复旦大学本科生优秀毕业论文：基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研究固定曲面上流动及曲面自身运动

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研 究固定曲面上流动及曲面自身运动 力学与工程科学系史倩 指导教师谢锡麟 摘要:本文基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论,具体研究了二种典型的运 动。其一为固定曲面上连续介质的有限变形运动。具体推导了固定曲面上流动的控制方程分 量形式;进一步就不可压缩流动推导了涡一流函数解法,且数值研究了曲面局部扰动对圆柱 尾迹的影响。其二为曲面自身的有限变形运动,即膜的运动。具体推导了膜运动的控制方程 分量形式;进一步数值研究了轴对称膜的轴对称有限变形运动。本文就控制方程分量形式的 推导基于特定形式的三维流动在曲面上的限制,最终结果表现为不依赖于三维流动的具体选 关键词:有限变形理论;固定曲面上的流动:膜运动;曲面论 Abstract: Based on the finite deformation theory of the continuous medium limited to surface two typical motions on the surface are studied in detail in this dissertation. The one is the motion on the fixed surface and the other one the pure motion of the surface. The differential equations with respect to conservation laws are deduced The vorticity-stream funct thod for numerical solution of impressible flow on fixed surface is presented together with some results in order to study how the wake of cylinder is influenced by the surface. We also carry out the numerical study of axisymmetric membrane vibration considering the finite deformation motion. Keywords: finite deformation; flow on fixed surface, motion on the surface; the theory of surface 引言 几何形态为曲面的连续介质有着广泛的应用背景,如细胞膜、泪液层等生物 膜,工业生产中传热传质过程中的保护膜,燃烧、雾化过程以及涂膜工艺,以及 封装和净化工业中的应用。从连续介质力学角度来研究方面,殷雅俊(2008)指 出生物膜是嵌入在三维 Euclidean空间中的二维 Riemann空间[9]。 Robert Irion(1999)评述了皂膜水洞作为新技术对于揭示湍流的旋涡世界的意义[4]。Jun Zhang等(2000实验研究了在流动皂膜上引入柔性细丝后的流场形态[3]。尹 协振等也对皂膜风洞实验方面进行了相关研究[8]。对于固体薄膜的振动, RH Gutierrez(1998数值模拟了环形(包括圆形)且膜密度关于半径定常函数分

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 1 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研 究固定曲面上流动及曲面自身运动 力学与工程科学系 史倩 指导教师 谢锡麟 摘要：本文基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论，具体研究了二种典型的运 动。其一为固定曲面上连续介质的有限变形运动。具体推导了固定曲面上流动的控制方程分 量形式；进一步就不可压缩流动推导了涡－流函数解法，且数值研究了曲面局部扰动对圆柱 尾迹的影响。其二为曲面自身的有限变形运动，即膜的运动。具体推导了膜运动的控制方程 分量形式；进一步数值研究了轴对称膜的轴对称有限变形运动。本文就控制方程分量形式的 推导基于特定形式的三维流动在曲面上的限制，最终结果表现为不依赖于三维流动的具体选 取。 关键词：有限变形理论；固定曲面上的流动；膜运动；曲面论 Abstract: Based on the finite deformation theory of the continuous medium limited to surface, two typical motions on the surface are studied in detail in this dissertation. The one is the motion on the fixed surface and the other one the pure motion of the surface. The differential equations with respect to conservation laws are deduced. The vorticity-stream function method for numerical solution of impressible flow on fixed surface is presented together with some results in order to study how the wake of cylinder is influenced by the surface. We also carry out the numerical study of axisymmetric membrane vibration considering the finite deformation motion. Keywords: finite deformation; flow on fixed surface; motion on the surface; the theory of surface 引言 几何形态为曲面的连续介质有着广泛的应用背景，如细胞膜、泪液层等生物 膜，工业生产中传热传质过程中的保护膜，燃烧、雾化过程以及涂膜工艺，以及 封装和净化工业中的应用。从连续介质力学角度来研究方面，殷雅俊（2008）指 出生物膜是嵌入在三维 Euclidean 空间中的二维 Riemann 空间 [9]。Roert Irion(1999)评述了皂膜水洞作为新技术对于揭示湍流的旋涡世界的意义[4]。Jun Zhang 等（2000）实验研究了在流动皂膜上引入柔性细丝后的流场形态[3]。尹 协振等也对皂膜风洞实验方面进行了相关研究[8]。对于固体薄膜的振动， R.H.Gutierrez(1998)数值模拟了环形（包括圆形）且膜密度关于半径定常函数分

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 布下自由振动的相关结果[5]。方形膜的大变形自由振动也有相关报道 借鉴于一般连续介质力学的基本理论体系[1,2],谢锡麟等(2012)建立了 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论[6,7]。本文具体考虑了两种典型的 几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动:固定曲面上连续介质的有限变形运 动,即固定曲面上的流体,以及曲面自身的有限变形运动,即膜的运动。推导了 其控制方程的分量形式;并结合基于映照的方法进行了数值研究,以期从现象和 方法上对几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动进行了初步探索和分析。 1概述几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 自身可作有限变形运动的曲面,其一般的向量值映照表示为 (x2):R2D23x2=→2(x,1)年x2(x20)∈R,类比于一般连续介质 力学理论,为考虑初始物理构形中两无限接近的介质质点位移同其在当前物理构 形中位移的关系,可引入变形梯度:F会(2)8(x,1)8G(x)∈r() 基于变形梯度的有关性质,我们可以归类当前一初始物理构形构型中有向 线元、面元及它们的模,以及物质导数的转换四类变形形式。例如: ◇当前一初始物理构形中有向线元、面元间的转换 dc d 2(2); (λ,) 2|a∑a∑ (2,1)n(A,) ◇当前物理构形中有向线元、面元的物质导数转换: dC(4)-(e)24C(,02.2(x=(b}-8计小|02,2( 类似于微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分,我们可将输运定理分成 第一类和第二类 ◇第二类输运定理 线输运:d「a*zl=(ard++ 面输运:*mdo=[中*ndo+「Φ*Bndo dt

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 2 布下自由振动的相关结果[5]。方形膜的大变形自由振动也有相关报道。 借鉴于一般连续介质力学的基本理论体系[1,2]，谢锡麟等（2012）建立了 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论[6,7]。本文具体考虑了两种典型的 几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动：固定曲面上连续介质的有限变形运 动，即固定曲面上的流体，以及曲面自身的有限变形运动，即膜的运动。推导了 其控制方程的分量形式；并结合基于映照的方法进行了数值研究，以期从现象和 方法上对几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动进行了初步探索和分析。 1 概述几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 自身可作有限变形运动的曲面，其一般的向量值映照表示为：       1 1 2 2 3 2 3 , : , , X x x t D x x t X x t x X                                     ，类比于一般连续介质 力学理论，为考虑初始物理构形中两无限接近的介质质点位移同其在当前物理构 形中位移的关系，可引入变形梯度：         2 3 , , i j j i x F t g x t G x T                 。 基于变形梯度的有关性质，我们可以归类当前－初始物理构形构型中有向 线元、面元及它们的模，以及物质导数的转换四类变形形式。例如：  当前－初始物理构形中有向线元、面元间的转换：     t o d C d C F d d        ；  ,  t t                3 det , , o o t F n                   ；  当前物理构形中有向线元、面元的物质导数转换：     t t d C d C V d d                  ，  ,  t t              ,  t t    I V                                。 类似于微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分，我们可将输运定理分成 第一类和第二类。  第二类输运定理 线输运： t t t C d dl dl L dl dt                          ； 面输运： * * * t t t d nd nd B n d dt                       

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 上述*表示任何合法的张量代数运算,如张量并,点积、叉乘等。 第一类输运 线输运:d Φdl=|dd+|Φ|x:D.rldl dt 面输坛.4 dd=|dd+|dθdo。 对于守恒律控制方程,可有: 今质量守恒 对于密度p,利用输运方程,即可得质量守恒的积分型方程 d[plo引p+Pda=0。由此可得质量守恒的微分方程:p+pO=0。对于 不可压缩流动,则有:θ=0。进一步得分量形式 ◆动量守恒 考虑曲面上运动的连续介质的各种受力:pr=Fm+Fm+Fm+△P 此处Fm为表面张力作用,F为介质之间粘性力(摩擦力)作用,Fm表示介质 间压力作用,AP表示曲面两侧压力差作用。其中 Fm=rfrxndl=-rJ(v-n)ndo, F=-orx(pm)dl=J-Vp+v(pn)n do 手(xo)(8)=rn)以 小(A⑧-(vm)n(v8)]-(n8n)v(v)])d 最终可得动量守恒的微分形式: dr-y(Vn)n-Vp+V(pn)n+APn +{△8-(vn)n(v8T)]-(n8n):[va(a 上述表面张力、介质之间粘性力、介质内压力作用都可以表示为所选取介质 系统边界上的线积分;应用曲面上的广义 Stokes公式,可将线积分转化为介质

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 3 上述*表示任何合法的张量代数运算，如张量并，点积、叉乘等。  第一类输运 线输运： t t t C C C d dl dl D dl dt                     ; 面输运： t t t d d d d dt                  。 对于守恒律控制方程，可有：  质量守恒 对于密度 ，利用输运方程，即可得质量守恒的积分型方程： 0 t t d d d dt                      。由此可得质量守恒的微分方程：   0     。对于 不可压缩流动，则有： 0   。进一步得分量形式：     3 , , 0 i i i i x t x x t V H V t x                           。  动量守恒 考虑曲面上运动的连续介质的各种受力： t = sur is pre d Vd F F F P dt          。 此处 Fsur 为表面张力作用，Fvis 为介质之间粘性力（摩擦力）作用，Fpre 表示介质 间压力作用，P 表示曲面两侧压力差作用。其中：   sur c F ndl n nd              ，     p c F pn dl p pn n d                             :           is c c F n V dl n V n n dl V n n V n n V d                                                           最终可得动量守恒的微分形式：           ( ) + ( ) : d V n n p pn n Pn dt V n n V n n V                                        上述表面张力、介质之间粘性力、介质内压力作用都可以表示为所选取介质 系统边界上的线积分；应用曲面上的广义 Stokes 公式，可将线积分转化为介质

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 上的面积分。由于 Stokes公式涉及的场及其场论运算是三维的,故我们需要利 用上述曲面上的运动的三维化处理 可基于曲面引入三维曲线坐标系X(x,1)会Σ(x2,1)+x3:n(x2,)∈R3,由此可 构造三维运动:x=x(5,)9/(3 ∈R3,继而可得三维运动的速度场分布 y(x(:0)2)+2.(x(52:0, +米(5:1)8(x(52))+53,(,),(x1(:0, 对介质内部压力的三维化考虑局部柱型场,亦即沿法向无梯度。另外如果考 虑镜面上镀膜等过程,可能需要考虑介质同镜面之间的摩擦力,对此介质将受到 额外的面力,仅需在上述微分型动量方程的右方直接加入相关项就可 2典型运动形式:固定曲面上连续介质的有限变形运动 此部分讨论固定曲面上不可压缩流动的理论及计算结果。文献中关于皂膜风 洞的实验研究是平面上的流动,依据第2节中理论,可以发展二维固定曲面上不 可压缩流动的涡流函数解法。 由不可压缩流动的连续性方程可引入流函数 ar( v8 V(xg 4=0= ay(xe 依据已获得动量守恒方程微分形式,对于粘性部分需计算: ()l=((0)(0)1儿8 以及-(n8n)[8(v8)]=-m2[V(H)g=[v(VH)]g, 以及[8=[v(ve=[vv8=[V()+v(vH)]g 其中:[vvr]=[g"V(H)=g2+mb-的的 可得原始变量的动量方程为:

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 4 上的面积分。由于 Stokes 公式涉及的场及其场论运算是三维的，故我们需要利 用上述曲面上的运动的三维化处理。 可基于曲面引入三维曲线坐标系       3 3 X x t x t x n x t , , ,         ，由此可 构造三维运动：     3 3 , , x t x x t                ，继而可得三维运动的速度场分布：                     3 3 , , , , , , , , , , i i i i n V x t t x t t t t n x t x t t x t x t t x x                                                     ， 对介质内部压力的三维化考虑局部柱型场，亦即沿法向无梯度。另外如果考 虑镜面上镀膜等过程，可能需要考虑介质同镜面之间的摩擦力，对此介质将受到 额外的面力，仅需在上述微分型动量方程的右方直接加入相关项就可。 2 典型运动形式：固定曲面上连续介质的有限变形运动 此部分讨论固定曲面上不可压缩流动的理论及计算结果。文献中关于皂膜风 洞的实验研究是平面上的流动，依据第 2 节中理论，可以发展二维固定曲面上不 可压缩流动的涡流函数解法。 由不可压缩流动的连续性方程可引入流函数：       1 2 2 1 : , 1 , 0 : , s s g V x t x g V x t x g g V x t x                                         依据已获得动量守恒方程微分形式，对于粘性部分需计算：       3 3 ( ) , , l i l i l n n V H x t x t b g Hb V g i l l i x                                                 ， 以及         3 3 : l l l l n n V n n V g V g                                    ， 以及         3 = 3 l j l V V V g V V g l j l l                                    其中：   j ij ij s j s j l i j l i i l l s l j s V g V g V Hb V b b V                          可得原始变量的动量方程为：

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) V⑧ bibl P n+V·(pn) 进一步定义固定曲面上运动的涡量a3=6,可推导得得到固定曲面上 不可压缩流动的涡一流函数解法(控制方程分量形式): 流函数控制方程 ax dx' ax g g 涡量控制方程 do +8 V+K HV 可见相关项耦合于几何信息如平均曲率、高斯曲率,也相容于平面情形。 考察圆柱后平面上叠加凹凸形式的曲面:二=-9+)+(-y),图1 是平均曲率分布图。数值上采用映照的观点,将该区域化为规则的计算域[10], 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解,其中预估步采用二 阶精度的 Adams- Bashforth格式离散;空间导数离散基于不等距 Lagrange插值 公式获得导数计算式。流函数 Possion方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭 代求解,取超松弛因子为1.72。时间步长0.001,网格数300×300,雷诺数Re=100。 Mean curvature 3.24 0.81 0.00 -0.81 1.62 2.43 图1中间钟形双向凸起曲面上平均曲率分布图 图2是计算结果的等流函数图,图3是等涡量云图的俯视图,表现了流动从 上游平面绕过钟形凹凸的行为:总体而言,尾迹依然有卡门涡街形成,对比平面 情形,涡量在非平面部分有被“拉散”的现象,并且传播到下游一定距离,但远 场没有受到明显干扰。对于钟形曲面的大小、位置、数量等在本文中做了初步研 究,仍有待于进行更为广泛的系统研究

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 5 ( ) ij j s l i j l l j s l V p V V g V b b V g t x n n p n n P n                                                           = 进一步定义固定曲面上运动的涡量 3 3 : kl   k l V     ，可推导得得到固定曲面上 不可压缩流动的涡－流函数解法（控制方程分量形式）： 流函数控制方程 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 = - V V V V x x x x x x g g g g g                                                                      涡量控制方程 3 3 3 3 3 3 2 k ij kl kl s G k k i j l G k l s K V g V K Hb V t x x                                                       可见相关项耦合于几何信息如平均曲率、高斯曲率，也相容于平面情形。 考察圆柱后平面上叠加凹凸形式的曲面：         2 2 2 2 5 8 + x y x y z e e         。图 1 是平均曲率分布图。数值上采用映照的观点，将该区域化为规则的计算域[10]， 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解，其中预估步采用二 阶精度的 Adams-Bashforth 格式离散；空间导数离散基于不等距 Lagrange 插值 公式获得导数计算式。流函数 Possion 方程求解采用逐次超松弛方法（SOR）迭 代求解，取超松弛因子为 1.72。时间步长 0.001，网格数300 300  ，雷诺数 Re=100。 图 1 中间钟形双向凸起曲面上平均曲率分布图 图 2 是计算结果的等流函数图，图 3 是等涡量云图的俯视图，表现了流动从 上游平面绕过钟形凹凸的行为：总体而言，尾迹依然有卡门涡街形成，对比平面 情形，涡量在非平面部分有被“拉散”的现象，并且传播到下游一定距离，但远 场没有受到明显干扰。对于钟形曲面的大小、位置、数量等在本文中做了初步研 究，仍有待于进行更为广泛的系统研究

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 图2中间钟形双向凸起曲面上圆柱绕流流函数分布 图3中间钟形双向凸起曲面上圆柱绕流涡量分布 作为流场空间动力学行为的刻画方式之一,图4为面变形率第一特征值的分 布,图5对应平面情形。对现固定曲面上流动,且线元为切平面上的向量,则面 变形率仅需考虑为: EsE +g“g a g8g′,此处V 结合不可压缩流动的连续性方程,上述面变形率对应的特征值满足 λ+λ=0。由于当前物理构形中线元模的相对时间变化率的绝对值不超过第 特征值λ,故其分布一定程度反映了变形的程度。中间钟形双向凸起的情形下, 在两个峰值处均出现了较为明显的等拉伸率线扭曲现象,并且中心层处的分界线 延伸到了x=8以后才出现上下的交融

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 6 图 2 中间钟形双向凸起曲面上圆柱绕流 流函数分布 图 3 中间钟形双向凸起曲面上圆柱绕流 涡量分布 作为流场空间动力学行为的刻画方式之一，图 4 为面变形率第一特征值的分 布，图 5 对应平面情形。对现固定曲面上流动，且线元为切平面上的向量，则面 变形率仅需考虑为： i i j j j i V V g g                 ，此处 i l i i i s ik l s j j js jl ks l k V V V V V g g V x x                                    结合不可压缩流动的连续性方程，上述面变形率对应的特征值满足： 1 2     0 。由于当前物理构形中线元模的相对时间变化率的绝对值不超过第一 特征值1 ，故其分布一定程度反映了变形的程度。中间钟形双向凸起的情形下， 在两个峰值处均出现了较为明显的等拉伸率线扭曲现象，并且中心层处的分界线 延伸到了 x  8 以后才出现上下的交融

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 图4平面上圆柱绕流面变形率第一特征值分布 图5中间钟形双向凸起曲面上圆柱绕流面变形率第一特征值分布 作为平行移动的特殊形式—一测地线,考察物理量量沿其分布,可以获得曲 面上类似平面中直线上的分析。图6所示测地线,参数表示为x(2).(=1,2),按 照如下初始条件所求得:x x=ldr d x2 38, d/=-1。图7是t=19 时刻涡量沿该测地线分布图。 图6双向凹凸钟形曲面上圆柱绕流测地线示意图

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 7 图 4 平面上圆柱绕流 面变形率第一特征值分布 图 5 中间钟形双向凸起曲面上圆柱绕流 面变形率第一特征值分布 作为平行移动的特殊形式——测地线，考察物理量量沿其分布，可以获得曲 面上类似平面中直线上的分析。图 6 所示测地线，参数表示为  , =1,2   i x i  ，按 照如下初始条件所求得： 1 0 x  , 2 0 x  1, 1 0 3.8, dx d  2 0 1 dx d   。图 7 是 t=196 时刻涡量沿该测地线分布图。 图 6 双向凹凸钟形曲面上圆柱绕流测地线示意图

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 图7中间钟形双凹凸曲面上圆柱绕流涡量沿测地线(x=x()分布 以上是对固定曲面上不可压缩流动的理论和数值实现,进一步,皂膜上的干 涉条纹反映了密度的不均匀性,预示着:真实的薄层流动表现为“低 Reynolds 数的可压缩流动”,基于连续性方程,可进一步考虑变面密度情形 3典型运动形式;曲面自身有限变形运动(膜运动) 膜运动的参数刻画为:=(,少1g2,亦即Eur参数坐标为 agrange参数坐标的恒等映照。会=2(x2,)=2(5,)。连续性方程为 0(2)+x(x,D)+下时(Kg(x)=0 t g 处理粘性部分:考虑到:(x,)=21(x(5=,),)==-(V8m 以及 x2,) V,,v 3)2or b ax 则有:m2-2p (n8n)[8(8p)=-n"n/[vvg1=-[1g 以及拉普拉斯项 A8l=[vvHg=[ vvV+ vV,In+[vvpl·其中

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1 0 1 2 3 4 Vor Vor -   图 7 中间钟形双凹凸曲面上圆柱绕流 涡量沿测地线( =   i i x x  )分布 以上是对固定曲面上不可压缩流动的理论和数值实现，进一步，皂膜上的干 涉条纹反映了密度的不均匀性，预示着：真实的薄层流动表现为“低 Reynolds 数的可压缩流动”，基于连续性方程，可进一步考虑变面密度情形。 3 典型运动形式；曲面自身有限变形运动（膜运动） 膜运动的参数刻画为：   1 2 2 x x t,                   ，亦即 Euler 参数坐标为 Lagrange 参数坐标的恒等映照。V x t t  , ,    t t              。连续性方程为：       1 , , , 0 i s i s x t x x t g V x t t x x g                              处理粘性部分：考虑到：       3 , , , V n x t x t t n V n x t                        ； 以及：   3 3 3 , s s s s l l l s l l s ls V V x t V g V n V b V g b V n x x x                                                 则有：     3 3 ( ) , s l l ls V V n n V H x t H b V g x x                                     3 3 n n V n n V g V g :                                       以及拉普拉斯项：   3 3 3 j l j V V g V g V n V g j l j                                             。其中：

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) ax b v, - b; V y]=g255i+2+(b1)-b 此处,V"=a2(x,)。综上可得,动量方程分量形式 dp,n(xg, 1=(r-P)H+AP+ug V, V+2bV V,+vbi bbvA av aT 8V,,-glV,bin +2b'v 8(x0)=-9 + b 6'V-2b3 op +u8 V,V b,3-b/ b -2b7 由于 ar2k-(".8/-, =(8”-4,故得上述最后的等式 中显含平均曲率的项自然为零 以下具体考虑一种膜的轴对称有限变形运动,文献中类似的有考虑定常不均 匀密度分布下微小振动,以及考虑有限变形振动但不考虑密度变化。本文中密度 由连续性方程决定,且为有限变形情形。具体控制方程分量形式为: pla2, n(r,t)=p 二n(r,t) =[y-p(,1)]H(),在小变形情形下相容于 2() 数理方程中的微小振动方程p-n=(y-p)△ g,(r:)=p=(,)=(,2) ap (r,,1) )=0=-2(r0,1)

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 9 3 3 3 2 j ij ij t j t s l j l i j l i jl l t l j t l s V V V g V g b V H b V b b V b x x                                           3 3 3 2 j ij ij j s js j i j i j j s js V g V b V b V b b V                              此处，   3 3 : , j j V V x t x          。综上可得，动量方程分量形式：     3 2 2 3 3 , , 2 ij ij j s js n x t p H P g V b V b V b b V i j i j j s js t                                                 3 3 3 3 2 2 3 2 , , 2 ij ij t l i j l i jl l t l l l j t s l j t l s V V g V g b V H b V x x p g x t t x V b b V b x                                                                         3 = 2 3 ij ij j t s l s i j l i jl l j t l p V g V g b V b b V b x x                                       由于 3 , l t l l t V n g b V x               ， 3 , t l l l t V g n b V x                  ，故得上述最后的等式 中显含平均曲率的项自然为零。 以下具体考虑一种膜的轴对称有限变形运动，文献中类似的有考虑定常不均 匀密度分布下微小振动，以及考虑有限变形振动但不考虑密度变化。本文中密度 由连续性方程决定，且为有限变形情形。具体控制方程分量形式为：           3 2 2 2 , , , , , 1 , tt r z r t n r t p r t H r t t z r t                       ，在小变形情形下相容于 数理方程中的微小振动方程 =  tt   z p z   。         3 2 2 , , , , , , r tt r p g r t z r t z r t r t t r                         3 2 2 , , 0 , , p g r t r t t                    

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 连续性方程:(r,)+P1/a(vP at 对于固体,这里表面张力系数类比于在一定弹性拉伸下获得的张力 y=E:E0,p=p,·6,yE·6参考E=1.0M,P=10×10°kg/m3, E≈5%,L≈0.1m, 10(s2),初始条件:(70)=A×(1-R2),R=50。 取A=0.5,1,2.5,5,75,10,12.5,15不同工况计算 图8显示了随着初始最大振幅的增大引起的第一阶固有频率的变化,注意到 在A<2.5范围内,第一阶固有频率为0.765,这与微小振动方程解析解0.765 致,可见在这一振幅范围内,对固有频率无影响,微小振动方程适用,而振幅进 步增大则显示出变形效应 0.770 E-points 0755 0.725 图8第一阶固有频率随初始振幅变化图 density change- Amp p/·Amp points(r=40□ 图9压力、密度修正随初始振幅变化图 分析动量方程右端耦合曲面信息的项:(y-p)H,“内压力”p对“表面 张力”y起到了修正作用,本事例中y=10,则压力修正百分比(p/y)从小变

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 10 连续性方程：     1 , , 0 r n r t g V g V r t H V t r g                                                   对于固体，这里表面张力系数类比于在一定弹性拉伸下获得的张力，       E ，       v ， v E        。参考 E Mpa 1.0 ， 3 3    1.0 10 / kg m ，   5% ，L m  0.1 ，   4 2 2 10 s L     ，初始条件：   2 2 z r A r R ( ,0) 1 /    ，R  50 。 取 A=0.5, 1 ,2.5 ,5 ,7.5 ,10 ,12.5 ,15 不同工况计算。 图 8 显示了随着初始最大振幅的增大引起的第一阶固有频率的变化，注意到 在 A<2.5 范围内，第一阶固有频率为 0.765，这与微小振动方程解析解 0.765 一 致，可见在这一振幅范围内，对固有频率无影响，微小振动方程适用，而振幅进 一步增大则显示出变形效应。 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.725 0.730 0.735 0.740 0.745 0.750 0.755 0.760 0.765 0.770 f 0 / Hz Amp / mm points f 0 - Amp 图 8 第一阶固有频率随初始振幅变化图 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -5 0 5 10 15 20 25 30 p/ (%) Amp / mm points (r=10) p/ - Amp 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 3 6 9 12  0 (%) Amp points ( r=40) density change- Amp 图 9 压力、密度修正随初始振幅变化图 分析动量方程右端耦合曲面信息的项：  p H ，“内压力” p 对 “表面 张力” 起到了修正作用，本事例中 4   10 ，则压力修正百分比（ p /  ）从小变