第六届全国力学史与方法论学术研讨会 2013年8月21-24日宁夏大学 基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系 的相关教学与研究 研习继承发展传播 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟谨识 相关侧重方法论的研究论文 1.谢锡麟.“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用.力学季刊, 2012,33(4):544-557. 2.谢锡麟.基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究.力学季 刊,2013,34(2):337-351
第六届全国力学史与方法论学术研讨会 2013年8月21－24日 宁夏大学 基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系 的相关教学与研究 研习 继承 发展 传播 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 谨识 相关侧重方法论的研究论文 1. 谢锡麟.“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用. 力学季刊， 2012，33（4）：544－557. 2. 谢锡麟. 基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究. 力学季 刊，2013，34（2）：337－351
郭仲衡所著《张量(理论和应用)》郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 知识体系 ①张量的代数性质(张量定义为多重线性映照)①有限变形理论(连续介质几何形态默认为 ②仿射量的基本性质(基于外积运算) Euclid流形)。理论框架上分别对初始物理构 ③张量值映照微分学(含各向同性张量值映照的形以及当前物理构形引入曲线坐标系,理论发 表示理论等) 展上按变形梯度及其基本性质,变形刻画,输 ④微分几何中曲线论与曲面论的基本内容(主要运方程,守恒律方程等。 包括局部标架及其运动方程) ②有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力 现在几何学中相关思想及方法(包括基于同态 学若干典型事例的半解析求解。 映照的推前及拉回,Lie导数, Hodge星算子,内 导数,外微分以及相关运算之间的关系),对出③变分原理 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念,但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 值得指出,基于《张量(理论和应用)》 形上的分析,且数学分析上非常清晰 所载张量分析的知识体系,研习《非线性弹性 张量分析在连续介质中的基本应用(几何形态理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 默认为 Euclid流形),包括变形刻画,输运方程;上的困难 另涉及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中 的应用,但书著中未对这部分内容做深入阐述
① 张量的代数性质（张量定义为多重线性映照） ② 仿射量的基本性质（基于外积运算） ③ 张量值映照微分学（含各向同性张量值映照的 表示理论等） ④ 微分几何中曲线论与曲面论的基本内容（主要 包括局部标架及其运动方程） ⑤ 现在几何学中相关思想及方法（包括基于同态 映照的推前及拉回，Lie导数，Hodge星算子，内 导数，外微分以及相关运算之间的关系），对此 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念，但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 形上的分析，且数学分析上非常清晰。 ⑥ 张量分析在连续介质中的基本应用（几何形态 默认为Euclid流形），包括变形刻画，输运方程； 另涉及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中 的应用，但书著中未对这部分内容做深入阐述。 郭仲衡所著《张量（理论和应用）》 知识体系 郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 ① 有限变形理论（连续介质几何形态默认为 Euclid流形）。理论框架上分别对初始物理构 形以及当前物理构形引入曲线坐标系，理论发 展上按变形梯度及其基本性质，变形刻画，输 运方程，守恒律方程等。 ② 有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力 学若干典型事例的半解析求解。 ③ 变分原理。 —— 值得指出，基于《张量（理论和应用）》 所载张量分析的知识体系，研习《非线性弹性 理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 上的困难
R上微分学 [a,b]上 Riemann积分 知识 体系 Rm上 Jordan可测集上 Riemann积分 微积 R上微分学 分的 Rm上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 添接 (R中微分流形上微分学 (R中微分流形上积分学) 一般赋范线性空间上微分学 一般集类上测度及积分 知识体系:理性力学观点下,基于现代几何学的连续介质力学基本理论及其实践 基本理论课程 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 固体力学 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 凵固体力学基础 血液动力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形) 流体力学 涡量与涡动力学基础涡量空气动力学
Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 涡量与涡动力学基础 固体力学基础 涡量空气动力学 弹塑性力学 生物力学基础 基本理论课程 生物力学 血液动力学 流体力学 固体力学 1上微分学 m m 上微分学 中微分流形上微分学 一般赋范线性空间上微分学 a,b上Riemann积分 m上Jordan Riemann 可测集上 积分 m m 上Lebesgue Lebesgue 测度及 积分 （ 中微分流形上积分学） 一般集类上测度及积分 知识 体系： 微积 分的 一流 化进 程 知识体系：理性力学观点下，基于现代几何学的连续介质力学基本理论及其实践
量子力学 力学结合数学提供了 电动力学 我们认识自然及非自然世界 理论力学 然世 理性世界 的具有基础意义的系统的思 力学&数学 认知 治学基本理念 关思想及方法 想和方法。 数学刻画 连续介质力学 (非数学刻画 控制力学 在此过程中,数学表现 相关思想及方法 非自然世界 为认识自然及非自然世界系 微积分+线性代数测度论十泛函分析 层次 层次 统的思想及方法,而非仅是 逻辑过程。 ①“正本清源”,表现为澄清知识体系的来龙去脉,按内在逻辑关系厘清体系 以此替代对具体结论的“形式上记忆” ②“温故而知新”,表现为主要基于“微积分及线性代数知识体系”发展张 量分析与微分几何知识体系”,籍此在发展“连续介质力学知识体系” ③“理论联系实际”,表现为将相关理论直接联系于理论力学、流体力学、弹 性力学学科;注重发展“可适合一类问题的新思想及新方法
①“正本清源”，表现为澄清知识体系的来龙去脉，按内在逻辑关系厘清体系 以此替代对具体结论的“形式上记忆” ②“温故而知新”，表现为主要基于“微积分及线性代数知识体系”发展“张 量分析与微分几何知识体系”，籍此在发展“连续介质力学知识体系” ③“理论联系实际”，表现为将相关理论直接联系于理论力学、流体力学、弹 性力学学科；注重发展“可适合一类问题的新思想及新方法” —— 力学结合数学 提供了 我们认识自然及非自然世界 的具有基础意义的系统的思 想和方法。 —— 在此过程中，数学表现 为认识自然及非自然世界系 统的思想及方法，而非仅是 逻辑过程。 治 学 基 本 理 念
则变 X(5,7,5,) t+h,s 区化 域观 连续介质力学研究的核 规则区域 点 微 分将 同 叶片间流动区域 参数区域 胚不 旋转轴(边界可作有限变形运动) (边界始终固定) 于规 基局 数理展部 =(x1g88⑧g(x2) 参数区域 与开基 x2-曲线x( =0(x,)g8g8g(,) 曲线 :几方观 g1(=b,7)x g2(x2,) 张何程点 >x2-曲线 xm-曲线 量间 x-曲线x 分关研按物理区域下B(c x2-曲线 ∠曲线 析系究局 x2-曲线 物部 曲线坐标X=X(x,1)
变化观点：将“不规 则区域”微分同胚于 “规则区域” 连续介质力学研究的核心数学：张量分析 局部基观点：按局部 基展开方程，研究物 理与几何间关系
基本关系式Φ为任意张量 局部基观点事例:壁面 0=(0)10小n(m0m变形率表示(吴介之) 壁面变形率(吴介之组) 典则基是 Euclid空间中 D=(0-5pnn+-(oxn)8n+1n(oxn)最简单的基,但并非对特定问 2 题一定就是最适合的 Caswell (xn)8n+n8(Pxn)-nnv,此处=8,n,n 壁面运动 科大陆夕云组 切平面 涡线 TXn 注:对任意静止弯曲壁面,不可压缩流动的 最大拉伸角均为沿流向45度;可压缩性和壁 面变形运动可以改变最大拉伸角
3 X 1 X o 2 X n n n 切平面 涡线 科大陆夕云组 注：对任意静止弯曲壁面，不可压缩流动的 最大拉伸角均为沿流向45度；可压缩性和壁 面变形运动可以改变最大拉伸角。 局部基观点 事例：壁面 变形率表示（吴介之） —— 典则基 是Euclid空间中 最简单的基，但并非对特定问 题一定就是最适合的
理论发展当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形 理论:构型构造;变形梯度;变形刻画;输运定理;守恒律方程(按郭 仲衡有限变形理论平行发展)Xeta. Science china g,2013 t=0.1 1.5 学生实践事例 0. 150 0 2 6 10 12 t=0.1 1.5 0.5 10 学生实践事例 t=480.05 t=121 0
理论发展 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形 理论：构型构造；变形梯度；变形刻画；输运定理；守恒律方程（按郭 仲衡有限变形理论平行发展）Xie et al. Science China G, 2013 学生实践事例 学生实践事例
海面油污扩散 地球上海啸或洪水 膜的大变形运动 几何形态为曲面的连续介质运动 薄层运动假设(引入面密度 几何形态为曲面( Riemann流形)
地球上 海啸 或 洪水 海 面 油 污 扩 散 膜 的 大 变 形 运 动 几何形态为曲面的连续介质运动 —— 薄层运动假设（引入面密度） —— 几何形态为曲面（Riemann流形）
守变构的理 Current Parametric Configuration 恒形型论 Iinitial Plysical Configuration 发 律刻构介展 ∑ Fixed Smooth Surface 方画造质 P (5 程 几 82 输变 的有限 何 运形变形 g1 定梯瑙为 Initial Parametric Configuration 理度论面 曲 Current Physical Configuration x MO ∑=E(5) 变形梯度Fax ∑ ∑ 质点速 段(t)81(x2,1)8G(x2)∈T2()stab=F,ab ∑ T全∑全 t), t+xeg ot 2(S,t 物质导数≌ CΦ 2O∑ ∑ x-,t)+|V ot ∑ at a2(x)(8
变形梯度 质点速度 物质导数 理 论 发 展 几 何 形 态 为 曲 面 的 连 续 介 质 的 有 限 变 形 理 论 ： 构 型 构 造 ； 变 形 梯 度 ； 变 形 刻 画 ； 输 运 定 理 ； 守 恒 律 方 程
固定曲面上二维流动相关理论研究:质量守恒/连续性方程 Aris(1962)Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics det x, t (as, t)+rs det aca (sz, t)=(vg i5)det aca (sy, t) Φdo= Φ+ΦVsV8+ Xie et al. Science China G 2013 面输运d 0∑0∑ (入,n)dr=jd+jbd 人w=人+(m0+)如=人 +ΦVsVs|do
Aris(1962) 固定曲面上二维流动 相关理论研究：质量守恒/连续性方程