体积形态连续介质有限变形理论一变形刻画 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 基于变形梯度的基本性质,可按郭仲衡(1980)0关于一般有限变形理论的处理,将变形的全 部刻画分为4类,归结为如下4个性质 11变形梯度基本性质 性质1.1(变形梯度基本性质) 1. det F () (E,t)=:|F 2.F=(v⑧口)·F 3.F=供F,此处θ会v口=口·V 12各类物质系统的向量值映照刻画 基于微分学研究变形刻画,首先引入 1.初始及当前物理构型中物质线的向量值映照刻画(如图1所示) X(X):[a,bA+X(A)全X(E(入) X():[a,b>A→X(A)全X(x((),, 2.初始及当前物理构型中物质面的向量值映照刻画(如图2所示) x(A,以):D3(入n}→x(x,)((入,) x(,):D3{,→X(入,)全X(x((A,p),t),t) 3.初始及当前物理构型中物质体的向量值映照刻画(如图3所示) x(,,2):Dx3{A,p,}→X(A,,)全X(E(X,,7) {A,p?} 1)全X(a(∈(A,p,),t),t) ①郭仲衡.非线性弹性理论.北京:科学出版社,1980
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 基于变形梯度的基本性质, 可按郭仲衡 (1980)➀关于一般有限变形理论的处理, 将变形的全 部刻画分为 4 类, 归结为如下 4 个性质. 1.1 变形梯度基本性质 性质 1.1 (变形梯度基本性质). 1. detF = √g √ G det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t) =: |F|; 2. F˙ = (V ⊗ ) · F; 3. ˙ |F| = θ|F|, 此处θ , V · = · V . 1.2 各类物质系统的向量值映照刻画 基于微分学研究变形刻画, 首先引入 1. 初始及当前物理构型中物质线的向量值映照刻画 (如图1所示): ◦ X(λ) : [a, b] ∋ λ 7→ ◦ X(λ) , ◦ X(ξ(λ)), t X(λ) : [a, b] ∋ λ 7→ t X(λ) , X(x(ξ(λ), t), t). 2. 初始及当前物理构型中物质面的向量值映照刻画 (如图2所示): ◦ X(λ, µ) : Dλµ ∋ {λ, µ} 7→ ◦ X(λ, µ) , ◦ X(ξ(λ, µ)), t X(λ, µ) : Dλµ ∋ {λ, µ} 7→ t X(λ, µ) , X(x(ξ(λ, µ), t), t). 3. 初始及当前物理构型中物质体的向量值映照刻画 (如图3所示): ◦ X(λ, µ, γ) : Dλµγ ∋ {λ, µ, γ} 7→ ◦ X(λ, µ, γ) , ◦ X(ξ(λ, µ, γ)), t X(λ, µ, γ) : Dλµγ ∋ {λ, µ γ} 7→ t X(λ, µ, γ) , X(x(ξ(λ, µ, γ), t), t). ➀ 郭仲衡. 非线性弹性理论. 北京: 科学出版社, 1980. 1
体积形态连续介质有限变形理论-变形刻画 谢锡麟 初始物理构型v 当前物理构型v X(5()=:X() X(as(A)), ty: =X() r(E(,) 初始参数构型Vs 当前参数构型 Figure1:物质线变形刻画示意 13变形刻 基于上述向量值映照以及微分学,可获得变形刻画,归类为下述4类性质 1.3.1第一类初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元以及体元之间的关系式 性质1.2(初始物理构型一当前物理构型中有向线元、面元以及体元之间的关系式) xx (A)=F·(从); aX×1)()=(FF ( D)( OX aX aX 3. x)=叫aD1a(7) 证明本性质证明主要应用链式求导法则及 Nanson公式
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 ◦X1 ◦X2 ◦X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ◦ V ◦X(ξ(λ)) =: ◦X(λ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ◦ V ξ ξ(λ) ◦X X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 t V X(x(ξ(λ)), t) := t X(λ) x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 t V x x(ξ(λ), t) X x λ a λ b ξ Figure 1: 物质线变形刻画示意 1.3 变形刻画 基于上述向量值映照以及微分学, 可获得变形刻画, 归类为下述 4 类性质. 1.3.1 第一类 初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元以及体元之间的关系式 性质 1.2 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、面元以及体元之间的关系式). 1. d t X dλ (λ) = F · d ◦ X dλ (λ); 2. ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = (|F|F −∗) · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ); 3. ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ R3 (λ, µ, γ) = |F| ∂ ◦ X ∂λ , ∂ ◦ X ∂µ , ∂ ◦ X ∂γ R3 (λ, µ, γ). 证明 本性质证明主要应用链式求导法则及 Nanson 公式. 2
体积形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 初始物理构型V 当前物理构型 X(e(E(A, p)), t): =X(a/p) 初始参数构型v 当前参数构型 O Figure2:物质面变形刻画示意 1.由X(从)=X(x(￡(A),t),t),有 dx aX d入aal a∈x(9③C (从)GB dx决B()=F.只 -F. duBoi d入
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 ◦X1 ◦X2 ◦X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ◦ V ◦X(ξ(λ, µ)) =: ◦X(λ, µ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ◦ V ξ ξ(λ, µ) ◦X X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 t V X(x(ξ(λ, µ)), t) := t X(λ, µ) x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 t V x x(ξ(λ, µ), t) X x λ µ O Dλµ λ µ ! ξ Figure 2: 物质面变形刻画示意 1. 由 t X(λ) = X(x(ξ(λ), t), t), 有 d t X dλ = ∂X ∂xi (x, t) ∂xi ∂ξA (ξ) dξ A dλ (λ) = ( ∂xi ∂ξA (ξ)gi ⊗ GA ) · ( dξ B dλ (λ)GB ) = F · dξ B dλ ∂ ◦ X ∂ξB (ξ) = F · d ◦ X dλ (λ). 3
体积形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 初始物理构型 当前物理构型v C2(sb?).t) 初始参数构型V 当前参数构型 O Figure3:物质体变形刻画示意 2.由X(A,p)=X(x(E(A,p),t),t),有 OX aX OXXb(A.)=F·(x,p)×F OX aX F (A, u 式中最后一步利用了 Nanson公式
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 ◦X1 ◦X2 ◦X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ◦ V ◦X(ξ(λ, µ, γ)) =: ◦X(λ, µ, γ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ◦ V ξ ξ(λ, µ) ◦X X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 t V X(x(ξ(λ, µ, γ)), t) := t X(λ, µ, γ) x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 t V x x(ξ(λ, µ, γ), t) X x O λ µ γ λ µ γ ξ Figure 3: 物质体变形刻画示意 2. 由 t X(λ, µ) = X(x(ξ(λ, µ), t), t), 有 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = F · ∂ ◦ X ∂λ (λ, µ) × F · ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) = |F|F −∗ · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ). 式中最后一步利用了 Nanson 公式. 4
体积形态连续介质有限变形理论-变形刻画 谢锡麟 3.由X(A,p,)=X(x((A,,),t),t),有 ox axaX ax A,,)=F -IFix ax oX 式中最后一步直接利用了 Nanson公式 1.3.2第二类初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元模之间的关系式 性质1.3(初始物理构型一当前物理构型中有向线元、面元模之间的关系式) (F…F)·a(x 2DX(m)=四F./ae (A,p) 证明本性质证明主要应用链式求导法则及对称正定仿射量的幂运算. 利用性质12中的相应结论,有 X =F·x(从),P、dx(入 (x)、(F,F).aX =x(x)F·F2(r,F1.x(x) ((F*. F)I dx 即有 川=(F…·F)·()
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 3. 由 t X(λ, µ, γ) = X(x(ξ(λ, µ, γ), t), t), 有 ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ R3 (λ, µ, γ) = F · ∂ ◦ X ∂λ ,F · ∂ ◦ X ∂µ ,F · ∂ ◦ X ∂γ R3 (λ, µ, γ) = |F| ∂ ◦ X ∂λ , ∂ ◦ X ∂µ , ∂ ◦ X ∂γ R3 (λ, µ, γ). 式中最后一步直接利用了 Nanson 公式. 1.3.2 第二类 初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元模之间的关系式 性质 1.3 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、面元模之间的关系式). 1. d t X dλ (λ) R3 = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) R3 ; 2. ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ) = |F| (F ∗ · F) − 1 2 · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) R3 . 证明 本性质证明主要应用链式求导法则及对称正定仿射量的幂运算. 1. 利用性质1.2中的相应结论, 有 d t X dλ (λ) 2 R3 = d t X dλ (λ), d t X dλ (λ) R3 = F · d ◦ X dλ (λ),F · d ◦ X dλ (λ) R3 = d ◦ X dλ (λ) · (F ∗ · F) · d ◦ X dλ (λ) = d ◦ X dλ (λ) · (F ∗ · F) 1 2 · (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) 2 R3 , 即有 d t X dλ (λ) R3 = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) R3 . 5
体积形态连续介质有限变形理论-变形刻画 谢锡麟 2.利用性质1.2中的相应结论,有 Ox aX ax、ax(x,)=((×0)(,x),(axb 0入O (A,p) =Fr/axax.(F-l. F")(axaH Ox aX 0入a =F2(F,F)-.X、ax 即有 咚=m1|er.( 133第三类当前物理构型中有向线元面元以及体元的物质导数同其之间的关系式 性质14(当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其之间的关系式) dA ()=Ldx d (入) OX aX X OX a入Ou (A,p) ax ax ax OXOX ax (A,p,0)=6 此处B全OⅠ-口⑧V称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的面变形梯度 证明本性质证明主要利用性质1.2及变形梯度基本性质1.1. 1.利用性质12中相应结论,有 dX ))=F·(A=F.x(=L (入) (入) 2.利用性质12中相应结论,有 OX aX (,p)=FF.//ax、0x (A,p) (FIF+FF axax( py
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 2. 利用性质1.2中的相应结论, 有 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ 2 R3 (λ, µ) = ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ), ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) R3 = |F| 2 ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ · (F −1 · F −∗) · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ = |F| 2 (F ∗ · F) − 1 2 · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) 2 R3 , 即有 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ) = |F| (F ∗ · F) − 1 2 · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) R3 . 1.3.3 第三类 当前物理构型中有向线元面元以及体元的物质导数同其之间的关系式 性质 1.4 (当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其之间的关系式). 1. ˙ d t X dλ (λ) = L · d t X dλ (λ); 2. ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = B · ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ); 3. ˙ ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ (λ, µ, γ) = θ ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ (λ, µ, γ). 此处 B , θI − ⊗ V 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的面变形梯度. 证明 本性质证明主要利用性质1.2及变形梯度基本性质1.1. 1. 利用性质1.2中相应结论, 有 ˙ d t X dλ (λ) = ˙ F · d ◦ X dλ (λ) = F˙ · d ◦ X dλ (λ) = L · F · d ◦ X dλ (λ) = L · d t X dλ (λ). 2. 利用性质1.2中相应结论, 有 ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = ˙ |F|F −∗ · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) = ( ˙ |F|F −∗ + |F| ˙ F −∗) · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) , 6
体积形态连续介质有限变形理论-变形刻画 谢锡麟 由于F I,可有 因此有 F 可得 F|F+|FF=(OI-L)·(FF- 综上,可有 aXx2|(A)=B.aX、ax (A,p) 13.4第四类当前物理构型中有向线元与面元模的物质导数同其之间的关系式 性质15(当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式) X (入)=(7·D·T) d入 (入) Ox aX Ox aX 0z/(x,u)=(0-n:D.n) a入a 此处D生+称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量:r和n分别表示有向 线元的指向以及有向面元的单位法向量 证明本性质证明主要利用性质1.2,变形梯度基本性质1.1以及张量点积求导的 Leibniz性. 1.考虑 d入 ()=()·F,F·(入), d入 以及 F·F=F·F+F*·F=(L·F)·F+F*·(L·F) F·L*F+F*·LF=2F·D·F, 则有 (入) d入
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 由于 F ∗ · F −∗ = I, 可有 ˙ F ∗ · F −∗ + F ∗ · ˙ F −∗ = 0, 因此有 ˙ F −∗ = −F −∗ · ˙ F ∗ · F −∗ = −F −∗ · (L · F) ∗ · F −∗ = −L ∗ · F −∗ . 可得 ˙ |F|F −∗ + |F| ˙ F −∗ = (θI − L ∗ ) · (|F|F −∗). 综上, 可有 ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = B · ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ). 1.3.4 第四类 当前物理构型中有向线元与面元模的物质导数同其之间的关系式 性质 1.5 (当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式). 1. ˙ d t X dλ R3 (λ) = (τ · D · τ ) d t X dλ R3 (λ); 2. ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ) = (θ − n · D · n) ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ). 此处 D , L + L ∗ 2 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量; τ 和 n 分别表示有向 线元的指向以及有向面元的单位法向量. 证明 本性质证明主要利用性质1.2, 变形梯度基本性质1.1以及张量点积求导的 Leibniz 性. 1. 考虑 d t X dλ 2 R3 (λ) = d ◦ X dλ (λ) · F ∗ · F · d ◦ X dλ (λ), 以及 ˙ F ∗ · F = F˙ ∗ · F + F ∗ · F˙ ∗ = (L · F) ∗ · F + F ∗ · (L · F) = F ∗ · L ∗ · F + F ∗ · L · F = 2F ∗ · D · F, 则有 2 d t X dλ R3 (λ) ˙ d t X dλ R3 (λ) = 2d t X dλ (λ) · D · d t X dλ (λ). 7
体积形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 即有 dx(x) =T·D·T,此处r d入 (入) 2.考虑 2 a(x=×(FF-)·(FF-”)·0x×x OX aX OX aX 0X0 aa a 由于 2F FP(F·F)-=2|F|(|F)(F*F)-1+FP(F·F) 记F*·F=C,则由C·C-1=I,得 C.C-1+C·C-1=0 所以 C-·(②F*·D.F)·C-1 2(F,F)-1.F,D·F·(F*,F)-1 =-2F-1.F-*,F*,D,F,F-1.F -2F F(F*F)=2F(F)(F*F)1-2FF-1·D.F F|2(0 2
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 即有 ˙ d t X dλ R3 (λ) d t X dλ R3 (λ) = τ · D · τ , 此处τ = d t X dλ (λ) d t X dλ R3 (λ) . 2. 考虑 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ 2 R3 (λ, µ) = ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ · (|F|F −1 ) · (|F|F −∗) · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ = ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ · |F| 2 (F ∗ · F) −1 · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ . 由于 ˙ (F ∗ · F) = 2F ∗ · D · F, ˙ |F| 2(F ∗ · F)−1 = 2|F|(θ|F|)(F ∗ · F) −1 + |F| 2 ˙ (F ∗ · F)−1, 记 F ∗ · F = ◦ C, 则由 ◦ C · ◦ C−1 = I, 得 ˙◦ C · ◦ C −1 + ◦ C · ˙◦ C −1 = 0. 所以 ˙ ◦ C−1 = − ◦ C −1 · ˙◦ C · ◦ C −1 = − ◦ C −1 · (2F ∗ · D · F) · ◦ C −1 = −2(F ∗ · F) −1 · F ∗ · D · F · (F ∗ · F) −1 = −2F −1 · F −∗ · F ∗ · D · F · F −1 · F −∗ = −2F −1 · D · F −∗ , ˙ |F| 2(F ∗ · F)−1 = 2|F|(θ|F|)(F ∗ · F) −1 − 2|F| 2F −1 · D · F −∗ = 2|F| 2 (θF −1 · F −∗ − F −1 · D · F −∗) = 2|F| 2F −1 · (θI − D) · F −∗ . 8
体积形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 所以,有 Ox aX X aX (I-D)·|F|F 2FF…/ax、ax (I-D)·|F|F Ox aX X aX a入Opu (6I-D D入 故有 X aX 入 (6I-D) aX axaX 0入a a入O =n·(I-D)·n=6-n·D·7, 由此得 (6 由此性质的第一个等式可见,当介质场中点点成立 dH/(x)=0 亦即,介质场中任意两相邻质点间的距离保持不变,可将此类介质定义为刚体故有对刚体而言 变形率张量为零张量. 2应用事例 3建立路径 不同于一般的文献,本讲稿建立的变形刻画关系基于物质线,物质面与物质体对参数的偏 导数.按向量值映照微分学,这些结论是完全严格的而非差一个一阶无穷小量等 变形刻画关系式的获得原则上仅需依赖于变形梯度的基本性质,由此也表示变形梯度蕴含 了变形的所有信息
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 所以, 有 2 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 = 2 ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ · |F|F −1 · (θI − D) · |F|F −∗ · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ = 2 |F|F −∗ · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ · (θI − D) · |F|F −∗ · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ = 2 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ · (θI − D) · ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ . 故有 ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 = ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 · (θI − D) · ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 = n · (θI − D) · n = θ − n · D · n, 由此得 ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 = (θ − n · D · n) ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 . 由此性质的第一个等式可见, 当介质场中点点成立 ˙ d t X dλ R3 (λ) = 0, 亦即, 介质场中任意两相邻质点间的距离保持不变, 可将此类介质定义为刚体. 故有对刚体而言, 变形率张量为零张量. 2 应用事例 3 建立路径 • 不同于一般的文献, 本讲稿建立的变形刻画关系基于物质线, 物质面与物质体对参数的偏 导数. 按向量值映照微分学, 这些结论是完全严格的而非差一个一阶无穷小量等. • 变形刻画关系式的获得原则上仅需依赖于变形梯度的基本性质, 由此也表示变形梯度蕴含 了变形的所有信息. 9
