二维类圆柱边界的有限变形运动对其尾迹空间动力学行为的影响

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 二维类圆柱边界的有限变形运动对其尾迹空 间动力学行为的影响 陈瑜',谢锡麟",麻伟巍2 (复旦大学力学与工程科学系 200433) (东华大学理学院,上海,201620) 摘要:本文将“当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”应用于二维不 可压缩涡一流函数解法,以数值模拟边界可作有限变形运动的二维类圆柱绕流。基本思想及 方法表现为:按映照观点,通过构造适当的显含时间的曲线坐标系将物理空间中几何形态不 规则且可随时间变化的流动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化的规 则区域,且基于一般曲线坐标系下的场论分析获得按一般曲线坐标系的局部基而展开的二维 不可压缩涡一流函数控制方程;差分格式构造上主要基于不等距 Lagrange插值公式等。针对 壁面可作有限变形运动的二维类圆柱绕流,本文发展了对应二维涡一流函数解法的壁面涡量 及壁面流函数边界条件的提法。 空间动力学行为分析,主要包括:壁面可作有限变形运动情形下,壁面涡量、壁面切应力 壁面涡量法向通量等沿壁面分布及其同壁面几何特征之间的关系;升阻力系数的时间历程等。 本文主要基于数值方法,对比研究低 Reynolds数工况,胀压圆柱、胀压椭圆柱、表面驻 波状圆柱等二维类圆柱尾迹的空间动力学行为 现有的数值研究,证实了本文所提方法的可靠性及有效性。数值研究表明,边界的有限变 形运动可显著地改变流场的空间动力学行为,表现出极其丰富的动力学行为。 关键词:边界的有限变形运动;二维类圆柱;空间动力学行为 1引言 绕流体边界的形态及其有限变形运动能够显著地改变流场中的主导旋涡结构及其空间演 化特性,从而大幅地改变绕流体的气动或水动性能,甚至边界变形运动同流场的相互作用可 直接提供动力等。这方面自然界鱼儿游动与鸟儿飞翔给了我们启示。对此方面机制的研究与 掌握对现代航空航海业具有极其重要的意义。 当前数值研究处理边界可作有限变形运动,主要可应用现有的差分方法以及有限体积法 本研究受国家自然科学基金面上项目(11172069),上海市教委2011年上海高校本科重点教学改革项目的资 助。通讯作者:谢锡麟复旦大学力学与工程科学系:Email:xiexilin@fudan.edu.cn

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 1 - 二维类圆柱边界的有限变形运动对其尾迹空 间动力学行为的影响* 陈瑜 1 ，谢锡麟 1*，麻伟巍 2 (复旦大学 力学与工程科学系，上海，200433) (东华大学 理学院，上海，201620) 摘要：本文将“当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”应用于二维不 可压缩涡－流函数解法，以数值模拟边界可作有限变形运动的二维类圆柱绕流。基本思想及 方法表现为：按映照观点，通过构造适当的显含时间的曲线坐标系将物理空间中几何形态不 规则且可随时间变化的流动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化的规 则区域，且基于一般曲线坐标系下的场论分析获得按一般曲线坐标系的局部基而展开的二维 不可压缩涡－流函数控制方程；差分格式构造上主要基于不等距 Lagrange 插值公式等。针对 壁面可作有限变形运动的二维类圆柱绕流，本文发展了对应二维涡－流函数解法的壁面涡量 及壁面流函数边界条件的提法。 空间动力学行为分析，主要包括：壁面可作有限变形运动情形下，壁面涡量、壁面切应力、 壁面涡量法向通量等沿壁面分布及其同壁面几何特征之间的关系；升阻力系数的时间历程等。 本文主要基于数值方法，对比研究低 Reynolds 数工况，胀压圆柱、胀压椭圆柱、表面驻 波状圆柱等二维类圆柱尾迹的空间动力学行为。 现有的数值研究，证实了本文所提方法的可靠性及有效性。数值研究表明，边界的有限变 形运动可显著地改变流场的空间动力学行为，表现出极其丰富的动力学行为。 关键词：边界的有限变形运动；二维类圆柱；空间动力学行为 1 引言 绕流体边界的形态及其有限变形运动能够显著地改变流场中的主导旋涡结构及其空间演 化特性，从而大幅地改变绕流体的气动或水动性能，甚至边界变形运动同流场的相互作用可 直接提供动力等。这方面自然界鱼儿游动与鸟儿飞翔给了我们启示。对此方面机制的研究与 掌握对现代航空航海业具有极其重要的意义。 当前数值研究处理边界可作有限变形运动，主要可应用现有的差分方法以及有限体积法 * 本研究受国家自然科学基金面上项目（11172069），上海市教委 2011 年上海高校本科重点教学改革项目的资 助。通讯作者：谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系；Email: xiexilin@fudan.edu.cn

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 等。总体而言,当前数值分析对可变形运动边界的处理多借鉴于适用刚性运动边界的方法; 对于贴体网格的使用,多为基于笛卡儿坐标系下的方程,然后利用曲线坐标系将笛卡儿分量 相对于笛卡儿坐标的偏导数转变至对曲线坐标的偏导数。现文献对二维流场的研究相对较多 [1-3] 数值上,本文按映照观点,通过构造适当的显含时间的曲线坐标系将物理空间中几何形 态不规则且可随时间变化的流动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化 的规则区域,求解基于一般曲线坐标系下的场论分析获得按一般曲线坐标系的局部基而展开 的二维不可压缩涡一流函数控制方程。基于数值算例进行空间动力学行为分析,主要包括 壁面可作有限变形运动情形下,壁面涡量、壁面切应力、壁面涡量法向通量等沿壁面分布及 其同壁面几何特征之间的关系;升阻力系数的时间历程等 2数值研究方法 基于当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论6,对于平面问题,构造 微分同胚 n(x,小) n(x2) 5(x,) 图1.平面流动之映照构造 x(x)1(x0)+[(x)+x(:)-(:)](x)涡量控制方程分量形式为 do do (x,2) Re l (x2)。流函数满足 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解,其中预估步采用二阶精度 的 Adams- Bashforth格式离散,方程空间导数采用中心差,如计算域不等距,可采用项用三点 或五点 Lagrange插值求得。对于流函数 Possion方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭代求解

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 2 - 等。总体而言，当前数值分析对可变形运动边界的处理多借鉴于适用刚性运动边界的方法； 对于贴体网格的使用，多为基于笛卡儿坐标系下的方程，然后利用曲线坐标系将笛卡儿分量 相对于笛卡儿坐标的偏导数转变至对曲线坐标的偏导数。现文献对二维流场的研究相对较多 [1-3]。 数值上，本文按映照观点，通过构造适当的显含时间的曲线坐标系将物理空间中几何形 态不规则且可随时间变化的流动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化 的规则区域，求解基于一般曲线坐标系下的场论分析获得按一般曲线坐标系的局部基而展开 的二维不可压缩涡－流函数控制方程。基于数值算例进行空间动力学行为分析，主要包括： 壁面可作有限变形运动情形下，壁面涡量、壁面切应力、壁面涡量法向通量等沿壁面分布及 其同壁面几何特征之间的关系；升阻力系数的时间历程等。 2 数值研究方法 基于当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论[6]，对于平面问题，构造 微分同胚： 1 X 2 X o   1  x t,   1  x t,   1 2  x t,    1 2 nxt,  1 x 2 x o o L 1 x 1 x 图 1. 平面流动之映照构造            1 1 21 1 1 X xt x t x t x x t x t n x t , , , ,, ,            。涡量控制方程分量形式为       3 3 3 23 3 1 ,, , i i ij ij k i ij i k ij xt x X V gg t x t x Re t x x x t x                                  。流函数满足 2 3 Γ ij k ij k ij g xx x               。 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解，其中预估步采用二阶精度 的 Adams-Bashforth 格式离散，方程空间导数采用中心差，如计算域不等距，可采用项用三点 或五点 Lagrange 插值求得。对于流函数 Possion 方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭代求解

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 取超松弛因子为1.72。壁面流函数边界条件 =={Fn,本文涉及 几何量如 Christoffel符号由五点 Lagrange插值并对比解析式值,相对误差在整个计算域内保 持在以内,以此可考察微分同胚的选取和计算域网格的划分是否适当。通过对环形域上 Possion方程相应边值问题映照后在曲线坐标系下迭代求解,并与解析给出特解对比,相对误 差在以内。同时取不同疏密网格和时间步长下进行结果收敛性和精确性的验证。 另外,针对计算结果,利用经典问题进行检验,如下文绕流问题中选取参数使得其为特 殊情形:静止圆柱绕流Re数100下,所得 Strouhal数为St=0.168,阻力系数平均值 C4=1352,与各文献中数值和实验结果相符。 3算例:流场形态 本部分对比研究低 Reynolds数工况下,胀压圆柱、胀压椭圆柱、表面驻波状圆柱等二维 类圆柱尾迹的流场形态。 图2是圆柱半径作周期为1的胀压运动下一个周期内的等流函数图,Re=100,图中所示 在t=480、25、t=480.75时刻,壁面速度恰好为0,流线绕过柱体表面,而另两时刻壁面速度 不为0,因而流线穿过柱体,相当于有源、汇的情况,流线形态在该周期内变化明显,不同周 期同相位下流线总体形态类型相似并且随时间演化 图2圆柱整体胀压运动物体绕流脱落过程等流函数图 以下考査圆柱周向作驻波状变形运动的绕流情形,Re=100,计算结果等流函数图如图3 所示,其中等流函数图当t=399.5时,壁面运动速度为0,此时0流线(图中位于等值线加密 区)绕过壁面,当壁面运动速度不为0时,流线可与壁面相交,且0流线不在壁面,相当于 有源和汇的存在。壁面附近流场与圆柱绕流或静止物体绕流有较大不同,有圈状结构出现。 从图4所示等涡量云图可见,虽然壁面流场形态复杂,但其尾迹整体仍有卡门涡街周期性交

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 3 - 取超松弛因子为 1.72。壁面流函数边界条件：    12 12 ,0 ,0 || xx xx V n dl             。本文涉及 几何量如 Christoffel 符号由五点 Lagrange 插值并对比解析式值，相对误差在整个计算域内保 持在 以内，以此可考察微分同胚的选取和计算域网格的划分是否适当。通过对环形域上 Possion 方程相应边值问题映照后在曲线坐标系下迭代求解，并与解析给出特解对比，相对误 差在 以内。同时取不同疏密网格和时间步长下进行结果收敛性和精确性的验证。 另外，针对计算结果，利用经典问题进行检验，如下文绕流问题中选取参数使得其为特 殊情形：静止圆柱绕流 Re 数 100 下，所得 Strouhal 数为 St  0.168 ，阻力系数平均值 1.352 Cd  ，与各文献中数值和实验结果相符。 3 算例：流场形态 本部分对比研究低 Reynolds 数工况下，胀压圆柱、胀压椭圆柱、表面驻波状圆柱等二维 类圆柱尾迹的流场形态。 图 2 是圆柱半径作周期为 1 的胀压运动下一个周期内的等流函数图，Re=100，图中所示 在 t=480、25、t=480.75 时刻，壁面速度恰好为 0，流线绕过柱体表面，而另两时刻壁面速度 不为 0，因而流线穿过柱体，相当于有源、汇的情况，流线形态在该周期内变化明显，不同周 期同相位下流线总体形态类型相似并且随时间演化。 图 2 圆柱整体胀压运动物体绕流脱落过程等流函数图 以下考查圆柱周向作驻波状变形运动的绕流情形， Re=100，计算结果等流函数图如图 3 所示，其中等流函数图当 t=399.5 时，壁面运动速度为 0，此时 0 流线（图中位于等值线加密 区）绕过壁面，当壁面运动速度不为 0 时，流线可与壁面相交，且 0 流线不在壁面，相当于 有源和汇的存在。壁面附近流场与圆柱绕流或静止物体绕流有较大不同，有圈状结构出现。 从图 4 所示等涡量云图可见，虽然壁面流场形态复杂，但其尾迹整体仍有卡门涡街周期性交

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 替脱落 类似地,考察椭圆双向变形运动物体绕流情形,取同样显示了较为丰富的近壁面流场形 态,而改变微分同胚参数,可以实现其它不同形状不同形式的变形运动绕流 t3975 图3周向驻波状运动物体绕流等流函数图 t=480.4 垂 图4周向驻波状运动物体绕流等涡量图

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 4 - 替脱落。 类似地，考察椭圆双向变形运动物体绕流情形，取同样显示了较为丰富的近壁面流场形 态，而改变微分同胚参数，可以实现其它不同形状不同形式的变形运动绕流。 图 3 周向驻波状运动物体绕流等流函数图 图 4 周向驻波状运动物体绕流等涡量图

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 480.75 t=480.95 图5椭圆双向变形运动物体绕流脱落过程等流函数图 4升阻力系数计算 本节起进一步定量研究上节算例中的结果。对于升阻力系数的计算,本文基于吴介之[4] 等提出的基于动量导数矩理论的绕流物体所受载荷计算方法,可变形体所受合力形式为: R=-2小x△0d+∮rx(nxp)d 手x[n×(Vxo)]+ymxn ∑为外控制面,B为物体边界,为两者间的流体,此公式与控制面∑的选取无关。 本算例对同一时刻不同积分区域选取得到升阻力系数,误差在10-量级:图6对应边界 作驻波状运动变形运动情形下同一时刻选取距离壁面不同网格层数作为外控制面所获得的升 阻力系数,除远端网格较疏而稍有波动,前120层内效果更为精确。升阻力系数时域信号如 图7所示,无论变化幅值、形态还是周期均异于与静止圆柱情形,图8中自功率谱显示阻力 系数能量集中于自身运动频率及其倍频,而升力系数则反映出脱落频率以及与自身运动频率 的相互作用。椭圆柱双向变形运动绕流以及驻波状运动绕流其升阻力系数也具有相似的特征

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 5 - 图 5 椭圆双向变形运动物体绕流脱落过程等流函数图 4 升阻力系数计算 本节起进一步定量研究上节算例中的结果。对于升阻力系数的计算，本文基于吴介之[4] 等提出的基于动量导数矩理论的绕流物体所受载荷计算方法，可变形体所受合力形式为：     1 22 2 V B f R r d r n a d r n d nd                                   为外控制面，B 为物体边界，V f 为两者间的流体，此公式与控制面 的选取无关。 本算例对同一时刻不同积分区域选取得到升阻力系数，误差在 4 10 量级：图 6 对应边界 作驻波状运动变形运动情形下同一时刻选取距离壁面不同网格层数作为外控制面所获得的升 阻力系数，除远端网格较疏而稍有波动，前 120 层内效果更为精确。升阻力系数时域信号如 图 7 所示，无论变化幅值、形态还是周期均异于与静止圆柱情形，图 8 中自功率谱显示阻力 系数能量集中于自身运动频率及其倍频，而升力系数则反映出脱落频率以及与自身运动频率 的相互作用。椭圆柱双向变形运动绕流以及驻波状运动绕流其升阻力系数也具有相似的特征

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 积分区域选取对升阻力系数计算的影响 —驻波状运动绕流情形 0.015 0.013 网格层数 图6不同积分区域升阻力系数计算结果(变形运动情形) 图7圆柱整体胀压变形运动升阻力系数曲线 Ca Spectra Cr Spectra 图8圆柱整体胀压变形运动升阻力系数自功率谱

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 6 - 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 Cd 网格层数 Cd 积分区域选取对升阻力系数计算的影响 ——驻波状运动绕流情形 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 CL CL 图 6 不同积分区域升阻力系数计算结果（变形运动情形） 图 7 圆柱整体胀压变形运动升阻力系数曲线 图 8 圆柱整体胀压变形运动升阻力系数自功率谱

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 5壁面涡量、壁面切应力、涡量通量 本节主要从壁面可作有限变形运动情形下,壁面涡量、壁面切应力、壁面涡量法向通量 等沿壁面分布及其同壁面几何特征之间的关系进行空间动力学行为分析。对于静止波状圆柱 情形,不同时刻壁面涡量分布在距离前端145°前部分无明显差异,且上下表面呈对称性,145° 后至尾部壁面切应力分布随时间变化,上下表面分布不对称,可以判断在此区域内出现流动 分离现象,如图9。 而对于驻波状运动情形,则不同时刻均有明显变化,图10是一个壁面运动周期内壁面涡 量的分布情况并对比该时刻距圆心极径R的分布,其中t397以及t=3975时刻还一并给出曲 率K的分布,反应了壁面涡量分布同壁面几何形态也有密切关系。在t=39725和t=39775时 刻,为恰好运动到圆情形,此时分布较之其它时刻更为平滑。不同于静止情形只在一定区域 内随时间有较明显差异,运动驻波状圆柱几乎整个表面涡量均随时间有明显变化,而且呈周 期性。其自功率谱能量分布如图11 t wavecylinder 050 radius 0 t=38475 t=405.00 t=425.25 150-10050 图9壁面涡量分布(静止波状圆柱情形)

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 7 - 5 壁面涡量、壁面切应力、涡量通量 本节主要从壁面可作有限变形运动情形下，壁面涡量、壁面切应力、壁面涡量法向通量 等沿壁面分布及其同壁面几何特征之间的关系进行空间动力学行为分析。对于静止波状圆柱 情形，不同时刻壁面涡量分布在距离前端145前部分无明显差异，且上下表面呈对称性，145 后至尾部壁面切应力分布随时间变化，上下表面分布不对称，可以判断在此区域内出现流动 分离现象，如图 9。 而对于驻波状运动情形，则不同时刻均有明显变化，图 10 是一个壁面运动周期内壁面涡 量的分布情况并对比该时刻距圆心极径 R 的分布，其中 t=397 以及 t=397.5 时刻还一并给出曲 率 的分布，反应了壁面涡量分布同壁面几何形态也有密切关系。在 t=397.25 和 t=397.75 时 刻，为恰好运动到圆情形，此时分布较之其它时刻更为平滑。不同于静止情形只在一定区域 内随时间有较明显差异，运动驻波状圆柱几乎整个表面涡量均随时间有明显变化，而且呈周 期性。其自功率谱能量分布如图 11。 图 9 壁面涡量分布（静止波状圆柱情形）

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 t=397 t=39725 71P0-150120 180-1501209060-300306090120150t80 t=39775 t=3975 180-150-1209060-30 图10壁面涡量分布(驻波状运动圆柱情形) 4.00E+012 驻波状运动壁面涡量频谱能量分布图 3.50E+012 1.00E+012 5.00E+011 图11驻波状运动壁面涡量自功率谱能量分布图

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 8 - 图 10 壁面涡量分布（驻波状运动圆柱情形） -150 -100 -50 0 50 100 150 0.00E+000 5.00E+011 1.00E+012 1.50E+012 2.00E+012 2.50E+012 3.00E+012 3.50E+012 4.00E+012 E  驻波状运动壁面涡量频谱能量分布图 图 11 驻波状运动壁面涡量自功率谱能量分布图

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 Vor ticity Flux wavecy linder 10 t=20.25 t=384.75 t=40500 5 424.25 150100-50 图12壁面涡量通量分布(静止波状圆柱情形) FLux t=39725 AM -Flux ,75 A 图13一个周期壁面涡量通量分布(驻波状运动情形) 图12是静止波状圆柱情形不同时刻壁面涡量通量的分布情况,图中所示距离前端145°以 前,不同时刻壁面涡量通量沿物体表面无明显差异,上下表面呈对称性,145°后至尾部壁面

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 9 - 图 12 壁面涡量通量分布（静止波状圆柱情形） 图 13 一个周期壁面涡量通量分布（驻波状运动情形） 图 12 是静止波状圆柱情形不同时刻壁面涡量通量的分布情况，图中所示距离前端145以 前，不同时刻壁面涡量通量沿物体表面无明显差异，上下表面呈对称性，145后至尾部壁面

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 切应力分布随时间变化,上下表面分布不对称。图13是驻波状运动情形下一个运动周期内壁 面涡量通量分布情况,对比静止情形,有着明显的不同,沿壁面分布波动大,在t397和t397.5 时刻图中同时给出了半径与曲率半径分布,可见涡量通量分布明显与半径以及曲率相关,在 t=39725和t39775时刻,为恰好运动到圆情形,与壁面切应力情况相反,此时分布较之其它 时刻更为复杂。不同于静止情形只在一定区域内随时间有较明显差异,运动驻波状圆柱几乎 整个表面涡量通量均随时间有明显变化,而且呈周期性 本部分数值研究表明,利用当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论(结 合映照观点),有益于处理边界可作有限变形运动的流动问题,也可推广至此类流固耦合问题 通过对边界可作有限变形运动的类柱体绕流的部分空间动力学行为的初步研究,也从一些角 度看到了其耦合于几何性质,耦合于运动形式的特点。 6总结 对于某些(类)边界可作有限变形运动的流动(流动区域对应当前物理构形),我们可能 构造当前物理构形对应之显含时间的曲线坐标系(微分同胚),使得参数域为规则且不随时间 变化的区域。本文基于上述思想及方法,数值研究了若干边界可作有限变形运动的二维类圆 柱不可压缩绕流问题,获得了较为理想的结果,并从升阻力系数的时间过程、涡量、壁面涡 量通量的分布等方面初步研究了这类问题的空间动力学行为。现有数值研究,不仅表明本文 所提出思想及方法的有效性,而且也表明边界的有限变形运动能显著地改变流场的空间动力 学行为 我们意于进一步研究边界的有限变形运动对流场空间动力学行为的影响(特别有兴趣于 边界的几何特性同流场空间动力学之间的关系等),从而探究新颖的、有效的流动控制方法等。 参考文献 I Triantafyllou M.s., Triantafyllou GS.& Yue D K.P. Hydrodynamics of fishlike swimming. Annu. Rev. Fluid Mech.2000.32:33-5 2 Wu C.J., Wang L& Wu J.Z., Suppression of the von Karman vortex street behind a circular cylinder by a travelling wave generated by a flexible surface, J. Fluid Mech., 2007, 574: 365-391 3 Du G& Sun M. Effects of unsteady deformation of flapping wing on its aerodynamics forces. Appl. Math. Mech-Engl.Ed,2008,29(6:731-743 4 Wu J Z, Lu x.Y.& Zhuang L X. Integral force acting on a body due to local flow structures. J Fluid Mech. 2007, 576:265-286. 5吴介之,马晖扬,周明德.涡动力学引论.工程力学丛书.高等教育出版社,1993. 6 XIE X.L.& Chen Y. The finite deformation theory corresponding to the curvilinear coordinates with respect to thecurrentphysicalconfigurationsincludingtimeexplicitlyOnlinepublishedinhttp://www.paper.edu.cn/,2012

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 10 - 切应力分布随时间变化，上下表面分布不对称。图 13 是驻波状运动情形下一个运动周期内壁 面涡量通量分布情况，对比静止情形，有着明显的不同，沿壁面分布波动大，在 t=397 和 t=397.5 时刻图中同时给出了半径与曲率半径分布，可见涡量通量分布明显与半径以及曲率相关，在 t=397.25 和 t=397.75 时刻，为恰好运动到圆情形，与壁面切应力情况相反，此时分布较之其它 时刻更为复杂。不同于静止情形只在一定区域内随时间有较明显差异，运动驻波状圆柱几乎 整个表面涡量通量均随时间有明显变化，而且呈周期性。 本部分数值研究表明，利用当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论（结 合映照观点），有益于处理边界可作有限变形运动的流动问题，也可推广至此类流固耦合问题。 通过对边界可作有限变形运动的类柱体绕流的部分空间动力学行为的初步研究，也从一些角 度看到了其耦合于几何性质，耦合于运动形式的特点。 6 总结 对于某些（类）边界可作有限变形运动的流动（流动区域对应当前物理构形），我们可能 构造当前物理构形对应之显含时间的曲线坐标系（微分同胚），使得参数域为规则且不随时间 变化的区域。本文基于上述思想及方法，数值研究了若干边界可作有限变形运动的二维类圆 柱不可压缩绕流问题，获得了较为理想的结果，并从升阻力系数的时间过程、涡量、壁面涡 量通量的分布等方面初步研究了这类问题的空间动力学行为。现有数值研究，不仅表明本文 所提出思想及方法的有效性，而且也表明边界的有限变形运动能显著地改变流场的空间动力 学行为。 我们意于进一步研究边界的有限变形运动对流场空间动力学行为的影响（特别有兴趣于 边界的几何特性同流场空间动力学之间的关系等），从而探究新颖的、有效的流动控制方法等。 参 考 文 献 1 Triantafyllou M.S., Triantafyllou G.S. & Yue D.K.P. Hydrodynamics of fishlike swimming. Annu. Rev. Fluid Mech., 2000, 32:33-53. 2 Wu C.J., Wang L. & Wu J.Z., Suppression of the von Karman vortex street behind a circular cylinder by a travelling wave generated by a flexible surface, J. Fluid Mech., 2007, 574:365-391. 3 Du G. & Sun M. Effects of unsteady deformation of flapping wing on its aerodynamics forces. Appl. Math. Mech.-Engl. Ed., 2008, 29(6):731-743. 4 Wu J.Z, Lu X.Y. & Zhuang L.X. Integral force acting on a body due to local flow structures. J.Fluid Mech. 2007, 576:265-286. 5 吴介之, 马晖扬, 周明德. 涡动力学引论. 工程力学丛书. 高等教育出版社,1993. 6 XIE X.L. & CHEN Y. The finite deformation theory corresponding to the curvilinear coordinates with respect to the current physical configurations including time explicitly. Online published in http://www.paper.edu.cn/, 2012