组织教学研究与实践研讨—2012年01月—复旦大学力学系 谢锡麟报告

教学研究与实践研讨 2012年元月19日复旦大学力学系 2011年度市教委重点课程: 《数学分析》(一年制,面对力学等技术科学专业) 2011年度市教委重点教改项目: 现代连续介质力学理论及实践”课程体系 (1)上述二项目基本情况介绍,结合申请书 (2)教学路径:“微积分的一流化进程” (3)教学研究:“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论及其应用” (4)澄清知识体系的基本思想及方法:知识点、知识要素、数学通识

教学研究与实践 研讨 2012年元月19日 复旦大学力学系 2011年度市教委重点课程： 《数学分析》（一年制，面对力学等技术科学专业） 2011年度市教委重点教改项目： “现代连续介质力学理论及实践”课程体系 （1）上述二项目基本情况介绍，结合申请书 （2）教学路径：“微积分的一流化进程” （3）教学研究：“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论及其应用” （4）澄清知识体系的基本思想及方法：知识点、知识要素、数学通识

分分年数 析制学 R上微分学 基ˇ⌒知 础数识 ③学体 Rm上微分学 分系 本微析 硕分 微分学 (R中徽分流形上微分学) 共流 享形②教 的经路 般赋范线性空间上微分学 微典径 积力 分学 数微 a,b]上 Riemann积分 学积 ④名分 的 Rm上 Jordan可测集上 Riemann积分 应选 用讲流 积分学 实⌒化 R"上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 变有进 函关程 (R中微分流形上积分学) 数高 泛微① 函积二 一般集类上测度及积分

数学知识体系 —— 教学路径：“微积分的一流化进程”：①一 年制《数学分析》；②《经典力学数学名著选讲（有关高等微积 分）》；③《微分流形上的微积分》；④《应用实变函数与泛函 分析基础》（本硕共享） 微分学积分学 1上微分学   m m 上 微 分 学 中 微 分 流 形 上 微 分 学 一 般 赋 范 线 性 空 间 上 微 分 学 a,b上Riemann积分 m 上Jordan Riemann 可测集上 积 分 m m 上Lebesgue Lebesgue 测度及 积 分 （ 中 微 分 流 形 上 积 分 学） 一般集类上测度及积分

力学知识体系—教学路径:“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论 及其在实践”①《张量分析与微分几何基础》;②《连续介质力学基础》(按理性力 学观点);③《涡量与涡动力学基础》(本硕共享);④《固体力学基础》、《断裂 与损伤》;⑤《生物力学基础》;⑥《弹塑性力学》(东华大学)等 Euclid空间中的张量分析与微分几何 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 口弹性力学 连续介质力学一般理论 塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形) 流体力学(涡量与涡动力学) 空气动力学(涡量与涡动力学观点)

力学知识体系 —— 教学路径：“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论 及其在实践” ①《张量分析与微分几何基础》；②《连续介质力学基础》（按理性力 学观点）；③《涡量与涡动力学基础》（本硕共享）；④《固体力学基础》、《断裂 与损伤》；⑤《生物力学基础》；⑥《弹塑性力学》（东华大学）等 Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 流体力学（涡量与涡动力学） 弹性力学 空气动力学（涡量与涡动力学观点） 塑性力学 生物力学

构成;Ⅲ不同知识点之知识要素可能相同,称为“数学通识,知识点由知识要素 知识体系的“辐射式”发展特征;Ⅱ知识体系的构建:知识点 上述认知过程, 称为“正本清源”。 般赋范线性空间上微积分 風范线性空间之间映照极限R上微积分 般集类测度论 回值映照R上微积分西m测集上积分 函数极限 定积分 近行( 照极限 刻画 分和极限 函数导数 饭函数定理 向量值映照可微性 隱隐映照、逆映定理 赋范线性空间之间映照可微性 范线性空间上隐映<逆映照定理 正本清源、格物致知—以方法论的思想梳理和掌握理论=思想+方法(应用)

Ⅰ 知识体系的“辐射式”发展特征；Ⅱ 知识体系的构建：知识点，知识点由知识要素 构成；Ⅲ 不同知识点之知识要素可能相同，称为 “数学通识” —— 上述认知过程， 称为 “正本清源” 。 “逼近行为” 刻画 点列极限 映照极限 部分和极限 函数极限 函数导数 定积分 反函数定理 向量值映照极限 Jordan可测集上积分 向量值映照可微性 隐映照、逆映照定理 1上微积分 赋范线性空间之间映照极限 m上微积分 一般赋范线性空间上微积分 赋范线性空间之间映照可微性 赋范线性空间上隐映照、逆映照定理 一般集类上测度论 正本清源、格物致知 —— 以方法论的思想梳理和掌握 理论＝思想 + 方法（应用）

可形一向量值映照f(x):R”393XHf(x)∈R 式贺可微性(+1=((+0,处()=1(x 性而体 映可系引入R上范数:。=√5,5) 照微辐 近性射 似的发 (+1)=()+D(b+0)x)此处:D(=(0()=R 实展 且质 张量场Φ(x):R二93x中(x)V;(x)818g88(x)∈T(R") 误为事 差由例可微性0(x+)=0()+()(+0(1,此处()∈(r() 的自导/”A(R")上范数:8n3)图m1h 无穷 变 数 a(x+h)=(x)+v, a(x)g0g'8g(x).h+o(RET(r 小 变 是映 dg 而思 此处:(x) ()(h)=[Vc;(x)g,g88g(x)][hs,(x)=(中V)(x),H 可泛函C"(2)3f(x)1→F小L(x(x,V(x)dr∈R 起微 的性可微性F(f+h)=F(f)+()(n)+0),此处“()∈L(C(,R) 因的 体六6(0)全(+x)=F(∈B 变表 df 现 →临界点 Lagrange-Euler方程 dv(x()V()(xf(x,V/(x)2=0 d aL

Ⅰ 知 识 体 系 辐 射 发 展 事 例 ： “ 导 数 ” 是 映 照 可 微 性 的 具 体 表 现 形 式 ； 而 可 微 性 的 实 质 为 由 于 自 变 量 变 化 而 引 起 的 因 变 量 变 化 可 由 线 性 映 照 近 似 ， 且 误 差 为 一 阶 无 穷 小 量 。                                : , , m , m m m m n m m n m i n n f Df x h Df x x df df f x h f x x h o h x f x x f x f x h f x x o h L dx dx                                 引 向量值映照 可微性 ，此处 入 上范数: 此处：                                                  3 3 3 3 3 : + , m m m m m m m i k j m l j i k i k j l l j i k i k j l q l j i m m m q m T k x g g g x h d x h x g g g g x x d d x h x x h o h x L T d x x g g g x T T x h x x dx o h h T x g x dx                                                      张 引 量场 可微性 ，此 入 上范数 ： 处 : 此处   =     x H                                                  0 , , Lagrange-Euler lim , , , , , 0 p p C p h dF F f h F f f h D F f df d L L x f dF dF F f h x f x x f x f x dx f C F f f f x F f L x f f h o h f L C df x df f x d                                       基于: 泛函 可微性 ，此处 临界点 方程：

Ⅱ知识点:复杂函数的局部意义下的多项式逼近(无限小增量公式)要素:①基 于初等函数的逼近;②复合函数极限定理;③“逐项求导”、“逐项求积”二个技术 性引理;④ Landau符号化简的一个事例(主要思想:“抓住主要矛盾、忽略次要矛 盾”) 目标:获得复杂函数的多项式逼近:f(x)=c+∑cx+o(x 基本理论 若干典型函数的逼近形式,如 =1+>x+0(x k=1 2复合函数极限定理, x+olx k=1 3技术性引理:由f(x)逼近式,经逐项求导得4(x)逼近式,经逐项求积得∫(x1逼近式 4 Landauf号简化:o((x),()=元,x2+0(x2)→0((x)=0(x2) 应用事例 In cos x=In 0(x) +o(x)+ +o(x +o() thanks to o(x)+o(x)=o(x), o(x)+o(x=o(x

                       0 1 1 3 3 3 1 1 1. 1 1 1 2. 1 1+ 3. 4.Landau , n k n k k n k n k n k n k p p f x c c x o x x o x x x o x x df x x f x dx dx o x x x o x                                目标：获得复杂函数的多项式逼近： 基本理论： 若干典型函数的逼近形式，如： 复合函数极限定理， 如： 技术性引理：由f 逼近式，经逐项求导得 逼近式，经逐项求积得 逼近式 符号简化：      2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 1 ln cos ln 1 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) + ( ) = ( ) , ( ) ( ) ( ( ) 2 ) 2 ( ) 2 p o x o x x x x o x o x o x o x thanks to o x o x o x o x o x o x x o x x o x                                               应用事例： Ⅱ 知识点：复杂函数的局部意义下的多项式逼近（无限小增量公式） 要素： ① 基 于初等函数的逼近；② 复合函数极限定理；③ “逐项求导”、“逐项求积”二个技术 性引理；④ Landau符号化简的一个事例（主要思想：“抓住主要矛盾、忽略次要矛 盾”）

Ⅱ知识点: Euclid空间中张量场场论恒等式推导要素:①置换算子同 Kronecker符号之间的关系;②Rici引理:对应现联络或共变微分同 Riemann度量相 容;③ Euclid空间基本性质:张量分量的协变导数可以交换次序,亦即 Riemann Christoffel号为零 R(b·r.sin.cosm X(x): Da )x=0-X(x)=x2 ()4 R(e,p) r- sin 0- sinp ECP(Dra, D: q X R(O,). rcos o R(0,,t) X(x, t) 2Rc/引理:ax (x)=0(=(x)g8;8g(x)=V=(x)g8;8g(x)= G ar(arls,(80g(x)=18,(x)8@g(x)=0 3. euclid空间基本性质:VⅤ=VV g p

x z o  o r Dxyz Dr R t r  , ,  y    1  2               1 2 3 , sin cos X : X , sin sin , , cos p r r xyz r X R r x D x x X x R r C D D X R r                                                           X ,  x t Ⅱ 知识点：Euclid空间中张量场 场论恒等式推导 要素： ① 置换算子同 Kronecker符号之间的关系；② Ricci引理：对应现联络或共变微分同Riemann度量相 容；③ Euclid空间基本性质：张量分量的协变导数可以交换次序，亦即Riemann－ Christoffel符号为零                       1. 0 2. 0 3. ijk j k k j ipq p q p q ijk ijk l l i j k l i j k i j i j l l ij l ij p q q p x x g g g x x g g g x x x Ricci G x g x g g x g x g g x x x Euclid                                         引理： 空间基本性质：

0(54)∈r(M)(x(5) 物质导数 知识点 迹线 d(:)=(x( ICx(:5)=5 TM M 烟线 沿 数 烟要定义:沿“轨迹”的变化率 d(5∈T(M) 的①L(5,4)=1m (x(t5),)-(5,4)a t-to b(54)+FV8(5,4) 变化率,此时对 沿 定义:沿“烟线”的变化率 轨迹一的 LΦ(5,)=lim d(x(5))-(52)= VΦ(5,) → t-to 成变对于定常情况,轨迹、烟线以及流线三者重合,故上述二者重合。 对一可证明:沿“烟线”的变化率或定常情形(214月研究生课程) 孤此4:(5,40)=vap 数 时 对 ](54)=pv(5,)

  0 t ;   0 x t ; T M T Mx  迹线 烟线      x t t  ; ,    0 , r T T M s t      ,    r T T M s t             0 ; ; , . . ; dx t V x t t dt I C x t            Ⅱ 知 识 点 ：Lie 导 数 要 素 ： ① 沿 “ 轨 迹 ” 的 变 化 率 ， 此 时 对 应 “ 物 质 导 数 ” ； ② 沿 “ 烟 线 ” 的 变 化 率 ， 此 时 对 应 “ 对 流 导 数 ” 。                         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; , , , : lim , , ; , , , : lim , , V t t V t t i k l V j x t t L t t V t t t t x t t L t V t t t L t t t V                                       定义：沿“轨迹”的变化率 —— 可证明：沿“烟线”的变化率或定常情形（2011年9月 对于定常情况，轨迹、烟线以及流线三者重合，故上述二 定义 研究 ：沿 生课程） “烟线” 者重合。 的变化率  0 0    + , : , i s k i k s k i k i s l j j s j s j s l i k i s k s i k k i s l i k l j ls j lj s ls j l j V V V x V t V t                                   

Ⅱ知识点:完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示要素:①张量分量的坐 标转换关系;②基本思想为构造“非完整基下的形式协变导数”,涉及形式导数、 Christoffel号;形式协变导数;③完整基为正交基,非完整基为单位正交基情况, 形式协变导数的简单形式一为在任意单位正交基下展开张量分量提供了理论基础。 基本依据 vOD(x): v, ap (x)88g0g'0gk(x)=vo p! i)(x)80)08a)0g)08(x) 此处:VΦ (0)i(p) V,Φ∵( 分析要素(一般情形) 1形式导数:=CO 2 Christoff号: (a)(B) +).acl) 3协变导数:vopu(x)=ap.tm(x)+rpu0)-ra.t)+rptp 应用:完整基为正交基,非完整基为单位正交基 1形式导数:o=CO 2.Christoffel=: Tlae(x)=(apy(e=r(aBr); r(aBa)=-r(aaB) n√g 3协变导数:V(O)d(y(x)=0④b(aBy)(x)+r(apa)d(upBy)+r(pB)d(ay) +r(y)中(aB)

                                                                                                   : : . : 2. : 3. : i k l j l j i k l j i k i k l j l l i j k i j j k ij i x x g g g g x x g g g g x x C C C C x x C C Christoffel x C C C x x C C x x x x x                                                                       基本依据 分析要素（一般情形） 此处： 1形式导数： 符号： 协变导数：                                                        . : 1 ln 2. : ; 3. : l C l g Christoffel x g x x x                                                                             ， 应用：完整基为正交基，非完整基为单 1 位 形式导数： 符号： 协变导数： 正交基      Ⅱ 知识点：完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示 要素： ① 张量分量的坐 标转换关系；② 基本思想为构造 “非完整基下的形式协变导数”，涉及形式导数、 Christoffel符号；形式协变导数；③ 完整基为正交基，非完整基为单位正交基情况， 形式协变导数的简单形式 —— 为在任意单位正交基下展开张量分量提供了理论基础

Ⅱ知识点:物质系统变形运动基本刻画框架要素:①微分同胚;②张量的二点表 示形式;③变形梯度(基于向量值映照的可微性) 初始物理构型 当前物理构型 g2(x(5n,1) >x2-曲线 曲线 G1(5) 曲线 曲线 x-曲线 曲线 g3(x(5n,1),) 当前构型曲线坐标 初始构型曲线坐标 X=X(x,t) X=X(5) X1 曲线 曲线 b 曲线 曲线 -曲线初始爹数构型 x-曲线当前参数构型 物理=X(+△)X(x(5)=(5,);(x)A=|(51)s(x)8G()(△G2(5) ab当前物理构型 F·F2b初始物理构型L (5,1)g(x)8G“(5)元 b初始物理构型

1 X o G1  b  1  曲线 2  曲线 3  曲线 a b G3  a  G2  a  g x t 1   a ,  1 x 曲线 2 x 曲线 3 x 曲线 a b g x t t 3   a , ,  g x t 2   a ,  1  3 o  2 a 1  曲线 3  曲线 2  曲线 b 3 x o 2 x a 1 x 曲线 2 x 曲线 b 1 x 3 x 曲线 初始物理构型 当前物理构型 初始参数构型 当前参数构型 X X    初始构型曲线坐标 , X X x t    当前构型曲线坐标                          , , , i i A A B ab i i B A A i A ab ab i ab A x x r X x X x t g x t g x G G x r F r t g x G r                                              当前物理构型 当前物理构型 初始物理构型 初始物理构型 X1 X3 o X2 3 X 2 X Ⅱ 知识点：物质系统变形运动基本刻画框架 要素：① 微分同胚；② 张量的二点表 示形式；③ 变形梯度（基于向量值映照的可微性）