2010年全国力学课程论坛：面对力学专业有关微积分教学 的若干体会

面对力学专业有关微积分教学 的若干体会 复旦大学力学与工程科学系谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2010年11月四川成都 主要内容 ·面对力学专业微积分教学的基本观点(理念) 具有国内外一流水平的微积分教学的主要特征 ·拔尖(创新)人才培养的若干思考(有关数理知识体系)

面对力学专业有关微积分教学 的若干体会 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2010 年11 月 四川成都 主要内容 • 面对力学专业微积分教学的基本观点（理念） • 具有国内外一流水平的微积分教学的主要特征 • 拔尖（创新）人才培养的若干思考（有关数理知识体系）

参阅:《论技术科学》一钱学森1957年发表于《科学通报》 人类认识和改造自然及非自然世界的不同层面 简单~精确→中间阶段→具体~复杂 基础科学 精 丰富理想 技术科学 提 工程技术 的 炼 若 数学 流体力学 论模 共有问题 航空工业 固体力学 程 物理 化学工业 题 化学 型的利用 工程力学 冶金工业 经 天文 一般力学 验 原子能利用 精理 地理 飞行器设计 进工程进步 工程经济 论 模型的 理 生物 控制论 物流规划 促 自然及非自然世界中的研究对象→①所研究对象的数学提法(建模)→②数学分析 (逻辑过程)→③获得对所研究对象的认识 微积分教学主要内容为:②以及②同①、③之间的联系

参阅:《论技术科学》—— 钱学森 1957年发表于《科学通报》 基础科学 物 理 化 学 天 文 地 理 生 物 数 学 化学工业 冶金工业 原子能利用 工程经济 物流规划 航空工业 技术科学 工程技术 固体力学 工程力学 一般力学 飞行器设计 控制论 流体力学 提 炼 若 干 工 程 问 题 的 共 有 问 题 利 用 理 想 化 模 型 的 精 确 理 论 丰 富 理 想 化 模 型 的 精 确 理 论 经 验 ＋ 精 确 理 论 促 进 工 程 进 步 人类认识和改造自然及非自然世界的不同层面 简单 ～ 精确  中间阶段  具体 ～ 复杂 自然及非自然世界中的研究对象  ① 所研究对象的数学提法（建模） ② 数学分析 （逻辑过程）  ③ 获得对所研究对象的认识 —— 微积分教学主要内容为：② 以及 ②同①、③之间的联系

一数学是认识自然及非自然世界系统的思想和方法,决非仅是数学上的逻辑过程。 ()会kx(t) 1+ √F()+p(0) Gauss formula d·ndo=V·adr Trajectory qH·ao ( DAT a()2=(0),0()=√2(0)+(0) △F=-(P2-Pg)i△a a()=9(x=,0()()(0=8(°()() queduct Canal E f(r) e=1P.a=e·a=1a PTPa°+e > X 球坐标系下加速度表达式 g(x) 科式惯性力→地球偏转效应

x y o a 1 b c j c l c Aqueduct Canal j 1 x  j x f x  g x  x y o t    x t y t  ,   t           2 2 x t i y t j t x t y t     n t k t      Trajectory i j                               2 2 2 2 2 , : sgn sgn n dv a t t v t x t y t dt v t a t y x x y t t v t f x x t t                      —— 数学是认识自然及非自然世界系统的思想和方法，决非仅是数学上的逻辑过程。        F p gz n a   z V V V V water body Gauss formula a n d a d n d d F gV                       X3 X2 r   r e e e e i T e e e=i P, a=e a i a a=e P P a e a            球坐标系下加速度表达式 科式惯性力 地球偏转效应

基于向 Curvilinear -coordiante 8(x) 量值映照认 x(x)∈C"(D;D,) 识曲线坐标 g2(x) 系 82( 以及速度 g14 加速度在曲 local Co var iant-Basis 线坐标系下 Dx(x)=[g182,3](x) 表示形式 曲线坐标系下轨迹表示:x()∈R→速度表示v()=x()g(x(t 引入:f(xx)=xg(x),显然有(x(),(t)=x()g1(x()=v(t) 按符合映照(函数)链式求导法则可得: (x,x)=g1(x (x(),x()=8(x() X.x ax(().(0)()28()= 此处,g()=g(x()籍此可得: -(a()(0)2a((0()2(030)此处(3=时(

1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h g x 1  a  g x 2  a  g x 3  a  1 x 2 x 3 x o    ;  p x y Curvilinear coordiante X x C D D      1 2 3   var : , , local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x g x 1  d  g x 3  d  g x 2  d  3 x 1 x                                                        ˆ , : , , : . ˆ ˆ ˆ , : , ˆ ˆ , : , i i i i i i i i i i j j j i j i i i i j i j x t v t x t g x t v x x x g x v x t x t x t g x t v t v v x x g x x t x t g x t x x v g g v g dg x x x x x x x t x t x t x t t x x x x x dt                               曲线坐标系下轨迹表示： m 速度表示 引入： 显然有 按符合映照（函数）链式求导法则可得：                        2 : ˆ ˆ 1 ˆ , , , , , : , ˆ 2 i i i i i i g t g x t dv d T T a t g t x t x t x t x t T x x v x x dt dt x x                              此处， 。籍此可得： 此处， —— 基于向 量值映照认 识曲线坐标 系， 以及速度、 加速度在曲 线坐标系下 表示形式

我们生活的世界丰富多彩,但上帝也许就用一样东西创造了这些,这就是“数学机 制”或“数学通识”( Mathematical mechanism) 以某种数学结构或性质为载体, 比定理等结论具有更高的归纳性,跨越不同课程甚至学科。 基于数学通识,追求数理知识体系的“融会贯通、触类旁通” @2a 微积分: Stokes公式 020-aa2=ana2a0=0×a→力学:速度、加速度 aaa 合成原理 A∈PSWm G AG= 彐G非奇异,st. 微分几何:曲面曲率 B ∈p GBG=[A,…,]理论力学:振动模态 范德蒙 计算方法:多项式拟合 行列式 数学物理:函数的光滑沿拓 xX

—— 我们生活的世界丰富多彩，但上帝也许就用一样东西创造了这些，这就是“数学机 制”或“数学通识”（Mathematical Mechanism）—— 以某种数学结构或性质为载体， 比定理等结论具有更高的归纳性，跨越不同课程甚至学科。 —— 基于数学通识，追求数理知识体系的“融会贯通、触类旁通”  1  A G AG=I , , s.t. G BG= , , T m T T m PSym G B Sym               微分几何：曲面曲率 非奇异 理论力学：振动模态 3 2 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 1 2 3 0 : 0 0 a i j k Stokes a i j k a a a a a a                                           微积分： 公式 力 学：速度、加速度 合成原理 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 n n n n n n x x x x x x x x x      范德蒙 计算方法：多项式拟合 行列式 数学物理：函数的光滑沿拓

以方法论的思想梳理和掌握理论二思想+方法(应用),正本清源、格物致知」 目标:获得复杂函数的多项式逼近:f()=|+cx+(x) 基本理论 若干典型函数的逼近形式,如: x+o k=1 2复合函数极限定理 如: ∑(-x)+o(x2) k=1 3技术性引理:由f(x)逼近式,经逐项求导得(x)逼近式,经逐项求积得∫(xk逼近式 4技术性引理:o(0(x),(x)=2x+0(x2)=0((x)=0(x2) 应用事例: egl. In cosx=In 1-+o(x) +Ox +o(x) 2+o(r)thanks to o(r)+ofx)=o(x),o(r)+o(x)=o(xr) eg2.力学建模:7(x+△x)=T(x)+(x),o2x 数学分析:7(x)+0(△x)=22x→7(x)=1m2x

—— 以方法论的思想梳理和掌握 理论＝思想 + 方法（应用），正本清源、格物致知                           0 1 1 3 3 3 1 1 1. 1 1 1 2. 1 1+ 3. 4. , n k n k k n k n k n k n k p p f x c c x o x x o x x x o x x df x x f x dx dx o x x x o x o x o                                  目标：获得复杂函数的多项式逼近： 基本理论： 若干典型函数的逼近形式，如： 复合函数极限定理， 如： 技术性引理：由f 逼近式，经逐项求导得 逼近式，经逐项求积得 逼近式 技术性引理：       2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 1 1. ln cos ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) + ( ) = ( ) , ( ) ( ) ( ) 2 p x x x x x eg x o x o x o x o o x x o x thanks to o x o x o x o x o x o x T x x T x                                                   应用事例： eg2.力学建模：         2 2 2 x x T x o x x x T x x     数学分析：       

从面对“有限维Eucd空间之间映照的微积分”走向面对“一般赋范线性空 间之间映照”的微积分一测度论与泛函分析的思想及方法 张量场的可微性一一协变导数的引入 cp(x):D,3x→(x)=:(x)g(x)g(x)88(x)∈T(R" cp(x+Ax)=(x)+Vc;/(x)g⑧g⑧8(x),Ax2+0(△x)∈T(R =(x)+[Vm(x)g8gg8g(x)[△x"g1(x)+o(△x) d(x)+(③V)(x)△X+O(Ax) 此处,(⑧V)(x)V①(x)8,8g8gk8g(x),△X会X(x+Ax)-X(x)=△x"gn(x) 此处,o(△x) s t. lim 0.7(")范数:v同6=√同"0 矩阵分析中基本结论? det( m+ a)=det I m +trA+O(AER 此处,O(4)stim厘=0,R范数:B-∑

—— 从 面对“有限维Euclid空间之间映照的微积分 ” 走向 面对“一般赋范线性空 间之间映照”的微积分 —— 测度论与泛函分析的思想及方法                                               3 3 : = = i k j m x j i k i k j l m l j i k i k j l q l j i k q i l j x D x x x g x g x g x T x x x x g g g x x o x T x x g g g g x x g x o x x x X o x x                                                          张量场的可微性——协变导数的引入 此处，                     3 3 3 s.t. lim 0, m m m k j l q i k q T m ijk T ijk x g g g g x X X x x X x x g x o x o x T x                   ， 此处， 范数：         2 , 1 det det s.t. lim 0, m m m m m m m m m ij i j I A I trA o A o A o A B B A            — 矩阵范数 矩阵分析中基本结论 ? 此处， 范数：

具有国内外一流水平微积分教学的主要特征及个人若干教学研究与实践 一般赋范线性空间之间映照的微分学 有限维 Euclid空间之间映照的微分学 Lebesgue积分 「一维Euc|d空间之间映照的微分学 Riemann积分 课程《数学分析新讲》(第一、二、三册),每学期6学时(一年制) ①一维Eucl空间之间映照的微积分;②有限维 Euclid空间之间映照的微积分 理论建立以映照为基本对象,以极限为基本观点。 —课程《力学数学名著选讲》,一年级暑期课程,36学时 ①按有限维Eucd空间之间映照微分学的建立方法建立一般赋范空间之间映照的微分学 应用方面可以包括矩阵分析基本理论,变分法等。②有限维EUcd空间上微分同胚的 有关理论,包括秩定理, Morsel定理等。③渐近分析 课程《流形上的微积分》,一年级暑期课程,36-54学时 ①基于有限维Eucd空间上微分同胚的有关理论,本着局部欧氏化的基本思想,建立微 分流形的基本概念。②基于郭仲衡著《张量》有关外积运算等理论建立微分流形上的 微积分。③微分流形有关理论在力学中的应用

—— 具有国内外一流水平微积分教学的主要特征 及个人若干教学研究与实践 一般赋范线性空间之间映照的微分学 有限维Euclid空间之间映照的微分学 一维Euclid空间之间映照的微分学 Lebesgue 积分 Riemann 积分 —— 课程《数学分析新讲》（第一、二、三册），每学期 6 学时（一年制） ① 一维Euclid空间之间映照的微积分； ② 有限维Euclid空间之间映照的微积分 —— 理论建立以映照为基本对象，以极限为基本观点。 —— 课程《力学数学名著选讲》，一年级暑期课程，36学时 ① 按有限维Euclid空间之间映照微分学的建立方法建立一般赋范空间之间映照的微分学； 应用方面可以包括矩阵分析基本理论，变分法等。 ② 有限维Euclid空间上微分同胚的 有关理论，包括秩定理，Morser定理等。③ 渐近分析 —— 课程《流形上的微积分》， 一年级暑期课程，36－54学时 ① 基于有限维Euclid空间上微分同胚的有关理论，本着局部欧氏化的基本思想，建立微 分流形的基本概念。② 基于郭仲衡著《张量》有关外积运算等理论建立微分流形上的 微积分。③ 微分流形有关理论在力学中的应用

教学调研“微积分十线性代数” 北京工学院微积分《微积分(1)》4),《微积分(2)》(4/4,《高等微积分》(3/4) 大学各专业「线性代数《线性代数与几何》(4/,《高等代数》(3) 力学与航微积分①《一元微积分》(4/4)《多元微积分》(44)《高等微积分B》(2/2) ②《高等微积分(1)》(5/5)《高等微积分(2)》(4/4)《高等微积分(3)》(4/4) 天航空 清华 线性代数《几何与代数(1)》(4/4),《几何与代数(2)》(2/2) 大学 数理 微积分①《高等微积分(1)》(5/5)《高等微积分(2)》(5/5)《流形上的微积分》(3/3) 基科班 ②《数学分析(1)》(5/5)《数学分析(2)》(4/4)《数学分析(3)》(4/4) 线性代数《高等代数与几何()》(4/4),《商高等代数与几何2)》(4) 中科理论与应微积分《单变量微积分》(6/6,《多变量微积分》(6/6 大用力学线性代数《线性代数》(4) 北航飞行器设微积分《工科数学分析I》(7),《工科数学分析Ⅱ》( 计与工程「线性代数《高等代数》(6) 理论与应微积分《数学分析I》(5/6),《数学分析Ⅱ》(5/6) 复旦用力学业「线性代数《解析几何》(3/4),《高等代数I》(5/6) 大学「飞行器设微积分」《高等数学(上)》(6/),《商等数学(下)》66) 计与工程线性代数 Princ 航空航天 微积分」《单变量微积分I》,《多元微积分Ⅱ》 Eton 线性代数《多元微积分与线性代数I》,《多元微积分与线性代数Ⅱ》 Cate 微积分 Calculus of one& Several Variable and Linear Algebra(4-0-5;27) ch|航空航天 Differential Equations, Probability and Statistics(4-0-5: 18 线性代数| Introductory Methods of Applied Mathematic0-8:36):复变、数理方程

教学调研 “微积分＋线性代数” 北京 大学 工学院 各专业 微积分 《微积分(1)》(4/4)，《微积分(2)》(4/4)，《高等微积分》(3/4) 线性代数 《线性代数与几何》(4/4)，《高等代数》(3/3) 清华 大学 力学与航 天航空 微积分 ① 《一元微积分》(4/4) 《多元微积分》(4/4) 《高等微积分B》(2/2) ② 《高等微积分(1)》(5/5)《高等微积分(2)》(4/4)《高等微积分(3)》(4/4) 线性代数 《几何与代数(1)》(4/4)，《几何与代数(2)》（2/2） 数理 基科班 微积分 ① 《高等微积分(1)》(5/5) 《高等微积分(2)》(5/5) 《流形上的微积分》(3/3) ② 《数学分析(1)》(5/5) 《数学分析(2)》(4/4) 《数学分析(3)》(4/4) 线性代数 《高等代数与几何(1)》(4/4)，《高等代数与几何(2)》（4） 中科 大 理论与应 用力学 微积分 《单变量微积分》(6/6)，《多变量微积分》(6/6) 线性代数 《线性代数》(4/4) 北航 飞行器设 计与工程 微积分 《工科数学分析Ⅰ》(7)，《工科数学分析Ⅱ》(7) 线性代数 《高等代数》（6） 复旦 大学 理论与应 用力学业 微积分 《数学分析Ⅰ》(5/6),《数学分析Ⅱ》(5/6) 线性代数 《解析几何》(3/4),《高等代数Ⅰ》（5/6） 飞行器设 计与工程 微积分 《高等数学(上)》(5/6),《高等数学(下)》(5/6) 线性代数 Princ Eton 航空航天 微积分 《单变量微积分Ⅰ》，《多元微积分Ⅱ》 线性代数 《多元微积分与线性代数Ⅰ》，《多元微积分与线性代数Ⅱ》 Calte ch 航空航天 微积分 Calculus of One & Several Variable and Linear Algebra(4-0-5;27) Differential Equations, Probability and Statistics(4-0-5;18) 线性代数 Introductory Methods of Applied Mathematics(4-0-8;36): 复变、数理方程

教学调研“大学物理+生物化学”模式 北京 工学院物理(力学)31《热学)2,《(电磁学》(),《光学》2), 大学 各专业 生化|《普通化学(B)》(4/4),《普通化学实验(B)》(2/2) 力学与航物理《大学物理B(1)》(4/4),《大学物理B(2)》(4,《物理实验A(1)》 (2/2),《物理实验A(2)》(2/2) 天航空 生化《大学化学A》(3)或《现代生物学导论》(2)+《现代生物学导论实验》(1) 清华 大学 《普通物理(1)》(4),《普通物理(2)》(4),《普通物理(3)》(4) 数理物理《基础物理实验(1)》(2),《基础物理实验(2)》(2),《量子力学 基科班 (1)》(4)或《分析力学》(3) 生化《化学原理》(4)或《普通生物学》(4)等 复旦 大学 数学自雄技物理《大学物理(上)》(4),《大学物理(下)》(4/5),《普通实验实验》 (2/3) Standford航空航天人物理《力学》(,《电磁学》(),《光学、热学》(4 生化《化学原理》(4)、《基因、生物化学和分子生物学》(5) 物理 年级物理:《经典力学》、《电磁学》 CalTech航空航天 年级物理:《波》、《量子力学》、《统计物理》 生化《普通化学》、《病毒生物理学》 1.按国内外一流水平,“物理+生化”作为一种模式,而非单一的“物理”模式 2.按调研,大学物理一般在第二、第三学期开设(匹配于微积分教学的进程) 3.现力学、飞行器专业的大学物理教学可以考虑两学期理论教学周学时为6的课程设置,切实完 成力学、热力学、电磁学、光学和原子物理等方面的教学(对应于现代力学与工程问题)

教学调研 “大学物理＋生物化学”模式 北京 大学 工学院 各专业 物理 《力学》(3/3)，《热学》(2/2)，《电磁学》(3)，《光学》(2)， 《近代物理》(3)，《普通物理实验(B)(1)》(2) 生化 《普通化学(B)》(4/4)，《普通化学实验(B)》(2/2) 清华 大学 力学与航 天航空 物理 《大学物理B(1)》(4/4)，《大学物理B(2)》(4/4)，《物理实验A(1)》 (2/2)，《物理实验A(2)》(2/2) 生化 《大学化学A》(3)或《现代生物学导论》(2)+《现代生物学导论实验》(1) 数理 基科班 物理 《普通物理(1)》(4)，《普通物理(2)》(4)，《普通物理(3)》(4)， 《基础物理实验(1)》(2)，《基础物理实验(2)》(2)，《量子力学 (1)》(4)或《分析力学》(3) 生化 《化学原理》(4)或《普通生物学》(4)等 复旦 大学 数学、自然、技 术科学类 物理 《大学物理(上)》(4/5)，《大学物理(下)》(4/5)，《普通实验实验》 (2/3) Standford 航空航天 物理 《力学》(4)，《电磁学》(4)，《光学、热学》(4) 生化 《化学原理》(4)、《基因、生物化学和分子生物学》(5) CalTech 航空航天 物理 一年级物理：《经典力学》、《电磁学》； 二年级物理：《波》、《量子力学》、《统计物理》 生化 《普通化学》、《病毒生物物理学》 1. 按国内外一流水平，“物理＋生化”作为一种模式，而非单一的“物理”模式 2. 按调研，大学物理一般在第二、第三学期开设（匹配于微积分教学的进程） 3. 现力学、飞行器专业的大学物理教学可以考虑两学期理论教学周学时为6的课程设置，切实完 成力学、热力学、电磁学、光学和原子物理等方面的教学（对应于现代力学与工程问题）