曲线坐标系 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲线坐标系 一般有限维 Euclid空间之间的映照可以表示为 f(e) f(a):RP) Dr33 f(a) f(a) 其在xo∈Dx的可微性定义如下 定义1.1(向量值映照可微性).存在线性变换Df(xo)∈x(R°,Rq),满足 f(ao +h)-f(ao)= Df(ao)(h)+o(IhJRp)ERS 则称函数f(x)在点x处是可微的 f(a+h)-f()=Df(a)h f(e) f(x+h)-∫(x)=Df(c)h Figure1:向量值映照可微性示意 向量值映照的可微性,指自变量变化所引起的因变量的变化可以由自变量空间至因变量空 间之间的线性映照近似,误差为一阶无穷小量,如图1所示 ①Dx表示Dx的内点集,指v∈Dx,彐B6(x)CDx
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲线坐标系 一般有限维 Euclid 空间之间的映照可以表示为 f(x) : R p ⊃ Dx ∋ x = x 1 . . . x p 7→ f(x) = f 1 (x) . . . f q (x) ∈ R q , 其在 x0 ∈ ◦ Dx 的可微性定义如下➀. 定义 1.1 (向量值映照可微性). 存在线性变换 Df(x0) ∈ L (R p , R q ), 满足 f(x0 + h) − f(x0) = Df(x0)(h) + o(|h|Rp ) ∈ R q , 则称函数 f(x) 在点 x 处是可微的. x 1 x i x p O hˆ h˜ x x + hˆ x + h˜ Dx y 1 y α y q O f(x) f(x + hˆ) f(x + h˜) f(x + hˆ) − f(x) .= Df(x)hˆ f(x + h˜) − f(x) .= Df(x)h˜ f Figure 1: 向量值映照可微性示意 向量值映照的可微性，指自变量变化所引起的因变量的变化可以由自变量空间至因变量空 间之间的线性映照近似，误差为一阶无穷小量，如图1所示. ➀ ◦ Dx 表示 Dx 的内点集, 指 ∀ x ∈ ◦ Dx, ∃ Bδ(x) ⊂ Dx. 1
曲线坐标系 谢锡麟 分析线性映照Df(xo)的表达式,有 Df(xo)(h)=Df(x0h2i1+…+h"i)=hlDf(xo)(i1)+…+hPDf(axo)(in) f(ao(in f(ao(ip) Df(co)h∈R?, 式中Df(x0)∈RxP称为 Jacobi矩阵 考虑特殊的自变量增量h=λi,则有 ∫(co+λi)-∫(xo)=Df(x0)·(λi)+o()=ADf(c0)i1+o(A)∈Rq 即有 彐lim f(x0+λi)-f(c0) =Df(c0)i1∈R 再按向量值映照总体极限存在性对应其各分量极限的存在性,有 f(mo+λi)-f(mo)_.f (x0)=(Df(xo)aa∈R, 式中(D∫(x0)aa代表 Jacobi矩阵Df(xo)的第a行第i列 在有限维 Euclid空间上微分学中引入和P微分同胚的概念 定义1.2(卻P微分同胚).对映照 X(x):R"D3x→X(x)∈R", 满足: 1.定义域Dx和值域Dx:=X(D-)均为开集; 2.X(a)实现D2和Dx之间的双射; 3.X(a)及其逆映照c(X)均为映照, 则称映照X(ax)实现集合D与Dx之间的微分同胚,记作X(a)∈(Dx;Dx) 本书称Dx为物理区域,亦即物理事件实际发生的区域,如连续介质实际所在的区域;称D2 为参数区域.由于存在m∈Dx同X∈Dx之间的一一对应关系,故物理区域中的位置刻画可 等价地对应至参数区域中的位置刻画,籍此也称X(x)∈P(Dx,Dx)为曲线坐标系 另一方面,由于 axl axl 0x1 DX() aXm g1…gn)(x)∈Rmxm
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 分析线性映照 Df(x0) 的表达式, 有 Df(x0)(h) = Df(x0)(h 1 i1 + · · · + h p ip) = h 1Df(x0)(i1) + · · · + h pDf(x0)(ip) = ( Df(x0)(i1) · · · Df(x0)(ip) ) h 1 . . . h p =: Df(x0)h ∈ R q , 式中 Df(x0) ∈ R q×p 称为 Jacobi 矩阵. 考虑特殊的自变量增量 h = λii , 则有 f(x0 + λii) − f(x0) = Df(x0) · (λii) + o(λ) = λDf(x0)ii + o(λ) ∈ R q , 即有 ∃ lim λ→0 f(x0 + λii) − f(x0) λ = Df(x0)ii ∈ R q . 再按向量值映照总体极限存在性对应其各分量极限的存在性, 有 ∃ lim λ→0 f α(x0 + λii) − f α(x0) λ =: ∂fα ∂xi (x0) = (Df(x0))α,i ∈ R, 式中 (Df(x0))α,i 代表 Jacobi 矩阵 Df(x0) 的第 α 行第 i 列. 在有限维 Euclid 空间上微分学中引入 C p 微分同胚的概念. 定义 1.2 (C p 微分同胚). 对映照 X(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ X(x) ∈ R m, 满足: 1. 定义域 Dx 和值域 DX := X(Dx) 均为开集; 2. X(x) 实现 Dx 和 DX 之间的双射; 3. X(x) 及其逆映照 x(X) 均为 C p 映照, 则称映照 X(x) 实现集合 Dx 与 DX 之间的微分同胚, 记作 X(x) ∈ C p (Dx; DX). 本书称 DX 为物理区域, 亦即物理事件实际发生的区域, 如连续介质实际所在的区域; 称 Dx 为参数区域. 由于存在 x ∈ Dx 同 X ∈ DX 之间的一一对应关系, 故物理区域中的位置刻画可 等价地对应至参数区域中的位置刻画, 籍此也称 X(x) ∈ C p (Dx, DX) 为曲线坐标系. 另一方面, 由于 DX(x) = ∂X1 ∂x1 · · · ∂X1 ∂xi · · · ∂X1 ∂xm . . . . . . . . . ∂Xm ∂x1 · · · ∂Xm ∂xi · · · ∂Xm ∂xm (x) =: ( g1 · · · gi · · · gm ) (x) ∈ R m×m, 2
曲线坐标系 谢锡麟 式中 9(x)1mx+x)-x(a∈Rm, 其几何意义为物理空间中x2曲线在X(x)点的切向量.由于DX(a)非奇异,因此{g1(x)}m1 为线性无关向量组,亦即成为Rm中的一个基,且这种基随空间位置变化,称为曲线坐标系的局 部协变基局部协变基的对偶基记为{9(c)}1,称为曲线坐标系的局部逆变基.按对偶关系以 及微分同胚,有 arl aX aXm a rm 月1 OXi aX g")(x)∈R 式中 9'(r)4/azi arm/(r)=Ozi Ora(X)ia= grad z(X). 其几何意义为物理空间中x(X)在点X的梯度或者曲面x(X)=常数的法向量方向 基于曲线坐标系的局部协变基及逆变基,可引入 9(x)=(91(x),93(x)gm,y(x)=(9(x)y1(x)gm 可称为 Riemann度量 三维 Euclid空间中曲线坐标系如图2所示,高维情况类似 局部协变基 曲线坐标系 x(x)∈CP(D;Dx) 193(Ea) (a Figure2:三维 Euclid空间中曲线坐标系示意 引入曲线坐标系(微分同胚)有两方面意义: 将几何形态不规则的物理区域变换为几何形态规则的参数区域; 2.可利用曲线坐标系自身诱导的局部基(协变基及逆变基)展开张量方程,以获得相对局部基 的分量方程
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 式中 gi (x) , lim λ→0 X(x + λii) − X(x) λ ∈ R m, 其几何意义为物理空间中 x i 曲线在 X(x) 点的切向量. 由于 DX(x) 非奇异, 因此 {gi (x)} m i=1 为线性无关向量组, 亦即成为 R m 中的一个基, 且这种基随空间位置变化, 称为曲线坐标系的局 部协变基. 局部协变基的对偶基记为 {g i (x)} m i=1, 称为曲线坐标系的局部逆变基. 按对偶关系以 及微分同胚, 有 Dx(X) = ∂x1 ∂X1 · · · ∂x1 ∂Xi · · · ∂x1 ∂Xm . . . . . . . . . ∂xm ∂X1 · · · ∂xm ∂Xi · · · ∂xm ∂Xm =: ( g 1 · · · g i · · · g m )T (X) ∈ R m×m, 式中 g i (X) , ( ∂xi ∂X1 · · · ∂xi ∂Xm )T (X) = ∂xi ∂Xα (X)iα , grad x i (X), 其几何意义为物理空间中 x i (X) 在点 X 的梯度或者曲面 x i (X) = 常数 的法向量方向. 基于曲线坐标系的局部协变基及逆变基, 可引入 gij (x) = ( gi (x), gj (x) ) Rm , gij (x) = ( g i (x), g j (x) ) Rm , 可称为 Riemann 度量. 三维 Euclid 空间中曲线坐标系如图2所示, 高维情况类似. x 1 x 2 x 3 a b c d e f g h 齒楫緋辿ª X(x) ∈ C p (Dx; DX) x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 a b c d e f g h g1 (xa) g2 (xa) g3 (xa) g1 (xd) g2 (xd) g3 (xd) 帋䜘助紳娩 DX(x) = g1 g2 g3 (x) O X1 X2 X3 Figure 2: 三维 Euclid 空间中曲线坐标系示意 引入曲线坐标系 (微分同胚) 有两方面意义： 1. 将几何形态不规则的物理区域变换为几何形态规则的参数区域; 2. 可利用曲线坐标系自身诱导的局部基 (协变基及逆变基) 展开张量方程, 以获得相对局部基 的分量方程. 3
曲线坐标系 谢锡麟 1.2标架运动方程 研究曲线坐标系中基向量g1(x)沿坐标线的变化率,即 ∈R 按曲线坐标系的局部协变基及逆变基的对偶关系,有 ar (x),94(x)g′(x), Ox(az),9" (a)9(a) 就此,引入曲线坐标系的 Christoffel待号的概念 定义1.3(曲线坐标系的 Christoffel符号).曲线坐标系的 Christoffel符号分为二类: 1.第一类 Christoffel符号 △ 2.第二类 Christoffel符号 由于 (x),g( 故两类 Christoffel符号之间具有与张量分量类似的指标升降关系.再考虑到 a-X 可见, Christoffel符号具有关于i和j的对称性,即Ik=k,以及= 以下研究 Christoffel符号的基本性质 性质1.1(曲线坐标系 Christoffel符号的基本性质).曲线坐标系的 Christoffel符号具有如 下基本性质 1.第一类 Christoffel符号与度量协变分量之间的关系 物+器)a 2.第二类 Christoffel符号同体积单元之间的关系 1a、 证明可通过直接计算,证明曲线坐标系 Christoffel符号的基本性质
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1.2 标架运动方程 研究曲线坐标系中基向量 gi (x) 沿坐标线的变化率, 即 ∂gi ∂xj (x) , lim λ→0 gi (x + λij ) − gi (x) λ ∈ R m. 按曲线坐标系的局部协变基及逆变基的对偶关系, 有 ∂gi ∂xj (x) = ( ∂gi ∂xj (x), gk (x) ) Rm g k (x), ( ∂gi ∂xj (x), g k (x) ) Rm gk (x). 就此, 引入曲线坐标系的 Christoffel 符号的概念. 定义 1.3 (曲线坐标系的 Christoffel 符号). 曲线坐标系的 Christoffel 符号分为二类: 1. 第一类 Christoffel 符号 Γij,k(x) , ( ∂gj ∂xi (x), gk (x) ) Rm ; 2. 第二类 Christoffel 符号 Γ k ij (x) , ( ∂gj ∂xi (x), g k (x) ) Rm . 由于 Γ k ij (x) = ( ∂gj ∂xi (x), g k (x) ) Rm = ( ∂gj ∂xi (x), gksgs (x) ) Rm = g ksΓij,s, 故两类 Christoffel 符号之间具有与张量分量类似的指标升降关系. 再考虑到 ∂gj ∂xi (x) = ∂ 2X ∂xi∂xj (x) = ∂gi ∂xj (x), 可见, Christoffel 符号具有关于 i 和 j 的对称性, 即 Γij,k = Γji,k, 以及 Γ k ij = Γ k ji. 以下研究 Christoffel 符号的基本性质. 性质 1.1 (曲线坐标系 Christoffel 符号的基本性质). 曲线坐标系的 Christoffel 符号具有如 下基本性质: 1. 第一类 Christoffel 符号与度量协变分量之间的关系 Γij,k(x) = 1 2 ( ∂gjk ∂xi + ∂gik ∂xj − ∂gij ∂xk ) (x); 2. 第二类 Christoffel 符号同体积单元之间的关系 Γ s sj (x) = 1 √g ∂ √g ∂xj (x). 证明 可通过直接计算, 证明曲线坐标系 Christoffel 符号的基本性质. 4
曲线坐标系 谢锡麟 1.首先有 bn()=(2,92)2=(x(a).9(a)+(9(a)a(a) =Tki,j(a)+Tkj,i(a) 同理可得 x)=1;k()+Iik(x) 9 )=(x)+元k() 现在令后两式相加减去第一式并利用 Christoffel符号的对称性,得到 (2)+a(2)-k(x)=2示k 即有 1/agik ajk a Tii.k()= axj axi axk 2.以下证明中指标i,m不为哑标 0、 9;∵9m gn)+…+det(g …+det(g1 ag det +…+det Timg (马h++…=)d(…9 1 9 口 现可有局部协变基向量的运动方程,亦即局部基向量沿坐标线的变化率 gk 类似地,可研究局部逆变基向量沿坐标线的变化率的运动方程 ()<e 9(e),9k (9'(a), 02(2))9*(az). 可得局部逆变基向量的运动方程 Tih9 (), rk91()
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1. 首先有 ∂gij ∂xk (x) = ∂ ∂xk ( gi (x), gj (x) ) Rm = ( ∂gi ∂xk (x), gj (x) ) Rm + ( gi (x), ∂gj ∂xk (x) ) Rm = Γki,j (x) + Γkj,i(x). 同理可得 ∂gjk ∂xi (x) = Γij,k(x) + Γik,j (x); ∂gik ∂xj (x) = Γjk,i(x) + Γji,k(x). 现在令后两式相加减去第一式并利用 Christoffel 符号的对称性, 得到 ∂gik ∂xj (x) + ∂gjk ∂xi (x) − ∂gij ∂xk (x) = 2Γij,k, 即有 Γij,k(x) = 1 2 ( ∂gik ∂xj + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk ) (x). 2. 以下证明中指标 i, m 不为哑标. ∂ √g ∂xj (x) = ∂ ∂xj det ( g1 · · · gi · · · gm ) = det ( ∂g1 ∂xj (x) · · · gi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · ∂gi ∂xj (x) · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · gi · · · ∂gm ∂xj (x) ) = det ( Γ s j1gs · · · gi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · Γ s jigi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · gi · · · Γ s jmgs ) = (Γ 1 j1 + · · · Γ i ji + · · · Γ m jm) det ( g1 · · · gi · · · gm ) = Γ s js det ( g1 · · · gi · · · gm ) = Γ s js√ g. 现可有局部协变基向量的运动方程, 亦即局部基向量沿坐标线的变化率 ∂gi ∂xj (x) = Γji,kg k (x), Γ k jigk (x). 类似地, 可研究局部逆变基向量沿坐标线的变化率的运动方程 ∂g i ∂xj (x) = ( ∂g i ∂xj (x), gk (x) ) Rm g k (x) = − ( g i (x), ∂gk ∂xj (x) ) Rm g k (x), 可得局部逆变基向量的运动方程 ∂g i ∂xj (x) = −Γ i jkg k (x), −g klΓ i jkgl (x). 5
曲线坐标系 谢锡麟 13曲线坐标系下的速度与加速度表示形式 在引入曲线坐标系X(x)∈卻(Dx,Dx)的情况下,首先在参数域中定义曲线 Fx():Ra,3A+rx(入)≡c()= ∈R", 其中{x}m1为曲线坐标系中的坐标 然后,基于曲线坐标系,有物理域中的体积中的曲线 r():R[a,3t→(≡X())=Xom(从)= (入) ∈R". 体积中的曲线,如图3所示 T(A)=E(A) X(x(入)= (x(X)=/r() Figure3:体积中的曲线示意 当曲线以时间为参数时,也称曲线为轨迹 速度定义为位置对时间的变化率,即 u(t) (t+△t)-X(t)dX 考虑到X(t)=Xoc(t),速度可以表示为 dX u(t) (t)=DX()(t) i(t) 1(x),……,gm(c) (t)91(x(t)∈R im(t)
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1.3 曲线坐标系下的速度与加速度表示形式 在引入曲线坐标系 X(x) ∈ C p (Dx, DX) 的情况下, 首先在参数域中定义曲线 Γ x(λ) : R ⊃ [α, β] ∋ λ 7→ Γ x(λ) ≡ x(λ) = x 1 (λ) . . . x m(λ) ∈ R m, 其中 {x i} m i=1 为曲线坐标系中的坐标. 然后, 基于曲线坐标系, 有物理域中的体积中的曲线 Γ(λ) : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ Γ(λ) ≡ X(λ) = X ◦ x(λ) = X1 (λ) . . . Xm(λ) = X1 (x(λ)) . . . Xm(x(λ)) ∈ R m. 体积中的曲线, 如图3所示. x 1 x i xm O Dx λ = a λ = b Γx(λ) = x(λ) = x 1 . . . xm (λ) λ a λ b Γx X1 Xα Xm O DX X(x(λ)) = X1 . . . Xm (x(λ)) =: Γ(λ) X Figure 3: 体积中的曲线示意 当曲线以时间为参数时, 也称曲线为轨迹. 速度定义为位置对时间的变化率, 即 v(t) , lim ∆t→0 X(t + ∆t) − X(t) ∆t = dX dt (t) ∈ R m. 考虑到 X(t) = X ◦ x(t), 速度可以表示为 v(t) = dX dt (t) = DX(x) dx dt (t) = ( g1 (x), · · · , gm(x) ) x˙ 1 (t) . . . x˙ m(t) = ˙x i (t)gi (x(t)) ∈ R m, 6
曲线坐标系 谢锡麟 此处(t)表示函数x()对时间t的导数,本书采用此记号,以后不再特别说明 加速度定义为速度对时间的变化率,即 △ U(t+△t)-v(t)d △t 表示为分量形式即为 a(t)=a2(t)g((t)=a1(t)g2(c(t), 其中 a (t)=(a(t), 9'(a(t)))3, ai (t)=(a(t), 9;(a(t)Rm 下面考虑a(t),有 a1(t)=(a(t,g1(x(t1)im=(x(t),g1(x(t) d d (v(t),g:(x(t)m-(v(t),元,9(a(t) 为了计算上式,引入二元向量值函数(x,)=ig;(x),式中的x和金是相互独立的变量 易见此函数满足如下性质 1.(a(t),i(t)=(t)g1(a(t)=v(t); dn(x,2)=2by()=2a2(a,所以有 (ac(t), a(t))=i(t dzi (a(t))=d 19(x(t1) 式中表示全导数 3.7(:2)=Db59()=(2)=9(m),所以有 ((t),(1)=9(m(1) 再引入二元函数T(x,)=5(u(x,),(m,)=|(x,)l,满足如下性质 1.T(a(.0()=21()=2p(即为单位质量质点的动能 2.(x,i)=(v(x,i) 利用函数(x,)、T(x,)及其性质,可得 0(2040)-(ma04 ta2(a(t,2()-a(a(),t() 此方程称为曲线坐标系下加速度表示的 Lagrange方程
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 此处 x˙ i (t) 表示函数 x i (t) 对时间 t 的导数, 本书采用此记号, 以后不再特别说明. 加速度定义为速度对时间的变化率, 即 a(t) , lim ∆t→0 v(t + ∆t) − v(t) ∆t = dv dt (t), 表示为分量形式即为 a(t) = a i (t)gi (x(t)) = ai(t)g i (x(t)), 其中 a i (t) = ( a(t), g i (x(t))) R3 , ai(t) = (a(t), gi (x(t)))Rm . 下面考虑 ai(t), 有 ai(t) = (a(t), gi (x(t)))Rm = ( dv dt (t), gi (x(t))) Rm = d dt (v(t), gi (x(t)))Rm − ( v(t), d dt gi (x(t))) Rm . 为了计算上式, 引入二元向量值函数 vˆ(x, x˙) = ˙x igi (x), 式中的 x 和 x˙ 是相互独立的变量. 易见此函数满足如下性质: 1. vˆ(x(t), x˙(t)) = ˙x i (t)gi (x(t)) = v(t); 2. ∂vˆ ∂xj (x, x˙) = ˙x i ∂gi ∂xj (x) = ˙x i ∂gj ∂xi (x), 所以有 ∂vˆ ∂xj (x(t), x˙(t)) = ˙x i (t) ∂gj ∂xi (x(t)) = d dt gj (x(t)), 式中 d dt 表示全导数; 3. ∂vˆ ∂x˙ j (x, x˙) = ∂x˙ i ∂x˙ j gi (x) = δ i j gi (x) = gj (x), 所以有 ∂vˆ ∂x˙ j (x(t), x˙(t)) = gj (x(t)). 再引入二元函数 Tˆ(x, x˙) = 1 2 (vˆ(x, x˙), vˆ(x, x˙))R3 = 1 2 |vˆ(x, x˙)| 2 R3 , 满足如下性质: 1. Tˆ(x(t), x˙(t)) = 1 2 |vˆ(x(t), x˙(t))| 2 R3 = 1 2 |v(t)| 2 R3 即为单位质量质点的动能; 2. ∂Tˆ ∂xi (x, x˙) = ( vˆ(x, x˙), ∂vˆ ∂xi (x, x˙) ) R3 ; 3. ∂Tˆ ∂x˙ i (x, x˙) = ( vˆ(x, x˙), ∂vˆ ∂x˙ i (x, x˙) ) R3 . 利用函数 vˆ(x, x˙)、Tˆ(x, x˙) 及其性质, 可得 ai(t) = d dt ( vˆ(x(t), x˙(t)), ∂vˆ ∂x˙ i (x(t), x˙(t))) R3 − ( vˆ(x(t), x˙(t)), ∂vˆ ∂xi (x(t), x˙(t))) R3 = d dt ∂Tˆ ∂x˙ i (x(t), x˙(t)) − ∂Tˆ ∂xi (x(t), x˙(t)). 此方程称为曲线坐标系下加速度表示的 Lagrange 方程. 7
曲线坐标系 谢锡麟 2应用事例 21曲线坐标系 2.1.1非规则上下表面的槽道流 区域Dⅹ为由槽道上、下光滑曲面以及周边柱面所围成的内部区域.现考虑,将不规则的 )x通过微分同胚化成规则的矩体区域.由此,引入以下向量值映照: x(x,y,():Dn3(,y,)→X(x,y,)3()会 p(x,y)+((v-)(x,y) 需要说明的是: x(x,y,()∈(Da;Dxy=)在Dxy实现单射.关于这一点,按几何意义易于说明 2.DX(x,y,()∈R3×3在Dx上非奇异.为此,计算曲线坐标系的 Jacobi矩阵 0 DX(L, y Pr +s(r-or)y+s(yly -oy) y-o (g99)(xy() 计算其行列式 det DX(a, g, s)=(y-o(a, y)#0, 因此,有DX(x,y,)在Dxg上非奇异 非规则上下面槽流 金属网格整流区 风机供给来流 (上游接圆变方簧 t,y) D Figure4:非规则上下表面槽道流实验装置示意 图4为非规则上下表面槽道流实验装置示意
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 2 应用事例 2.1 曲线坐标系 2.1.1 非规则上下表面的槽道流 区域 DX 为由槽道上、下光滑曲面以及周边柱面所围成的内部区域. 现考虑, 将不规则的 DX 通过微分同胚化成规则的矩体区域. 由此, 引入以下向量值映照： X(x, y, ζ) : Dxyζ ∋ (x, y, ζ) 7→ X(x, y, ζ) , x y z (x, y, ζ) , x y ϕ(x, y) + ζ(ψ − ϕ)(x, y) . 需要说明的是: 1. X(x, y, ζ) ∈ C p (Dxyζ ; Dxyz) 在 Dxyζ 实现单射. 关于这一点, 按几何意义易于说明. 2. DX(x, y, ζ) ∈ R 3×3 在 Dxyζ 上非奇异. 为此, 计算曲线坐标系的 Jacobi 矩阵 DX(x, y, ζ) = 1 0 0 0 1 0 ϕx + ζ(ψx − ϕx) ϕy + ζ(ψy − ϕy) ψ − ϕ (x, y) =: ( gx gy gζ ) (x, y, ζ). 计算其行列式 det DX(x, y, ζ) = (ψ − ϕ)(x, y) ̸= 0, 因此, 有 DX(x, y, ζ) 在 Dxyζ 上非奇异. x z y O 仾┳轄縵⑲ê (Ц┫褓箱紳靜ゑ䚃) 䠁廝喜頻濶ê準 䶎㿴細ЦЧ㺘䶒█䚃ê (x, y) φ(x, y) ψ(x, y) Dxy Figure 4: 非规则上下表面槽道流实验装置示意 图4为非规则上下表面槽道流实验装置示意. 8
曲线坐标系 谢锡麟 计算度量张量的协变分量矩阵 (9p,9)(9gy,9y)(9y,9)a (9<,9)R3(g;9y)3(9,9)R 1+Ai A1A2 A1A3 A1A2 1+ A2 A2 A3 A1A3 A2A3 A 式中 A1: =or +C(r-or A2:=oy +s(wu-pu); 计算度量张量的逆变分量矩阵 (g2,g)3(g2,gy)3(g2,gs) (y)4|0g)(y) 3(9,g (9, 9 )R3 (9, 9)R3(9s, 9R A2 A1A 1 A3 Aa A2+A2 基于g2=g°gs,则有 999 91929 100 A2 0 AlA3 A1A2A3/(-A1A3-A2431+4+A2 AA1 基于=( ari(-),9 以及现有协变基与逆变基的特点,可有 1(,r3=0 ax2
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 计算度量张量的协变分量矩阵 ( gij) , (gx , gx )R3 (gx , gy )R3 (gx , gζ )R3 (gy , gx )R3 (gy , gy )R3 (gy , gζ )R3 (gζ , gx )R3 (gζ , gy )R3 (gζ , gζ )R3 = 1 + A2 1 A1A2 A1A3 A1A2 1 + A2 2 A2A3 A1A3 A2A3 A2 3 , 式中 A1 := ϕx + ζ(ψx − ϕx); A2 := ϕy + ζ(ψy − ϕy); A3 := ψ − ϕ. 计算度量张量的逆变分量矩阵 ( g ij) , (g x , g x )R3 (g x , g y )R3 (g x , g ζ )R3 (g y , g x )R3 (g y , g y )R3 (g y , g ζ )R3 (g ζ , g x )R3 (g ζ , g y )R3 (g ζ , g ζ )R3 = ( gij)−1 = 1 A2 3 A2 3 0 −A1A3 0 A2 3 −A2A3 −A1A3 −A2A3 1 + A2 1 + A2 2 , 基于 g i = g isgs , 则有 ( g 1 g 2 g 3 ) = ( g1 g2 g3 ) (g ij) = 1 A2 3 1 0 0 0 1 0 A1 A2 A3 A2 3 0 −A1A3 0 A2 3 −A2A3 −A1A3 −A2A3 1 + A2 1 + A2 2 = 1 0 − A1 A3 0 1 − A2 A3 0 0 1 A3 . 基于 Γ k ij = ( ∂gj ∂xi (x), g k ) R3 , 以及现有协变基与逆变基的特点, 可有 Γ 3 ij = ( ∂gj ∂xi (x), g 3 ) R3 = 1 A3 ∂Aj ∂xi (x), Γ3 33 = 0. 9
曲线坐标系 谢锡麟 其余情况均为零.具体地,有 Ti=v-o lor+(orr-prell, Ti==g loy +S(ww-pyy) T12=T2 (r-or) 2.1.2管径可变化轴对称圆管内流动 区域 Dny2{(x,y,2)0<x2+y2<R2(z),z∈(0,H),且将xz平面的上半平面剖开} 为管径可变化轴对称圆管,如图5所示.现考虑,将此不规则的柱体Dxyε通过向量值映照化成规 则的矩形体.以下研究向量值映照: R(z)cos n x(,n,2):Dn3n→X(,2)y(,m,2)=5:()smn 此处,参数区域为 Dn{(5,n,2)|∈(0,1),n∈(0,2x),∈(0,)} 需要说明的是: 1.X(5,n,2)∈(Dnx,Dny2)在Dnz实现单射.关于这一点,按几何意义易于说明 2.DX(5,n,2)∈R3x3在D=上非奇异.为此,计算曲线坐标系的 Jacobi矩阵 Rcos n-SRsinn ARcos n DX(, m, )=Sinn (R n fRsin n (e, y)=(ge 9, 9. )(6, m, 计算其行列式 det DX(s, n, a)=SR(=), 有DX(,n,2)在Dn2上非奇异 计算度量张量的协变分量矩阵 (gs,9)(g9n)(9,9) R- 0 RR (9n9)a3(gn9n)3(gn,92)a (g2;9)(g29n)3(g2,92)a ∈RR01+∈2R2
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 其余情况均为零. 具体地, 有 Γ 3 11 = 1 ψ − ϕ [ϕxx + ζ (ψxx − ϕxx)] , Γ3 22 = 1 ψ − ϕ [ϕyy + ζ (ψyy − ϕyy)] , Γ 3 12 = Γ 3 21 = 1 ψ − ϕ [ϕxy + ζ (ψxy − ϕxy)] , Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 ψ − ϕ (ψx − ϕx), Γ 3 23 = Γ 3 32 = 1 ψ − ϕ (ψy − ϕy). 2.1.2 管径可变化轴对称圆管内流动 区域 Dxyz , { (x, y, z)| 0 < x2 + y 2 < R2 (z), z ∈ (0, H), 且将 xz 平面的上半平面剖开} 为管径可变化轴对称圆管, 如图5所示. 现考虑, 将此不规则的柱体 Dxyz 通过向量值映照化成规 则的矩形体. 以下研究向量值映照： X(ξ, η, z) : Dξηz ∋ ξ η z 7→ X(ξ, η, z) , x y z (ξ, η, z) = ξ · R(z) cos η ξ · R(z)sin η z . 此处, 参数区域为 Dξηz , {(ξ, η, z)| ξ ∈ (0, 1), η ∈ (0, 2π), ζ ∈ (0, H)} . 需要说明的是: 1. X(ξ, η, z) ∈ C p (Dξηz, Dxyz) 在 Dξηz 实现单射. 关于这一点, 按几何意义易于说明. 2. DX(ξ, η, z) ∈ R 3×3 在 Dξηz 上非奇异. 为此, 计算曲线坐标系的 Jacobi 矩阵 DX(ξ, η, z) = R cos η −ξR sin η ξR˙ cos η R sin η ξR cos η ξR˙ sin η 0 0 1 (x, y) =: ( gξ gη gz ) (ξ, η, z). 计算其行列式 det DX(ξ, η, z) = ξR2 (z), 有 DX(ξ, η, z) 在 Dξηz 上非奇异. 计算度量张量的协变分量矩阵 ( gij) , (gξ , gξ )R3 (gξ , gη )R3 (gξ , gz )R3 (gη , gξ )R3 (gη , gη )R3 (gη , gz )R3 (gz , gξ )R3 (gz , gη )R3 (gz , gz )R3 = R2 0 ξRR˙ 0 ξ 2R2 0 ξRR˙ 0 1 + ξ 2R˙ 2 ; 10
