曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲面上标架运动方程 曲面上协变基的运动方程为 ogi(as)=r,+biin= ring+bin by b 曲面上逆变基的运动方程为 x)=-g (az)=-bil 1.2曲面上张量场偏导数及曲面梯度算子 可定义曲面上张量场沿坐标曲线的变化率,亦即偏导数 定义11(曲面上张量场沿坐标曲线的变化率) 更(xx+Ain)-重(a 入 不失一般性研究三阶张量场更(cx)=重3(x)(g18g1n)(xs)∈3(R3).考虑 更(xx+Ai)=更3(xx+Ai)9x+Ai)g(xx+i)n(x+Ai1)∈3(R3) 按各组成部分的无限小增量公式,有 3(xx+Ai1)=p3(xx)+”(xx)+o3(A)∈R +A1)=9(x)+a(x)+0)∈ g(ax Ain)=g(as)+ (cy)+o3(入)∈ n(a+Ai)=n(x)+m1(x)入+o3()∈R
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲面上标架运动方程 曲面上协变基的运动方程为 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γ k ijgk + bijn = Γij,kg k + bijn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 曲面上逆变基的运动方程为 ∂g i ∂xj Σ (xΣ) = −Γ i jkg k + b i jn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 1.2 曲面上张量场偏导数及曲面梯度算子 可定义曲面上张量场沿坐标曲线的变化率，亦即偏导数. 定义 1.1 (曲面上张量场沿坐标曲线的变化率). ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) , lim λ→0∈R Φ(xΣ + λil) − Φ(xΣ) λ . 不失一般性, 研究三阶张量场 Φ(xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ)(gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) ∈ T 3 (R 3 ). 考虑 Φ(xΣ + λil) = Φ i ·j3 (xΣ + λil)gi (xΣ + λil) ⊗ g j (xΣ + λil) ⊗ n(xΣ + λil) ∈ T 3 (R 3 ) 按各组成部分的无限小增量公式, 有 Φ i ·j3 (xΣ + λil) = Φ i ·j3 (xΣ) + ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ)λ + o i ·j3 (λ) ∈ R; gi (xΣ + λil) = gi (xΣ) + ∂gi ∂xl Σ (xΣ)λ + oi(λ) ∈ R 3 ; g j (xΣ + λil) = g j (xΣ) + ∂g j ∂xl Σ (xΣ)λ + o j (λ) ∈ R 3 ; n(xΣ + λil) = n(xΣ) + ∂n ∂xl Σ (xΣ)λ + o 3 (λ) ∈ R 3 , 1
曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 (xx+Ai)=重3(xx)(9:898m)(xx) (m2an+器amy an +少3918a2(xx)8n+918gmr(e))x+o() 则有 (xx)=a(①y39:918m)(xx) axl(es)g:g'6n+gt 09(egon +398(xx)n+重391898a(cx) 基于曲面标架运动方程,可将上述极限的极限值表达为 (y)= 0(19、"°) V1y39:98n+中3ng8n 亚3列91因m②n一的918989k 式中Vt代表曲面协变导数,仅对张量分量相对于切空间的指标有效,具体有 √3=ar (x)+I下3-:3 基于张量场的偏导数,可定义曲面梯度算子 9ar,不失一般性,此处以∈少m) 为例,有 0=(yag)(0+m+n8 go( 9:8g' 小n89+3nn) =V(⊙9)8gy+到hn(d回n)8gy+型的(e9)8 +V@9)8n+的m(n)8n-(g回g)8g Vp(g回n)8g-型(g回g.)8g+l(g回n)8n +V3(g4⊙n)n-的(g9,)n-n)9 此处@代表任意合理的张量代数运算;V1为曲面协变导数,仅对张量分量相对于切空间的指标
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 Φ(xΣ + λil) = Φ i ·j3 (xΣ)(gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) + ( ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ)gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 ∂gi ∂xl Σ (xΣ)g j ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ ∂g j ∂xl Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ ∂n ∂xl Σ (xΣ) ) λ + o(λ), 则有 ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) = ∂ ∂xl Σ (Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) = ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ)gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 ∂gi ∂xl Σ (xΣ)g j ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ ∂g j ∂xl Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ ∂n ∂xl Σ (xΣ). 基于曲面标架运动方程，可将上述极限的极限值表达为 ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) = ∂ ∂xl Σ (Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) = ∇lΦ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 blin ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 b j l gi ⊗ n ⊗ n − Φ i ·j3 b k l gi ⊗ g j ⊗ gk , 式中 ∇l 代表曲面协变导数, 仅对张量分量相对于切空间的指标有效, 具体有 ∇lΦ i ·j3 , ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΦ s ·j3 − Γ s ljΦ i ·s3 . 基于张量场的偏导数, 可定义曲面梯度算子 Σ ∇ ≡ g l ∂ ∂xl Σ , 不失一般性, 此处以 Φ ∈ T 2 (R m) 为例, 有 Σ ∇ } Φ ≡ ( g l ∂ ∂xl Σ ) } ( Φ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·3gi ⊗ n + Φ 3 ·jn ⊗ g j + Φ 3 ·3n ⊗ n ) , g l } ∂ ∂xl Σ ( Φ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·3gi ⊗ n + Φ 3 ·jn ⊗ g j + Φ 3 ·3n ⊗ n ) = [ ∇lΦ i ·j (g l } gi ) ⊗ g j + Φ i ·j bli(g l } n) ⊗ g j + Φ i ·j b j l (g l } gi ) ⊗ n ] + [ ∇lΦ i ·3 (g l } gi ) ⊗ n + Φ i ·3 bli(g l } n) ⊗ n − Φ i ·3 b s l (g l } gi ) ⊗ gs ] + [ ∇lΦ 3 ·j (g l } n) ⊗ g j − Φ 3 ·j b s l (g l } gs ) ⊗ g j + Φ 3 ·j b j l (g l } n) ⊗ n ] + [ ∇lΦ 3 ·3 (g l } n) ⊗ n − Φ 3 ·3 b s l (g l } gs ) ⊗ n − Φ 3 ·3 b s l (g l } n) ⊗ gs ] . 此处 } 代表任意合理的张量代数运算; ∇l 为曲面协变导数, 仅对张量分量相对于切空间的指标 2
曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 有效,如上述表达式中的指标i和j,具体有 Vp全a12(x)+少一更 vigi a ap (ay)+Tis.3 V2(xx)-; 03 V 3 Or-(a5), 式中代表曲面的第二类 Christoffel符号 对应于曲面协变导数,可通过指标升降关系定义曲面逆变导数,即V全gVt 13曲面上张量场可微性 按赋范线性空间上微分学的一般理论,曲面上张量场的可微性定义如下 定义1.2(曲面上张量场的可微性),对曲面上张量场更(xx)∈丌(Rm),如彐D更(xy)∈ (Rm,(Rm"),满足 更(+△x)-更(x)=D更(x)(△)+o(△|Rm), 则称曲面上张量场更(xx)在点可微 基于曲面梯度算子,可得曲面上张量场可微性的具体表示 定理1.1(曲面上张量场可微性的表示).如曲面上张量场更(x)∈(Rm)可微,则有 A9)(宁8型)+△xn 更(x+△y)-更(mx) 更⑧V)·(△x9,)+o(△ sIRm) 证明不失一般性,以三阶张量场更=918g8n∈3(R)为例考虑 中+△x)=少(x+△x)9(a+△x)8g(x+△x)n(x+△x)∈(3) 按各组成部分的无限小增量公式,有 (x+△x)=,(x)+a(x)△ry+6△正)∈R; 9ias+Ax=gi(az)+o(as) (△xl3)∈ g(xy+△xx)=9Ba(xx)△+o(△sl)∈R n(a+△ay)=n(x)+(ag)+(△asa)∈R
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 有效, 如上述表达式中的指标 i 和 j, 具体有 ∇lΦ i ·j , ∂Φi ·j ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΦ s ·j − Γ s ljΦ i ·s ; ∇lΦ i ·3 , ∂Φi ·3 ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΦ s ·3 ; ∇lΦ 3 ·j , ∂Φ3 ·j ∂xl Σ (xΣ) − Γ s ljΦ 3 ·s ; ∇lΦ 3 ·3 , ∂Φ3 ·3 ∂xl Σ (xΣ), 式中 Γ i ls 代表曲面的第二类 Christoffel 符号. 对应于曲面协变导数, 可通过指标升降关系定义曲面逆变导数, 即 ∇l , g lt∇t . 1.3 曲面上张量场可微性 按赋范线性空间上微分学的一般理论, 曲面上张量场的可微性定义如下. 定义 1.2 (曲面上张量场的可微性). 对曲面上张量场 Φ(xΣ) ∈ T r (R m), 如 ∃ DΦ(xΣ) ∈ L (R m, T r (R m)), 满足 Φ(xΣ + ∆xΣ) − Φ(xΣ) = DΦ(xΣ)(∆xΣ) + o(|∆xΣ|Rm), 则称曲面上张量场 Φ(xΣ) 在 xΣ 点可微. 基于曲面梯度算子, 可得曲面上张量场可微性的具体表示. 定理 1.1 (曲面上张量场可微性的表示). 如曲面上张量场 Φ(xΣ) ∈ T r (R m) 可微, 则有 Φ(xΣ + ∆xΣ) − Φ(xΣ) = (∆x s Σgs ) · ( Σ ∇ ⊗ Φ ) + o(|∆xΣ|Rm), ( Φ ⊗ Σ ∇ ) · (∆x s Σgs ) + o(|∆xΣ|Rm). 证明 不失一般性, 以三阶张量场 Φ = Φ i ·j3 gi ⊗ g j ⊗ n ∈ T 3 (R 3 ) 为例. 考虑 Φ(xΣ + ∆xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ + ∆xΣ)gi (xΣ + ∆xΣ) ⊗ g j (xΣ + ∆xΣ) ⊗ n(xΣ + ∆xΣ) ∈ T 3 (R 3 ) 按各组成部分的无限小增量公式, 有 Φ i ·j3 (xΣ + ∆xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ) + ∂Φi ·j3 ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o i ·j3 (|∆xΣ|R3 ) ∈ R; gi (xΣ + ∆xΣ) = gi (xΣ) + ∂gi ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + oi(|∆xΣ|R3 ) ∈ R 3 ; g j (xΣ + ∆xΣ) = g j (xΣ) + ∂g j ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o j (|∆xΣ|R3 ) ∈ R 3 ; n(xΣ + ∆xΣ) = n(xΣ) + ∂n ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o 3 (|∆xΣ|R3 ) ∈ R 3 , 3
曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 (mx+△mx)=重j3(x)(g:8g的m)(mx) On(21⑧gyn+更 3as(c)g②n +3918(x)8n+到91898m(x)△m+o(△msk) =x)+a÷(xx)A+o(△gm) 更x)+(△9)·(g8m(x)+o(△xslm) 面(+(()8g)·(△)+o(△aa 更(x)+(△93)·(V8重+o(△2m) 更(x)+(更⑧可)·(△r9)+o(△xm) 再考虑到 △X:=X(xx+△xy)-X(xy)=△x9g()+o(4xlgm), 此处△X指参数域中坐标有△xy=△x3is变化而引起的物理空间中曲面上质点位置的变化 由此,可得曲面上张量场可微性的力学表示形式 定理1.2(曲面上张量场可微性的力学表示) (△X)·(V更)+o(△xlgm) )-更(cy) 更)·(△X)+o(△ cElem) (x+=(x2)+(④v(g)△x Xm+ ∑(xy) X S(+)(()3+b Es+h Es+ D 更(x+h)÷更(xx)+便(x)·△X Figure1:曲面上张量场可微性示意 就此,曲面上张量场的可微性可理解为空间位置变化(可在参数空间或者物理空间中刻画) 而引起的张量值变化可以由 Lucid空间至张量空间之间的线性映照(可表示为张量场的曲面梯 度)近似,误差为一阶无穷小量,如图1所示
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 Φ(xΣ + ∆xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ)(gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) + ( ∂Φi ·j3 ∂xs Σ (xΣ)gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 ∂gi ∂xs Σ (xΣ)g j ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ ∂g j ∂xs Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ ∂n ∂xs Σ (xΣ) ) ∆x s Σ + o(|∆xΣ|Rm) = Φ(xΣ) + ∂Φ ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o(|∆xΣ|Rm) = Φ(xΣ) + (∆x s Σgs ) · ( g l ⊗ ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) ) + o(|∆xΣ|Rm), Φ(xΣ) + ( ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) ⊗ g l ) · (∆x s Σgs ) + o(|∆xΣ|Rm). = Φ(xΣ) + (∆x s Σgs ) · ( Σ ∇ ⊗ Φ ) + o(|∆xΣ|Rm), Φ(xΣ) + ( Φ ⊗ Σ ∇ ) · (∆x s Σgs ) + o(|∆xΣ|Rm). 再考虑到 ∆X := X(xΣ + ∆xΣ) − X(xΣ) = ∆x s Σgs (x) + o(|∆xΣ|Rm), 此处 ∆X 指参数域中坐标有 ∆xΣ = ∆x s Σis 变化而引起的物理空间中曲面上质点位置的变化. 由此, 可得曲面上张量场可微性的力学表示形式. 定理 1.2 (曲面上张量场可微性的力学表示). Φ(xΣ + ∆xΣ) − Φ(xΣ) = (∆X) · ( Σ ∇ ⊗ Φ ) + o(|∆xΣ|Rm), ( Φ ⊗ Σ ∇ ) · (∆X) + o(|∆xΣ|Rm). x 1 Σ x i Σ x m Σ O hˆ h˜ xΣ xΣ + hˆ xΣ + h˜ DxΣ X1 Xm Xm+1 O Σ ∆Xˆ ∆X˜ Σ(xΣ) Σ(xΣ + hˆ) Σ(xΣ + h˜) Φ(xΣ) Φ(xΣ + hˆ) .= Φ(xΣ) + (Φ ⊗ Σ ∇)(xΣ) · ∆Xˆ Φ(xΣ + h˜) .= Φ(xΣ) + (Φ ⊗ Σ ∇)(xΣ) · ∆X˜ Figure 1: 曲面上张量场可微性示意 就此，曲面上张量场的可微性可理解为空间位置变化 (可在参数空间或者物理空间中刻画) 而引起的张量值变化可以由 Eucid 空间至张量空间之间的线性映照 (可表示为张量场的曲面梯 度) 近似，误差为一阶无穷小量，如图1所示. 4
曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 2应用事例 3建立路径 ·由于我们现研究的曲面位于 Euclid空间,故可以极限观点定义曲面上张量场沿坐标线的偏 导数,并通过极限分析得到极限值.极限分析过程仅需涉及张量范数,向量值映照的可微性 定义以及 Landau符号;对于经极限分析获得的极限值可以利用曲面上标架运动方程获得 极限值的更为紧凑的表达式,期间自然引入张量分量的协变导数 本讲稿先硏究张量场整体沿坐标线的偏导数,然后按一般赋范线性空间上微分学定义张量 场可微性并获得具有鲜明力学意义的可微性表达式.这一过程也可以反过来,亦即先定义 可微性并做极限分析,然后按照可微性结论平凡地获得张量场整体沿坐标线的偏导数.值 得指出,无论利用何种方式建立知识点,极限定义及极限分析是本质性处理
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 2 应用事例 3 建立路径 • 由于我们现研究的曲面位于 Euclid 空间, 故可以极限观点定义曲面上张量场沿坐标线的偏 导数, 并通过极限分析得到极限值. 极限分析过程仅需涉及张量范数, 向量值映照的可微性 定义以及 Landau 符号; 对于经极限分析获得的极限值可以利用曲面上标架运动方程获得 极限值的更为紧凑的表达式, 期间自然引入张量分量的协变导数. • 本讲稿先研究张量场整体沿坐标线的偏导数, 然后按一般赋范线性空间上微分学定义张量 场可微性并获得具有鲜明力学意义的可微性表达式. 这一过程也可以反过来, 亦即先定义 可微性并做极限分析, 然后按照可微性结论平凡地获得张量场整体沿坐标线的偏导数. 值 得指出, 无论利用何种方式建立知识点, 极限定义及极限分析是本质性处理. 5