2013年8月中国力学大会-2013 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究一般固定曲面上的流动 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟陈瑜史倩 研究背景、研究思路 理论研究:一般固定曲面上的流动(连续介质作为二维 Riemann微分流形) ·理论研究:固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架 典型运动事例:凹凸螺旋面上的流动,固定曲面上圆柱绕流
2013年8月 中国力学大会-2013 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究一般固定曲面上的流动 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 陈瑜 史倩 • 研究背景、研究思路 • 理论研究：一般固定曲面上的流动（连续介质作为二维Riemann微分流形） • 理论研究：固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架 • 典型运动事例：凹凸螺旋面上的流动，固定曲面上圆柱绕流
星体上流体运动 固 定曲面上二维流动
星体上流体运动 —— 固定曲面上二维流动
曲面上两类梯度算子 曲面梯 度算子 g1∞g 8'o-0og6g)(x)=g g1∞g 8, 0g+,(Ti8+b, n)og+ 8, 8(-rik8+bi'n v, a,(go-g0g'a b( o-n)og+a bi(go-g )o 曲面梯度算子定义基于一般张量赋范空间上的微分学 02Φ 02Φ 可以应用于在曲面上有定义的所有张量场 axa Levi-Civitavo→Φ=go-Va(Φg,g)(x) 梯度算子 d g +g,8g11s19P-④,g,③Ig=V(8°-8)8g Levi- Civita联络算子仅对切平面上的分量有效 VV2@-VV中=Rm①,+R0①, where rs=bbn分:Vb=Vb
曲面上两类梯度算子 Levi-Civita 梯度算子 . . . . . . ( ) ( ) i j i j i j j i j i j i i l j i k j i j k j j i j l i l l i k li j i lk l i l j i j l j li j l i j l j i l l l l g g g g x g g x g g g g b n g g g b n x b g g x x g g g g n g g b g n 曲面 梯 度算子 . . . . ( ) l i j j i i l j i k j i j k j l i j li k j i lk i l j l i l j x g g x g g g g g g g x g g g g 曲面梯度算子定义基于一般张量赋范空间上的微分学 可以应用于在曲面上有定义的所有张量场 Levi-Civita 联络算子仅对切平面上的分量有效 2 2 q p p q x x x x x x , : - = i i i t s i s s s q p j p q j tqp j j qp t tqp q tp tq p q ps p qs R R where R b b b b b b ；
曲面梯度算子的应用之 内蕴形式广义sces公式」 z×n)。-①d=「Vo-①+Hno-①da t xn ∑ Φo-(x×n)dl=|o-V+HΦo-ndo 质量守恒 Xie et al. Science China g 2013 at (x,t)da+p:n·(V)dl at (a, t)do+/V(pv)do 动量守恒 apv) at (a, t)do+y, n(pv)Vdl=/ pa do=Ften+Fpre+Fvis+Fsur 表面张力Fm:=74r×m=7/Hno 内压力 Fpre:=-r×(pn)l= p- pHn do 内摩擦Fm:=4p(rxn)·(v+四av)m V·(vV+Vv)+Ht 0
曲面梯度算子的应用之一 —— 内蕴形式广义Stokes公式 表面张力 内压力 动量守恒 质量守恒 内摩擦 Xie et al. Science China G,2013
Mass conservation (x,t)+V·(p)、 at a(x,、、8(x,t)+pV=p+p0=0,:=Vv Novel NsEs Curvatures roles m(+7+7)+ka可+fm pan=Hr-p)+u[26v: i]+four (ay, t)+VV,Vi 0 (a, t)+u[9ViV, Vi+VI(vsVs)+Kgvi+fsi biivivj= H(y-p)+u[,+four Gauss曲率伴随着速度在切平面的分量直接参与至切平面上的动量平衡 而平均曲率伴随着表面张力系数、内压力参与至法向动量平衡
Novel NSEs Curvatures Roles Mass Conservation Gauss 曲率伴随着速度在切平面的分量直接参与至切平面上的动量平衡； 而平均曲率伴随着表面张力系数、内压力参与至法向动量平衡
Initial P/ysical Configuration Current parametric configuration G Fixed Smooth Surface 2=2(x(5) =x(5 g1 X Current Phsical Configuration Initial Parametric Configuration Aris(1962)Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics 如[s0=[c0] (Sx,t)=(V远)det d 重l=1,1+Vss+ O dt 本研究结果 人=人+(m+)如=匝+
Aris(1962) 本研究结果
基于 Levi-Civitat梯度算子获得曲面上涡量动力学的基本关系式 体上的场论 面上的场论 F|V×(bF)=FV×b Wx(bF)N=F(V×b)n =-bu+V×a 603+(V×a)n C=V× O V×(V×b)=V(V b) △b V×(V×b)=V(V·b)-△b+Kb Vb∈TΣ△bV·(V∞b pag=Ⅶ∏-AV×+fm Pa1g=V-N×+2/KGV+fag II:=-p+2;)9 ∏:=-p+2;9
基于Levi-Civita梯度算子获得曲面上涡量动力学的基本关系式 体上的场论 面上的场论 F b F F b = a V b F N F b n 3 3 3= a n V n b b b : 2 m a g f p G b b b K b b T b b , 2 : 2 l l l G sur l a g K V f g p
一般固定曲面上可压缩(变面密度)流动的控制方程 △d=V.V=:6 Stokes-Helmholtz分解V=Vφ+V×(vm),with △v=-(V×V)·n=-3 6=-[VaV): (VeV)+KGVI+Vp.Vp--Ap Vp·(△V+Vb+KcV)+-[e+V.(KcV)+V·faur 胀压量控制方程 D: D 2+KG/V/12 △ P vp·Vxu+2V0+kaV)+2△+·(kaV)+yfm i 3=-0w3-5IVp, -Vp+u[-vxw+2(v0+KGV),n 「涡量控制方程 +2△+2V×(KcV)]·n-vp,fs,n]+(Vxfr)·n
一般固定曲面上可压缩 ( 变面密度 ) 流动的控制方程 Stokes-Helmholtz 分解 胀压量控制方程 涡量控制方程
一般固定曲面上不可压缩流动的涡-流函数解法 Vorticity Stream-function for Incompressible flows NSEs Curvature Role △= g az33 k vavau+2e3Vk(Kcvi)+ kl3 ksur. Pressure Equation for Incompressible flows NSEs Curvature role △p=p(V∞V):(V⑧V)+KGV-2V·(VKG)-V·fx,V2:=Vv
Vorticity & Stream-function for Incompressible flows NSEs Curvature Role Pressure Equation for Incompressible flows NSEs Curvature Role 一般固定曲面上不可压缩流动的涡 - 流函数解法
事例1:固定凹凸螺旋面上的不可压缩流动4 涡量分布 平均曲率 Re=100 分布 -4.9 Gaussian 曲率分布
事例1：固定凹凸螺旋面上的不可压缩流动 平均曲率 分布 Gaussian 曲率分布 涡量分布 Re=100
