少学 王讲教师:刘树新 北京大学物理学院
力学 主讲教师：刘树新 北京大学物理学院
第零章数学补充知识 A行列式 B矢量的代数运算 C一元函数微积分 D多元函数傲积分
1 第零章数学补充知识 A 行列式 B 矢量的代数运算 C 一元函数微积分 D 多元函数微积分
A行列式 A.1行列式 2 72 i x F y F 1-12 F
2 A 行列式 A.1 行列式 -1 -1 2 1 - 2 -1 2 1 1 z y x k z F j y F i x F
a 11c12 a 13 阶行列式可以一般地表述成910298 a 31 a 3 a 23 元素:a1:行标;列标 2阶、1阶、零阶行列式分别表述成 11 a 12 a 21 22
3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a 元素： aij i: 行标; j: 列标 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a11 三阶行列式可以一般地表述成 2阶、1阶、零阶行列式分别表述成
行列式的运算规则可用下述通归方式定义 定义||=1 a1l=a1|=a1 11 a 11a22|-a 2112 a 22 12 a 13 223 12c13 12613 a1 a a 2223 a1 +a 31 3233 a 3233 a 22 a 23 a1 a 31 32 a 33
4 行列式的运算规则可用下述递归方式定义： 定义 =1 a1 1 = a1 1 = a1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a = − 2 2 2 3 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − +
性质1:行列可互换性 i x Fi 1 y F y kzF F2 Fx Fy F2
5 性质1：行列可互换性 z x y z y x F F F x y z i j k k z F j y F i x F =
性质2:一行的公因子可以提出 a 12 13 a a 11c1213 ka, kao kaa=k 22 2122023 a 31 a 33 a31a32a3
6 性质2：一行的公因子可以提出 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k = k
性质3:对换行列式中两行的位置, 行列式反号。 性质4:如果行列式中两行成比例, 那么行列式为零。 a 12 a a a 12 a 13 a 31 a 32 a 33
7 性质4：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。 = 0 3 1 3 2 3 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a k k k 性质3：对换行列式中两行的位置， 行列式反号
A.2应用 a, x, +a,x+a,x=b 线性代数方程组 a21x1+a22x2+a23x b 2 aax, +aox +aaa,=b 3 a 11c12 a 13 引入分母行列式D=a21a2a2 31 32 33
8 A.2 应用 + + = + + = + + = 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a 引入分母行列式 D = 线性代数方程组
引入分子行列式 b, a 12 a 13 D,=b2 a 22 a 239 D 3 a 32a 33 方程组的解能表述为 D i=1,2,3 D
9 = , D2 = b a a b a a b a a D 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 1 = i =1,2,3 D D x i i 引入分子行列式 方程组的解能表述为