A辑第28卷第3期 水动力学研究与进展 Vo1.28,No.3 2013年5月 CHINESE JOURNAL OF HYDRODYNAMICS May,2013 DOl:10.3969/issn1000-48742013.03.016 正交圆柱尾迹空间动力学行为的实验研究 余宇轩,谢锡麟1,麻伟巍2 (1.复旦大学力学与工程科学系,上海200433Ema:11210290010 fudan. edu. cn; 2.东华大学理学院,上海200051) 摘要:该文实验研究了低 Reynolds数情况下正交圆柱尾迹的空间动力学行为。研究涉及不同来流速度,不同圆柱 间距工况下,几何中心层和剪切层上旋涡的空间演化特性。空间动力学行为分析主要基于自谱和互谱的空间演化,并涉 及空间相位分析。结果显示:正交圆柱尾迹法向方向和展向方向的自谱演化不具有对称特性,分别表现为类单圆柱性和 二次流现象:在正交圆柱中心附近,通过自谱图发现尾迹处存在旋涡的三次归并现象以及亚谐波的嵌入现象:通过互谱 和空间相位分析,在Re=68和Re=103工况下发现波数匹配现象,并且其频带的中心恰为正交圆柱脱落主导频率;特 别在Re=68工况下脱落主导频率和一阶亚谐波存在波数匹配现象,并且随着Re数増加,相位关联消失 关键词:正交圆柱:自谱:互谱:波数:波速 中分类号:O3575 文献标识码:A Experimental studies on the spatial dynamical behaviors of wakes of two circular-cylinders forming a cross YU Yu-xuan XIE Xi-lin MA Wej-wei2 (1. Department of Mechanics Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China; 2. College of Science, Donghua University, Shanghai 200051, China) Abstract: This experimental study was put emphasis on the spatial dynamical behaviors of two circular-cylinders forming a cross at low Reynolds number. It is involved in the vortices space evolution characteristics of the middle layer and the shear layer by the different flow speed and the different cylinder spacing conditions. The spatial dynamical behavior analysis is mainly based on self-spectrum and cross spectrum, involving spatial phase analysis. The results are obtained by the self-spectrum that the normal direction and the spanwise direction do not have the symmetry of the direction in the wake of two circular cylinders arranged perpendicular to each other, that one is the wake of the vortex being similar to the single-cylinder and another is 收稿日期:2012-06-15(20130409修改稿) 基金项目:国家自然科学基金面上项目(10872051 作者简介:余宇轩(1989-),男,浙江绍兴人,硕士研究生 通信作者:麻伟巍, Email: mwwladhu.edu.cn Received: June 15, 2012 (Revised April 9, 2013 Project supported by foundation: Supported by the National Natural Science Foundation of China(10872051) graphy: YU Yu-xuan(1989-), Male, Master Candidate Correspondingauthor:MAWei-wei,Email:mww@dhu.edu.cn
DOI：10.3969/j.issn1000-4874.2013.03.016 正交圆柱尾迹空间动力学行为的实验研究* 余宇轩 1 , 谢锡麟 1 , 麻伟巍 2 （1. 复旦大学力学与工程科学系, 上海 200433, Email: 11210290010@fudan.edu.cn; 2. 东华大学理学院, 上海 200051） 摘 要：该文实验研究了低 Reynolds 数情况下正交圆柱尾迹的空间动力学行为。研究涉及不同来流速度，不同圆柱 间距工况下，几何中心层和剪切层上旋涡的空间演化特性。空间动力学行为分析主要基于自谱和互谱的空间演化，并涉 及空间相位分析。结果显示：正交圆柱尾迹法向方向和展向方向的自谱演化不具有对称特性，分别表现为类单圆柱性和 二次流现象；在正交圆柱中心附近，通过自谱图发现尾迹处存在旋涡的三次归并现象以及亚谐波的嵌入现象；通过互谱 和空间相位分析，在 Re = 68 和 Re = 103 工况下发现波数匹配现象，并且其频带的中心恰为正交圆柱脱落主导频率；特 别在 Re = 68 工况下脱落主导频率和一阶亚谐波存在波数匹配现象，并且随着 Re 数增加，相位关联消失。 关键词：正交圆柱；自谱；互谱；波数；波速 中图分类号：O357.5 文献标识码：A Experimental studies on the spatial dynamical behaviors of wakes of two circular-cylinders forming a cross YU Yu-xuan1 , XIE Xi-lin1 , MA Wei-wei2 (1. Department of Mechanics & Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China; 2. College of Science, Donghua University, Shanghai 200051, China) Abstract: This experimental study was put emphasis on the spatial dynamical behaviors of two circular-cylinders forming a cross at low Reynolds number. It is involved in the vortices space evolution characteristics of the middle layer and the shear layer by the different flow speed and the different cylinder spacing conditions. The spatial dynamical behavior analysis is mainly based on self-spectrum and cross spectrum, involving spatial phase analysis. The results are obtained by the self-spectrum that the normal direction and the spanwise direction do not have the symmetry of the direction in the wake of two circular cylinders arranged perpendicular to each other; that one is the wake of the vortex being similar to the single-cylinder and another is * 收稿日期: 2012-06-15(2013-04-09 修改稿) 基金项目: 国家自然科学基金面上项目(10872051) 作者简介: 余宇轩(1989－), 男, 浙江绍兴人, 硕士研究生. 通信作者: 麻伟巍, Email: mww@dhu.edu.cn Received: June 15, 2012 (Revised April 9, 2013) Project supported by foundation: Supported by the National Natural Science Foundation of China (10872051) Biography: YU Yu-xuan (1989–), Male, Master Candidate. Corresponding author: MA Wei-wei, Email: mww@dhu.edu.cn
余宇轩,等:正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 371 he secondary flow phenomenon. Near the center of structure the third mergence and embedding is found in the wake of the two circular cylinders by the self-spectrum picture. On the other hand, by the way of cross spectrum and the spatial phase analysis, the wave-number-matching phenomenon is found in the case of Re= 68 and Re= 103. And the wave-number-matching phenomenon only exists around the shedding-frequency In the case of Re= 68, it is found that the shedding- frequency and the rst sub-harmonic wave have the same wave-number, and with the increasing of the Reynolds number, the determinable Key words: two circular cylinders forming a cross, self-spectrum; cross spectrum; wave number; wave velocity 步进电机 图1风洞实验段的正面投影 Fig 1. The front projection of the test section of the wind tunnel 了相应的临界值。 1引言 正交圆柱内区域的临界间距:与串联双圆柱类 似,正交圆柱同样具有类似的临界间距,当超过临 钝体的绕流问题,特别是对于圆柱和圆柱群一界间距时,流动状态将会发生显著的变化。Fox 直是流体力学领域的重要研究内容。由于在工程领等的研究也证实了这一点,Fox等认为圆柱间距 域圆柱和圆柱群是普遍采用的结构形式,因此许多L/d=3为正交圆柱的临界间距。 Zdravkovich和 研究者对其进行了研究,并取得了很大的进展。对 Tsutomu等也对其进行了研究。 于双圆柱绕流,由于实际工程的需要,往往把双圆 正交圆柱内区域的二次流现象:二次流是指在 柱的并列、串列和斜置作为典型的排列方式,即使主流动区域内所出现的一种与主流性质不同的从 是多圆柱绕流,也只不过是上述三种方式的混合排属流动。 Zdravkovich通过用油膜法对圆柱间距为 列。目前,对于其他形式排列的双圆柱绕流问题的L/d=1进行流动显示,清楚地在上游圆柱尾部显 研究较为少见。而在实际工程背景中,两圆柱呈正示了四个流向涡。 Tsutomu等在间距为L/d<2, 交关系的结构却很常见,如:风洞的整流网、沿海且Re在103量级情况下发现了两种不同的流态,分 的钻井设施叮、晶格框架和冷却系统以等。因此,别对应着两种涡的存在,即尾迹涡( Trailing Vortex) 对其进行研究不仅有助于解决实际的工程需要,而和颈链涡( Necklace Vortex)。Ykio等和Fox等 且通过与单圆柱的比较能够了解不同结构下的绕等也对其进行了研究。 流的尾迹的结构异同处和湍流转捩机理的异同处, 低Re数范围下正交圆柱的数值模拟研究:对于 以此发现关于绕流的一般性机制是非常有意义的。正交圆柱的数值模拟。邓见等门数值模拟了间距为 结合本文的研究目的以及现有的文献,分别对L/d=5下,Re=200的垂直交叉双圆柱绕流流场, 相关文献中高Re数范围下正交圆柱的结果,以及相发现了两圆柱间的流动的不稳定性,具体表现为部 关文献中低巸e数范围下正交圆柱的数值模拟说明分流体旋转上升或旋转下降形成螺旋型的涡结构。 如下。 正交圆柱尾迹流场的内区域和外区域:当自由 来流流经正交圆柱时,整体的尾迹流场可划分为两 实验装置 个区域,一个是内区域,一个是外区域。外区域意 味着尾迹流场类似与单圆柱的尾迹流场相近,内区 本文实验的速度脉动测量是在直流式风洞中 域意味着在此区域内整体尾迹流场的特性已经不进行的。实验段横截面尺寸为300mm×300mm,长 同于单圆柱的尾迹流场,呈现高度的三维性流动 度为1000mm,如图1所示。 正交圆柱尾迹流场的内区域和外区域的划分和圆 动力方面,使用ABB公司的ACS510变频电 柱间距比L/d和Re数有关。 Hideo等、机对风洞进行调速。其中经过实验验证,风洞的自 Zdravkovich和Fox等24对其进行了研究,并提出由来流速度与ABB电机频率成线性关系,即频率
余宇轩，等：正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 371 1 引言 钝体的绕流问题，特别是对于圆柱和圆柱群一 直是流体力学领域的重要研究内容。由于在工程领 域圆柱和圆柱群是普遍采用的结构形式，因此许多 研究者对其进行了研究，并取得了很大的进展。对 于双圆柱绕流，由于实际工程的需要，往往把双圆 柱的并列、串列和斜置作为典型的排列方式，即使 是多圆柱绕流，也只不过是上述三种方式的混合排 列。目前，对于其他形式排列的双圆柱绕流问题的 研究较为少见。而在实际工程背景中，两圆柱呈正 交关系的结构却很常见，如：风洞的整流网、沿海 的钻井设施[1]、晶格框架和冷却系统[2]等。因此， 对其进行研究不仅有助于解决实际的工程需要，而 且通过与单圆柱的比较能够了解不同结构下的绕 流的尾迹的结构异同处和湍流转捩机理的异同处， 以此发现关于绕流的一般性机制是非常有意义的。 结合本文的研究目的以及现有的文献，分别对 相关文献中高 Re 数范围下正交圆柱的结果，以及相 关文献中低 Re 数范围下正交圆柱的数值模拟说明 如下。 正交圆柱尾迹流场的内区域和外区域：当自由 来流流经正交圆柱时，整体的尾迹流场可划分为两 个区域，一个是内区域，一个是外区域。外区域意 味着尾迹流场类似与单圆柱的尾迹流场相近，内区 域意味着在此区域内整体尾迹流场的特性已经不 同于单圆柱的尾迹流场，呈现高度的三维性流动。 正交圆柱尾迹流场的内区域和外区域的划分和圆 柱间距比 L d/ 和 Re 数有关。 Hideo 等 [3] 、 Zdravkovich[1]和 Fox 等[2,4]对其进行了研究，并提出 了相应的临界值。 正交圆柱内区域的临界间距：与串联双圆柱类 似，正交圆柱同样具有类似的临界间距，当超过临 界间距时，流动状态将会发生显著的变化。Fox 等[4]的研究也证实了这一点，Fox 等认为圆柱间距 L / d = 3 为正交圆柱的临界间距。Zdravkovich[1]和 Tsutomu 等[5]也对其进行了研究。 正交圆柱内区域的二次流现象：二次流是指在 主流动区域内所出现的一种与主流性质不同的从 属流动。Zdravkovich[1]通过用油膜法对圆柱间距为 L / d = 1 进行流动显示，清楚地在上游圆柱尾部显 示了四个流向涡。Tsutomu 等[5]在间距为 L d/ < 2， 且 Re 在 103量级情况下发现了两种不同的流态，分 别对应着两种涡的存在，即尾迹涡（Trailing Vortex） 和颈链涡（Necklace Vortex）。Yukio 等[6]和 Fox 等[2,4] 等也对其进行了研究。 低 Re 数范围下正交圆柱的数值模拟研究：对于 正交圆柱的数值模拟。邓见等[7]数值模拟了间距为 L / d = 5 下，Re = 200 的垂直交叉双圆柱绕流流场， 发现了两圆柱间的流动的不稳定性，具体表现为部 分流体旋转上升或旋转下降形成螺旋型的涡结构。 2 实验装置 本文实验的速度脉动测量是在直流式风洞中 进行的。实验段横截面尺寸为 300 mm×300 mm，长 度为 1000 mm，如图 1 所示。 动力方面，使用 ABB 公司的 ACS510 变频电 机对风洞进行调速。其中经过实验验证，风洞的自 由来流速度与 ABB 电机频率成线性关系，即频率 the secondary flow phenomenon. Near the center of structure the third mergence and embedding is found in the wake of the two circular cylinders by the self-spectrum picture. On the other hand, by the way of cross spectrum and the spatial phase analysis, the wave-number-matching phenomenon is found in the case of Re = 68 and Re = 103. And the wave-number-matching phenomenon only exists around the shedding-frequency. In the case of Re = 68, it is found that the shedding-frequency and the first sub-harmonic wave have the same wave-number, and with the increasing of the Reynolds number, the determinable spatial-phases disappeared. Key words: two circular cylinders forming a cross; self-spectrum; cross spectrum; wave number; wave velocity 图 1 风洞实验段的正面投影 Fig.1. The front projection of the test section of the wind tunnel
水动力学研究与进展 A辑2013年第3期 每上升3Hz,速度上升约0.03ms 动态测量方面,采用 DANTEC热线风速仪 通过三个55P1l型一维热线探头测量圆柱尾迹的脉 动速度,安放位置如图1所示。其中3号热线探头 相对于下游圆柱坐标为(6d,-65d,3d),其在整个 实验中固定不动,用来检测下游水平圆柱的剪切层 上的脉动速度。1号和2号热线探头保持竖直方向 对齐(同时移动和停止),y方向和z方向的距离根 据不同工况进行相应的处理 020040060080010001200 f/Hz 实验数据 图5中心层工况下热线3在圆柱间距 为3d情况下自谱随Re数的演化 Fig. 5. Reynolds-frequency number relationship on the middle-symmetry-plane at L/d= 3 Hotwire 3 方0.15 图2中心层工况下圆柱间距为6d,热线3的S-Re关系图 Fig. 2. Strouhal-Reynolds number relationship on the 图6中心层工况下热线2在圆柱间距L/d=3,Re=84 情况下自谱的空间演化 Fig. 6. The spatial evolution of self-spectra on the middle- symmetry-plane at L/d=3 Hotwire 2 Re=84 三阶亚谐波∫8 图3 Williamson例St-Re的比较 Y1668 Fig 3. Strouhal-Reynolds number relationship over laminar D and three-dimensional transition regimes Y1584 100200 400500600700 图7中心层工况下热线2在圆柱间距L/d=3,Re=84 32009 情况下x/d=37处的自谱图 Fig. 7. The spatial evolution of self-spectra on the middle-sym- netry-plane at L/d=3 Hotwire 2 Re=84 x/d=37 3实验方案和工况介绍 020040060080010001200 图4中心层工况下热线2在圆柱间距 为3d情况下自谱随Re数的演化 实验将对L/d=1、L/d=3和L/d=6这三种 Fig 4. Reynolds-frequency number relationship on the 圆柱间距进行测量。对于每一种间距,分别进行了 middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotwire 2 两类实验:一种是变距离实验,分别测量了对应于
372 水动力学研究与进展 A 辑 2013 年第 3 期 每上升 3 Hz，速度上升约 0.03 m/s。 动态测量方面，采用 DANTEC 热线风速仪， 通过三个 55P11 型一维热线探头测量圆柱尾迹的脉 动速度，安放位置如图 1 所示。其中 3 号热线探头 相对于下游圆柱坐标为（6d, –65d, 3d），其在整个 实验中固定不动，用来检测下游水平圆柱的剪切层 上的脉动速度。1 号和 2 号热线探头保持竖直方向 对齐（同时移动和停止），y 方向和 z 方向的距离根 据不同工况进行相应的处理。 图 2 中心层工况下圆柱间距为 6d，热线 3 的 St Re - 关系图 Fig.2. Strouhal-Reynolds number relationship on the middle-symmetry-plane at L/ d = 6 Hotwire 3 图 3 Williamson[9] St Re - 的比较 Fig.3. Strouhal-Reynolds number relationship over laminar and three-dimensional transition regimes 图 4 中心层工况下热线 2 在圆柱间距 为 3d 情况下自谱随 Re 数的演化 Fig.4. Reynolds-frequency number relationship on the middle-symmetry-plane at L/ d = 3 Hotwire 2 图 5 中心层工况下热线 3 在圆柱间距 为 3d 情况下自谱随 Re 数的演化 Fig.5. Reynolds-frequency number relationship on the middle-symmetry-plane at L/ d = 3 Hotwire 3 图 6 中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L/ d = 3， Re = 84 情况下自谱的空间演化 Fig.6. The spatial evolution of self-spectra on the middlesymmetry-plane at L/ d = 3 Hotwire 2 Re = 84 图 7 中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L/ d = 3， Re = 84 情况下 x / d = 37 处的自谱图 Fig.7. The spatial evolution of self-spectra on the middle-symmetry-plane at L/ d = 3 Hotwire 2 Re = 84 x / d = 37 3 实验方案和工况介绍 实验将对 L d/ = 1、 L d/ = 3 和 L d/ = 6 这三种 圆柱间距进行测量。对于每一种间距，分别进行了 两类实验：一种是变距离实验，分别测量了对应于
余宇轩,等:正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 373 0170 0.165 0.155 0.145 0140 0.135 0.125 1005 010101510201025103010351040 图8中心层工况下热线2在圆柱间距L/d=3,Re=84情况下x/d=37处的时域图 Fig 8. The velocity fluctuations on the middle-symmetry-plane at L/d=3 Hotwire 2 Re=84 x/d=37 U=109ms(Re=68)、U=1.33m/s(Re=84)、42正交圆柱中心附近处自谱随Re数的演化 U=165m/s(Re=103)、U=1.88m/s(Re=119)、 U=2.12m/s(Re=134)和U=268m/s(Re=171) 图4显示了在中心层工况下热线2在圆柱间距 速度下,移动范围为距下游水平圆柱6-86d的速为3d情况下自谱随Re数的演化。图5显示了在中 度脉动;另一种是变速度实验,速度范围为心层工况下热线3在圆柱间距为3d下自谱随Re数 0.5ms-3ms,此时热线探头的位置固定不动。而的演化,图5是作为基频的参考。通过对图4和图 每类实验分别考虑两种工况,一种是在几何中心层 5的等高线图的比较可以发现,与单圆柱不同(此 上的位置测量速度脉动,另一种是在几何剪切层上时热线3所测数据等同于单圆柱情况的数据),由 的位置测量速度脉动。然后通过所获得的实验数据正交圆柱的结构差异,出现了不同的频率分量。 研究尾迹的空间动力学行为。 相对于单圆柱的情形,正交圆柱不仅出现了基频∫ 和倍频2∫,更是出现了分数阶谐波和分数阶亚谐 波,籍此可推断出在正交圆柱中心处存在二次流现 4基于自谱的实验分析 象。 43特定Re数下流场形态的空间演化 41远离正交國柱中心处S数随Re数的演化 在上文自谱随Re数的演化的讨论中,已己经发现 图2显示了热线3所测速度脉动所对应的S与圆柱中心附近处出现了不同的频率会与,在正交 与单圆柱不同,由于正交圆柱的结构差 Re的关系图。从图中可以发现,下游圆柱在远离正 图6显示了在中心层工况下热线2在圆柱间距 交圆柱中心处(热线3)的尾迹存在规则的旋涡脱L/d=3,Re=84情况下自谱随空间演化的等高线 落,基频随Re数呈单调增加。由于其余频率的能量图。图7显示了图6工况下,x/d=37处流向速度 相对与基频来说可以忽略不计,故结合单圆柱绕流脉动的自谱图,图8则为其对应的时域信号。 的特征可以推断,在此位置处尾迹流动特征和单圆 柱相似。 通过与 Williamson9的Sr-Re的比较,如图3 X:175 所示,可以发现两者趋势完全相同,故下游圆柱在 远离正交圆柱中心处(热线3)可以视为单圆柱工 况。另一方面,通过对热线3对应的S与Re的关 系图(图2)与 Williamson例的St-Re(图3)的关 系图进行仔细比较,可以发现对应于相同的Re数 热线3所测的S数略小于 Williamson例所测的St 数。这可以通过Fox等鬥所作的研究解释这一现象, Fox等H认为对下游圆柱来说,实际来流速度将小 于自由来流的速度。对此,可简单证明如下: 图9剪切层工况下热线2在圆柱间距L/d=3,Re 情况下主导频率的空间演化 自由来流U实际来流U willim son (1) Fig 9. The spatial evolution of the primary frequencies on the shear-layer-plane at L/d=3 Hotwire 2 Re=84
余宇轩，等：正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 373 U = 1.09 m/s（ Re = 68）、U = 1.33 m/s（ Re = 84）、 U = 1.65 m/s（ Re = 103）、U = 1.88 m/s（ Re = 119）、 U = 2.12 m/s（ Re = 134）和U = 2.68 m/s（ Re = 171） 速度下，移动范围为距下游水平圆柱 6d-86d 的速 度脉动；另一种是变速度实验，速度范围为 0.5 m/s-3 m/s，此时热线探头的位置固定不动。而 每类实验分别考虑两种工况，一种是在几何中心层 上的位置测量速度脉动，另一种是在几何剪切层上 的位置测量速度脉动。然后通过所获得的实验数据 研究尾迹的空间动力学行为。 4 基于自谱的实验分析 4.1 远离正交圆柱中心处 St 数随 Re 数的演化 图 2 显示了热线 3 所测速度脉动所对应的 St 与 Re 的关系图。从图中可以发现，下游圆柱在远离正 交圆柱中心处（热线 3）的尾迹存在规则的旋涡脱 落，基频随 Re 数呈单调增加。由于其余频率的能量 相对与基频来说可以忽略不计，故结合单圆柱绕流 的特征可以推断，在此位置处尾迹流动特征和单圆 柱相似。 通过与 Williamson[9]的 St Re - 的比较，如图 3 所示，可以发现两者趋势完全相同，故下游圆柱在 远离正交圆柱中心处（热线 3）可以视为单圆柱工 况。另一方面，通过对热线 3 对应的 St 与 Re 的关 系图（图 2）与 Williamson[9]的 St Re - （图 3）的关 系图进行仔细比较，可以发现对应于相同的 Re 数， 热线 3 所测的 St 数略小于 Williamson[9]所测的 St 数。这可以通过 Fox 等[4]所作的研究解释这一现象， Fox 等[4]认为对下游圆柱来说，实际来流速度将小 于自由来流的速度。对此，可简单证明如下： = willim son fd fd St St U U 本文 = < 自由来流 实际来流 (1) 4.2 正交圆柱中心附近处自谱随 Re 数的演化 图 4 显示了在中心层工况下热线 2 在圆柱间距 为 3d 情况下自谱随 Re 数的演化。图 5 显示了在中 心层工况下热线 3 在圆柱间距为 3d 下自谱随 Re 数 的演化，图 5 是作为基频的参考。通过对图 4 和图 5 的等高线图的比较可以发现，与单圆柱不同（此 时热线 3 所测数据等同于单圆柱情况的数据），由 于正交圆柱的结构差异，出现了不同的频率分量。 相对于单圆柱的情形，正交圆柱不仅出现了基频 f 和倍频 2 f ，更是出现了分数阶谐波和分数阶亚谐 波，籍此可推断出在正交圆柱中心处存在二次流现 象。 4.3 特定 Re 数下流场形态的空间演化 在上文自谱随 Re数的演化的讨论中，已经发现 与单圆柱不同，由于正交圆柱的结构差异，在正交 圆柱中心附近处出现了不同的频率分量。 图 6 显示了在中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L / d = 3，Re = 84 情况下自谱随空间演化的等高线 图。图 7 显示了图 6 工况下，x / d = 37 处流向速度 脉动的自谱图，图 8 则为其对应的时域信号。 图 9 剪切层工况下热线 2 在圆柱间距 L/ d = 3， Re = 84 情况下主导频率的空间演化 Fig.9. The spatial evolution of the primary frequencies on the shear-layer-plane at L/ d = 3 Hotwire 2 Re = 84 图 8 中心层工况下热线 2 在圆柱间距 L/ d = 3， Re = 84 情况下 x / d = 37 处的时域图 Fig.8. The velocity fluctuations on the middle-symmetry-plane at L/ d = 3 Hotwire 2 Re = 84 x / d = 37
4 水动力学研究与进展 A辑2013年第3期 700 8001000 20040060 (a)Re68,中心层工况 b)Re=68剪切层工况 40 2400 10X 20040060080010001200 004006008001000120 /H7 (c)Re=103,中心层工况 (dR103,剪切层工况 乏400 300 f/Hz (e)Re171,中心层工况 =171,剪切层工况 图10正交双圆柱绕流互谱图(L/d=3) Fig 10. The spatial-phase-pattern at L/d=3 从图7和图8可以看出在此工况下,正交圆柱影响,出现了旋转方向相同的涡列,最终导致了此 尾迹处的脱落频率是以三阶亚谐波1/8f为主导的。涡列相邻涡的归并,产生了一阶亚谐波2/4/f,由 基于此,本文认为正交圆柱尾迹处具有8次非线性,于正交圆柱共有4个剪切层,势必使频率为一阶亚 并产生1/8次亚谐共振。不同于单圆柱共振情形,谐波2/4/且旋转方向相同的涡列会进行第二次的 对于正交圆柱来说,即使激励频率远高于系统固有归并以及频率为二阶亚谐波1/4f且旋转方向相同 频率,仍可能在隔振频段内发生亚谐共振,从而产的涡列进行第三次的归并,最终产生了二阶亚谐波 生危险。如1956年, Lefschetz曾报道了一架飞机 l4和三阶亚谐波1/8f 的螺旋桨激发出机翼的1/2次共振机翼共振又激发 了尾翼的1/4次共振,以致飞机被破坏,这一事件44中心层处和剪切层处主导频率在不同工况下的 证明了此情况的特殊性 空间演化 另一方面,除了出现了三阶亚谐波1/8f之外, 图9显示了在剪切层,热线2在圆柱间距L/ 同时出现了一阶亚谐波2/4、二阶亚谐波1/4f以d=3,Re=84情况下主导频率的空间演化,其中f 及由其线性组成的分数阶亚谐波。对于一阶亚谐波表示正交圆柱尾迹下的速度脉动的主导频率,∫表 2/4、二阶亚谐波1/4和三阶亚谐波1/8f的产示单圆柱尾迹下的速度脉动的主导频率。由图中可 生,本文认为是由于正交圆柱的4个剪切层所引起知,在Re=84时,f、18∫和68为此工况下 的。对与每一个剪切层来说,由于上下游两圆柱的
374 水动力学研究与进展 A 辑 2013 年第 3 期 从图 7 和图 8 可以看出在此工况下，正交圆柱 尾迹处的脱落频率是以三阶亚谐波1/8 f 为主导的。 基于此，本文认为正交圆柱尾迹处具有 8 次非线性， 并产生 1/8 次亚谐共振。不同于单圆柱共振情形， 对于正交圆柱来说，即使激励频率远高于系统固有 频率，仍可能在隔振频段内发生亚谐共振，从而产 生危险。如 1956 年，Lefschetz 曾报道了一架飞机 的螺旋桨激发出机翼的 1/2 次共振,机翼共振又激发 了尾翼的 1/4 次共振，以致飞机被破坏，这一事件 证明了此情况的特殊性。 另一方面，除了出现了三阶亚谐波1/8 f 之外， 同时出现了一阶亚谐波 2/4 f 、二阶亚谐波1/ 4 f 以 及由其线性组成的分数阶亚谐波。对于一阶亚谐波 2/4 f 、二阶亚谐波1/ 4 f 和三阶亚谐波1/8 f 的产 生，本文认为是由于正交圆柱的 4 个剪切层所引起 的。对与每一个剪切层来说，由于上下游两圆柱的 影响，出现了旋转方向相同的涡列，最终导致了此 涡列相邻涡的归并，产生了一阶亚谐波 2/4 f ，由 于正交圆柱共有 4 个剪切层，势必使频率为一阶亚 谐波 2/4 f 且旋转方向相同的涡列会进行第二次的 归并以及频率为二阶亚谐波1/ 4 f 且旋转方向相同 的涡列进行第三次的归并，最终产生了二阶亚谐波 1/ 4 f 和三阶亚谐波1/8 f 。 4.4 中心层处和剪切层处主导频率在不同工况下的 空间演化 图 9 显示了在剪切层，热线 2 在圆柱间距 L / d = 3，Re = 84 情况下主导频率的空间演化，其中 z f 表示正交圆柱尾迹下的速度脉动的主导频率， f 表 示单圆柱尾迹下的速度脉动的主导频率。由图中可 知，在 Re = 84 时， f 、1/8 f 和 6/8 f 为此工况下 图 10 正交双圆柱绕流互谱图（ L/ d = 3） Fig.10. The spatial-phase-pattern at L/ d = 3
余宇轩,等:正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 375 尾迹流态的主导频率,这表明正交圆柱的尾迹的流平直线段不管在剪切层和中心层都没有出现,这是 动在Re=84时已经开始发生了三次归并现象,同由于在Re=171工况下出现了不稳定的小尺度环状 时尾迹中还存在伴随着2/8f和4/8f这两种频率涡所致。 交错排列的涡列(6/8=2/8f+4/8f)。对于三 根据上述对垂直圆柱的空间相位分析,相比较 阶亚谐波18f,从图中可以看出是在无量纲尺度于对应工况下脱落主导频率122Hz(Re=68)和 x/d≈40时才变得明显,而此时分数阶亚谐波234Hz(Re=103),发现无论是Re=68工况还是 6/8∫的能量可以忽略不计。而当x/d40时,尾迹流态以三次归并后的涡列占主 导位置。 拟合φ=64401x+279891 同样可对不同工况下的主导频率空间演化进 行相同分析,参见本文附录表格。 f拟合中63995x+550488 5互谱的实验结果与分析 51互谱分析 通常的频谱分析是无法获得相位的变化,而在 经典流动稳定性分析中,通过互谱进行适当的运算 50607080 可以获得相位的变化。在流动稳定性分析中1, 互谱相位的空间演化一般可以得出如下形式: 图1lRe=68工况,脱落频率为122Hz情况下 中心层∫和∫/2相关频率的空间相位演化 ArgS(, r, ro)=a m)(r-ro=a,(m).(x-xo)+ Fig. 11. The spatial phase evolutions of the shedding-frequency (122 Hz) with its lst sub-harmonic and harmonic at Re=68 a,(m)(y-y0)+a,:(my(2-=0) 式中:f为频率;a(n)=a(n)+1a(n)表示波 拟合中=60975x+15254 数。从式(2)中可看出,表示相位与波数实部有 拟合中=63445x+440296 52正交圆柱互谱的实验结果(间距比为3d 图10显示了正交双圆柱绕流互谱图(L/d= 3)。从图中可以发现,在Re=68工况下和Re=103 工况下,相位等值线ArgS(m;r,F)= const在某 频段内都表现为水平直线段。由式(2)可知,对 于ArgS(n;r,)= const,当(r-r)= const,则有 a,(m)= const,亦即在频段(Ga,f)间,所有频率 XD 具有相同的流向波数实部。 图12Re=103工况,脱落频率为234Hz情况 从图10中还可看出:在Re=68工况下,剪切 中心层∫和∫/2相关频率的空间相位演化 和中心层的波数频带区域相同,频率均在120H Fig 12. The spatial phase evolutions of the shedding-frequency 附近(约为50Hz-200Hz),该现象在距圆柱80d (234 Hz) with its Ist sub-harmonic and harmonic at Re=103 范围内都存在,其频率有较宽的频带;在Re=103 工况下,与Re=68工况基本相似,频带约为150 考虑到Re=68工况和Re=103工况下互谱的 300;随着雷诺数的增大,在Re=171工况下,水影响频带区域的区别,在做空间相位演化图时考虑
余宇轩，等：正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 375 尾迹流态的主导频率，这表明正交圆柱的尾迹的流 动在 Re = 84 时已经开始发生了三次归并现象，同 时尾迹中还存在伴随着 2/8 f 和 4/8 f 这两种频率 交错排列的涡列（ 6/8 2/8 4/8 f = + f f ）。对于三 阶亚谐波1/8 f ，从图中可以看出是在无量纲尺度 x / d ≈ 40 时才变得明显，而此时分数阶亚谐波 6/8 f 的能量可以忽略不计。而当 x / d 40 时，尾迹流态以三次归并后的涡列占主 导位置。 同样可对不同工况下的主导频率空间演化进 行相同分析，参见本文附录表格。 5 互谱的实验结果与分析 5.1 互谱分析 通常的频谱分析是无法获得相位的变化，而在 经典流动稳定性分析中，通过互谱进行适当的运算 可以获得相位的变化。在流动稳定性分析中[11-13]， 互谱相位的空间演化一般可以得出如下形式： ArgS( ; , ) ( ) ( ) ( ) ( ) m r m rx m 0 0, 0 f f f xx rr r r = −= − + α i i α , 0, 0 ( )( ) ( )( ) ry m rz m α α f i i yy f zz −+ − (2) 式中： mf 为频率； () () () m rm im αα α f = + f if 表示波 数。从式（2）中可看出，表示相位与波数实部有 关。 5.2 正交圆柱互谱的实验结果（间距比为 3d） 图 10 显示了正交双圆柱绕流互谱图（ L / d = 3）。从图中可以发现，在 Re = 68 工况下和 Re = 103 工况下，相位等值线 ArgS( ; , ) const m 0 f r r = 在某一 频段内都表现为水平直线段。由式（2）可知，对 于 ArgS( ; , ) const m 0 f r r = ，当 0 ( ) const r r − = ，则有 ( ) const r m α f = ，亦即在频段(, ) f f α β 间，所有频率 具有相同的流向波数实部。 从图 10 中还可看出：在 Re = 68 工况下，剪切 层和中心层的波数频带区域相同，频率均在 120 Hz 附近（约为 50 Hz-200 Hz），该现象在距圆柱 80d 范围内都存在，其频率有较宽的频带；在 Re = 103 工况下，与 Re = 68 工况基本相似，频带约为 150- 300；随着雷诺数的增大，在 Re = 171 工况下，水 平直线段不管在剪切层和中心层都没有出现，这是 由于在 Re = 171工况下出现了不稳定的小尺度环状 涡所致。 根据上述对垂直圆柱的空间相位分析，相比较 于对应工况下脱落主导频率 122 Hz（ Re = 68）和 234 Hz（ Re = 103），发现无论是 Re = 68 工况还是 Re = 103 工况，波数保持相同的区域的中心处恰为 正交圆柱脱落主导频率，不同之处在于 Re = 103 工 况下，一阶亚谐波 f / 2并不处在频带区域。另一方 面，随着雷诺数的进一步增大，固定频率范围内波 数相同的现象将不再发生，这表明随着 Re 数增加， 相位关联消失。 图 11 Re = 68 工况，脱落频率为 122 Hz 情况下 中心层 f 和 f / 2 相关频率的空间相位演化 Fig.11. The spatial phase evolutions of the shedding-frequency (122 Hz) with its 1st sub-harmonic and harmonic at Re = 68 图 12 Re = 103 工况，脱落频率为 234 Hz 情况下 中心层 f 和 f / 2 相关频率的空间相位演化 Fig.12. The spatial phase evolutions of the shedding-frequency (234 Hz) with its 1st sub-harmonic and harmonic at Re = 103 考虑到 Re = 68 工况和 Re = 103 工况下互谱的 影响频带区域的区别，在做空间相位演化图时考虑
水动力学研究与进展 A辑2013年第3期 阶亚谐波∫/2。图11和图12分别表示Re=68化,得出以下主要结论 工况和Re=103工况下脱落频率∫和一阶亚谐波 (1)通过热线对下游圆柱的尾迹测量速度脉 ∫/2的空间相位演化。通过拟合可以发现,相比较动,发现在远离正交圆柱中心处存在规则的旋涡脱 于Re=103工况,RC=68工况下互谱∫和/2的落。在此位置处,尾迹流动特征和单圆柱相似,故 斜率更接近,并且R2=68工况下∫的空间相位演为单圆柱工况。并通过与 Williamson等P所测的S 化在较长空间段中呈直线演化特征。 数与Re数的关系图的比较,得出实际来流小于自由 基于频率空间相位演化的线性特征,可通过确来流的结论。 定空间线性演化段的斜率确定出流向波数实部 (2)通过频谱分析发现了在正交圆柱中心处存 a,(m) 在二次流现象。 )通过对正交圆柱尾迹空间测量的速度脉 k=Ag,)一AE(m,=a,G)D(3)进行频谱分析发现:相对于单圆柱的情形,正交圆 [x2-x]/D 和分数阶亚谐波。 由此可得出流向波速实部C,(n),即为 (4)正交圆柱尾迹流态存在三次归并后的涡 列,并在特定工况下占主导位置,即主导频率为亚 D 谐波。对于正交圆柱来说,即使激励频率远高于系 U Ua.m) U a.D 统固有频率,仍可能在隔振频段内发生亚谐共振从 而产生危险 2r.St(fm) (4) (5)在Re=68和Re=103工况下发现波数匹 配现象,这同单圆柱尾迹的情况一致,并且波数保 持相同区域的中心处恰为正交圆柱脱落主导频率 表1显示了在Re=68和Re=103工况下∫和但随着Re数增加,相位关联消失。 ∫/2流向波数及波速实部。由表可知:在相当宽广 的空间范围,Re=68工况下脱落频率与其一阶亚 谐波具有几乎一致的流向波数实部,称为波数匹 配:而Re=103工况下脱落频率与一阶亚谐波参考文献: 的流向波数实部有明显的差距。上述定量测量结果 与以等直线段为特征的互谱图(图10)相容。 n ZDRAVKOVICH MM. Interference between two cir- 表1Re=68和Re=103工况下 cular cylinders forming a cross J] Journal of Fluid Me 流向波数及波速实部 hanics,1983,128:231-246 TablelThe determination of the real parts of wave-num- [2] FOX T A. Wake characteristics of two circular cylinders bers and wave-velocities of the shedding- frequency with its Ist sub-harmonic at Re= 68 and Re arranged perpendicular to each other[]. Journal of 103 Fluids Engineering, 1991, 113(1): 45-50 Re Hi St(m) a(m)d C(m)/U x/d 3 HIDEO OSAKA, IKUO NAKAMURA, HIDEMI YAMADA. et al. The structure of a turbulent wake 681220.1119 d a cruciform circular cylinder. I-The mean velo- field[. Bulletin of the JSME, 1983, 26(213): 356- 68610.0560 1032340.1418 4 FOX T A, TOY N. Fluid flow at the center of a cross 10311700709 6.34 0.45 composed of tubes[]. International Journal of Heat and Fluid Flow,1988,91).53-61 5 TSUTOMU TAKAHASHI, LASZLO BARANYI 6结论 MASATAKA SHIRAKASHI. Configuration and fre quency of longitudinal vortices shedding from two ci 本文通过变速度和变距离实验对低 Reynolds cular cylinders in cruciform arrangement[J] Journal of 数下正交圆柱尾迹空间的演化进行了研究,分析了 the Visualization Society of Japan, 1999, 19(75): 328- 在不同间距下中心层和剪切层上旋涡的脱落频率 随Re数的变化和在特定Re数下流场形态的空间演6] YUKIO TOMITA, SUSUMU INAGAKI,SHOI
376 水动力学研究与进展 A 辑 2013 年第 3 期 一阶亚谐波 f / 2 。图 11 和图 12 分别表示 Re = 68 工况和 Re = 103 工况下脱落频率 f 和一阶亚谐波 f / 2的空间相位演化。通过拟合可以发现，相比较 于 Re = 103 工况， Re = 68 工况下互谱 f 和 f / 2的 斜率更接近，并且 Re = 68 工况下 f 的空间相位演 化在较长空间段中呈直线演化特征。 基于频率空间相位演化的线性特征，可通过确 定空间线性演化段的斜率确定出流向波数实部 , ( ) rx m α f 2 1 , 2 1 [ArgS( , ) ArgS( , )] ( ) [ ]/ m m rx m fx fx k fD x xD − = = − α (3) 由此可得出流向波速实部 , ( ) C f rx m ，即为 , , , 2 1 2 () () r x m m rx m rx m C f fD U U f U fD π = =π = i i α α , 1 2 () ( ) m rx m St f f D πi iα (4) 表 1 显示了在 Re = 68 和 Re = 103 工况下 f 和 f / 2流向波数及波速实部。由表可知：在相当宽广 的空间范围， Re = 68 工况下脱落频率与其一阶亚 谐波具有几乎一致的流向波数实部，称为波数匹 配[12,13]；而 Re = 103 工况下脱落频率与一阶亚谐波 的流向波数实部有明显的差距。上述定量测量结果 与以等直线段为特征的互谱图（图 10）相容。 表 1 Re = 68 和 Re = 103 工况下 流向波数及波速实部 Table.1.The determination of the real parts of wave-numbers and wave-velocities of the shedding-frequency with its 1st sub-harmonic at Re = 68 and Re = 103 Re Hz ( ) m St f , ( ) rx m α f D , ( )/ CfU rx m x / d 68 122 0.1119 6.44 0.72 6-86 68 61 0.0560 6.40 0.36 6-86 103 234 0.1418 6.10 0.87 6-86 103 117 0.0709 6.34 0.45 6-86 6 结论 本文通过变速度和变距离实验对低 Reynolds 数下正交圆柱尾迹空间的演化进行了研究，分析了 在不同间距下中心层和剪切层上旋涡的脱落频率 随 Re 数的变化和在特定 Re 数下流场形态的空间演 化，得出以下主要结论： (1) 通过热线对下游圆柱的尾迹测量速度脉 动，发现在远离正交圆柱中心处存在规则的旋涡脱 落。在此位置处，尾迹流动特征和单圆柱相似，故 可以认为下游圆柱在远离正交圆柱中心处可以视 为单圆柱工况。并通过与 Williamson 等[9]所测的 St 数与 Re 数的关系图的比较，得出实际来流小于自由 来流的结论。 (2) 通过频谱分析发现了在正交圆柱中心处存 在二次流现象。 (3) 通过对正交圆柱尾迹空间测量的速度脉动 进行频谱分析发现：相对于单圆柱的情形，正交圆 柱不仅出现了基频和倍频，更是出现了分数阶谐波 和分数阶亚谐波。 (4) 正交圆柱尾迹流态存在三次归并后的涡 列，并在特定工况下占主导位置，即主导频率为亚 谐波。对于正交圆柱来说，即使激励频率远高于系 统固有频率，仍可能在隔振频段内发生亚谐共振从 而产生危险。 (5) 在 Re = 68 和 Re = 103 工况下发现波数匹 配现象，这同单圆柱尾迹的情况一致，并且波数保 持相同区域的中心处恰为正交圆柱脱落主导频率， 但随着 Re 数增加，相位关联消失。 参考文献: [1] ZDRAVKOVICH M M. Interference between two circular cylinders forming a cross[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1983, 128: 231-246. [2] FOX T A. Wake characteristics of two circular cylinders arranged perpendicular to each other[J]. Journal of Fluids Engineering, 1991, 113(1): 45-50. [3] HIDEO OSAKA, IKUO NAKAMURA, HIDEMI YAMADA, et al. The structure of a turbulent wake behind a cruciform circular cylinder. І–The mean velocity field[J]. Bulletin of the JSME., 1983, 26(213): 356- 363. [4] FOX T A, TOY N. Fluid flow at the center of a cross composed of tubes[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow, 1988, 9(1): 53-61. [5] TSUTOMU TAKAHASHI, LASZLO BARANYI, MASATAKA SHIRAKASHI. Configuration and frequency of longitudinal vortices shedding from two circular cylinders in cruciform arrangement[J]. Journal of the Visualization Society of Japan, 1999, 19(75): 328- 336. [6] YUKIO TOMITA, SUSUMU INAGAKI, SHOJI
余宇轩,等:正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 377 SUZUKI,et al. Acoustic characteristics of two circular Ffk blinders forming a cross in uniform flow (effect on noise reduction and flow around both cylinders)p]. The Japan Society of Mechanical Engineers, 1987, 30(265) 附衰1Re=68下主导频率的空间演化(St=0.11) Table 1. The spatial evolution of the primary 1069-1079 frequencies at Re=68( St=0.11) 刀邓见,任安禄,邹建锋.垂直交叉双圆柱绕流数值模 拟及涡结构分析[空气动力学学报,2005,23(1) 热线位置圆柱间距L无量纲主导频率f 29-34 DENG Jian, REN An-lu, ZoU Jian-feng. Numerical 中心层 ld 4f/8 mulations of flow around two circular cylinder Acta Aerodynamica Sinica, 2005, 23(1): 29-34 8 WILLIAMSON C HK Vortex dynamics in the cylinder 中心层 ∫/8 wake]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1996 剪切层 4f/8 6-20 [9 WILLIAMSON C H K. Three-dimensional wake transi- 剪切层 tion[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1996, 328: 345- 2f/8,6f/8 [10胡海岩.应用非线性动力学[M北京,中国:航空工 剪切层 42-86 低频段 业出版社,2000 HU Hai-yan. Nonlinear dynamics[M]. Beijing, China 附衰2Re=84下主导频率的空间演化(Sr=0.13) Aviation Industry Press, 2000 Table 2. The spatial evolution of the primary [!]谢锡麟.开放流场空间动力学行为的一种实验研究 frequencies at Re=84( St=0.13) 框架及几类经典流场研究[D].博士论文,复旦大学, 热线圆柱无量纲 位置间距L尺度x/d 主导频率f 上海,中国,2004 XIE XI-Iin. The framework of an experimental study of中心层1d 6-86 4f/8 the dynamic behavior of open flow field space and a 6f/8 few classic flow field Doctoral Thesis, Fudan Uni- 1尚宣廷,谢锡麟,麻伟巍,等基于自谱及互谱实验中心层M19262f/8,f/8,12/ versity, Shanghai, China, 2004 f/8 研究二维单圆柱尾迹空间动力学行为力学季刊 53-86 2010,31(3):319-328. 2f/8,f/8 SHANG Xuan-ting, XIE Xi-lin, MAR Wei-wei, et al. ∫/8 中心层 14-42 of two dimensional wakes of a circular-cylinder based 42-86 2f/8,f/8 on self- and cross-spectra[]. Chinese Quarterly of Me chanics,2010,31(3)319-328 剪切层1d 4f/8 []]谢锡麟,麻伟巍.真实开放流场空间动力学行为分析 6-175 的基本思想及方法[中国科技论文在线精品论文 剪切层 17.5-40 6f/8 2012,5(3):250-259 IE Xi-lin, MA Wei-wei. The primary ideas and metho- f/8 logies of spatial dyr amIcs 6-38 and some contemporary developments]. Onlin 剪切层6d 38-86 低频段 shedinhttp://www.paperedu.cn/,2012,5(3):250-259
余宇轩，等：正交圆柱尾迹的空间动力学行为的实验研究 377 SUZUKI, et al. Acoustic characteristics of two circular cylinders forming a cross in uniform flow (effect on noise reduction and flow around both cylinders)[J]. The Japan Society of Mechanical Engineers, 1987, 30(265): 1069-1079. [7] 邓见, 任安禄, 邹建锋. 垂直交叉双圆柱绕流数值模 拟及涡结构分析[J]. 空气动力学学报, 2005, 23(1): 29-34. DENG Jian, REN An-lu, ZOU Jian-feng. Numerical simulations of flow around two circular cylinders in cruciform arrangement and vortex structures analysis[J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2005, 23(1): 29-34. [8] WILLIAMSON C H K. Vortex dynamics in the cylinder wake[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1996, 28: 477-539. [9] WILLIAMSON C H K. Three-dimensional wake transition[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1996, 328: 345- 407. [10] 胡海岩. 应用非线性动力学[M]. 北京, 中国: 航空工 业出版社, 2000. HU Hai-yan. Nonlinear dynamics[M]. Beijing, China: Aviation Industry Press, 2000. [11] 谢锡麟. 开放流场空间动力学行为的一种实验研究 框架及几类经典流场研究[D]. 博士论文, 复旦大学, 上海, 中国, 2004. XIE Xi-lin. The framework of an experimental study of the dynamic behavior of open flow field space and a few classic flow field[D]. Doctoral Thesis, Fudan University, Shanghai, China, 2004. [12] 尚宣廷, 谢锡麟, 麻伟巍, 等. 基于自谱及互谱实验 研究二维单圆柱尾迹空间动力学行为[J]. 力学季刊, 2010, 31(3): 319-328. SHANG Xuan-ting, XIE Xi-lin , MAR Wei-wei, et al. Experimental studies on the spatial dynamical behaviors of two dimensional wakes of a circular-cylinder based on self- and cross-spectra[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2010, 31(3): 319-328. [13] 谢锡麟, 麻伟巍. 真实开放流场空间动力学行为分析 的基本思想及方法[J]. 中国科技论文在线精品论文, 2012, 5(3): 250-259. XIE Xi-lin, MA Wei-wei. The primary ideas and methologies of spatial dynamics analysis of real open flows and some contemporary developments[J]. Online published in http://www.paper.edu.cn/, 2012, 5(3): 250-259. 附录: 附表 1 Re = 68 下主导频率的空间演化（ St = 0.11） Table 1. The spatial evolution of the primary frequencies at Re = 68 ( St = 0.11) 热线位置 圆柱间距 L 无量纲 尺度 x / d 主导频率 z f 中心层 1d 6-86 4 /8 f 中心层 3d 6-20 6 /8 f 20-86 2 /8 f , f / 8 中心层 6d 6-86 f /8 剪切层 1d 6-86 4 /8 f 剪切层 3d 6-20 f 20-86 2 /8 f , 6 /8 f 剪切层 6d 6-42 f 42-86 低频段 附表 2 Re = 84 下主导频率的空间演化（ St = 0.13） Table 2. The spatial evolution of the primary frequencies at Re = 84 ( St = 0.13) 热线 位置 圆柱 间距 L 无量纲 尺度 x / d 主导频率 z f 中心层 1d 6-86 4 /8 f 中心层 3d 6-19 6 /8 f 19-26 2 /8 f , f / 8 , 12 /8 f 26-53 f / 8 53-86 2 /8 f , f / 8 中心层 6d 6-14 f / 8 14-42 7 /8 f 42-86 2 /8 f , f / 8 剪切层 1d 6-86 4 /8 f 剪切层 3d 6-17.5 f 17.5-40 6 /8 f 40-86 f / 8 剪切层 6d 6-38 f 38-86 低频段
水动力学研究与进展 A辑2013年第3期 附衰3Re=103下主导频率的空间演化(Sr=014) 附表5Re=134下主导频率的空间演化(Sr=0.16) Table 3. The spatial evolution of the primary Table 5. The spatial evolution of the primary 热线位置圆柱间距L无量纲主导频率f 尺度x/d 热线位置圆柱间距L无量纲主导频率厂 尺度x/d 中心层 3f/8 中心层 6-172f/8,6f/8 36.5-86 低频段 中心层 17-65 2f/8 6f/8 中心层 65-862f/8,4f/8 37-86 低频段 7f/8 中心层 44-86 中心层 f18 55-86 低频段 剪切层 13-86 5f/8 6f/8 剪切层 ld 39.5-86 低频段 剪切层 14862f/8,6f/8 18 6f/8 剪切层 2f/8 剪切层 45-86 低频段 附表4Re=119下主导频率的空间演化(St=0.15) 剪切层 6 Table 4. The spatial evolution of the primary 32-86 低频段 Re=119(St=0.15) 附表6Re=171下主导频率的空间演化(St=0.17) 热线位置圆柱间距乙尺度x/d主导频率 Table 6. The spatial evolution of the primary frequencies at Re= 171( St=0.17) 热线位置圆柱间距L无量纲 6f/8 尺度x/a主导频率f 中心层 2f/8 ld 低频段 中心层 ∫/8 中心层 6-86 低频段 6-21.5 中心层 低频段 剪切层 21.5-59 6f/8 剪切层 6-86 低频段 59-86 3f/8 剪切层 低频段 剪切层 6-86 低频段 剪切层 21-86 2f/8 剪切层 低频段
378 水动力学研究与进展 A 辑 2013 年第 3 期 附表 3 Re = 103 下主导频率的空间演化（ St = 0.14） Table 3. The spatial evolution of the primary frequencies at Re = 103 ( St = 0.14) 热线位置 圆柱间距 L 无量纲 尺度 x / d 主导频率 z f 中心层 1d 6-86 3 /8 f 中心层 3d 6-17 2 /8 f , 6 /8 f 17-65 2 /8 f 65-86 2 /8 f , 4 /8 f 中心层 6d 6-44 7 /8 f 44-86 f / 8 剪切层 1d 6-13 f 13-86 5 /8 f 剪切层 3d 6-14 2 /8 f 14-86 2 /8 f , 6 /8 f 剪切层 6d 6-75 f 75-86 低频段 附表 4 Re = 119 下主导频率的空间演化（ St = 0.15） Table 4. The spatial evolution of the primary frequencies at Re = 119 ( St = 0.15) 热线位置 圆柱间距 L 无量纲 尺度 x / d 主导频率 z f 中心层 1d 6-86 3 /8 f 中心层 3d 6-31 6 /8 f 31-86 2 /8 f 中心层 6d 6-86 f / 8 剪切层 1d 6-21.5 f 21.5-59 6 /8 f 59-86 3 /8 f 剪切层 3d 6-21 6 /8 f 21-86 2 /8 f 剪切层 6d 6-30 f 30-86 低频段 附表 5 Re = 134 下主导频率的空间演化（ St = 0.16） Table 5. The spatial evolution of the primary frequencies at Re = 134 ( St = 0.16) 热线位置 圆柱间距 L 无量纲 尺度 x / d 主导频率 z f 中心层 1d 6-36.5 3 /8 f 36.5-86 低频段 中心层 3d 6-37 6 /8 f 37-86 低频段 中心层 6d 6-28 f 28-55 f /8 55-86 低频段 剪切层 1d 6-39.5 6 /8 f 39.5-86 低频段 剪切层 3d 6-18 6 /8 f 18-45 2 /8 f 45-86 低频段 剪切层 6d 6-32 f 32-86 低频段 附表 6 Re = 171 下主导频率的空间演化（ St = 0.17） Table 6. The spatial evolution of the primary frequencies at Re = 171 ( St = 0.17) 热线位置 圆柱间距 L 无量纲 尺度 x / d 主导频率 z f 中心层 1d 6-86 低频段 中心层 3d 6-86 低频段 中心层 6d 6-86 低频段 剪切层 1d 6-86 低频段 剪切层 3d 6-86 低频段 剪切层 6d 6-86 低频段
