2012年北京大学力学博士生论坛：基于显含时间曲线坐标系的涡－流函数解法及其在可变形边界流动问题中的应用

基于显含时间曲线坐标系的涡一流函数解法及 其在可变形边界流动问题中的应用 复旦大学力学与工程科学系 陈瑜谢锡麟 北京大学全国力学博士生论坛 2012年8月北京 主要内容 研究背景(边界几何特性对力学行为的影响) 当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论(连续介质作为 Euclid微 分流形) 边界的有限变动运动对边界上若干运动学及动力学机制的影响 若干研究事例

基于显含时间曲线坐标系的涡－流函数解法及 其在可变形边界流动问题中的应用 复旦大学 力学与工程科学系 陈瑜 谢锡麟 北京大学全国力学博士生论坛 2012年8月 北京 主要内容 • 研究背景（边界几何特性对力学行为的影响） • 当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论（连续介质作为Euclid微 分流形） • 边界的有限变动运动对边界上若干运动学及动力学机制的影响 • 若干研究事例

研究背景一边界几何特性流动行为的影响 t=0.1 1.5 00 5 0 6 12 t=0.1 0.5 0 2 6 12 ∠ Circular cylinder ∠ wavy cylinder (b) 科大陆夕云组

研究背景 —— 边界几何特性流动行为的影响 科大 陆夕云组

算例:圆柱后半运动波纹璧绕流大连理工吴锤结组 算例:圆柱后半运动波纹璧绕流本组 t=140 t=121 t=121

算例：圆柱后半运动波纹璧绕流 本组 算例：圆柱后半运动波纹璧绕流 大连理工 吴锤结组

R(,0,);r X(x, t) 前 映物 照理 p当前参数构型 观构 (边界始终固定) 点形当前物理构型 (边界可变形) R(e,, t). rsin@cos o 对应之曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论 X(x ) DrooXR'o(xt)=0.49- R(0,, t).].cos p 当前物理构型 当前参数构型 (边界可变形) (边界始终固定) X x= n X=X (75) (n) x-[r(n5,)+5(R(n4)-(5)]sn X x=[(n5)+5(8(n)(05)mn

当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论 —— 映照观点 x zo o r Dxyz Dr R t r  , ,  y    1  2                 1 + 23 , , sin cos X , : , , X , , , , , , sin sin , , , cos r r X R t r x t D x t t x t t X x t t R t r t X R t r                                                                                        X ,  x t 当前物理构型 （边界可变形） 当前参数构型 （边界始终固定） 3 X 1 X2 X p o   2 1 H x             123 X X XX            r t  , ,  R ,                123 , , , , , cos , , , , , sin X r t R r t X X r t R r t                                        当前参数构型 （边界始终固定） 当前物理构型 （边界可变形）

构形对应之曲线坐标系;变形梯度定义及其形式 初始物理构形 当前物理构形 g2(x(5n,1),) G2(5) x2曲线 曲线 781(x(5,1), >G1(5) 曲线 23-曲线 曲线 -曲线 G3() g 当前构型曲线坐标 初始构形曲线坐标 X=X(x,t) 曲线 曲线 x2-曲线 2-曲线 线初始参数构形 x2-曲线当前参数构形 b当前物理构形 x(x(5+△5),)-X(x(5),) a(5,)g(x)△5 x(51)g(x1)8G(5)(△Gn(5) 当前物理构形 F· b初始物理 n6()(x2)|o b初始物理构形

1 X o G1  b  1  曲线 2  曲线 3  曲线 a b G3  a  G2  a  g x t t 1   a , ,  1 x 曲线 2 x 曲线 3 x 曲线 a b g x t t 3   a , ,  g x t t 2   a , ,  1  3 o  2 a 1  曲线 3  曲线 2  曲线 b 3 x o 2 x a 1 x 曲线 2 x 曲线 b 1 x 3 x 曲线 初始物理构形 当前物理构形 初始参数构形 当前参数构形 X X    初始构形曲线坐标 , X X x t    当前构型曲线坐标                            , , , , , , , , i i A A B ab i i B i A A A ab ab ab A i x x x F t g x r X x t X x t t g x t t g x t G G r r r t G                                              当前物理构形 当前物理构形 初始物理构形 初始物理构形 X1 X3 o X2 3 X 2 X —— 构形对应之曲线坐标系；变形梯度定义及其形式

变形梯度的基本性质保持不变;物质导数之场观点表示有所差别 速度表示 F=-(5,)g(x,)G(5) 基本性质 =会(:)=a (5,)g(x,)+∞(x,) F=(⑧V)F;|F F=OF 一张量场物质导数表示 (5,t) St (x, t)+vvoa__ar (x,t)VΦ 基于变形梯度的变形刻画 基于变形梯度的变形刻画及其在 Reynolds输运方程中的应用(第一类) adp (x.)+V(⑧中)do s/dp (x, t)dv +o p(vn)dv=a(x,t). (v@p)do

 , ,   ,     ,  i i X x V X t t g X x t t x t t t            —— 速度表示  , , ,      X t x t V x t t t t                  ——张量场物质导数表示         , , det i A A i i A x F t g x t G g x F V F F F F G                       —— 基本性质 ； ；             , , , t t t t t t t V V V V V V V d dv dv dv x t V d dt t x t dv V n dv t X x t d t                                            —— 基于变形梯度的变形刻画 —— 基于变形梯度的变形刻画 及其 在Reynolds输运方程中的应用（第一类） —— 变形梯度的基本性质保持不变；物质导数之场观点表示有所差别

数映照构造 x1 x 控制方程及数 研究事例二 (x X(x0)(x)+5(x)+x(-5(x:0)]n(x) 维 y(x,l)∈R 解 不 法 可压缩流动的 +>x 涡控制方程 00 流函数解法 2( (x,)V⑧O=(v8V)·+△O R C O x ax ax R ax ax O

数值研究事例：二维不可压缩流动的 涡－流函数 解法 —— 控制方程及数值解法               3 3 3 2 3 3 2 3 ω 1 V Δ 1 , , , , Γ , , i i ij ij k i i i k ij ij k i j k ij j v t Re X V x t x t x t g g x t t x t x Re x x x g x t x X x t x x t                                                                                控制方程 1 X 2 Xo              1 1 2 1 1 1 X x t x t x t x x t x t n x t , , , , , ,               1  x t,  1  x t,   1 2  x t,   1 2 n x t,  1 x 2 xo o L 1 x 1 x 映照构造

数圆柱整体胀压情形Re=100f=1Hz Stream t=480. 25 tream t=480.5 全局空间动力学行为 研究事例二维不可压缩流动的 Stream t=480.75 Stream t=481.0 不同流场形态 涡 流 Vorticity t=500 函 数 解 法r(0)=s(2f) ,·, 20

数 值 研 究 事 例 ： 二 维 不 可 压 缩 流 动 的 涡 － 流 函 数 解 法 全 局 空 间 动 力 学 行 为—— 不 同 流 场 形 态 圆柱整体胀压情形 Re=100 f=1Hz     = sin 2 0 r t r ft 

椭圆双向变形运动情形Re10091H t=480.15 t=480.45 480.75 0 Vorticity t=500 a(t)=ao sin(2r ft) 6()-s(2x2) 40

椭圆双向变形运动情形 Re=100 f=1Hz       0 0 = sin 2 = sin 2 - 2 a t a ft b t b ft         

周向驻波状变形运动情形Re=100f=1Hz Stream t=397.0 Stream t=397.25 2 6 Stream t=397.75 Stream [=39o.U t=480.4

周向驻波状变形运动情形 Re=100 f=1Hz