《力学季刊》：基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究.pdf_大学文库

第34卷第2期 Vol 34 No. 2 CHINESE QUARTERLY OF MECHANICS June 2013 基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究谢锡麟 (复旦大学力学与工程科学系,上海200433) 摘要:作为我国理性力学先驱之一的郭仲衡先生在其所著《张量(理论和应用)》以及《非线性弹性理论》中记述了现代张量分析以及有限变形理论知识体系。本文按有限维 Euclid空间上微积分以及一般赋范线性空间上微分学认识相关知识体系的理论框架,相关思想及方法,闸述了有关思想及方法的发展及其应用。本文未涉及现代几何学在连续介质力学中的应用。关键词:郭仲衡;现代张量分析;有限变形理论;有限维 Euclid空间上微积分;一般赋范线性空间上微分学中图分类号:0331文献标志码:A文章编号:0254-0053(2013)02-337-15 Some Related Studies Based on Guo zhong-heng's Knowledge Systems of Modern Tensor Analysis and Finite Deformation Theory XIE XI-Lin Department of Mechanics Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China) Abstract: It is well known that Prof. Guo Zhong -heng is one of the national pioneers of the foundations and developments of rational mechanics. His two monographs one is"Tensor( theories and applications) and the other "Nonlinear Elastic Mechanics"include systemetic knowledge of modern tensor analysis and finite deformation theory. The theoretical frameworks of related know ledge systems with some ideas and methodologies have been expatiated in the point of view of calculus in finite Euclidian spaces and differen tial calculus in general normed linear spaces, including some developments of related ideas and methodolo gies with applications. The applications of modern geometry in continuum mechanics have not been in volved in the present paper. Key words: Guo Zhong-heng: modern tensor analysis; finite deformation theory; calculus on finite eu clidian spaces; differential calculus on general normed linear spaces 作为我国理性力学先驱之一的郭仲衡先生在其所著《张量(理论和应用)》以及《非线性弹性理论》中记述了现代张量分析以及有限变形理论的知识体系郭仲衡所著《张量(理论和应用)》,主要内容包括:①张量的代数性质(张量定义为多重线性映照)。② 仿射量的基本性质(基于外积运算)。③张量值映照微分学(含各向同性张量值映照的表示理论等)。④微分几何中曲线论与曲面论的基本内容(主要包括局部标架及其运动方程)。⑤现代几何学中相关思想及方收稿日期:2012-10-11 基金项目:上海市教委2011年上海高校本科重点教学改革项日“‘现代连续介质力学理论及实践’课程体系”;上海市教委2011年重点课程立项项目“《数学分析》一年制,面对力学等技术科学专业)”;国家自然科学基金面上项目(11172069,10872051) 作者简介:谢锡麟(1974-)男,浙江鄞县人,副教授,博士,研究方向:理学力学观点下的连续介质力学理论,力学中的数学方法并将上述理论应用于开放流场空间动力学行为等研究。Emal: xiexin@ fudan.edu,cn

力学季刊第34卷法(包括基于同态映照的推前及拉回,Le导数, Hodge星算子,内导数,外微分以及相关运算之间的关系) 对此部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念,但所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流形上的分析,且数学分析上非常清晰。⑥张量分析在连续介质(几何形态默认为 Euclid流形)中的基本应用,包括变形刻画,输运方程;另涉及同态扩张以及Le导数等在连续介质力学中的应用,但书著中未对这部分内容做深入阐述郭仲衡所著《非线性弹性理论》,主要内容包括:①有限变形理论(连续介质几何形态默认为 Euclid流形)。理论框架上分别对初始物理构形以及当前物理构形引人曲线坐标系,理论发展上按变形梯度及其基本性质,变形刻画,输运方程,守恒律方程等。②有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学若干典型事例的半解析求解。③变分原理。值得指出,基于《张量(理论和应用)》所载张量分析的知识体系,研习《非线性弹性理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析上的困难本文作者自上世纪90年代初作为大学生就被郭仲衡先生的书著所吸引并持续研习至今。本文主要基于有限维 Euclid空间上微分学以及一般赋范线性空间上微分学认识和推广相关知识,主要包括:(1) 有限维 Euclid空间中的微分同胚。(2)张量场微分学。(3)张量值映照微分学。(4)张量场多点表示形式。(5)非完整基理论。(6)基于外积运算的相关理论 1有限维Eucd空间中的微分同胚 1.1空间曲线坐标系(空间微分同胚) 有限维 Euclid空间中的C"微分同胚,指向量值映照 ):R"→D3X(x)∈R 此处定义域D和值域Dx:=X(D2)均为R"中的开集,X(x)实现了二者之间的双射(一一对应),且X (x)与其逆映照x(X)均为CP映照;一般可记C°微分同胚为X(x)∈CP(D4,Dx)。 g3(r) curvilinear coordiante g3(x) X()ECP(D D) g2(x) g1(3 g2( (g;(x) ocal covariant bas D()=[. 图1三维 Euclid空间中曲线坐标系示意图 Fig. 1 Sketch of curvilinear coordinates in three dimensional Euclid space 如图1所示,基于微分同胚:①物理空间Dx中点的位置刻画可等价地由参数区域D中的位置进行刻画;一般构造微分同胚时使得D的几何形态规则。②由微分同胚X(x)∈CP(D-,Dx)的 Jacobi矩阵可定义局部协变基{g,(x)△aX/ax2(x)}1,按对偶关系可唯一确定其对偶基{g(x)|(g2,g;)=b 1,…,m}=1;称为逆变基,协变基和逆变基统称为局部基;可基于局部基展开整体形式的张量方程以获得可实际求解的分量方程。微分同胚的上述性质实现了一般曲线坐标系的意义及功能。郭仲衡著《张量(理论和应用)》明确将曲线坐标系定义为微分冋胚,凸显其数学严谨且几何意义清晰

第2期谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 R(,9) X 图2当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间情形的一则示意图 Fig. 2 A sketch of curvilinear coordinates with respect to current physical configurations including time explicitly 1.2时空曲线坐标系(时空微分同胚) 如图2所示,当类马铃薯体(当前物理构型)随时间发生变化时,我们希望能建立显含时间的曲线坐标系,使得对应的参数区域不仅几何形态规则并且不随时间发生变化。对此,可考虑如下当前物理构型对应之显含时间的曲线坐标系 g,t)·rsin0·cos X(x, t) X(a. t) X2|(x,t) R(0,g,t)· rsing·sing D×(a,b)3 R(0,,t)·rcos 在时空坐标系(世界坐标系)中当前物理构形对应之显含时间的曲线坐标系可严格符合微分同胚的要求。以上述映照为例,建立时空微分同胚的充分必要性条件为:①X(x,t)∈CP(Dm×R;R3),亦即X(x,t) 关于时空变量{x,t}都具有直至p阶偏导数且均在Dm×R上连续;②X(x,t)关于空间变量x在Dw上为单射;③X(,t)关于空间变量x的 Jacob矩阵D2X(x,t)∈R在Dm×R上都非奇异。应用上可基于上述条件,确定一个CP映照为C微分同胚。如果我们可对当前物理构型引入显含时间的曲线坐标系X(x,t)∈C"(v,V)(现t视为参数),使得对应的当前参数构型几何形态规则(如为方体)且不随时间变化,则连续介质运动在物理世界坐标系(时空坐标系)中的区域V×(t,to+T)和参数世界坐标系中区域V,X(to,to+T)之间有微分同胚x(x t)∈CP(V×(to,to+T),V×(t,to+T))(现t视为独立变量),如图3所示。我们已基于一般有限变形理论[,平行发展了当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论。籍此理论,我们可系统获得连续介质运动在参数世界坐标系下的分量方程,在参数世界坐标系下连续介质的参数构型演化对应一个规则的方体,现情形下物理构型的几何非规则且随时间变化的边界被严格映射为几何规则且不随时间变化的平面或者直线,这将十分有利于数值及理论分析 1.3基于曲面构建全空间半正交系如图4所示,为研究边界及其邻域上的流动机制,往往可基于曲面构建全空间维数曲线坐标系,如下所示 X(x,t)=X(x,123 :/→X(xx, X n(xy,t)∈R X

第2期谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 n(xs,t)。需指出,上述基于曲面的半正交曲线坐标系为 Euclid曲线坐标系,换言之对梯度算子可有表达形式 V仝aX (x,t)=i ve(X, t)-a(, t)=g(, t)g(, t),a, 式中{“}m=1代表典则基,{g2(x,t)}=1代表局部逆变基。在区域上开展场论分析,是否采用曲线坐标系或者采用何种曲线坐标系不影响张量场梯度等场论微分运算的整体形式,但采用基于曲面的半正交系研究含有曲面边界的流固耦合问题易于揭示边界的几何特征同流动行为之间的关系,因为曲面的几何性质自然出现于曲面局部标架的运动方程之中。如果实际计算所采用的曲线坐标系不同于基于曲面的半正交系,则可通过如下方法进行转化,以二阶张量的梯度为例中⑧V|x=,中:(正,t)9,⑧°⑧g?(,t) ,:a{[(0n9)a"9,+(.,m)n][(,9)a“9,+(g0,n)n]⑧[(y,g)g”9.+(g0,n)an]} 等式右方即为张量梯度相对于曲面半正交系的展开式,另分析中常引人曲面梯度算子△( t),其同全梯度算子V之间有关系,以任意的r阶张量更∈T(R)为例 =(÷+n0-)0 m=V⑧-n如=V②更-n②(n·⑧更) 吴介之等籍借R3中曲面半正交系,获得了可作有限变形运动的固体边界上连续介质变形率张量的表达形式,推广了经典的 Caswell公式。另,我们可基于曲面半正交系及内蕴形式广义 Stokes公式推导得对任意p阶张量S∈T(R3)成立的恒等式 n·(V×(n×S)=(nxV)·(n×S)=b(n·S)+y·S=H(n·S)+·S H△b为曲面平均曲率考虑一般可压缩粘性流动的动量方程( Navier- Stokes方程) P=vI-V×a+pfm,:=-p+(A+2g)0,0:=V·V VX V 可得可作有限变形运动的固体边界上可压缩粘性流动的法向涡量通量表达式 mn×a-×(VⅡ)-Pn×fm+(V②a)·n Pn×a-n×(VⅡ)-Pn×fm-(n×V)·[(n×a)⑧n]+V(a·n)+H(a:n) 相对于静止固体边界情形,边界有限变形运动导致增加项ⅴ(ω·n)+H(a·n)n,ω·n (ⅴ×V)·n,可见此增加项完全由曲面自身运动决定,不直接涉及流固耦合。 2张量场(映照)微分学 2.1张量赋范线性空间张量场映照指自变量为位置刻画,因变量为张量的映照。不失一般性,三阶张量场具有如下表达式中(x):R"D3x卜中(x)=中.(x)9(x)⑧g(x)②9(x)∈T(R”) 此处位置刻画一般可为曲线坐标系。针对张量场映照的微分学以及积分学构成了一般曲线坐标系下张量场分析的主要内容。为此,郭仲衡著《张量(理论和应用)》明确引入了张量范数

第2期谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 345 作为隐映照定理的一则应用,考虑如下带有约束的张量函数的极值问题: 目标函数:0(④,业)∈R,式中中∈TP(R),业∈T(Rm) 约束映照:∑:={(,y)∈T(R")×T(R")f(中,y)=0∈T(Rm)} 按隐映照定理认识约束,则局部有:f(φ,7(φ))=0。则有,在局部意义下,约束上的目标函数θ(Φ,业) 等价于:θ(φ):=θ(φ,(Φ)),故可计算获得其临界点控制方程 (④,7()+(④,(φ)·(④) Φ,()-(,(更) (φ,())°(重,7(更)) Φ,()-(,(更) (,7()) 更,(更)=0∈T(Rm) 籍此,可构造 Lagrange函数 L(,y;A):=0(,y)+A⊙(,业)=0(更,y)+A”'f;(更,y)∈R 式中A∈T(R")为 Lagrange乘子,⊙表示全点积。可计算得:L(φ,y;λ)的临界点方程相同于上述基于隐映照定理所确定的目标函数的临界值。 3.3张量值映照的逆映照定理张量值映照的逆映照定理(局部微分同胚存在性定理),可以表述为对任意f(中)∈C(T(Rm)2D;T(R")),如有 3∈D满足:(。)∈L(T"(R"),T(R")可逆则有,局部存在微分同胚∫(更)∈C(B2(更);f(B4()) 对于导数计算,基于:f°f(④)=∈T(Rm),有 dv((p))=/f (φ)∈L(T(R"),T(Rm)) 进-步有F(0)(.)v=(:)(()()()(?) V|,V∈T"(R") 此处(2)()(,)=-(:5)(0)(0(,)1(:)(0),vD∈r(R”) 4张量场多点表示形式 4.1张量场多点表示形式郭仲衡著《非线性弹性理论》,由于对初始物理构形和当前物理构形都引人曲线坐标系(二者相互独立),故变形梯度可具有形式F:=(,t)9,(x)②G4(5)。此处构成简单张量的向量分别隶属不同的局部基{GA()}m=1和{g1(x)}=1(此处仅列出协变基),故将此种张量称为“二点张量”。二点张量的事例另有转移张量l:=94g⑧G4,此处g4:=(g,GA)am。考虑到R"中任意二个基之间的相互确定关系,“两点张量”自然可以转换为“一点张量”,由此本文称张量的“多点表示形式”:对于任意φ∈T(R"),最多可有p点表示形式,亦即其p阶简单张量的构成来源于p个不同的基。值得指出,“多点表示”仅是同一个张量的不同表示形式,而非不同表示对应不同的张量。例如,转移张量实际就是度量张量或者单位仿射量:

46 力学季刊第34卷 I=,=9⑧g=8kGA⑧GB=GAG4②GB=g,②G4 郭仲衡所著《非线性弹性力学》出现上述关系式。综上所述,本文谨认为,称“张量的多点表示形式”较“多点张量”可能更为适宜 4.2张量场多点表示形式下的导数计算连续介质力学研究中,我们可能同时使用初始物理构形以及当前物理构形中的局部基,由此将自然使用张量场的二点表示形式。为说明一般情况,我们引入三组基:{GA(4)}A=1,{9(x)}=1,{h。(y)}m=1分别由曲线坐标X= X(),X=X(x),X=X(y)所诱导;基于微分同胚的传递性,曲线坐标{4}A=1,{x2}=1,{y°}m=1之间彼此为微分同胚。不失一般性,我们考虑四阶张量场的三点表示形式 (,,)=:A(,,y)91(x)⑧h()⑧GA()⑧G()∈T(R”) 对此,如考虑Φ(,x,y)对的偏导数,则有 g(,x,y)g(x)⑧h(y)⑧GA(5)⑧GB( 此处:VAB ①(,,y)+P:;B一F 如考虑Φ():=中(),(),y())对的全导数则有 x)⑧h(y)⑧GA()②GB( 此处:□ (,,y)=V1重:,B(,汇,y) ()·V匝:(,,y) 8)·V 式中:V④:B (,x,y)+T 5非完整基理论 5.1单点形式对应的非完整基理论具有微分同胚的曲线坐标系可另称为完整系,完整系的局部基称为完整基;而称不具微分同胚的基为非完整基。一般而言,我们可构造正交的完整基而不易使其为单位正交基。然而,相对单位正交基展开的张量场可保证其所有分量都保留其原来的量纲。场论中,我们需要获得基于完整系定义的张量场场论微分算子在非完整的单位正交基下的表示。就此,郭仲衡著《张量(理论与应用)》叙述有非完整系理论(本文称非完整基理论),对此我们也有思想及方法上的澄清 5.2多点形式对应的非完整基理论类比于一般非完整系理论,可以将相关思想及方法推广至张量的多点表示形式。设对完整基 {GA()}A=1,{9;(x)}=1,{h。(y)}m1,分别定义对应的非完整基{GA()}A=1,{g;(x)}m=1 {h。(y))m=1。相应的基转换系数记为GA=:CG(B,g=:Cg,h。=:Ch(;转换系数对应有其对偶,如G(B=:C(BGD,满足 CC=8 具体分析上,首先按完整系定义张量梯度;其次按坐标变化规则确定非完整基下的分量;再次推导得非完整基下的协变导数计算式。我们获得如下结论