率伴随着表面张力系数、内压力参与至法向动量平衡

Novel NSEs Curvatures Roles Mass Conservation Gauss 曲率伴随着速度在切平面的分量直接参与至切平面上的动量平衡； 而平均曲率伴随着表面张力系数、内压力参与至法向动量平衡

Initial P/ysical Configuration Current parametric configuration G Fixed Smooth Surface 2=2(x(5) =x(5 g1 X Current Phsical Configuration Initial Parametric Configuration Aris(1962)Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics 如[s0=[c0] (Sx,t)=(V远)det d 重l=1,1+Vss+ O dt 本研究结果 人=人+(m+)如=匝+

Aris(1962) 本研究结果

基于 Levi-Civitat梯度算子获得曲面上涡量动力学的基本关系式 体上的场论 面上的场论 F|V×(bF)=FV×b Wx(bF)N=F(V×b)n =-bu+V×a 603+(V×a)n C=V× O V×(V×b)=V(V b) △b V×(V×b)=V(V·b)-△b+Kb Vb∈TΣ△bV·(V∞b pag=Ⅶ∏-AV×+fm Pa1g=V-N×+2/KGV+fag II:=-p+2;)9 ∏:=-p+2;9

基于Levi-Civita梯度算子获得曲面上涡量动力学的基本关系式 体上的场论 面上的场论 F b F F b               = a V           b F N F b n                     3 3 3= a n V n                          b b b    : 2 m a g f p                       G b b b K b b T b b                    , 2 : 2 l l l G sur l a g K V f g p                

一般固定曲面上可压缩(变面密度)流动的控制方程 △d=V.V=:6 Stokes-Helmholtz分解V=Vφ+V×(vm),with △v=-(V×V)·n=-3 6=-[VaV): (VeV)+KGVI+Vp.Vp--Ap Vp·(△V+Vb+KcV)+-[e+V.(KcV)+V·faur 胀压量控制方程 D: D 2+KG/V/12 △ P vp·Vxu+2V0+kaV)+2△+·(kaV)+yfm i 3=-0w3-5IVp, -Vp+u[-vxw+2(v0+KGV),n 「涡量控制方程 +2△+2V×(KcV)]·n-vp,fs,n]+(Vxfr)·n

一般固定曲面上可压缩 ( 变面密度 ) 流动的控制方程 Stokes-Helmholtz 分解 胀压量控制方程 涡量控制方程

一般固定曲面上不可压缩流动的涡-流函数解法 Vorticity Stream-function for Incompressible flows NSEs Curvature Role △= g az33 k vavau+2e3Vk(Kcvi)+ kl3 ksur. Pressure Equation for Incompressible flows NSEs Curvature role △p=p(V∞V):(V⑧V)+KGV-2V·(VKG)-V·fx,V2:=Vv

Vorticity & Stream-function for Incompressible flows NSEs Curvature Role Pressure Equation for Incompressible flows NSEs Curvature Role 一般固定曲面上不可压缩流动的涡 - 流函数解法

事例1:固定凹凸螺旋面上的不可压缩流动4 涡量分布 平均曲率 Re=100 分布 -4.9 Gaussian 曲率分布

事例1：固定凹凸螺旋面上的不可压缩流动 平均曲率 分布 Gaussian 曲率分布 涡量分布 Re=100