2012年全国水动力学研讨会：现代张量分析在连续介质力学中的若干应用——相关教学与研究工作

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动 力学研讨会并周培源诞辰110周年纪念大会 2012年8月25-30日 现代张量分析在连续介质力学中的若干应用 相关教学与研究工作谨纪念周培源先生 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟 主要内容 当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 应用理论 边界的有限变形运动对边界局部运动学及动力学行为的影响——涡量与涡动力学 相关理论结论 ·几何形态为曲面的连续介质力学的有限变形理论 研究背景、设想及初步结果

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动 第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动 力学研讨会并周培源诞辰 力学研讨会并周培源诞辰110周年纪念大会 2012 年 8 月25 －30 日 现代张量分析在连续介质力学中的若干应用 现代张量分析在连续介质力学中的若干应用 —— 相关教学与研究工作 相关教学与研究工作 谨纪念周培源先生 谨纪念周培源先生 复旦大学 力学与工程科学系 力学与工程科学系 谢锡麟 主要内容 • 当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 —— 应用理论 • 边界的有限变形运动对边界局部运动学及动力学行为的影响 —— 涡量与涡动力学 相关理论结论 • 几何形态为曲面的连续介质力学的有限变形理论 —— 研究背景、设想及初步结果

内射流边界 外射流边界 X(x,1)Dm×R3{x}={0 R(7) 5·R(m,5,1)cosn H(X(x, ),=x2(x, 1),4(=5.R(n,s, 1) sinn I, 内射流边界 X 外射流边界 时当 XF)×(o+7) 初始构型曲线坐标系 日 的物 有摆 限 形 bo 形对 锩之 x 当前构型曲线坐标系 本线 V×(0,+7) 51)x(x)∈C(x(x+7),x(o4+7) 组 坐标系 o

t t  0 t 0t t t  0 t 0t 1 X 1 X 1 X m X m X m X 1 x m x 1 x m x 1 x m x  X     X xt   , x t   ,   , p X CVV  X           初始构型曲线坐标系      00 00 , , , , t t p X xt C V t t T V t t T x          当前构型曲线坐标系   0 0 , tV tt T     0 0 , t V tt T x  1 X o  DPar   1 2  H o 2 X 3 X DPhy 外射流边界 内射流边界 R t   , r t   , 外射流边界 内射流边界              + 1 2 3 X,: , , , , cos X , , , , , , sin , r r xt D xt t X Rt x t t X xt t R t t X                                                                          Ⅰ 当前物理构形对应之曲线坐标系 显含时间的有限变形理论（本组）

Curve 完整基 完整基 Curve Curve 83 82 81 e Curve x-Cnve张量场“二 点表示形式” 4) 非完整基 下导数,完 X非完整基 整基及非完 (x,1)=d(5(x0),x,)g(x,1)8g(x,)8G,(5(x,1)8G"((x,) 整基下张量 梯度计算 (5,1)=(5,x(5,),)g(x(5,))8g(x(5,))8G1(5)8G(5) (xa((x),x=().x小 x, t),x,t Vpa(5(x)x)+21(x)V中(5(x1).x):(x)8(x)8G()8G"(5) =吗2(5,1)g(x,)③g(x,)G4(5)8G(5) 口③d=吗(5,x,)g(x,)③g(x)8g(x,)8G4(5)8G(5) ooo2(,x,)g"(x)8g01(x)8g"(x)8Gn()(5) 0a2=Vb0)(0051 )①((a)+,0 ar@=Clct asR ()(B),Here of(4) ()ax x

                            , , ,, , , ,, ,, ,, ,, , , iA j B j iA j B j Bi A Bi A xt xt xt g xt g xt G x t x t tg x t t g x t t t G G G x t                         o 1 X  2 X  3 X  1  Curve 2  Curve 3  Curve G1 G2 G3 o 1 X 1 x Curve  2 x Curve  3 x Curve  1 g 2 g3 g 2 X 3 X G  A  l g 非完整基 非完整基 完整基 完整基                                       , , ,, , ,, , , ,, , , , , , , , , , : , , , L l l l lL L iA iA j B l jB L jB i A l iA j B l jB i A xt xt xt xt xt xt xt xt xx x x xt xt xt xt xt g xt g xt G G x t g xt g xt G G                                                                                                                                         ,, , , , , , , , , , where , L iA l j B l jB i A iA l j B l jB i A L L R iA iA iA L t l jB l jB jB l l l R t xt g xt g xt g xt G G xt g xt g xt g xt G G C C xt x x x                                     张量场“二 点表示形式” 下导数，完 整基及非完 整基下张量 梯度计算

基本关系式一一整体形式 d=①+q∈T"(R"),平=平+v∈T(R,有: 平-(a8)=(平+0)0-(=8(④+)=平。-(8①)+v°-(8) 基本关系式一一分量形式 口,d +I-I,Φ=Φ 基于非完整基理论推导湍流脉 不可压缩RANS整体形式 动平均量方程在各种“单位正交 基”下的分量形式 x,t)+U-∞(v⑧v (878)-(m)le(m)+R48()湍流扩散+分子扩散 e [v8v(a8U)+(Ua)v]-( v⑧口)·(口∞v )生成+耗散 R e P(v口+囗Qv 压力变形

                . . . . . , pm qm i i i s si i j l j ls j lj s l j l T T x                                             基本关系式——整体形式 基本关系式——分 ，有： 量形式                       , 1 Re 2 Re RANS + + v v xt U v v t v v v pv I I pv v v vv U U vv v v pv v                                                 不可压缩 整体形式 湍流扩散 分子扩散 生成 耗散 压力变形 基于 非完整基理论 推导 湍流脉 动平均量方程 在各种“单位正交 基”下的分量形式

I边界的有限变形运动对边界局部运动学及动力学行为的影响 涡量与涡动力学相关结果(本组 当前物理构型 →>x2-Ctn 当前参数构型 2(xx) 可变形边界 x'-Cunve X(x)D×R3(x)=x1→(Xx1))-x(x)=((x:2+x(x)) 壁面应力 av3 P n tu 263 流固耦合项非均匀性项几何一速度耦合项

3 3 3 3 2 + 2 i j i n i i j V VV t p n bV g x xx                                   流固耦合项 非均匀性项 几何－速度耦合项 3 X 1 X 2 X o 1 g  3 g n   3 g  3 g  3 g    1 2  x x, 可变形边界 1 x Curve  2 x Curve  3 x Curve            1 1 2 2 12 3 12 3 3 X,: , , X,, ,, , , , ,, x x X xt D xt x t xt t X xt t x x t x n x x t t x X                                         o 1 x 3 x Dx 2 x X  x 流动区域 当前物理构型 当前参数构型 1 g  1 g  1 g  2 g  2 g  2 g  2 g  Ⅱ 边界的有限变形运动对边界局部运动学及动力学行为的影响 —— 涡量与涡动力学相关结果（本组） 壁面应力

壁面变形率(应变)一吴介之」 sso soruces 基本关系式Φ为任意张量 4=(,n)8n-[n,n]=n8(n,)-[nnq 壁面变形率 D=18-v.n@n+(oxn)on+no(oxn +(P×n)阅n+n(Wx×n)-n1nyv此处W=-v8v,n,m R da aa)=(rd r)d a 切平面 涡线 O×n

              3 , ,, , ,, 1 1 2 2 ,, , , Sym n n nn n n n Wn n n D V n W n n nV W V n nn n n n n   n                                                                             基本关系式 壁 ， 为任意张量 ＝ 变形率 此处 面 壁面变形率（应变）—— 吴介之 3 X 1 X o 2 X n  n  n 切平面 涡线

莹面通量(胀压量,涡量)—吴介之,本组 基本关系式:S为任意张量 VX(nxs)=nxv (nxs)=bi (nS)+VS=H(nS)+VS ∑ (v8O)'m=nxv[nxo)@n]+v(o-n)+H(o-n)n 此处O.n=V×+n×n=V×|-n 壁面通量 a∏ =pn·a-mV× =mxa-nx(V∏+(v8o)n onxa-nxv[nxv.[(nxo)On]+v(o-n)+H(o-n)n

          3 l l n H nn S n n S n n S b nS S H nS S nn n n V n Vn n Vn x na n n n n                                                                                                              基本关系式 壁面通 ： 为任意张量 此处 量：      an n na n n n n n n H n                                                         壁面通量（胀压量，涡量）——吴介之，本组

可变形体载荷一一吴介之」流体域 可变形固体B 控制面∑ 基本关系式 可变形固体边界CB 体积分DMm:J=2×(V×)-×(mx0d,eR 面积分DM:手=-×( nx)do, Vp∈R R=-lpadr p+O×n)ao 2Jr×△od+中rx(mxm)do r×nx7xo)]o+yoxn 式中 ∫冖×(△o)d=∫rx[V(Vo)]r=-∮n[(vo)xro∮∈[(8v;(V8o)]d

1 X 3 X 2 X O 可变形固体 B 控制面  可变形固体边界 B 流体域 Vf               1 1 3 DMT , 2 2 1 DMT , 2 + 1 22 2 f f f V V V V B V V f d r d r f d r n fd f nd r n d R ad pn n r n a d r n d nd r d d r                                                                                         基本关系式 体积分 ： 面积分 ： － 式中： :      V VV f ff d n rd r d                           可变形体载荷 —— 吴介之

海面油污扩散 Jun Zhang Nature 2000 亲水基团 蔬水基团 Ⅲ几何形态为曲面的连续介质运动 薄层运动假设(引入面密度) 几何形态为曲面( Riemann流形) 磷脂分子 生物膜 入膜中的蛋白质

Jun Zhang.Nature 2000 Ⅲ 几何形态为曲面的连续介质运动 —— 薄层运动假设（引入面密度） —— 几何形态为曲面（Riemann Riemann流形） 海面油污扩散 生物膜

初始物理构形V 当前物理构形V 曲面方程:2(x 初始参数构形V 曲面方程:X(x,t2) 当前参数枃形T 刻画 质点速度V=(x,t)+g 一般运动海面(已知)上 质量守恒0(x2)+x02(x,)+p15p-mP=0 油污运动的控制方程 Lagrange观点(本组) 切向动量(52)++(x21)+对28(x,),g (x2,t)+VV,V-b, b V-IV t)+pfe g 法向动量川b+(x21)n+8(x, at (r-p)H+vV, V-bb, v b9Vs+2b V, V|+pf

3 X 1 o X 2 X   , o x t 曲面方程：   o 初始物理构形 V  t 当前物理构形 V    x t, 曲面方程：   o 1 x  2 x  o Vx 初始参数构形  t V x 当前参数构形  xx t    , 运动刻画      一般运动海面（已知）上 油污运动的控制方程 —— Lagrange Lagrange观点（本组）             3 3 3 2 2 ,, 0 , ,, ,, , s s s s l pq l s l s pq s l ls t s st l l x t x x t V HV t x g t xx x t g x x t g t t p x t V bbV x x                                                                                       质量守恒 切向动量         3 3 3 3 2 2 3 3 2 ,+ ,, ,, 2 s l ls l s s pq s s pq s st q s s t s st q s t s V bV b xt f x g b xx x t n x x t n t t p H V b bV b V b V                                                                                      法向动量   3  f       ,   s V xt x s g t         质点速度 