第七章振动和波 ::::::: ∷∷∷::∷ ::∷∷∵ · ::::::: :: ∷;∷ ∷∷ ::: ∷∷∷訊∷ ●非 ●···●非 ∷∷ ●● ●● ∴ ●●●●● ◆◆◆◆◆◆◆ : : ● ●垂垂
1 第七章 振动和波
振动与浪无所不在 振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式 尽管在各学科里振动与波的具体内容不同 但在形式上却有很大的相似性
2 振动与波无所不在 振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。 尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性
§71简谐振动的运动学描述 §711运动方程 振动:物体在平衡位置附近的往返运动 简谐振动:匀速圆周运动在任意直径方向的分运动
3 §7.1 简谐振动的运动学描述 §7.1.1 运动方程 简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动 x t 振动：物体在平衡位置附近的往返运动
简谐振动的运动方程x=Acos(Ot+p) 周期T 2丌 频率v=1/T 2丌 角频率O 振幅A 相位Ot+φ 初相位φ time 4
4 简谐振动的运动方程 x = Acos( t + ) Ax t 周期 2 T = 频率 2 = 1 / T = 角频率 振幅 A 相位 t + 初相位
§712同方向同频率简谐振动的合成 个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动 x =A cos(at+u), x2=A, cos(ot+2) 合振动x=A1cos(ot+q1)+A2cos(ot+2) A coS(at +o) 合振动的振幅与相位差有关A=√A2+42+2A42cos(q2-91) tan Sin ,t A, sin 2 A, COS P1+ A, cos p2
5 §7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成 cos( ), cos( ) 1 = 1 +1 2 = 2 +2 x A t x A t 合振动 一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A − cos( ) cos( ) cos( ) 1 1 2 2 = + = + + + A t x A t A t 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin tan A A A A + + = 合振动的振幅与相位差有关
§713同方向不同频率简谐振动的合成 考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动 ∫x=Acos(on+g) x2=4os(021+a) ,+O 合振动x=x1+x2=2Acos t cos t+ 包含一个随变化较慢的余弦因子和一个随变化较快的余弦因子 当两个振动的频率非常接近时a << 01+0≈01或O 2 6
6 §7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成 = + = + cos( ) cos( ) 2 2 1 1 x A t x A t 考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动 + + − = + = x x x A t t 2 cos 2 2 cos 2 1 2 1 合振动 1 2 包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子 1 2 1 2 2 1 2 或 + 当两个振动的频率非常接近时 −
合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关,这种周期变化的现象称为拍。 拍频-只与振幅的大小有关, 例如从零再变到零。 拍 拍=O2-O1 拍是一个重要的现象,有许多应用
7 合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。 拍 = 2 −1 拍是一个重要的现象，有许多应用。 拍频---只与振幅的大小有关， 例如从零再变到零。 拍 = 1 − 2
§71.4方向互相垂直、同频率简谐振动的合成 如果两个振动频率相同,但一个沿方向、一个沿方向 x= A, cos(at +o,) y=A, coS(@t+o,) 这是以参量的轨道方程;消去t,可得显式的轨道方程 2 coS(03-,)=sn(1-,) 为椭圆轨道方程(包括圆,直线段)--椭圆振动
8 §7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成 = + = + cos( ) cos( ) y y x x y A t x A t 如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向 这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程 cos( ) sin ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y Ax Ax x y A y A x + − − = − 为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动
特例1 q1-q,=2k7 特例2 0x-9,=(2k+1) A 特例3 2-0,=(k+1/2)兀 其它情况为斜椭圆
9 特例1 特例2 x − y = (2k +1) 特例3 x − y = 2k x Ay y A x = x Ay y A x = − x − y = (k +1/ 2) 1 2 2 2 2 + = x Ay y A x 其它情况为斜椭圆
5715方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成 当两个互相垂直的简谐振动频率不同时 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系, 图形一般较为复杂,很难用数学式子表达。 当两者的频率之比是有理数时 这种图形称为李萨如图形(Ls0usgu 合运动是周期运动,轨道是闭合的曲线或有限的曲纟
10 §7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成 当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。 当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段 这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）