2006级物理学院等力学期末考试 学号 姓名: 院系 试卷总分:100分 答卷时间:2小时 题号 总分 1-10 11-14 16 17 18 得分 填空(每空2分,共40分) 1、各边长为a、质量为M的匀质刚性正 a 方形细框架,开始时静止在光滑水平 大桌面上,框架右侧边中央有一小孔 P,桌面上另有一个质量为m的小球 以初速从小孔P外射入。设的方 向如图所示,小球与框架碰撞无摩擦 且为弹性。小球在框架内经过时间t ,又从小孔P射出,过程 中{框架,小球}系统的质心C通过的 位移量c 2、质量m、直角边长分别为a、√3a的匀质直 角三角板ABC,如图所示,其中D为斜边 C的中点。分别设置过A、B、C、D点且 与板面垂直的四个转轴,三角板相应的转动a 惯量分别记为4、lB、lc、ID,则I 。余下的Ⅰ、lB、lc中最小者 (填lA、lB或lc) 3、粘滞系数为η,流速为ν的流体,η越大 其雷诺数越 ;v越大,其雷诺数越 4、密度记为ρ的小雨珠可近似成半径为r的球体,在空气中下落时略去空气 浮力,所受空气粘性阻力(空气粘度记为η)可按斯托克斯公式
1 2006 级物理学院等力学期末考试 学号：_________________姓名：__________________院系：_________________ 试卷总分：100 分 答卷时间：2 小时 一 二 三 题号 1-10 11-14 15 16 17 18 总分 得分 一、 填空（每空 2 分，共 40 分） 1、各边长为 a、质量为 M 的匀质刚性正 方形细框架，开始时静止在光滑水平 大桌面上，框架右侧边中央有一小孔 P，桌面上另有一个质量为 m 的小球 以初速 0 v v 从小孔 P 外射入。设 0 v v 的方 向如图所示，小球与框架碰撞无摩擦 且为弹性。小球在框架内经过时间 t = ，又从小孔 P 射出，过程 中{框架，小球}系统的质心 C 通过的 位移量 Cs v = 。 2、质量 m、直角边长分别为 a、 3a 的匀质直 角三角板 ABC，如图所示，其中 D 为斜边 AC 的中点。分别设置过 A、B、C、D 点且 与板面垂直的四个转轴，三角板相应的转动 惯量分别记为 IA 、 IB 、 IC 、 ID ， 则 ID = 。余下的 IA、IB、IC中最小者 为 （填 IA、IB或 IC）。 3、粘滞系数为η，流速为 v 的流体，η越大， 其雷诺数越 ；v 越大,其雷诺数越 。 4、密度记为ρ的小雨珠可近似成半径为 r 的球体，在空气中下落时略去空气 浮力，所受空气粘性阻力(空气粘度记为η)可按斯托克斯公式 计 a a a M m 0 v v 450 P A B C D m a 3a
算,则雨珠下落的终极速度v= 5、在光滑的水平地面上,质 量分别为2m和m的小球 B和C间用一根劲度系数 为k的均匀轻长弹簧连2m(0 接,开始时B、C静止,mmm 弹簧处于自由长度状态。 如图所示,使B具有朝着 C的初速度w,在{B、C、弹簧}系统质心系中,B、C都将相对质心作简 谐振动,振动角频率 ;B相对质心振动的振幅A 6、阻尼振动的微分方程为 +2R+02x=0,形成低阻尼振动的条件 是,对应的通解为x= 其中a=√on2-B2 7、同频率、同振动方向、振幅同为A、波长同为λ的两列行波,相向传播时 可形成驻波。驻波波腹处振动的振幅为 ,波腹与其相邻的波节之 间的距离为 设波源S在介质中的运动速度为vs,波在介质中的传播速度为u 如果u>vs,在S正前方一个相对介质静止的观察者接收到的波的振动频 率v与波源S振动频率v之间的关系为v= 如果u<vs,波源的运动会在介质中激起圆锥面形的冲击波,锥面半顶角 即马赫角)θ满足关系式 9、如图所示,各边静长为L的正方形面 板ABCD,在惯性系S的xy坐标面上y 以匀速度ⅴ沿ⅹ轴运动。运动过程中 AB边和BC边各点均朝ⅹ轴连续发 光,在S系中各点发光方向均与y轴 平行。这些光在x轴上照亮出一条随 着面板运动的轨迹线段,它的长度 L。若改取AB B C 边静长为L,BC边静长仍为L的长方o 形面板,当v=0.6c时,ⅹ轴上运动的 S系 轨迹线段长度恰好等于L,那么必有 10、静质量为m的物体密度为常量ρo,当平动加速到其动能为静能的n 倍时,速度v= 它的密度p
2 算，则雨珠下落的终极速度 ve = 。 5、在光滑的水平地面上，质 量分别为 2m 和 m 的小球 B 和 C 间用一根劲度系数 为 k 的均匀轻长弹簧连 接，开始时 B、C 静止， 弹簧处于自由长度状态。 如图所示，使 B 具有朝着 C 的初速度 v0，在{B、C、弹簧}系统质心系中，B、C 都将相对质心作简 谐振动，振动角频率ω = ；B 相对质心振动的振幅 A = 。 6、阻尼振动的微分方程为 2 0 2 & x&+ βx& +ω0 x = ， 形成低阻尼振动的条件 是 ，对应的通解为 x= ，其中 2 2 ω = ω0 − β 。 7、同频率、同振动方向、振幅同为 A、波长同为λ的两列行波，相向传播时 可形成驻波。驻波波腹处振动的振幅为 ，波腹与其相邻的波节之 间的距离为 。 8、设波源 S 在介质中的运动速度为 vS，波在介质中的传播速度为 u。 如果 u > vS，在 S 正前方一个相对介质静止的观察者接收到的波的振动频 率ν与波源 S 振动频率ν0之间的关系为ν = 。 如果 u < vS，波源的运动会在介质中激起圆锥面形的冲击波，锥面半顶角 （即马赫角）θ满足关系式 。 9、如图所示，各边静长为 L 的正方形面 板 ABCD，在惯性系 S 的 xy 坐标面上 以匀速度 v 沿 x 轴运动。运动过程中 AB 边和 BC 边各点均朝 x 轴连续发 光，在 S 系中各点发光方向均与 y 轴 平行。这些光在 x 轴上照亮出一条随 着面板运动的轨迹线段， 它的长度 l = L。若改取AB 边静长为 L′ ，BC 边静长仍为 L 的长方 形面板，当 v=0.6c 时，x 轴上运动的 轨迹线段长度恰好等于 L，那么必有 L′ = L。 10、 静质量为 m0 的物体密度为常量ρ0，当平动加速到其动能为静能的 n 倍时，速度 v= c，它的密度ρ= ρ0。 B C 2m m k v0 A B C D v y O x S 系
二、简答(每题5分,共20分) 11、写出质点系在其质心参考系中相对任一参考点O的角动量定理,并简述 导出过程。 12、写出复摆能量守恒方程,导岀复摆摆动的动力学微分方程,给出小角度 复摆的摆动周期公式 13、弹性介质中纵波的运动方程设为 5=Acos o( l=√E/p,E:介质杨氏模量,p:介质密度 据此导出波的能量密度表达式。 14、由W=F·d,F=d(m)/dt和m=m ,导出质点的相对论 动能定理,其中dW=E,E=m
3 二、 简答（每题 5 分，共 20 分） 11、写出质点系在其质心参考系中相对任一参考点 O 的角动量定理，并简述 导出过程。 12、写出复摆能量守恒方程，导出复摆摆动的动力学微分方程，给出小角度 复摆的摆动周期公式。 13、弹性介质中纵波的运动方程设为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = cos ( − ) u x ξ A ω t ，u = E / ρ ，E：介质杨氏模量，ρ：介质密度 据此导出波的能量密度表达式。 14、由 dW F dl v v = ⋅ ， F d(mu) dt v v = 和 2 2 0 1 c u m = m − ，导出质点的相对论 动能定理，其中dW = dEk ， 2 0 2 E mc m c k = −
三、计算(每题10分,共40分) 15、质点同时参与的三个同方向、同频率简谐振动分别为 x,=Ao cos(ot +),x2= A coS Ot, x3 试用简谐振动的矢量图示方法,确定质点的合振动 16、水平地面上一个截面积为S0 的敞口桶内盛有高h1+h2的水, 桶的侧面有一个截面积S 001S0的小孔,孔与水面相距h 如图所示。 S (1)试求从小孔开始出水到小 孔停止出水所经时间t; 不h本 (2)小孔刚射出的水,落地时 的水平射程记为S,如果将小 孔改取在原水面下方h2处 对应的初始水平射程记为S2,第 试求△S=S,-S1
4 三、 计算(每题 10 分，共 40 分) 15、质点同时参与的三个同方向、同频率简谐振动分别为 x A t x A ωt x A ωt π ω sin 2 3 cos , 2 3 ), 4 cos( 1 = 0 + 2 = 0 3 = 0 试用简谐振动的矢量图示方法，确定质点的合振动。 16、水平地面上一个截面积为 S0 的敞口桶内盛有高 h1+h2 的水， 桶的侧面有一个截面积 S = 0.01S0 的小孔，孔与水面相距 h1， 如图所示。 （1）试求从小孔开始出水到小 孔停止出水所经时间 t； （2）小孔刚射出的水，落地时 的水平射程记为 S1，如果将小 孔改取在原水面下方 h2 处， 对应的初始水平射程记为 S2， 试求 2 1 ΔS = S − S 。 S0 h1 h2 S1 S
17、系统的俯视图与侧视图如图1、图2所示,若能处于图2所示稳定的匀 加速纯滚动状态,在M=2m的条件下,试求缠绕在圆柱体上的轻绳与水平 导轨间的夹角θ。 匀质圆柱体∥水平导轨 M、R 水平导轨 重牡 图1 图2
5 17、系统的俯视图与侧视图如图 1、图 2 所示，若能处于图 2 所示稳定的匀 加速纯滚动状态，在M = 2m 的条件下，试求缠绕在圆柱体上的轻绳与水平 导轨间的夹角θ。 • θ M、R 水平导轨 图 1 图 2 轻 绳 重物 匀质圆柱体 水平导轨
18惯性系S中有两个静质量同为m的质点A、B,它们的速度分别沿x、y方向, 速度大小分别为06c、0.8c。某时刻质点A位于xy平面上的P处,质点B也在 xy平面上,如图所示。 (1)S系认定再过Mt=5s,A和B会相碰,试问A认为还需经多长时间AtA与 相碰? (2)A认为自己位于S系P处时,质点B与其相距,试求 (3)设A、B相碰后粘连,且无任何形式能量耗散,试在S系中计算粘连体的 静质量M。 B S系
6 18 惯性系 S 中有两个静质量同为 m0 的质点 A、B，它们的速度分别沿 x、y 方向， 速度大小分别为 0.6c、0.8c。某时刻质点 A 位于 xy 平面上的 P 处，质点 B 也在 xy 平面上，如图所示。 （1） S 系认定再过Δt = 5s ，A 和 B 会相碰，试问 A 认为还需经多长时间ΔtA与 B 相碰？ （2） A 认为自己位于 S 系 P 处时，质点 B 与其相距 l，试求 l； （3） 设 A、B 相碰后粘连，且无任何形式能量耗散，试在 S 系中计算粘连体的 静质量 M0。 A B P y x O S 系 0.6c 0.8c
2006级物理学院等力学期末考试 学号 姓名: 院系 试卷总分:100分 答卷时间:2小时 题号 总分 1-10 11-14 16 18 得分 填空(每空2分,共40分) 1、各边长为a、质量为M的匀质刚性正 a 方形细框架,开始时静止在光滑水平 大桌面上,框架右侧边中央有一小孔 P,桌面上另有一个质量为m的小球 以初速从小孔P外射入。设的方 向如图所示,小球与框架碰撞无摩擦 且为弹性。小球在框架内经过时间t= 2√2a/vo,又从小孔P射出,过程中{框 架,小球}系统的质心C通过的位移量 v(或1 +m 5) m+M vo 2、质量m、直角边长分别为a、√3a的匀质直 角三角板ABC,如图所示,其中D为斜边 AC的中点。分别设置过A、B、C、D点且 与板面垂直的四个转轴,三角板相应的转动√a 惯量分别记为A、lB、lc、D,则l= ma2。余下的IA、lB、l中最小者为IB (填IA、lB或lc)。 3、粘滞系数为η,流速为ν的流体,η越大,其雷诺数越小:v越大
1 2006 级物理学院等力学期末考试 学号：_________________姓名：__________________院系：_________________ 试卷总分：100 分 答卷时间：2 小时 一 二 三 题号 1-10 11-14 15 16 17 18 总分 得分 一、 填空（每空 2 分，共 40 分） 1、各边长为 a、质量为 M 的匀质刚性正 方形细框架，开始时静止在光滑水平 大桌面上，框架右侧边中央有一小孔 P，桌面上另有一个质量为 m 的小球 以初速 0 v v 从小孔 P 外射入。设 0 v v 的方 向如图所示，小球与框架碰撞无摩擦 且为弹性。小球在框架内经过时间 t = 0 2 2a v ，又从小孔 P 射出，过程中{框 架，小球}系统的质心 C 通过的位移量 Cs v = 0 0 2 2 v v a m M m r + (或 0 v m M m t r + ⋅ )。 2、质量 m、直角边长分别为 a、 3a 的匀质直 角三角板 ABC，如图所示，其中 D 为斜边 AC 的中点。分别设置过 A、B、C、D 点且 与板面垂直的四个转轴，三角板相应的转动 惯量分别记为 IA、IB、IC、ID，则 ID = 2 3 1 ma 。余下的 IA、IB、IC 中最小者为 B I （填 IA、IB或 IC）。 3、粘滞系数为η，流速为 v 的流体，η越大，其雷诺数越 小 ；v 越大, a a a M m 0 v v 450 P A B C D m a 3a
其雷诺数越大。 4、密度记为ρ的小雨珠可近似成半径为r的球体,在空气中下落时略去空气 浮力,所受空气粘性阻力(空气粘度记为n)可按斯托克斯公式6mm 计算,则雨珠下落的终极速度v=2r2ng/97。 5、在光滑的水平地面上,质 量分别为2m和m的小球 B和C间用一根劲度系数 为k的均匀轻长弹簧连 接,开始时B、C静止, 弹簧处于自由长度状态。 如图所示,使B具有朝着 C的初速度w,在{B、C、弹簧}系统质心系中,B、C都将相对质心作简 谐振动,振动角频率o=√3k/2m;B相对质心振动的振幅A= 2m/3k。 6、阻尼振动的微分方程为+2+02x=0,形成低阻尼振动的条件 是Bvs,在S正前方一个相对介质静止的观察者接收到的波的振动频 率v与波源S振动频率v之间的关系为v= 如果u<vs,波源的运动会在介质中激起圆锥面形的冲击波,锥面半顶角 9、如图所示,各边静长为L的正方形面 板ABCD,在惯性系S的xy坐标面上 以匀速度ⅴ沿ⅹ轴运动。运动过程中 A AB边和BC边各点均朝ⅹ轴连续发 光,在S系中各点发光方向均与y轴 平行。这些光在x轴上照亮出一条随 着面板运动的轨迹线段,它的长度 B S系
2 其雷诺数越 大 。 4、密度记为ρ的小雨珠可近似成半径为 r 的球体，在空气中下落时略去空气 浮力，所受空气粘性阻力(空气粘度记为η)可按斯托克斯公式 6πrηv 计算，则雨珠下落的终极速度 ve = 2 ρ 9η 2 r g 。 5、在光滑的水平地面上，质 量分别为 2m 和 m 的小球 B 和 C 间用一根劲度系数 为 k 的均匀轻长弹簧连 接，开始时 B、C 静止， 弹簧处于自由长度状态。 如图所示，使 B 具有朝着 C 的初速度 v0，在{B、C、弹簧}系统质心系中，B、C 都将相对质心作简 谐振动，振动角频率 ω = 3k 2m ；B 相对质心振动的振幅 A = m k v 2 3 3 0 。 6、阻尼振动的微分方程为 2 0 2 & x&+ βx& +ω0 x = ， 形成低阻尼振动的条件 是β vS，在 S 正前方一个相对介质静止的观察者接收到的波的振动频 率ν与波源 S 振动频率ν0之间的关系为ν = ν 0 S u v u − 。 如果 u < vS，波源的运动会在介质中激起圆锥面形的冲击波，锥面半顶角 9、如图所示，各边静长为 L 的正方形面 板 ABCD，在惯性系 S 的 xy 坐标面上 以匀速度 v 沿 x 轴运动。运动过程中 AB 边和 BC 边各点均朝 x 轴连续发 光，在 S 系中各点发光方向均与 y 轴 平行。这些光在 x 轴上照亮出一条随 着面板运动的轨迹线段， 它的长度 B C 2m m k v0 A B C D v y O x S 系
1=√1-B2+B,B L。若改取AB边静长为L,BC边 静长仍为L的长方形面板,当V=06c时,x轴上运动的轨迹线段长度恰 好等于L,那么必有L=(-1-P2)B=1/3L 10、静质量为m的物体密度为常量ρ。,当平动加速到其动能为静能的n 倍时,速度v=Vm(n+2)/n+1e,它的密度p=(+1)2po 、简答(每题5分,共20分) 11、写出质点系在其质心参考系中相对任一参考点O的角动量定理,并简述 导出过程。 =M+r xF-FxE ∑m元 ∑m(-)x ∑m层×-∑mx =J-×∑m ∑m以 M一已x(F外一F) 12、写出复摆能量守恒方程,导岀复摆摆动的动力学微分方程,给出小角度 复摆的摆动周期公式。 gr (1-cos0)+lo=const 两边求导 do mgr@ 0+l0-=0 s Bo=0 d-o mgc=0 T=2 y mgr
3 cr v or v C O i ic r v io r v or′ v l = 1 , 2 − β + β c v β = L。若改取 AB 边静长为 L′ ，BC 边 静长仍为 L 的长方形面板，当 v=0.6c 时，x 轴上运动的轨迹线段长度恰 好等于 L，那么必有 L′ = (1 1 ) 1 3 2 − − β β = L。 10、 静质量为 m0 的物体密度为常量ρ0，当平动加速到其动能为静能的 n 倍时，速度 v= n(n + 2) n +1c，它的密度ρ= ( ) 2 n +1 ρ0。 二、 简答（每题 5 分，共 20 分） 11、写出质点系在其质心参考系中相对任一参考点 O 的角动量定理，并简述 导出过程。 c o co dJ M r FrF dt ′ ′ = × −×′ v v v v 外 外 ＋ ( ) ( ) i i i i i i c c J i io io i ic o io i ic ic i o ic c o i ic c o i ic o mr v mr r v mr v mr v J r mv dJ dJ r ma dt dt M rFF ′ ′′ × = −× ′′ ′ = ×− × ′ ′ ′′ = −×′ ′ ′ ⇒ = −×′ ′ = ×′ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ v v vv v v v vv v v v v v v v 外 外 ＝ － － 12、写出复摆能量守恒方程，导出复摆摆动的动力学微分方程，给出小角度 复摆的摆动周期公式。 ( ) 1 2 1 cos co 2 mgr I nst c −+= θ ω 两边求导： sin 0 d I dt ω mgrcωθω + = 2 2 2 2 cos 0 0 2 c c c d I mgr dt d mgr dt I I T mgr ω θω ω ω π ⇒+ = ⇒+ = ⇒ =
13、弹性介质中纵波的运动方程设为 E=Aco(1-),u=√E/D,E:介质杨氏模量,p:介质密度 据此导出波的能量密度表达式 解:考虑微元:截面积dS,长度dx 动能为: p(dS·d) 势能为 dE,=ka[(x+d小)-5(x, I Eds (a5 2 dx E-A 能量密度 (dEp +dEr/ =po A- sIno t- 14、由dW=Fdl,F=d(mi)/at和m=m0 ,导出质点的相对论 动能定理,其中d=dE,E=mc2-mc comedy dm= →dE=c2dm =mdy+ mmdy+ydm m·+y2dm 下·d(m)
4 13、弹性介质中纵波的运动方程设为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = cos ( − ) u x ξ A ω t ，u = E / ρ ，E：介质杨氏模量，ρ：介质密度 据此导出波的能量密度表达式。 解：考虑微元：截面积dS ，长度dx， 动能为： dS dx u x A t t dE dS dx K ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⋅ ρω ω ξ ρ 2 2 2 2 sin 2 1 ( ) 2 1 势能为 [ ] ( ) () dS dx u x A t dS dx u x A t u E dx dx x EdS dE k x dx t x t P dx ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∂ ∂ = = + − ρω ω ω ω ξ ξ ξ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 1 sin 2 1 2 1 , , 2 1 能量密度 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = + u x A t dEP dEK dV ρω ω ε 2 2 2 sin ( ) 14、由 dW F dl v v = ⋅ ， F d(mu) dt v v = 和 2 2 0 1 c u m = m − ，导出质点的相对论 动能定理，其中dW = dEk ， 2 0 2 E mc m c k = − 2 2 mvdv dm c v = − 2 2 2 k 22 22 c mvdv mvv dE c dm mvdv dv cv cv ⇒= = = + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 mvdv v dm mv dv v dm mdv vdm v v d mv dr d mv d mv dr F dr dt dt = + = ⋅+ = +⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ v v vv v v v v v v v v v