理性力学简介 北京大学数学力学系鄣仲衡 “1.像几何学一样,理性力学必须建立在显然正确的公理上, 2.力学的进一步事实由数学证明给出。”1743年达朗贝尔的这两句活点出了理性力学的核心。 牛顿的“自然哲学”(1687)是理性力学的第一部著作。在前人探索的基础上,他总结出力学运 动三定律。从这些简单的公理出发,物体(质点)力学运动的全部主要性质便由演缂得出。 理性力学的另一个先驱者J伯努利从事变形体力学的研究。他用四种方法推导出沿长度受任意载 荷的弦的平衡方程(1691-1704)。通过实验他发现,伸长和张力并不满足胡克所提示的线性关系 他一直认为线性关系不能作为物性的一般原理。他首先得到杆的弯曲理论,当杆为直线时,就变成 “ elastica”的微分方程(1694)。 1788年拉格朗日发展了分析力学,其中许多内容是符合达朗贝尔的框架的。 在后来漫长的历程里,变形体力学的一些基本概念如应力、应变等逐澌建立。1822年柯酉宣布 应力原理”。从此,这原理成为连续介质理性力学的基础。在这里,应力向量仅与截面的法向量有 关只是他的假设(一百多年后才得到证明),并且还没有偶应力的概念。在小变形范围内,弹性理论 是柯酉完成的。1894年芬格( Finger)完成了超弹性( hyperelastic,即有弹性势 的)体的有限变 形理论。有向物体的思想是迪昂( Duhem,1893)提出的,其理论则在1907年由科懇拉( Cosser at)兄弟建立 在那些时侯,“性力学”是指按达朗贝尔提法对力学问题进行的一切研究。吉布斯( Gibbs 1902)还认为他关于统计力学的书是对理性力学的贡献。“理性力学( rational mechanics)” 词大体沿用到十九世纪末本世纪初,但法国和意大利例外,那里的大学至今还设有理性力学数研室, 酉尼奥里尼( Signorini)的职称是理性力学教授。阿佩尔( Appel1)的专著就称为“理性力学论 ( Traite de Mecanique Rationelle)”。 有限变形弹性理论方程冗长而复杂,特别是强烈的非线性,使当时的人们感到在数学上进行一般 性的讨论是没有多大希望的 对非线性问题进行线性化的尝试很早就有记载。只是到上世纪末,在瑞利( Rayleigh)的影响 下才形成了这样的状况:绝大部分工作都从事于线性(指几何及物理上的级性化)力学及其数学的研 究。线性化几乎成了一种习惯。差不多一百年来,线性理论充分发挥了它解释力学现象的能力,并且 使它的数学也发展到相当完善的地步。有限变形弹性理论的研究在长时间内进展不大,甚至几乎被遗 忘。随之而来的是“理性力学”一词逐渐在文献上消声匿迹 诚然,对许多力学现象线性是许可的。线性理论解决了大量问题,在力学的发展上起了并继续 起着重要作用。但在许多其他情况下,线性理论则是完全不对的。例如:油漆工业中油漆为什么总是 积聚在搅拌器轴杆周围而使搅拌效率不高?怎样计算像车胎那样的橡皮制品?柱体扭转时为什么会伸 长?射流在刚离管口处为什么会出现径向膨胀现象?诸如此类生产斗争和科学实验中提出的问题经典 理论无法回答 力学从本质上是非线性的。着眼点不能局限于线性理论。开展非线性理论的研究,除了克服“线 性思维”习惯处,确实有许多困难。特别是物性的非线性,应根据什么原则建立本构关系? c-1994-2013chinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
理 性 力 学 简 介 北 京 大 学数 学力学 系 郭仲衡 ,’ . 像几何学一样 , 理性力学必须建立在显然正确 的公理上 , 2 . 力学的进一 步事实由数学证 明给出 。 ” 1 7 4 3年达朗贝尔的这两句 一 活点出了理性力学 的核心 。 牛 顿的 “ 自然哲学 ” (1 6 8 7 ) 是理 性力学的第一 部著作 。 在前人探索 的基础上 , 他总结 出力学运 动 三定律 。 从这 些简单 的 公理 出发 , 物体 (质点) 力学 运动的全部主要性质 便由演绎得 出 。 理性力学 的另 一个先驱者J. 伯努利从 事变形体力学的研究 。 他用四 种方法推导 出沿长度受任意载 荷的 弦 的 平衡方程 (1 6 9 1一 1 7 0 4 ) 。 通过实验他发现 , 伸长和 张力并不满足 胡克所 提示 的线 性关 系, 他一直 认为线性关 系不 能 作为 物性的一般 原理 。 他首先 得到杆 的弯曲理 论 , 当杆为 直 线 时 , 就变成 a e l a s t i e a ” 的微分方程 (16 9 4 ) 。 1 7 8 8 年拉 格朗 日发展 了分析力学 , 其 中许多 内容是 符合达 朗贝 尔的框架 的 。 在后 来漫 长的历 程里 , 变形体力学的一些 基本概念 如应力 、 应 变等 逐渐 建立 。 1 8 2 2 年 柯 西 宣 布 “ 应力 原 理 ” 。 从此 , 这原理成为 连续介质理性力学 的基础 。 在这 里 , 应力 向量 仅与截 面的法向量有 关只 是他的似 设 (一百 多 年后 才得到证 明) , 并且还 没有偶应力 的 概念 。 在小变形 范围 内 , 弹性理论 是柯西完成的 。 1 5 9 4 年芬格 (F i n g e r ) 完成 了超 弹性 (h y Pe r e l a s t i e , 即有 弹性势 的) 体的 有 限变 形理 论 。 有向物休的 思想是迪 昂 (D ul l e m , 1 8 9 3 ) 提 出的 , 其理 论则 在 1 9 0 7年 由科瑟 拉 ( C os s e r - a t 、 兄弟建立 。 在那些 时候 , “皿独力学 ” 是 指按达 朗贝 尔捉法对力学间题进行 的一切研究 。 吉布斯 〔G ib b s , 1 9 0 2 ) 还 认 为他关于统 计力学 的书是对理性力学 的贡 献 。 “ 理 性力 学 ( r a 饭。 n al m e o h a ni cs ) ” 一 词 大体沿用到十九 世纪 末本世纪初 , 但法国 和意大 利 例外 , 那里的大学至 今还设有理性力学教研室 , 西 尼奥里尼 (S ig n o ri ni ) 的职称是理性力学教 授 。 阿佩尔 (A p p e l ) 的专著 就称为 “ 理 性 力 学论 ( T r a it 亡 d e M 6 e a n iq u e R a t i o n e lle ) ” 。 有 限变形 弹性理 论方程冗长而复杂 , 特别是强 烈 的非线性 , 使 当时的 人们感到在数学 上进行一般 性的讨 论是 没有多大 希望的 。 对 非线性 间题进行 线性化 的尝试很 早就有记载 。 只是 到上 世纪 末 , 在瑞利 ( R a y le 馆h ) 的影响 下才形成 了这 样的状 况 : 绝大部分工 作都 从事于线 性 (指几何 及物理上的线性化) 力学及其数学的研 究 。 线性化儿 乎成 了 一种习 惯 。 差不多一 百年来 , 线性理论充分发 挥 了它解释力学现 象 的能力 , 并且 使 它的数学也发展 到相当完善 的地 步 。 有 限 变形弹性理论 的研究在 长时间 内进展不 大 , 甚至 几 乎 被遗 忘 。 随 之而来 的是 “ 理性力学 ” 一 词逐 渐在文献上消声 匿迹 。 诚然 , 对许多力学现象线性化是许 可 的 。 线性 理论 解决 了大量 问题 , 在力 学 的发 展上起 了并 继续 起着重要 作用 。 但在许 多其 他情 况 下 , 线性理论则是完全不对 的 。 例如 : 油漆工业 中油漆为 什么总是 积聚在搅拌 器轴杆周 围而 使搅拌 效率不高? 怎样计算像车胎那样 的橡皮制 品? 柱体 扭转 时为 什么会伸 长? 射流在 刚离管 口 处 为什么 会出 现径向膨胀现象? 诸如此类生产 斗争和科学实验 中提 出的问题经典 理论无法 回答 。 力学从本质上是非线性的 。 着 眼点不能局 限于 线性理论 。 开展非线性理论的研究 , 除了 克服 “ 线 彗纂维兰叉姻处 一 , 确实有许多 困难 。 郴叮是 物性的非线 性 , 应根据 什么 原则建立本 构关系?
张量分析的运用帮了一些忙,方程不显得那样可怕了 事情发生变化开始于1945年赖纳( Reiner)和1948年里大林( Rivlin)的工作。 里夫林在任意形式的贮能函数下,对于不可压缩弹性体得到了几个筒单而重要问题(柱体扭 方体弯曲等)的稽确解。把这些解和橡皮的实验作比较得到了橡皮贮能函数的形式。用这结果 予报橡皮制品的行为,即使它的伸长为原长的两三倍,楷度仍能达到百分之几。只要想到,伸长度为 1%时小变形理论的误差已甚大,就可以体会到有限变形论获得成功的份量了。这个成功鼓午了人们 研究这理论的勇气,从而开始了对有限变形弹性论的新攻势。在这以前,不少人企图从分子结构观点 提出橡皮的计算理论,但部失败了。现在在力学的唯象理论里获得了完全精确的和一般性的解决。从 这里还产生一个新的工程学科“橡皮应用力学”。里夫林的解使“柱体扭转时为什么会伸长一即波 因( Poynting)效应”自然获得解决。 赖纳的文学(1945年)是研究非线性粘性流体的。曾经使物理学家和化学家们伤过不少脑筋的油 搅拌器效率不高问题〔根源在于所谓韦森贝格( Weissenberg)效应〕在这个基于纯粹力学的非线 性流体理论下顿时真相大白:要想使爬升现象不出现,必须施加一个与转速平方成正比的压力。里夫 林曾用这理论算出粘度计的爬升曲线形状,和实验符合。赖纳的工作使1945年以前基于线性关系的流 变学理论全部报废。赖纳工作更深·层的意义是在建立非线性本构方程方面走向一般性方法的第· 步。在应用凯利-哈密尔顿( Cayley- Hamilton)定理后,应力t和应变率d的非线性关系一般可表达 为t=aI+βd+yd2,其中a,B,Y是d的三个不变量的函数 版认为,在1945年理性力学获得了复兴。复兴不是简单的重复,而是达朗贝尔提法在变形体力 学方面的进…步发展。1900年希尔伯特( Hilbert)在巴黎数学大会上提出的23个问题中的第六个问题 是关于物理(特别是力学)的公理化问题。1909年哈梅尔( Hamel)又重提此事,但长期以来反应不大。 1950年奥尔德罗伊德( Oldroyd)指出本构方程必须具有“正确的不变性”一即应描述与参 考系无关的性质。他用根据这原则采用随体坐标建立的粘弹性理论计算两旋转圆筒间的流动问题,和 旧的粘弹性理论弗勒利希和札克〔( Frohlich和Sack),1946)比较,法应力相差一符号。旧的粘 弹性理沦和韦森贝格效应相反而宝告无效。这说明“不变性”在建立理论时的重要性,是变形体力学 公理化方面跨出的第一步 积极提倡复兴“理性力学”的特鲁斯德尔( Truesdell)在1952年主编了《理性力学与分析杂志 (J. Rational mech.Anal,)》〔1957年改名为《理性力学与分析集刊(Arch. Rational Mech Anal.)》,并在其中发表了理性力学总结性重要文献《弹性和流体动力学的力学基础》。在他的工 作的影响和提倡下,一批青年数学和力学工作者积极开展了这领域问题的探讨。 1953年特鲁斯德尔提出低弹性体( hypoelasticity)的概念T=F(T,D),分别是应力和应变率,字 母上方的小园圈表示本构导数,F线性依赖于D。诺尔(Nol)证明,任何弹性体在应力和应变关系 可逆的条件下,同时是低弹性体,而任何低弹性体在单参数变形或小变形中其行为有如弹性体。格林 和托马斯(A.E, Green和 Thomas,1955-56)证明,除了阃服条件,低弹性理论包含了所有塑性 流动的一般理论。在1955年的工作里,特鲁斯德尔还具体算出低弹性体表现出塑性流动的实例 195年诺尔(Noll)发表了《固态和流动态的连续性》。工作的原始目的是将麦克斯韦弹性 模型推广至三维非线性情形,把固体和流体作为特殊情形包括进去。推广工作以前有人做过,但正如 奥尔德罗伊德所举的例子,因不满足“不变性”要求,有些是错的。诺尔在这里明确提出了“空间各 向同性原理”(即本构关系与观察者无关,现称“客观性原理”)。应用这原理得出,原假设为T F(Q,T,p)的本构方程必具有形式T+TW-WT=F(D,T,p),其中Q是速度梯度,W是旋率 张量,p是密度。这种模型他称为流固体( hy grosteric) 1958年,诺尔在“客观性原理”基础上,把以往力学家们都不自觉地默认的事实“质点的应力由 该质点的任意小邻域的运动历史所决定”,即“质点有记忆自已过去历史的能力”,名之日“确定性 原理”。满足这一般性原理的材料称为“单纯物质体”。另外他还提出“物质同构”的概念,把材料 o1994-2013ChinaAcademicjOurnaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
张量 分析 的运 用 帮了一 些忙 , 方程不 显得那样可怕了 。 事情发生 变化开始于 2 9 4 5 年赖纳 (R e i n e r ) 和 2 9 4 5年里 夫林 (R i v ls 。 ) 的工作 。 里夫林在任意形式的贮能函 数下 , 对于 不 可 压 缩弹性体得到 了儿个简单而重要问题 ( 圆 柱 体 扭 转 , 立方体弯曲等) 的精确解 。 把这些 解和 橡皮的实 验作比较得到 了橡皮贮 能函 数的形式 。 用这结果 予报橡皮制品的行为 , 即 使它的伸长为原 长的两三倍 , 精度仍能达到百分之几 。 只 要想到 , 仲 长度为 1 % 时小变形理论 的误差 已 甚大 , 就 可 以体会到有限 变形 论获得成 功的份量 了 。 这个成 功鼓午 了人们 研究 这理论的勇气 , 从而开始 了对有限 变形 弹性论 的新攻 势 。 在这 以前 , 不 少人企 图从 分子结构观点 提出橡皮 的计算理 论 , 但都 失败 了 。 现在在力学的唯象理 论里获得 了完全精确的和一 般性的解决 。 从 这里还产生一 个新 的工程学科 “ 橡皮应 用力学 ” 。 里 夫林的解使 “ 柱体扭转 时为什么 会伸长— 即 波 因庭 (P o ynt i n g ) 效应 ” 自然获 得解决 。 赖纳的文章 (1 9 4 5年) 是研究非线性粘性流 体的 。 曾经使物理学家和 化学家们伤过不少脑筋 收油 步巡丝岁救率不高间 题 〔根源在于 所谓韦森 贝 格 (W e is s e n b e : g) 效应〕 鱼这个基于纯粹力学的 非线 性琪体理论下顿时真相大 白 : 哭想使爬升现象不 出现 , 必 须施加一个与转速平方成正 比的压力 。 里夫 林 曾用这理论算出粘度计的爬升 曲线形 状 , 和实验符合二赖纳的工 作使 19 4 5 年以前基于线性关系的流 变学理论 全部 报废 。 赖纳工作更深一 层 的意 义是在建立非线性本构方程方面走 向一 般性 方 法 的第一 步 。 在应用凯利 一 哈密尔顿 (C a y le y 一 H a m ilt o n) 定理后 , 应 力t和 应变率d 的非线性关系 一 般可 表达 为t = aI 十 日d + Y d “, 其中a , 日 , Y是d 的三个不变量的 函数 。 一 般认为 , 在1 9 4 5 年理性力学获得 了复兴 。 复兴 不是 简单的重复 , 而是达朗贝 尔提法在变形体力 学方 面的进一 步发展 。 1 9 0 0年希尔伯特 (H ilb e r t )在 巴黎数学大会上 提 出的23 个 间题 中的第 六个间题 是关于物理 (特别是力 学) 的公理化 问题 。 1 9 0 9 年哈梅尔(H a m e l) 又重提此事 , 但长期以来反应不 大 。 1 9 5 。年奥尔德罗伊德 (O ld r o y d) 指出本构方程必须具有 “ 正确的不变性 ” — 即 应 描 迷与参 考系 无关的 性质 。 他用根据这原 则采 用随体坐标建立 的粘弹性理论计算两旋转 圆筒间的流动间题 , 和 旧 的枯弹性理 论弗勒利希和札克 〔 (F r 6 hl i c h和 S a 。 k ) , 1 9 4 6 〕 比较 , 法应 力相差一符 一 号 。 旧 的粘 弹性理 论和 韦森贝 格效应 相反而宣 告无效 。 这说明 “ 不 变性 ” 在 建立理 论时的重 要性 , 是 变形体力 学 公 理 化方面跨 出的第一 步 。 积极提倡复兴 “ 理性力学 ” 的 特鲁斯德尔 (T r ue s d e ll) 在1 9 5 2年主编了 《 理性力学与分 析杂志 (J . R a 七i o n a l M e e h . A n a l . ) 》 〔1 9 5 7 年改名为 《 理 性力学与分析集刊 (A r e h . R a ti o n a l M e c h . A n al . )》〕 , 并在其中发表 了理 性力学总 结性重 要文献 《弹性和 流体动力学的力学基础 》 。 在他的工 作的影响和提倡下 , 一 批青年数学 和 力学工作者积极开展 了这领域问题的 探讨 。 1 9 5 3 年特鲁斯德尔提出低 弹性体(h y p o e la s ti “ it y )的概 念T 二 F (T , O ) , 分别是应 力和应变率 , 字 母上方的小 园圈表示本构导数 , F 线性依赖于 O 。 诺尔 (N ol D 证 明 , 任何 弹性体在应力 和 应变关系 可逆 的条件下 , 同时是低弹性体 , 而任何低 弹性体在单参数变形或小变形中其行为有如弹性体 。 格林 和 托马斯 (A . E . G r e e n 和T h o rn as , 1 9 5 5一5 6) 证 明 , 除 了屈服条件 , 低弹性理论包含了 所 有 塑性 流 动的一 般理 论 。 在 19 5 5年的工作里 , 特鲁斯德尔还具体算 出低弹性体表现 出塑 性流动的 实例 。 19 5 5年诺尔 (N ol l) 发表 了 《固态和 流动 态 的连续性 》 。 工作 的原始 目的 是将麦克 斯 韦 枯弹性 模型推广至三 维非线性情形 , 把 固体和 流体 作为特殊情 形包 括进 去 。 推广工作 以前有人做过 , 但正如 奥尔德罗 伊德所举的 例子 , 因不 满足 “ 不变性 ” 要求 , 有些是错的 。 诺 尔在这里 明确 提出了 “ 空 间 各 向同性原理 ” (即 本构关 系与观察者无关 , 现称 “ 客 观性原 理” ) 。 应 用这原理得 出 , 原假 设为T = F (Q , T , p ) 的本构方程 必具有形式T + T W 一 W T = F (D , T , p ) , 其 中Q是 速度梯度 , W 是旋 率 张量 , p 是密度 。 这种模 型他称为流 固体 (hy g r o s t e r i e ) 。 1 9 5 8年 , 诺尔在 “ 客 观性原理 ” 基础上 , 把 以往力学家们都不 自觉地默认的事实 “ 质点的应力 由 该质 点的任意小邻域的运动历史所决定 ” , 即 “ 质点有记忆 自己过去历史的能力 ” , 名之日 “ 确定性 原 理 ” 。 满足这 一 般性 原理的材料称为 “ 单纯物质体 ” 。 另 外他还提 出 “ 物质同构 ” 的概 念 , 把材料
按其所满足的变换群来分类。这个变换群如果是完全正交群,材料就是谷向同性的。 1960年,科尔曼( Coleman)和诺尔提出“减退记忆原理”,它反映了质点对近期历史有较强 记忆力。人们不是也有“时间长记不太清了”的情况吗?更不用说在确定性公理中的记忆力是从现时 刻至负无穷的了。退记忆原理是这样实现的:设本构关系T=F(g(s),引进影响函数h(s) 当S→m时它很快趋于0)后,假定F在历史函数g空间里在零历史邻域按模9-(|(9(s) (s)d 连续的。山此,对缓慢历史得到用多项式逼近本构泛函的定理。1965年王( Wang)又将这原理进一步发展。后来还有“应力松弛”,“历史延迟”等概念。 另外,又有微分型,率型,积分型材料等概念。以上所有这些都是对单纯物质体而言的。 诺尔在1965年给出了连续介质纯力学理论本构公理的形式系统。王在1973年的专著中转述为: 确定性;2,局部作用;3.等存在;4万有耗散;5,物质标架无差异,6物质对称性 单纯物质体理论以诺尔1972年提出的新理论达到高潮,他认为当前应力受无穷远历史影响在哲学 上是不能接受的,而只是由有限历史所决定。这里他的六个公理更形式化了,由此演绎出单纯物质体 的全部性质。这里他用到了许多抽象的数学工具。在1975年埃林根( Eringen)的专著中归结为八个公 理:;1.因果性公理,2确定性公理,3等存在公理;4客观性公理;5物质不变性公理;6.邻域公 理;冫,记忆公理;8,相容性公理。看来,单纯物质体的公理系统日趋完备。结合各种具体特殊材料的 研究相当多。对于单纯物质体的波动问题的研究也有很多有意义的结果(参见段祝平的调研报告)。 在不断深入研究单纯物质体及其公理系统的同时,理性力学在广度上也不断发展。在连续介质理 性热力学,有向物体理论,连续位错理论,非局部理论,混合物理论,电磁介质力学,相对论性连续 介质力学等方面的早期代表性著作由科尔曼诺尔(1959),埃里克森( Ericksen)-特鲁斯德尔 (1957,1958),贡特尔( Gunther,1958),比尔比(Biby),克伦纳( Kroner,1960),埃 德伦(Ede!en,1971),埃林根(1972),图平( Toupin,1956,1957)等相继发表。 关于存在唯一的研究尚少,可举出斯托佩里( Stoppelli,1954-58)和约翰(John,1960) 非线性连续介质理论数值方法方面,美国以奥登(Oden)为代表的一组人进行了庞大的TH EMIS研究计划(1969-74),共发表论文驴7篇,30份研究报告,9本书,4篇博土论文,30篇硕士 近20年来,理性力学代表性著作大多发表在《Arch, Rational Mech,Ana1.》及《Int,JEn gng.Sei.》两种刊物上。1960年和195年特鲁斯德尔等相继编写了《物理大全》卷三之-,之三 题目分别为“古典场论”和“力学的非线性场论”。它们是理性力学研究的阶段性总结。1971年《应 用力学评论(Appl. Mech. rey,)》开辟了“理性力学和数学方法”专栏,并且列为第一栏。从此 “理性力学”作为数学力学的一个重要方面和力学的理论基础不仅得到承认,而且坚实地站稳了在力 学中的位置。近年来还出版了不少论述理性力学不同侧面的专著。为了在目本介绍和普及理性力学, 《机掀D研究》在1976-7年连续18期刊载了德冈辰雄的讲座“理性连续体力学入门”。目前国际上 理性力学的研究仍然诗续着高潮的局面。 上面谈及的理性力学近代发展涉及五方面问题:(→)公理系统及数学演绎;(二)非线性理 论;(三)连续体力学古典模型的推广及与其他学科的交缘:(四)存在唯一问题;(五)数值方 法。是否可以说,理性力学内容就是这五个方面的推砌?理性力学的核心任务是什么?在提出我们自 己的看法之前,暂且先看一下国际上有些什么说法。下面引述特鲁斯德尔的一些观点可供我们参考 理性力学有实验的方面,但不是实验科学” o1994-2013ChinaAcademicjOurnaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
按其所满足 的变 换群来 分类 。 这个 变换群如果是完全正交群 , 材料就是各 向同性 的 。 1 96 0 年 , 科 尔曼 (C ol e m a n ) 和诺 尔提出 “ 减退记 忆原理 ” . 它反 映了质 点对近期历 史 有毯睿 记忆力 。 人们不是也有 “ 时 间长 记不太清 了 ” 的情 况 吗? 更不 用说在 确定 性公理 中的记忆力是 从现时 刻至负无穷的 了 。 减退记忆原理是这 样实现的 : 没本 构 关系下 一 争 (g( s ) ) . 引进 影 响 函 数 h ‘s ) ‘“ S 一 时“ 很快”于 。 , 后 , , 定F“历 史 函数, 空 狂”里“零历 史令阵域按“! 1 , 1 , 一 (丁 ‘, ‘S , ,h 1/ P 是连续 的 。 由此 , 对缓慢历史得到用多项式逼近 本构泛 函 的定理 。 1 9 6 5年 王 ( C 一 C 、夕. . 夕 S 刁 P d 、尹. rJ 了r、 W a n 幼 又 将这原理进一 步发 展 。 后 来还有 “ 应力松弛 ” , “ 历 史延迟 ” 等概念 。 另 外 , 又有微分型 , 率型 , 积分型材料等概念 。 以上所有这些都是对单纯物质体而言的 。 诺 尔注 1 9 6 5 年给出了连 续介质纯力学理论本构公理的形式系统 。 王在 1 9 7 3年 的专著 中 转 述为 : 1 . 确 定性 ; 2 . 局部作用; 3 . 等存在 , 4 . 万有耗散 ; 5 . 物质标架无差异 , 6 . 物质对称性 。 单纯 物质体理论 以诺 尔1 9 7 2 年提 出的新理 论达到高潮 , 他认为 当前应力受无穷远历史影响在哲学 上是不 能接受 的 , 而只是 由有 限历 史所决定 。 这 里他的六个公理更形式化 了 , 由此演绎 出单纯物质体 的全部性质 。 这 里他用 到了许多 抽象 的数 学工具 。 在 1 9 7 5 年埃 林根 (E r i n 诬转 n) 的 专著 中归结为八个公 理 : 1 . 因 果性公理 ; 2 . 确定 性公理, 3 . 等存在公理; 4 . 客 观性公理; 5 . 物质不变性公 理, 6 . 邻 域 公 理; 了 . 记 忆公理; 8 . 相容性公理 。 看来 , 单纯物质体 的公理系统 日趋完 备 。 结合各种具体特殊材料 的 研究相当 多 。 对于单 纯物质体 的波动问题的研究也有 很多有意义 的结果 ( 参见段祝平的调研报告 ) 。 在 不 断深入 研究单 纯物质 体及 其公理系 统的 同时 , 理性力学在广度上 也不断发 展 。 在连续介质理 性热 力学 , 有向物体理 论 , 连续 位错理论 , 非局 部理论 , 混合物理论 , 电磁介质力学 , 相对论性连续 介质力 学 等方面的 早期 代表性著作 由科尔曼 一 诺 尔 (1 9 5 9 ) , 埃里克 森 (五二r ic k s e n ) 一 特 鲁 斯 德 尔 (1 9 5 7 , 1 9 5 8 ) , 贡 特尔 (G “n t h e r , 1 9 5 5 ) , 比尔 比 (B ilb y ) , 克伦纳 (K r 6 n e r , 1 9 6 0 ) , 埃 德 伦(E d e l o n , 2 9 7 2 ) , 埃林根 (1 9 7 2 ) , 图平 (T o u p i n , 2 9 5 6 , 1 9 5 7 ) 等相 继发 表 。 关 于存 在唯一 的研 究尚少 , 可 举 出斯托佩里 (S t o p p e lli , 2 9 5 4一 5 8 ) 和 约 翰 (J o li n , 2 9 6 0 ) 的工 作 。 在 非线性连续介质理论数值方法方面 , 关 国 以奥 登 (O d e n ) 为 代表 的一组人进 行了庞 大 的T H - E M IS 研 究计划 (1 9 6 9 一7 4 ) , 共发表 论文97 篇 , 30 份研究报告 , 9 本书 , 4 篇博士论文 , 30 篇硕士 论文 。 近20 年来 , 理性力学 代表性著作大多发表在 《 A rc h . R at i o n al Mec h . A n al . 》及 《Int . J . E n - g n g . S o i . 》两种刊物上 。 1 9 6 0年和 1 9 6 5年特鲁斯德 尔等相继 编写 了 《 物理大全 》 卷三 之一 , 之 兰 , 题 目分别为 “ 古典 场论 ” 和 “ 力 学的非线性场论 ” 。 它们是理性力 学研究的阶段性总结 。 1 9 7 1年 《应 用力学评论 (A p PI . M e c h . R e v . ) 》开辟 了 “ 理性力学和数学方 法 ” 专栏 , 并 且列为 第 一 栏 。 从此 “ 理 性 力 学 ” 作为数 学力学的一 个重要方 面和力 学的理论基础不 仅得到承 认 , 而且 坚实地站稳 了在力 学 中的 位置 。 近 年来还 出版 了 不 少论述理 性力学不 同 侧面 的专著 。 为 了在 日本介绍和普及理 性力 学 , 《机 械0 研究 》在 19 7 6一7 年连续18 期刊载 了德 冈 辰雄 的讲座 “ 理性连续体 力学入 门 ” 。 目前 国 际 上 理 性力学 的研究仍然 待续着高潮 的局面 。 上面谈及的理性力学近代发展涉及五方面问题 : (一) 公理系统及数学演绎, (二 ) 非 线 性 理 论 , (三 ) 连续体力学古典模型的推广及与其他学科的交缘, (四 ) 存在唯一 问 题 , (五) 数 值方 法 。 是否 可以 说 , 理性力学 内容就是这五个方面的堆砌? 理性力学的核心任务是什 么? 在提 出我们 自 己 的看法之前 , 暂且先看一下国际 上有些什么 说法 。 下面引述 特鲁斯德 尔的一些观 点可供我们参 考 : “ 理 性力学有实验的方 面 , 但不是实验科学 ”
“理性力学是一门数学科学。牛顿在《自然哲学》里给出了像几何学那样的数学严格性的范例。 虽然除了时间和空问,在理性力学里还出现质量,力,能量等概念,但它的精确性丝毫不亚于几何 学 “理性力学的独立目的是“去理解力学’。” 去理解力学”是什么意思呢?根据特鲁斯德尔提示的线索举三个例子说明如下 1)流体力学中的赫姆霍兹定理(1858)。定理里出现一个新概念一一涡管。赫姆霍兹定理不是 通过解边值问题或进行数值解,也没有通过实验,而是通过数学证明得出来的。涡管这个概念帮助我 们对流体的流动有了深一层的理解。这就是理性力学“去理解力学”的一个例子。它同时说明,理性 力学的任何工作应包含两部分:1,新概念;2.严格的数学证明。 2)线性弹性理论的赖斯纳( Reissner)变分原理。赖斯纳(1950)把古典的最小总势能原理 和最小余能原理作为特殊情形,提出一种以应力和应变同时作为变量的新的“能量”概念。他证明 了,这“能量”取极小值时全部方程被满足。这里也包含了新概念和薮学证明。 8)圣维南原理。它是1855年圣维南在解决柱体扭转时提出的。这是个新概念,它能通过全部或 部分实验得到验证。虽然一百多年来一直得到工程师们的信任,而且有效地反复被应用,但对理性力 学来说,这仅是事情的开端。因为只有解决“1.这个新概念确切的数学提法是什么?,如何证明?”这 两个问题才算完成理性力学在这个课题上的历史任务。这工作在一百多年后才被斯顿贝格( Sternb- erg),图平,诺尔斯( Knowles),和鲁宾逊( Robinson)等分别用不同途径完成。1965年图平对柱体 端部受载情况给出了这原理的数学形式和证明,指出贮能按距离是指数型衰减的。后来贝尔迪切夫斯 基( Berdichevskii,1974)和伯格龙( Berglund,197)将这结果推广到一般形式的弹性体和微 极弹性体。圣维南原理的实质是空间的距离效应,它目前已被推广到时间和过程问题上而成为极有力 的数学原理 以看出,“去理解力学”也好,“新概念,数学证明”也好,都是对力学的基本问题进行严格 的数学论证。同时也可看到,理性力学并不一概排斥,而只是扬弃那些与实际不符的线性理论。 第二次世界大战以后,在科学技术持续高速度的发展中出现许多引人注目的特点,其中两个是: 1)摆脱原来分科的约束,各传统学科间互相渗透,互相促进,不断出现各种交缘学科和新兴学 科,同时传统的学科本身也正经历着不断向深度和广度发展,进行着辩证综合的过程。 2)数学的基本概念日益广泛地被应用于描述物理现象,使能用合适的语言简洁地建立自然界的 普遍法则,发现自然科学理论的基本数学结构,从而能更深刻地理解现象的本质 理性力学的新生与发展是和当代科学技术发展的总趋势相呼应的。为了更好地说明现代理性力学 的内容和任务,我们先具体看一下它是怎样发展而又有所区别于其他传统力学分支的。 1)从小变形理论到有限变形理论有限变形理论对变形大小没有任何限制。应变和位移的关系 由线性形式e山如于(,+,)恢复为ej=(u,+u,+u,u,),并且平衡方程应列在已 变形的物体上。 2)从物性的线性理论到非线性本构理论古典的理想物体是胡克体和牛顿流体及它们的各种线 性组合。理性力学对本构关系进行极其一般的研究。现在不仅理想的材料数目大为增加,成为系谱 而且还有同时对整类材料进行描述和分析的有效方法 8)从古典物体模型到微结构理论(有向物体)古典模型是把物体看成有三个自由度的质点的 集合,物体的运动就是这个质点集合在不同时刻到R3的映射。在理性力学范畴内,除了对这种模型 特别是单纯物质体已作了深入的系统研究外,还进一步开展了对物体质点具有微结构( microstruc ture)的研究。在整体的宏观运动中每个质点还可以作为一个小物体进行微运动( micromotion) 如果只允许作刚性微运动,就有所谓“微极( micropolar)理论”,否则为“徼态( micromor p he)理论”。在数学上相当于每一点还有一个具有一定拓扑的切空间。用微结构理论可以建立严格 的杆、板、壳理论,可以研究颗粒固体、骨骼、复合材料和液晶的运动。在生物力学中用纳维斯托 克斯方程计算血液流动与实际不符,因血液中占容积一半的红血球作为一个个细胞在流动中自身还会 o1994-2013ChinaAcademicjOurnaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
“ 理性力 学是一 门数学 科学 。 牛顿在 《自然哲学》 里给 出 了像 几何 学那样的数学严格性的范例 。 虽 然除 了时间和空 间 , 在理性力学里还出现质量 , 力 , 能量 等概念 , 但 它的精确 性丝 毫不 亚 于 几何 学 。 ” “ 理性力学 的独立 目 的是 ‘ 去理解力学 ’ 。 ” “ 去理 解力 学 ” 是什么 意 思呢 ? 根据特鲁斯德尔提示 的线索举三个 例子说 明如下 。 1 ) 流体力学 中的赫姆霍兹定理 (1 8 5 8) 。 定理里 出现一 个新 概念—涡 管 。 赫姆霍兹定理 不是 通过解边值 问题或进行数值解 , 也没有 通过实验 , 而是通 过数学证 明得出来的 。 涡管这个概念帮助 我 们 对流体的流动有 了深一 层的理解 。 这就是理 性力学 “ 去理解力学 ” 的一个例子 。 它同时说明 , 理性 力 学的任何工作应包含两部分 : 1 . 新概念; 2 . 严 格的数学证 明 。 2) 线性弹性理论的赖斯纳 (R e is 二 r ) 变分原理 。 赖斯 纳 (1 9 5 0) 把古典的 最 小总 势能原理 和最小 余能原理作为特殊情形 , 提出一 种 以应力和应变同时作为变量 的新的 “ 能量 ” 概念 。 他证 明 了 , 这 “ 能量 ” 取极小值 时全部方程被满足 。 这里 也包含 了新概念和 数学证 明 。 3 ) 圣维南原理 。 它是 18 5 5年圣 维南在解决柱 体扭转 时提 出的 。 这是个新 概念 , 它能 通 过全部或 部分实验得到验证 。 虽 然一 百多年来一立 得到工程师们 的信任 , 而且有效地反复被应 用 , 但对理性力 学来说 , 这仅是事情的开 端 。 因为只 有解决 “ 1 . 这个新概 念确切 的数学提法是什么? 2 . 如何证 明 ?’ 这 两个问题才算完成理 性力 学在这个课题上 的历史任 务 。 这工作在一 百多年后 才被斯顿贝 格 ( St e r n b - er g ) , 图平 , 诺尔斯 (K n o w le s ) , 和 鲁宾逊(R ob ins o n) 等分别用不 同途径完成 。 1 9 6 5年图平对柱 体 端部受载情况 给出了 这原理 的数学形式和证 明 , 指 出贮能按距离是 指数型衰 减的 。 后来贝 尔迪切夫斯 墓 (B e r d i e h e v s k ii , 1 9 7 4 ) 和 伯格龙 (B e r g l u n d , 1 9 7 7 ) 将 这 结果推广 到一 般形式的 弹 性体和微 极弹性休 。 圣 维南原 理 的实质是空 间的距离效应 , 它 目前 已被推广到时 间和 过程问题 上而成为极有力 的数学原理 。 可 以看出 , “ 去理 解力学 ” 也 好 , “新概 念 , 数学证 明” 也好 , 都是对力学的墓本问题进行严格 的数学论证 。 同时也 可看到 , 理性力学并 不一概排斥 , 而 只是扬弃那些与实际 不符的线性理 论 。 第二次世界 大战 以后 , 在科学技术持续高速度 的发展 中出现许多引人注目 的特 点 , 其中两个是 : l ) 摆 脱原来分科 的约束 , 各传统学科间互 相渗透 , 互相促进 , 不断出现各种交 缘学科和新兴学 科 , 同时传 统的学科 本身 也正经历着不断 向深度 和广度发展 , 进行着辩证综合的过程 。 2 ) 数学的基本概 念 日益 广泛地被应 用于 描述物理现象 , 使能用合适的语言简洁地建 立 自然界的 普遍法则 , 发现 自然 科学理论的基本数学 结构 , 从而能更深刻地理解现象的本质 。 理性力学的新生 与发展是和 当代科学技术发展的总 趋势相呼应 的 。 为 了更好地说明现代理性力学 的内容和任 务 , 我们先具体看一下它是怎样发 展而又有所 区 别于 其他传统力学分支的 。 1 ) 从小变形理论到有限变形理论 有限变形理论对变形大小 没有任何限制 。 应变和位移的关 系 由线性形式。; : 二 十 ( u ‘, s + u s , ‘ ) 恢复为。 * j = 令 ( u ‘, s + u s , 』 + u 、, su 、 , s) , 并且平衡方程 应 列在已 变形 的物体上 。 2 ) 从 物性 的线性理论到非线性本构理论 古典的理想物体是 胡克 体和牛顿 流体及它们的各种线 性组合 。 理性力学对本构关系进行极其一般的研究 。 现在不仅理想的材料数 目大为增加 , 成为系谱 , 而且还有同时对整类材料进行描述和 分析 的有效方法 。 8 ) 从古典物体模型 到微结构理论 (有 向物体) 古典模型是 把物体看成有三 个 自由度 的质点的 集合 , 物体的运动就是这个质点集合在不 同时刻到R 3 的 映射 。 在理性力学范畴 内 , 除 了对这种模型 , 特别是单纯物质体 已 作了 深入 的系统研究外 , 还进一步开展 了对 物体质 点具有微结构 (m ic r os tru c - t u r e ) 的研究 。 在整体的宏观 运动中每个质点还可以 作为一个小物体进 行微运动 (m i c r o m ot io n) 。 如果只 允许作刚性微运动 , 就有所谓 “ 微极 (m ic r o p ol ar ) 理论 ” , 否 则为 “ 微态 ( m i c r o m or p _ hi c ) 理论 ” 。 在数学上相当于每一 点还有 一个具有一定 拓扑 的切空间 。 用微结构 理论 可 以建立 严格 的杆 、 板 、 壳理 论 , 可 以研究颗 粒固体 、 骨骼 、 复合材料和 液 晶的运动 。 在生物力学 中用 纳 维 一斯托 克斯方程计算血液流动与实际不 符 , 因血液 中占容积一 半的红 血球作 为一个个细胞在 流动中 自身还会
变形。用微结构理论可能较好地模拟血液流动。对于在磁场作下的偶极子,微结构理论显然是必甜 的。对于激流的研究,也开始露出采用微结构模型的苗头。假如和涡旋尺寸变化相比,涡旋的运动是 主要矛盾,则可采用较简单的微极模型。对某些简单情形,已有算出具体结果的。从这些例子可以看 出微结构理论可以描述一大批在古典理论范围外的复杂力学现象。这理论的潜在力量目前尚难佔计。 随着模型的变化,理论的备个环节也就需要相应地修正,例如古典的应变只需刻划点与邻点间距离的 变化,现在还需刻划点与邻点间微运动的差别,柯西应力原理需要扩充,应力不再是对称张量了,质 点除了质量还有自旋惯性等等 4)从协调理论到非协调连续统理论古典理论要求满足协调方程,有位错或内应力存在的物体 已示再满足。对离散的晶体位错,尚可作出种种切面,使古典理论仍可适用。但对连续位错,就必须 引入不协调的概念了。这种非协调理论用微分几何的办法去考察才方便。且可容许有限的变形。如把 未变形的状态视作欧几里德空间,则变形后的状态一般不再是欧几里德的空间。古典理论中的协调方 程,即为变形后的空间的黎曼克里斯托弗尔曲率张量为零。存在位错的空间,甚至已非黎曼空间, 是有挠率( Torsion)加当空间,该挠率即可描写位错的密度。 有不少尝试,把非协调理论与有向物体理论统一起来,尚未见完整的结果。上面介绍的几何方 法,如用到屈服的理论上,也提出一些有希望的可能性 5)从局部理论到非局部理论连续介质古典(局部)理论有两个假设:1.全部守恒法则对物体 的任何任意小部分成立;2.物体任意点的状态只受该点的任意小邻域影响(局部作用原理)。前者排 除了载荷对物体运动和状态变化的长程(距离)效应,后者忽略质点的长程交互作用。但物体总是由 具有某种特征长度(尺寸或距离)的子物体(原予,分子,颗粒等)所构成,外载也具有特征长度或特 间(如外载具有光滑分布的区域的尺寸,波长,频率等)。当内、外特征长度相近时,局部理论 的结果失效,这时有必要放弃上述假设而采用所谓“非局部理论”。例如波的弥散现象,根据古典弹 性论,波的传播是不弥散的,即相速度与波长无关。但实验表明,当波长较短(特别是当激励的波长 和原子距离同数量级)时,弥歡效应显著。用非局部理论对于一维情形算得的色散曲线与用点阵原 子理论算得的结果非常符合。裂纹尖端的应力集中破坏原子间的连接而导玫断裂。用非局部弹性理论 可以排除裂纹尖端应力的间断。令箍应力( hoop stress)与內聚应力( cohesive stress)相等就可 得到格里菲斯的断裂准则。非局部理论可以解释如表面张力,表面应力,表面粘性等表面现象。两种 流体接触面的表面张力可以导致整体失稳和湍流。非局部理论与古典理论有不同的数学表现。例如非 局部线性理论的应力应变关系可写 8(X)=CHE1(X)+cH(X,Z)e1(z)dV(Z)间题归结为解积分微分方程。在神 经生理系统的研究里,非局部性是很重要的,如神经脉冲的传播由纳吉莫( Nagumo)积分微分方程 02e e(1-e)(e-a)-bledt 描述(参阅纳吉莫等,Proc.IRE,50(1962),2061)。总的说来,非局部理论不是微观理论,用 的仍是唯象的方法,但考虑到由微观性质引起的效应。这就使得有希望在古典的唯象理论与原子、分 子理论间架起桥梁,有可能揭示许多过去属于古典场论之外的力学现象。 G)从单一的物质理论到混合物理论混合物理论研究若干种物质的共同运动。各组分的质点可 同时占据空间的同一位置,而在另一时刻,这些质点又可分别占据不同的位置。每组分的质点有自己 的速度,混合物在空间各点的平均速度是此时在该空间点的各组分速度的质量加权平均。各组升在该 点的扩散速度等于它的速度减去平均速度。化学反应可以使各组分的质量发生变化。用这种理论可以 研究扩散现象,多种流体,多孔介质,化学反应介质等。例如催化剂回收是气固二相流动规律的研究 问题。火箭燃烧室内进行的是带有化学反应的三相流动。又如地下水及一般的渗流问题中,解决达西 o1994-2013ChinaAcademicjOurnaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
变形 。 用微结构 理论可 能较好地 模拟血 液流动 。 对于 在磁场 作角卞的偶极 子 , 微结构 理论显然是必 箫 的 。 对于 湍流 的研究 , 也开始露 出采用微结构模型的苗头 。 假如和涡旋尺寸变化相 比 , 渴旋的运动是 主要矛盾户则可采用较 简单 的微极模型 。 对某些简单情琪 , 已有算 出具体 结果 的 。 从 这些例子 可以看 出微结构理论可以播述一 大批在古典理论范 围外 的复杂力学现象 。 这理论 的潜 在力量 自前 尚难绍青计 ‘ 随着模 塾的变化 , 理论的各个环节也就需要相应 地修正 , 例如古典 的应变 只需刻划点与邻点间距离的 变化 , 现在 还需刻姗 点与邻 点间 微运动 酥差别 , 柯西应力 原理需 要扩充 , 应力不再是对称张量 了 , 质 点除 了质量还有 自旋惯性等等 。 ‘ 一 「 4 ) 从协润理论到非协调连续统理论 古典理 论要求满足 协调 方程 , 有位错或 内应力存在 的物体 已 不 再 滴足 。 对离散 的晶体位 错 , 尚可作 出种种切面 , 使古典理论仍可 适 用 。 但对连续位错 , 就必须 引 入不 协调 的概念 了 。 这种非协调 理 论用微分几何的办法去考察才方 便 。 且 可容许有 限 的变形 。 ‘ 如 把 未变 形 的状 态 视作欧几 里德 空间 , 则变形后 的状态一般不再是欧儿里德 的空 间 。 古典理 论中的协调方 程 , 即 为变形后 的空 间的黎曼 一 克里 斯托弗 尔曲率张量为 零 。 存 在位 错的空 间 , 甚至 已 非黎曼 空 间 , 是有挠 率 (T o r s i o n ) 加 当空 间 , 该挠率即可描写位错的密度 。 有不 少尝试 , 把非协调 理 论 与有 向物体理论统一 起来 , 尚未见完整的结果 。 上 面介绍的 几 何方 法 , 如用到屈服 的理论上 , 也提 出一 些 有希望的可能性 。 5 ) 从局部理论到非局部理论 连续介质 占典 (局部 ) 理论有两 个假设 : 1 . 全部守恒法则对物体 的 任何任意小部分成立 ; 2 . 物体 任意 点的状态只 受该点的任意小邻域影响 (局部作用原理) 。 前者排 除 了载荷对物体运动和状 态 变化的长程 (距离) 效应 , 后 者忽略质点的 长程交互 作用 。 但物体总是由 具有某种特征长度 (尺寸或距离) 的子物体 (原子 , 分子 , 颗粒等) 所构成 , . 外载也具有特征长度 或特 征 时间 (如 外载 具有光 滑分 布的区域 的尺寸 , 波长 , 频 率等) 。 当内 、 外特 征长度 相近 时 , 局部 理论 的结果失效 , 这 时有必 要放 弃上述假设 而采用所谓 “ 非局 部理 论 ” 。 例如 波的弥散现象 , 根据古典弹 性 论 , 波的传播是不弥散 的 , 即相速度与 波长无关 。 但实验表 明 , 当波长较短 (特别是 当激励 的波长 和 原 子距离同 数 量 级 ) 时 , 弥散效应 显著 。 用 非局部理 论对于一维情形算得 的色散 曲线与用点阵原 子 理论算得的结果非常符合 。 裂纹尖端的应 力集 中破坏原子 间的连 接而导致 断裂 。 用 非局部弹性理论 可 以排除裂纹尖端应力的间断 。 令箍应 力 (h o o p s t r e s s ) 与 内聚应力 ( c ‘) l i e s i v e s t r e s s ) 相等就可 得到格里菲斯 的断裂准则 。 非局部理 论可 以解释如表面张力 , 表面应力 , 丧面粘性等表面 现 象 。 两种 流 体接触面的表面张力可 以 导致整体 失稳 和湍 流 。 非局部 理论 与古典 理论有不 同 的数学 表现 。 例如非 局部 线性理 论的应力应变关 系可 写成 e ‘j毛‘ (X , Z ) 。、1 (Z ) d V (Z ) 问题 归结为 解积分微分方程 。 在神 月 It 砂口 . 6 + ‘z ( X ) 二 C ‘j k 乙。 、一 ( X ) 经 生 理系 统的研究 里 , 非局 部性 是 很重要的 , 如神经脉冲的传播由纳吉莫( N a g u m o) 积分 微 分方程 Q毕 O x 名 二 “ 一, ‘一 , 一 b l · d ‘ 一 一et O 八d 描述 ( 参 阅纳 吉莫 等 , 尸r oc . 1尺石 , 50 ( 1 9 6 2 ) , 2 0 6 1 ) 。 总 的说 来 , 非局部理论不是 微观理论 , 用 的仍是唯象的方法 , 但考虑到 由微观性质 引起的效应 。 这就使得有希望在古典 的唯象理 论与原子 、 分 一 子理论间 架起桥梁 , 有可 能揭示许多过去属于古典 场论之外的力 学现象 。 G ) 从单一的物质理论 到混合 物理论 混 合物理论研究若千种物质的共同运动 , 各组分的质点可 同时 占据空 间的同一位置 , 而在另 一 时刻 , 这些质 点又 可分别 占据不同 的位置 。 每组分的 质点有 自己 的速度 , 混合物在 空 间各 点的平 均速度是此时在该空 间点 的各组分速度的质量 加权平均 。 各 组分在该 点的扩 散速度等于 它的速度减去平均速度 。 化学反应 可 以 使各组 分的质量发生变 化 。 用这种理 论可以 研 究扩散现象 , 多种流体 , 多孔介质 , 化学反应介质等 。 例如催化荆 . 回收是 :气 固二相流 动规律 的研究 问题 。 火箭燃烧室 内进行的是带有化学反应 的三 相流动 。 又如地 下水 及一 般的渗流问题中 , 解决达西 . 6
定理经常与实验不符的问题可以在混合物理论范畸内看作流体在弹性体或颗粒介质中的流动来研究。 环境污染间题亦然。 7)从单纯的力学论到与热、电磁的新含论古典连续介质理论经常局限在力学范围内研究 问题。热的因素在气体力学和热弹性论是考虑进去的。自然界现象是辩证地相互联系的。物体变形蝕 温度发生变化,而温度变化又引起变形是众所周知的。压电效应,电致和磁致仲缩现象也不陌生。当 研究日趋深入和鎘致时,捐合现象是不容忽视的。生物力学的研究中,心脏的跳动是伴有电磁现象 的。许多透明物体变形后出现双折射现象。古典地解释为介电张量对变形有某种依赖性,这方面的线 性理论在麦克斯韦时代已存在,但非线性理论最近十年才开始被研究。旋磁( gyromagnetic)效应 也是一种祸合现象。一般都观察到,龙卷风产生前都出现雷暴,这说明大气问题与电磁现象有关。地 球内部存在着强大的磁场,地震前出现地磁异常说明地震不是一个单纯力学问题。仅这几个例子就足 以说明开展电磁介质力学研究的必要性在这种与电磁场打交道的情况下,对介质热动力学理论极为本 质的“客观性公理”(即空间标架的刚性运动下的不变性)必须代之以洛伦兹不变性。要重新考察可 变形连续统理论与电磁场交互作用的基础,因此最终必然引导到下面的相对论性的提法。 8)从牛顿力学到相对论(狭义的和广义的)连介质力学。 上述对传统力学关系的每一方面差不多均可单独自成理论,而更经常出现的则是它们间的组合 如非局部微极理论,有限变形连续位错理论等。任何一种力学理论都出现物体,质量,运动及应力等基 本概念。采取物体的不同模型,其运动及变形的描述方式就不一样,随之质量,应力等概念也相应发 生变化(如微极理论中的自旋惯性,非对称应力张量,偶应力张量等)。制约这些基本概念的各个守 恒法则也要重新考虑。相对而言,模型一旦确定,这些工作都是可以做到的。重要的是,即使模型和 外界作用相同,响应也会因材料而异。这里起决定性作用的是本构关系。每一个本构关系代表一种 想化的材料。如何建立一般的非线性本构关系,这是任何一种变形体力学理论的核心而因难的问题 西尼奥里尼说这是真正数学物理的最困难问题。一般之所以认为理性力学从1945年获得了新生,正是在 这个问题上打开了一个突破口。达朗贝尔所提到的“正确的公理”并不是可有可无的东西,也不是象 牙塔尖。公理系统只不过是建立理论所应遵循的原则罢了。只要涉及模型和理论,人们总是应用这样 或那样的公理,只是自觉的程度不同而巳。公理就是自然规律从感性阶段经过思维上升到理性认识的 “自觉性”的表现。从正确的公理系统出发,遵循着严格的逻辑推理,就保证有可能建立站得住脚且 能反映客观现象矛盾的主要方面的模型和理论 马克思说过:“科学仅当它成功地利用数学时才达到完善的程度”。理性力学的每一项研究,从 立模型和理论,存在唯一定理的考验,到解决实际间题的解析的或数值的方法,都牵沙到数学的 用问题。诚然,有些理性力学的工作可能稍微过于形式化,但理性力学的近代发展是和数学的新概念 和新成果的应用分不开的。用数学不是理性力学的目的,数学是理性力学借以更深刻,更确切地描述 自然,了解自然和征服自然的必备工具。 至此,我们可以对近代理性力学作一概括的描述:理性力学是一个具有横贯性的力学学科。它用 数学的基本概念和严格的逻辑推理,一方面对各传统变形体力学分支用缆一的观点进行综合性的 深一层的基本规律的探索,另一方面根据生产斗争和科学实验的需要,对古典理论无法解决或解决不 好的问题,力图从物体原型出发,经过综合过程,由感性认识上升到理性认识,建立和发展新的力学 模型和理论。理性力学研究的一个重要特点是力图建立各种理论的公理体系,而对自然现象间的辩证 联系和一般本构关系的研究则给于相当的注意。因此,理性力学的研究对象是力学的理论基础部分, 是各分支的共性部分。理性力学并不代替各传统分支。 就上面谈及的各个方面,理性力学离开发展到完善的地步尚甚远,它还要准备随时迎接建立新模 型和新理论的任务。 理性力学的参考文献恳浩瀚的,大部分工作发表在JRat,Mech,Anal,Arch,Rat.Mech, An1和Int. J. Engng,sei等刊物上。下面列举若干代表性著作(其中都有详尽文献索引)以供 o1994-2013ChinaAcademicjOurnaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
定理经 常与实脸不符的 问题 可以在棍合物理论范畴内看作流体在弹性体 或顺教介质中的流动来研究 ‘ 环境污 染两越亦然 . 7 ) 从草纯的力学粗论到与热 、 电盛的棍合. 论 古典连续介质理 论经常局限在力学范围内研究 问题 。 热的因紊在气体力学和热弹性论是考虑进去的 。 自然界 现象是辩证地相互 联系的 。 物体变形位 温度发生变化 , 而温度变化又引起变形是众所周知的 。 压 电效应 , 电致和磁致伸缩现象也不陌生 。 省 研究 日趋深入和细致时 , 拐合现象是 不容忽视 的 。 生物力学的研究 中 , 心脏的跳动 是 伴 有电磁 现象 的 。 许多透明物体变形后 出现双折射 现象 。 古典地解释为介电张量 对变形有某种依赖 性 , 这方面 的毅 性理论在麦克斯韦时代 已存在 , 但非线性理论最近十年才开始被研究 。 旋磁 (g y r 。贝a g o e t i。 ) 效 应 也是一种棍合现象 。 一般都观察到 , 龙卷风产生前都 出现雷暴 , 这说明大气问题与 电磁现象有关 。 地 球 内部存在着强大的磁场 , 地震前 出现地磁异常说 明地震不是一个单 纯力学问题 。 仅这几个 例子就足 以说 明开展 电磁介质力学研究的必要性 。 在这种与电磁场 打交道的情 况下 , 对介质 热动力学理论极为本 质的 “ 客观性公理 ” (即空 间标架的刚性运动下的不变性 ) 必须代之 以洛伦兹不 变性 。 要重新考察 可 变形连续统理论与电磁场交 互作用的基础 , 因此最终必然引导到下面的相对论性 的提法 。 8 ) 从牛倾力学到相对论 (映义的和广义 的) 连续介质力学 。 上述对传统力学关系的每一 方面差不多均可单 独 自成理论 , 而更经常 出现的则是 它们间的组合 , 如非局部微极理论 , 有限变形连续位错理论等 。 任何一种力学理论都 出现物体 , 质量 , 运 动及 应力 等基 本概念 。 采取物体的不同模 型 , 其运动及变形的描述方式就不一样 , 随之质量 , 应力等概念 也相应发 生变化 (如微极理论中的 自旋惯性 , 非对称应力张量 , 偶 应力 张量等 ) 。 制约这些 基本概念的各个守 恒法则也要重新 考虑 。 相对 而言 , 模型一旦确定 , 这 些工作都是可 以做到的 。 重要的是 , 即使模型和 外界作用相同 , 响应也会因材料而异 。 这里起决定性作用的是 本构 关系 。 每一个本构关系代表一种理 想化 的材料 。 如何建立一般 的非线性本构关系 , 这是任何一种变形体力 学理论 的核心 而 困难的问题 。 西 尼奥里 尼说这是真正数学物理的最 困难问题 。 一般 之所 以认为理 性力学从1 9 4 5年 获得了新生 , 正是在 这个 间题上打开 了一个突破 口 。 达 朗贝尔所提到的 “ 正确的公理” 并不是可有可无 的东西 , 也不是象 牙塔尖 。 公理系统只 不过是建立 理 论所应遵循的原则罢 了 。 只 要涉及 模型和理论 , 人们 总是应 用这样 或那样 的公理 , 只是 自觉 的程度不同而 已 。 公理就是 自然规律从感性阶段经过 思 维上升到理 性认识的 “ 自觉性 ” 的表现 。 从正确的公理 系统 出发 , 遵循着严格的逻辑推 理 , 就保证有可能建 立站 得住脚耳 能反映客观现象矛盾的主 要方 面 的 模 型和理论 。 马克思说过 : “ 科学仅当它成功地利 用数学 时才达 到完善的程度 ” 。 理性力学的每一 项研究 , 从 建 立模 型和理论 , 存在唯一定理 的考验 , 到 解决实际 间题 的解析的或数值的方法 , 都牵 涉到数学 的应 用间题 。 诚然 , 有些 理性力学的工作可能稍 微过于形式化 , 但理性力学的近代发展是和数学 的新概 念 和新 成果的应用分 不开 的 。 用数学不 是理 性力学的 目的 , 数学是理 性力学借 以更深刻 , 更确切 地描述 自然 , 了解 自然和 征服 自然的必备工具 。 至此 , 我们可 以对近代 理性力学作一概括的描述 : 理 性力学是一 个具有横贯性的力学学科 。 它用 数学的基本概念和严 格的逻 辑推理 , 一方面对各传统变形体力 学分支用统一 的观 点进行综合性的 , 更 深一层的基本规 律的探索 , 另一方面根据生产斗争和科学实验的需要 , 对古典 理论无法解决或解决不 好的问题 , 力图从 物体原型 出发 , 经过综合过程 , 由感性认识上升到理性 认识 , 建立和发展新的力学 模型和理论 。 理性力 学研究 的一 个重要特点是力图建立各种理论的公理体系 , 而对 自然现象 间的挤证 联系和一般本构关 系 的研究 则给予相当 的注意 。 因此 , 理性力学的研究对象是力学的理论基 础部分 , 是各分支的共性部 分 。 理性力学并不代替各传统 分支 。 就上面谈及的各个方 面 , 理性力学 离开发展 到完 善的地步 尚甚远 , 它还要准备随时迎接建立新模 型和新理论 的任务 。 理性力学的参考文献是浩瀚的 , 大部分工作发表在J . R at . M ec h . A n al . , A rc h . R at . M “ 比 , A n al . 和In t . J . E n g o g . S c i . 等刊物上 。 下面列举若干代表性著作 (其 中都有详尽文 献 索 引) 以拱
参考 [13 Truesdell, C, The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics, [2)-, Toupin, R A, The Classical Field Theories, Handbuch der Physik, Bd Ⅲ/1, Springer(160) [83 Eringen, A C. Nonlinear Theory of Continuous Media, Mc graw-Hill(1962) [4 Truesdell, C. Noll, W., The Non-linear Field Theories of Mechanics, Hand The Elements of Continuum Mechanics, Springer(1966) Six Lectures on Modern Natural Philosophy, Springer(1966) istory of Mechanics, Springer (1968) 〔8〕 Eringen,A.C, Continuum Physics,Vol.I-Ⅳ, Academic(1971-75)。 Co) Oden, J. T, Finite Elements of Non-linear Continua, McGraw-Hill (1972) C. ed. Mechanics of Solids I,Handb Bd.Ⅵa/ Pringer(1972)。 [11] Wang, C -C, Truesdell, C. Introduction to Rational Elasticity, Noordhoff C12)Noll, W, The Foundations of Mechanics and Ther mody namics, Springer [13] Oden, J T, Reddy, J.N., Variational Methods in Theoretical Mechanics Springer (1976) 〔14〕德冈辰雄,有理连续体力学入门,机械￠研究,28,1-12(1976);29,1-6(1977) [15] Truesdell, C, A First Course in Rational Continuum Mechanics, Vol I, Aca damic(1977)。 本报告是在和中国科学院力学研究所段祝平,谈庆明,王克仁,武汉数学计算技术研究所吴学谋, 西南交通大学戴天民等同志共同讨论的基础上写成的 o1994-2013ChinaAcademicjOurnaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
参 考 。 〔i 〕 T r u e s d e ll , C . , T h e m e e h a n i e a l f o u n d a t i o 且5 o f e l a s t i e ity a n d f l u id d vn a m i e s , J . R a 才 . M 已e h . A n a l . , 1 (1 9 5 2 ) , 1 2 5一3 0 0 。 〔2 〕 — , T o u p i n , R . A . , T h e C l a s s i e a l F i e ld T h e o r i e s , H a n (lb u e h d e r Ph ys ik , B d . 1 / 1 , S p r 扭g . r (切即) , . 〔3 〕E r i n g e n , A . C 。 , N o n li n e a r T h e o r y o f C o n t i n u o u s M e d i a , M e G r a w 一 H ill (19 6 2 ) 。 〔4 〕 T r u e s d e ll , C . , N o ll , W . , T he N o n 一 li n e a r F i e ld T h e o r i e : ; o f M e e h a n i e s , H a n d - b u e h d e r Phy s ik , B d . l / 3 , Sp r i n g e r (1 9 6 5 ) 。 〔5 〕 — , T h e E l e m e n ts o f C o n t i n u u m M e e h a n i e s , S Pr i n g e r (] 9 6 6 ) 。 〔6 〕 — , S i x L e e t u r e s o n M o d e r n N a t u r a l Ph il o s o p hy , S p r i n g e r (1 9 6 6 ) 。 〔7 〕 — , E s s a ys i n th e H i s to r y o f Me e h a n i e s , Sp r i n g e r (2 9 6 ￡) 。 〔s 〕 E r i n g e n , A . C . , C o n t i n u u m Phy s i e s , V o l . I 一 W , A e a d e m i e (1 97 1一7 5 ) 。 〔。〕o d e n , J . T 。 , F i n ite E le m e n t s o f N o n 一 li n e a r C o n t i n u a , 入[ e G r a w 一 H ill ( 2 0 7 2 ) 。 〔1 0〕 T r u e s d e ll , C . , e d . , M e e h a n i e s o f S o lid s l , H a n db u e h d e r Phys ik , B d . Vl a / 2 , S P r i n g e r (1 0 7 2 ) 。 〔2 2〕 W 么 n g , C 一 C . , T r u e s d e ll , C . , In t r o d u e t i o n to R a t i o n a l E la s t i e ity , N o o r d ho f f (1 9 7 3 ) 。 〔2 2 ) N o ll , W . , T h e Fo u n d a t i o n s o f Me e h a n i e s a n d T h e r m o d y : za m i e s , S p r i n g e r (1 9 7 4 ) 。 〔1 5〕 O d e n , J 。 T 。 , R e d d y , J . N . , V a r i a t i o n a l M e tho d s i n T h e o l · e ti e a l M e e h a 卫 i e s , S p r i n g e r (19 7 6 ) 。 〔1 4〕 德 冈辰雄 , 有理连续体力学 入门 , 机械O 研究 , 2 8 , i 一 1 2 (1 9 7 6 ) ; 2 9 , l 一 e (1 9 7 7 ) 。 〔1 5〕 T r u e s d e ll , C . , A F 玉r s t C o u r s e i n R a t i o n a l C o n t i n u u m M e e h a n i e s , V o l . I , A e a - d a 口 i e (1 9 7 7 ) 。 本报告是在和中国科学院力学研究所段祝平 , 谈庆 明 , 王克仁 , 武 汉数学 计算技术研究所吴学谋 , 西南交通大学戴天 民等同志共同讨论 的基础上写成 的 。 7