《力学丛书》编委会 主编:张维 副主编:钱令希林同骥郑哲敏 编委:(按姓氏笔划为序) 丁儆卞荫贵庄逢甘朱兆祥 朱照宣刘延柱孙训方李 张涵信周光垌欧阳鬯季文美 芶清泉胡海昌柳春图贾有权 钱伟长徐芝纶徐华舫郭仲衡 郭尚平谈镐生黄文熙黄克累 黄克智程贯一
DG5<4 前 五十年代末六十年代初,作者在波兰科学院研究有限变形理 论期间作过一些札记,曾于1963年,1964年在北京大学数学力学 系讲授过,本书是在1964年讲义的基础上修改补充并添进若干 结果而写成的。由于时间仓促不免有漏误之处,请读者指正。作 者感谢中国科技大学朱兆祥教授对本书修改提出的宝贵意见。 郭仲衡 (Guo Zhong-heng) 1978年12月于北京大学 再 言 本书脱稿付印后,作者在波兰21届固体力学会议(1979年9 月)作了题为“非线性弹性理论变分原理的统一理论”的报告.该 文补充了本书的“变分原理”一章的不足,叙述进了一步。今列为 附录便于读者了解问题的全貌 作者 1979年11月于西德鲁尔大学 h
录 前言 绪论 第一部分三维欧氏空间张量分析…………………………5 第一章斜角坐标系(即仿射坐标系)…… 非。···春非非·。·。· §1.基向量和度量张量 §2.向量点积和叉积… 6非。甲春d。·着··.·,·自,。·带 §3.坐标变换和张量 8 §4.张量代数 …11 §5.Rici符号,广义 Kronecker符号,行列式和代数余子式 第二章二阶张量——仿射量 17 §1.仿射量 着t。。。。·。。tdt自·看 17 §2.正则与退化 ……………19 §3.重向和不变量 §4. Cayley- Hamilton定理……………………………… …23 §5.几种特殊仿射量……… §6.对称仿射量的重向和仿射量的主向……………………31 §7.仿射量的分解………………35 第三章张量函数………………………37 §I.各向同性张量函数 院声 k…………………37 52张量函数的梯度/2… §3.表示定理…}… ……42 第四章曲线坐标系 4_.1-248 44 51.曲线坐标系与局部基 44 §2.张量场与绝对微 46 3.不变性微分算子和积为宝理…-……………………51 §4. Riemann-Christoffel张量(曲率张量)………………………54
第五章非完整系与两点张量场 5 §1.非完整系与物理分量… s2.正交系与物理标架…… §3.两点张量场 64 第二部分有限变形理论 72 第一章变形几何学………… s1.运动与变形……………………………………………72 §2.坐标系…… §3.变形梯度和线、面、体元素的变换 §4.长度比、面积比、容积比、剪切与 Green-Cauchy应变张量…82 §5.主长度比和 Greea-Cauchy应变张量的主向 §6.应变椭球…………………86 §7.变形基本定理 88 §8.等价定理,对数应变张量和 almansi- Hamel应变张量 §9.相容性条件……… 95 第二章运动学………… ●●.。●·a。。。·a。。.。·。···· 97 §1.位移速度,加速度和物质导数 §2.速度梯度,变形梯度及线、面、体素的物质导数………103 53.变形率和旋率 §4.应变张量的物质导数 …109 §5.输运定理 112 第三章动力学分析… ··鲁··鲁鲁●音t.聊 ……114 s1.外力与内力,体力与接触力, Cauchy应力原理…114 §2. Cauchy应力和偶应力张量…116 §3. Cauchy动量和动量矩方程………………………119 54. Piola-Kirchhof应力张做:聊 ussinesq Kirchhoff动量方 程 121 s.6800o0遥………15 §6应力张量的本构导数r… ●卓·非音要·音,音垂t; 127 第四章本构理论 131 §1.原始元与守恒律… 131 52.能量守恒律和动能定理…… 132
§3.本构关系的一般原理…………135 §4.观察者与客观性 看··看鲁··●··音·.·看●非· 136 §5.应变张量,变形率和应力张量的客观性 138 §6.守恒律的客观性…………………………140 §7.弹性体— -Green方法…………………… 142 §8.各向同性…… 146 §9.不可压缩性 148 §10.限制弹性势形式的不等式 150 s11. Cauchy方法…………………………………152 第五章问题的提法和若干解的举例 b善·。·4●看看● 154 §1.弹性力学问题的提法 154 §2.均匀拉伸 157 §3.简单剪切 160 54.圆柱体扭转………………16 §5.厚壁筒的轴对称变形 eb。·●看·即垂 …167 厚球壳的膨胀和翻转 a171 §7.立方体的纯弯曲 175 §8.等厚度实心旋转盘………………179 §9.厚壁筒的轴向剪切自由振动… 181 第六章变分原理… .·●········g·.·baa。·· 186 51.应功、虚位移和虚应力原理… ……186 §2.总势能驻值原理 189 53.总余能驻值原理 193 §4.广义变分原理…… 196 第七章线性化理论(古典弹性力学)……204 51.基本假定 ……204 s2.应变分析的线性化…………205 53.小转动…………209 4.线性协调方程 213 55.动量方程和应力边条件的线性化 214 6.虎克体……… 非●.。·。··善·。带··;·是·. 附录非线性弹性理论变分原理的统一理论… 218
§1.引言…28 52.数学符号 219 §3.应变和应力…………………………………………220 §4.共轭变量和 Legendre变换……… 222 §5.虚功原理…………… 225 §6.古典变分原理 226 §7.广义变分原理 231 §8. Levinson原理 234 §9. Fracijs de Veubeke原理………………………237 §10.关系图… 39 参考文献 241
绪 论 弹性力学作为精确理论,从本质上就是非线性的, Cauchy和 Gren在这方面都作出了贡献。在 Kirchhoff和 Kelvin的工作里也 可以找到这一理论的基础.1894年。 Finger完成了超弹性( hyper elastic,即有弹性势的)体的有限变形理论。有限弹性变形理论方 程冗长而复杂特别是强烈的非线性使当时的人们感到在数学上 进行一般性的讨论是没有多大希望的。再加上当时应用的均属于 在弹性范围内变形不大的弱弹性材料。生产与工程实际没有提出 应用精确理论的迫切要求.于是,绝大多数弹性力学工作者都避 开这种理论而走上了线性化的道路.现今,古典线性弹性力学已 发展为一门成熟的理论,并且在解决许多实际问题中找到了得心 应手的应用 近二、三十年来新现象的发现,新材料和新结构的应用使非 线性理论重新受到重视。不少作者对古典理论作不同程度的几何 上的或物理上的修正而提出各式各样的非线性工程理论。种类繁 多不胜枚举。 本书不涉及这些工程理论,而准备尽可能从一般性的角度叙 述弹性通论.张量分析工具的应用,虽然并不改变问题的实质但 它能使方程摆脱繁杂的形式而变得简单、明晰物理概念突出、从而 使许多问题的进一步探讨成为可能.其次,第二次世界大战期间 橡皮工业的发展提出了橡皮结构〔而现在还有高分子聚合物结构) 的计算问题.1940年Mooy通过大量实验证实了某些类型橡皮 的力学性能可用弹性势:〗=C(I一3)+C2(-3)来描述, 从而把非线性弹性理论中最困难的问题之 弹性势的函数形 式问题——具体向前推进了一步、再者,实验证实了橡皮是几乎 不可压缩的材料。1948年起, Rivlin等正是利用了不可压缩条件
用半返逆法获得了一系列简单而重要问题(圆柱体扭转、立方体弯 曲等)的精确解。把这些解和橡皮的实验作比较得到了弹性势的 形式.用这些结果预报橡皮制品的性能,即使它的伸长为原长的 两三倍,精度仍能达到百分之几。只要想到,伸长度为1%时小变 形理论的误差已甚大,就可以体会到有限变形论获得成功的份量 了.这个成功鼓舞了人们研究这种理论的勇气从而开始了对有 限变形弹性论的新攻势,并且由此而导致了整个理性力学的蓬勃 发展 在作为连续介质力学来叙述有限弹性变形理论的开始,不能 对“连续介质假设”只字不提。众所周知物质由分子构成而分子 由原子,原子由原子核和电子,原子核又由基本粒子构成,“物质 结构论”的观点是:分布性物体(或叫连续体——相对于离散的质 点而言)的宏观行为应由基本粒子理论作为结论而推导得出。当 前也正在开展这方面的研究,但存在的困难是很大的因为: (1)基本粒子法则本身尚未完全建立.即使根据目前人们认 识所及的基本粒子法则能够建立(至于如何建立还是一个尚待解 决的问题)一个分布性物体的理论。则每当发现基本粒子的一个新 性质时,这种理论势必得从头进行修改.但粒子观点的无尽发展 从认识论上来说是不可逆免的 (2)数学困难目前尚难以克服.迄今为止,对某些特殊情形 作过一些工作,但都经过很多数学上的简化,特别是当所得结果 与实验不符的时候就很难知道,问题出于基本法则的不妥呢,还 是出于数学的简化推导过程本身。由于物质结构的复杂性。常常 要采用绕计方法,这样一来就失去了从粒子根本法则出发的原来 意义。 (3)基本粒子性质的细节和大部分力学问题无直接关联,粒 子结构区别很大的物体在对应力的反应上往往区别不大 基于此,连续介质力学避开上述的复杂过程而建立一个可无 尽地分割而又不失去其任何定义性质的连续场直接理论。场可以 是运动、物质、力、能和电磁现象所在场所,用这些概念来表达的
理论叫唯象理论(或叫现象宏观理论),因它表达实验的直接现象 而并不企图用粒子观点去解释.唯象理论的合理性在于所依据的 是宏观实验,而所得结论仍然用于宏观实际;也就是以宏观世界作 为出发点,建立宏观理论,返回来又用于宏观世界,并由宏观世界 来检验其正确性.这样,我们就可不必去管粒子结构 理论是对客观世界观察和实验的归纳、总结及抽象的结果.但 在建立理论过程中,我们总力图抓住对象的主要矛盾,并以之为依 据引进一些假定和理想化——建立所谓“数学模型”.这样。任何 理论都只是在不同程度上对自然界某些方面的“近似”,都有一定 的、由自然界本身的实验来确定的有效范围.也就是看这理论所 预言的结果和实验相符合的程度如何.因此,我们在数学上总是 力求严格,即指在一定的统一假定下进行推理,避免半途作随心所 欲的假定.只有这样才能检验所建立的数学模型的正确性.今后 的叙述我们将本着这个精神去做. 近代理性力学的发展相当程度上是从非线性弹性理论获得进 展而开始的。后者是前者的重要组成部分.有限变形理论的基本 概念也是理性力学的基本概念.牢固地掌握这些基本概念是进 步研究目前已发展得极为丰富的理性力学的必由之路。因此,本 书力求按照近代理性力学的观点,详尽系统地叙述这些基本概念 非线性弹性理论采用的工具各家不同目前国际上最通用的是“两 点张量场法”它特别适用于描述有限变形,克服了其他方法易引 起混乱的缺点。尽管张量方法已经使现象的描述高度凝缩,但过 多的上、下指标有时仍然显得累赘,在这一点上抽象记法又有它 的优越之处.本书合两方法之长,首次采用了“两点张量抽象符 号法”。初次接触这方法时可能会感到不习惯,但熟练掌握后优 越性就会逐渐显示出来。作者的目的是否能达到,当由读者去判 断 本书分两部分:第一部分叙述非线性场论的基本数学工 具——两点张量抽象符号法;第二部分系统介绍有限弹性变形理 论的基本原理以及它向古典弹性理论的过渡。本书包含了作者在
这领域的部分研究结果。这里不准备列举浩瀚的参考文献。写作 过程中主要参考过的专著(它们都有详尽的文献索引)有: [ 1] HoBOXHJIOB, BB, OcHoBb HelHHeiHoa TeopHH ympyrocTH, OrH3(1948) (中译本:B.B.诺沃日洛夫,非线性弹性力学基础,科学出版社,1958) [2] Green, A. E, Zerna, W, Theoretical Elasticity, Oxford (1954). [ 3] HOBOZKHJIOB, B. B, TeopHg yupyrocTH, CypoM (1958). [4] Truesdell, C, Toupin, R. A, The Classical Field Theories, Handbuch der Physik, Bd. Ill/1, Springer (1960) [5] Eringen, A. C, Nonlinear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill (1962) [6] CenoB, JI. H, BBeneHHe B MexaHHKy CIIOLIHoA cpeAb, H3MarTH3(1962). [ Truesdell, C, Noll, W, The Non-linear Field Theories of Mechanics Handbuch der Physik, Bd. III/3, Springer(1965). [8] Truesdell, C, Six Lectures on Modern Natural Philosophy, Springer (1966) [9]Oden, J. T, Finite Elements of Non-linear Continua, McGraw-Hill (1972) [10] Eringen, A. C, Continuum Physics, Vol. I-IV, Academic (1971-75). [11] Wang, C.-C, Truesdell, C, Introduction to Rational Elasticity, noordhoff (1973) [12] Washizu, K, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon (1975)
